최소논리

최소 논리학, 또는 최소 미적분학은 원래 잉게브리트 요한슨에 의해 개발된 상징적 논리 체계입니다.^[1] 이것은 직관주의적이고 역설적인 논리로, 배제된 중간의 법칙과 폭발의 원리(ex falso quodlibet)를 모두 거부하고, 따라서 다음 두 유도 모두를 타당한 것으로 간주하지 않습니다.

${\displaystyle \vdash (B\lor \n)eg B)}$

${\displaystyle(A\land \n)eg A)\vdash }$

여기서 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및$ B ${\displaystyle$ B$}$는 임의의 명제입니다. 대부분의 건설적 논리는 전자, 배제된 중간의 법칙을 거부할 뿐입니다. 고전 논리학에서 엑팔소 법칙은

${\displaystyle(A\land \n)eg A)\to B,}$

${\displaystyle \neg (A\lor\n)eg A)\to B,}$

${\displaystyle \neg A\to (A\to B),}$

$A$ ${\displaystyle A}$ 및 ¬ A {\displaystyle \n을 사용한 변형 모델도 있습니다.$egA}$이(가) 서로 동등하고 유효합니다. 또한 최소 논리는 이러한 원리를 거부합니다.

이 이름은 연결 수가 제한된 논리 시스템을 나타내는 데 사용되기도 합니다.

공리화

최소 논리는 직관주의 논리의 긍정적인 단편 위에서 공리화됩니다. 이 두 논리 모두 기본 연결로 함축 → {\$displaystyle \to$ $연결$∧ ${\displaystyle$ \land}$및 분리$∨ {\displaystyle \lor }에 대해 동일한 공리를 사용하여 언어로 공식화할 수 있습니다. 그러나 Minimal Logic은 일반적으로 언어의 일부로 $거짓$ 또는 부조리 ⊥$${\$displaystyle$ \$bot$}을 추가합니다.

물론 폭발을 피하는 다른 제형도 가능합니다. 부정에 대한 직접적인 공리는 아래와 같습니다. 데시데라툼은 항상 부정 도입법이며, 다음에 논의됩니다.

정리

부정개론

부정에 대한 유효한 규칙을 빠르게 분석하면 완전한 폭발이 없는 이 논리가 증명할 수 있는 것과 증명할 수 없는 것을 미리 볼 수 있습니다. 최소 논리와 같이 부정이 있는 언어의 자연스러운 진술은 부정 도입의 원리로, 이를 가정하고 모순을 도출함으로써 진술의 부정이 증명됩니다. 최소한의 논리에 대해서는 다음과 같은 원리가 적용됩니다.

${\$$eg A)\n에게$$egB$

어떤 두 명제에 대해서도 $모순$으로 ${\displaystyle \mathrm{간주}}$되는 B {\$displaystyle B}$에 대하여 $A$∧ ¬ ${\$$displaystyle$A\$land$ \n$egA}$ 그$$ 자체로, 이것은 모순 금지의 법칙을 확립합니다.

$displaystyle$$eg (A\land \n$$)$$eg$ A$)\}.$

임의의 $C$ ${\displaystyle C}$를 가정할$$때 재료 조건의 도입 규칙은 ${\displaystyle B}$ → C ${\displaystyle$ B\$to$ C$}$를 제공하며$,$ $B$ ${\displaystyle B}$와 C ${\displaystyle$ C$}$가 관련이 없는 경우에도 제공됩니다. 이와 시사점을 제거하면 위 도입원칙은 다음과 같은 의미를 갖습니다.

$→$$eg A)\n에게$$egB$

즉, 어떤 모순을 가정할 때, 모든 명제는 부정될 수 있습니다. 부정 도입은 최소 논리에서 가능하므로 여기서 어떤 모순도 이중 ${\displaystyle \mathrm{부정}}$을 증명합니다.$$¬ ¬ B {\$displaystyle$\n$예 \n$$예를 들어$ B$\}.$ 폭발은 후자의 이중 부정을 제거할 수 있지만 이 원리는 채택되지 않습니다.

부조리를 통한 공리화

${\displaystyle 양}$의 미적분학을 최소 논리로 확장하는 한 가지 가능한 $방법은$¬ B ${\displaystyle$ \n을 처리하는 것입니다.$이$ 경우 $논리$의 건설적$$ 함축 미적분학의 정리는 부정문으로 이어집니다$.$ $이$를 위해 ⊥ {\$displaystyle \$bot}은 시스템이 일관되지 않는 한 증명할 수 없는 명제로 소개되며$,$ $네거티브$ ¬ $B${\displaystyle \n$그러면$ eg $B}$는 $B$ $→$ $⊥$ {\$displaystyle B\$to$$\bot}의 약어로 취급됩니다. 구성적으로, ${\$은 믿을 이유가 없는 명제를 나타냅니다$$.

시사점

함축 미적분학에서 채택된 원리는 힐베르트 시스템의 페이지에서 동일성 법칙의 명제 형식, 함축 소개 및 변형된 모드 포넨스를 통해 제시됩니다. $예$를 들어, 첫 번째 $예$에서 C ⊥ {\$displaystyle C$ =\bot}을$({\displaystyle A}$ → (${\displaystyle B}$ → C${\displaystyle }$) ↔ (B →$C$ ) {\displaystyle {\big(}A\to (B\c){\big)}\좌우 화살표 {\big(}B\to (A\to C){\big)}}를 설정하면 스키마가 생성됩니다.

$→$$예 B {\big )}\좌측 화살표 {\big(}B)\n에서 \n로$$egA{\big$

$직관주의$ 힐베르트 시스템에서 ⊥ ${\displaystyle$ \$bot$}을 상수로 도입하지 않을 때, 이 정리는 두 번째 부정 특성 공리로 간주될 수 있습니다. (다른 하나는 폭발입니다.) $A$ ${\displaystyle A}$을(를) ¬ B ${\displaystyle$ \n으로 선택한 경우$eg$ B$\},$ 다음이 표시됩니다.

$style$$예 \n$$예를$들어$,$ B}.

이는 명제 형태 $B$ →${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle C}$) → C${\displaystyle }$) ${\displaystyle B\to ((B\to$ C$)\to$ C$)}$ 의 modus ponens 에서 유도될 수도 있습니다$.$ 이중 부정 원리도 관련이 있습니다.

${\displaystyle {\big(})\n예 \neg (A\to B){\big )}\to {\big (}A\to \n예 \negB{\big)}}}$

이것은 $A$ →${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ ↔$$(A → B ) {\$displaystyle$ A\ to {\big}}에서 위와 매우 유사한 다른 변수 C {\displaystyle C}로 다시 추론하여 설정할 수 있습니다. $증명$ $A$ →${\displaystyle (}$¬ ${\displaystyle B}$) ↔${\displaystyle }$¬ (A → $B$)${\displaystyle$ A\ to {\big (}) (\n)$예 B)\좌측 화살표\n$$예$를 들어 $(A\$to B){\$big)}}$등입니다.

Generalizing some of the above in another way, one has ${\displaystyle {\big (}((B\to C)\to C)\to D{\big )}\to (B\to D)}$. Under the Curry-Howard correspondence, this, as one example, is justified by the lambda expression ${\displaystyle \lambda f^{((B\to C)\to C)\to D}.\lambda b^B.f(\lambda g^{B\to C}.}$${\displaystyle g(b)}$ ${\displaystyle$ C)\$to$C)\$to D}$b^{$B}\f($a $g^{B\to$ C$}.$g(b))}. 여기서 더 나아가 모드 $포넨스$는${\displaystyle \mathrm{동등성}}$((${\displaystyle B}$${\displaystyle }$${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle C}$)${\displaystyle }$$→$ (${\displaystyle B}$${\displaystyle }$→ C)${\displaystyle }$${\displaystyle \leftrightarrow }$ (B${\displaystyle }$→ C) {\displaystyle {\big(}(B\to C)\to C{\big)}\좌우 화살표(B\to C)} 등을 의미합니다.

${\$$예 \n$$예 \n$$예를 들어, 왼쪽$$화살표\n$$예를$들어$,$ B}.

마지막으로, 함축 소개에 따르면 $C$ → ${\displaystyle (B}$ → C${\displaystyle }$) {\$displaystyle$ C$\to (B\to$ C$)}$이며$,$ 이는 또한 ${\displaystyle \mathrm{이미}}$⊥ → (B → ⊥) {\$displaystyle$ \bot to (B\to \bot )}를 의미하며, 이는 최소 논리에서 ⊥ {\displaystyle \bot}을 가정하면 모든 부정을 입증하는 방법을 직접 보여줍니다. 라고 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle \bot \to \n예 B.}$

부조리가 원시적이라면, 완전 폭발 원리도 $마찬가지$로 ⊥ → B ${\$displaystyle \bot \to B}라고 표현할 수 있습니다.

접속사

기존에 논의된 원칙은 단순히 시사점 측면에서 진술을 넘어 이제 정리로서도 확립될 수 있습니다. ⊥$${\displaystyle$$\bot}을 통한 부정의 정의를 통해, 모듈러스는 (A ∧(A → C)) → C {\displaystyle (A\land (A\to C))\to C} 형태의 문장을 contrad$하지$ 않는 원칙에 특화합니다. 부정이 암시되는 경우, 그러면 비 contrad$화$의 경화된 형태는 다시 A →$$¬ ¬ A${\displaystyle$ A\ to \n입니다.$예 \n$$egA$ 또한 앞 절에서 설명한 접속사가 있는 형태의 부정 서론, $({\displaystyle B}$ → ($A$→ $C$ )) → (B → C ) {\displaystyle {\big(}B) to (A\land(A\to C)){\big)}\to(B\to C)}의 단순한 특수한 경우로 암시됩니다.

이러한 방식으로 최소 논리는 부정 제거(일명 폭발) 없이 건설적 논리로 특징지을 수 있습니다.

이를 통해 두 명제의 결합과 관련된 대부분의 일반적인 직관주의적 함의를 얻을 수 있으며, 여기에는 카레 등가성이 포함됩니다.

분리

중요한 동등성을 강조할 가치가 있습니다.

${\displaystyle ((A}$ ${\displaystyle \vee }$ B ) ${\displaystyle \to }$ C )${\displaystyle }$↔ (${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \to }$ C )${\displaystyle }$∧ $B$ → C ) ${\displaystyle${\$big(}(A\$lor B))\to C {\$big$( $)}\좌측 화살표${\$big(}(A\to$ C$)\land($B$\backslash$to C)}},

이것은 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$와 B ${\displaystyle$ B$}$가 $모두{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$를 의미한다는 두 가지 동등한 표현입니다$.$ 이로부터, 친숙한 De Morgan의 법칙 중 두 가지를 얻는다.

$∨$$예(A\lor B)\왼쪽 화살표(\n$$)$$예 A\land \n$$eg$ B$)\}.$

세 번째 유효한 De Morgan의 법칙도 도출될 수 있습니다.

From the simpler ${\displaystyle ((A\lor B)\to C)\to (B\to C)}$ follows ${\displaystyle {\big (}(B\lor (B\to C))\to C{\big )}\to C}$ when considering ${\displaystyle B\to C}$ for ${\displaystyle A}$. 그러면 제외된 중간의 이중 부정이 줄어듭니다.

$displaystyle$$예 \n$$eg (B\lor \n$$)$$eg$ B$)\}.$

마지막으로, 사례 분석 결과는

${\displaystyle {\big(})(B\lor \n)eg A)\land\n예 \n예 A{\big )}\to {\big(})(B\lor \n)eg B)\n땅\n예 \negB){\big)}}}$

이 시사점은 아래에서 자세히 설명하는 전체 교시 삼단 논법과 비교됩니다.

대안적 원리를 통한 공리화

함의만을 포함하는 또 다른 정리는 다음과 같습니다. 부정 도입 원칙과 관련하여,

${\displaystyle (B}$ → ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→${\displaystyle }$(${\displaystyle (A}$ → ${\displaystyle C}$) →${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$ → ${\displaystyle C}$ )${\displaystyle (B\to A)\to (A\to$ C$)\to (B\to$ C$)\}.$

최소한의 논리는 그 배치를 증명합니다.

$displaystyle$$예를 들어 A\to\n$$eg$ B$)\},$

$부정$ 도입과 같은 것은$$(A${\displaystyle }$∧ ¬)${\displaystyle \mathrm{}}$→ ¬ B {\$displaystyle$ (A\land \n)을 증명합니다.$eg A)\n에게$$eg B$ 위의 모든 원리는 $상수$$⊥$ ${\displaystyle$ \bot}과 함께 양의 미적분학의 정리를 사용하여 얻을 수 있습니다.

그 상수로 공식화하는 대신 방금 말한 배치 원리를 공리로 채택하고 이중 부정 $원리$ $B$→ ¬ ¬ B {\$displaystyle$B\ $to$ \n$예 \n$$예$ B$\}.$$이것$은 직관주의 논리의 긍정적인 단편에 대한 최소 논리의 대안적인 공리화를 제공합니다.

고전논리와의 관계

¬$A$ {\$display$style \n일반화 ${\displaystyle \mathrm{전략}}$$egA}$에서 ${\displaystyle A}$ $→$ C {\$displaystyle$ $A\to C}$까지는 이중 부정을 포함하는 모든 고전적으로 유효한 문장을 증명하는 데 작동하지 않습니다. 특히, 당연히, 이중 네거티브 ${\displaystyle \mathrm{제거}\mathrm{}}$¬ ¬ B → $B$ {\display $style$ \n의 순진한 일반화.$예 \n$$예$를 들어, B$\to$ B}은(는) 이런 식으로 증명할$$ 수 없습니다. 실제로 $A$ ${\displaystyle$ A$}$의 모양이 무엇이든$,$ 구문 형식 (${\displaystyle A}$ → ${\displaystyle C}$) →$$B {\$displaystyle$ (A\to $C)\$to $B}$의 스키마는 너무 강할 것입니다.$$C {\$displaystyle$ C$}$에 대한 참 명제를 고려하면, 이것은 $단지$B {\$displaystyle$ B$}$와 동등합니다$.$

${\displaystyle \mathrm{명제}}$¬ ¬$B$ ∨ ¬ B) ${\displaystyle$ \n$예 \n$$eg (B\lor \n$$)$$eg B)}$는$$(${\displaystyle A}$$∧ ¬$ A)${\displaystyle \mathrm{}}$$→$ $¬ ¬$ B ${\displaystyle$ (A\land \n)과 같은 최소 논리의 정리입니다.$eg A)\n에게$$예 \n$$예$ B$\}.$ 따라서, 완전 이중 네거티브 원칙 ${\displaystyle \mathrm{채택}\mathrm{}}$¬ ¬ B$$→ B ${\displaystyle$ \n$예 \n$$예$를 들어$$, $최소 논리$에서 B$\to$ B$}$는 모든 중간 논리를 생략하고 미적분학을 고전 논리로 되돌립니다.

위에서 본 바와 같이, 어떤 명제에 대한 이중 음의 제외된 중간은 최소 논리에서 이미 증명 가능합니다. 그러나 술어 미적분학에서는 엄격하게 더 강한 직관주의 논리의 법칙조차도 배제된 중간 진술의 무한한 결합의 이중 부정의 증명을 가능하게 하지 않는다는 점을 강조할 필요가 있습니다. 실제로.

${\displaystyle \nvdash \n예 \n예를 들어 \forall({\mathbb {N}에서 n\)입니다.Q(n)\lor \neg Q(n)}$

결과적으로 이중 네고시에이션 쉬프트 스키마(DNS)도 유효하지 않습니다. 즉,

${\displaystyle \nvdash {\big(}\forall)({\mathbb {N}에서 n\).\n예 \neg P(n){\big )}\to \n예 \n예를 들어 \forall({\mathbb {N}에서 n\)입니다.P(n)}$

이러한 증명 불가능성은 산술을 넘어 비고전적 이론의 공리화를 가능하게 합니다.

직관주의 논리와의 관계

∧$,$ ∨, → {\displaystyle \land,\lor,\to}만 사용하는 공식은 직관적 논리에서 증명 가능한 경우에만 최소 논리에서 증명할 수 있습니다. 그러나 최소 논리에서는 증명할 수 없지만 직관적으로는 성립하는 명제 논리 진술도 있습니다.

폭발의 원리는 직관주의 논리에서 유효하며, 어떤 명제와 모든 명제를 도출하기 위해, 어떤 부조리를 도출함으로써 이것을 할 수 있다고 표현합니다. 최소 논리에서 이 원리는 공리적으로 임의의 명제를 지지하지 않습니다. 최소 논리는 직관주의 논리의 긍정적인 단편만을 나타내기 때문에 직관주의 논리의 하위 체계이며 엄밀히 말하면 더 약합니다.

negative 문에 대한 폭발이 있는 경우 전체 폭발은 $특수$한 ${\displaystyle \mathrm{경우}((}$¬$B$) ∧ ¬(¬ B) → B {\displaystyle((\n))에 해당합니다.$eg B)\n땅\n$$eg(\n$$)$$예$ B$)\to$ B$\}.$ ${\displaystyle \mathrm{후자}}$는 거부된 ${\displaystyle \mathrm{명제}}$인$$¬ B → ( ¬ ¬ B → B${\displaystyle }$) {\displaystyle \n에 대한 이중 부정 제거로 표현될 수 있습니다.$예를 들어 B\to(\n$$)$$예 \n$$예 B\to$ B$)\}.$ 간결하게 공식화된 직관주의 논리의 폭발은 최소 논리가 갖지 못하는 이중 부정 제거 원리의 특별한 경우를 정확하게 부여합니다. 이 원리는 또한 완전한 교의 삼단 논법을 즉시 증명합니다.

교의적 삼단 논법

실질적으로, 직관주의적 맥락에서, 폭발의 원리는 교의적 삼단 논법을 가능하게 합니다.

${\displaystyle((A\lor B))\land\neg A)\to B.}$

$이것$은 다음과 같이 읽을 수 있습니다. $A$∨ B {\$displaystyle$ A\lor B}의 구성적 증명과 A ${\displaystyle$A}의 구성적$거부$가 주어지면, 무조건 B ${\displaystyle$B}의 긍정적인 경우$선택$을 허용합니다. 이러한 방식으로 삼단논법은 분리를 위한 언팩 원리입니다. 그것은 폭발의 공식적인 결과로 볼 수 있고 그것을 암시하기도 합니다. This is because if ${\displaystyle A\lor B}$ was proven by proving ${\displaystyle B}$ then ${\displaystyle B}$ is already proven, while if ${\displaystyle A\lor B}$ was proven by proving ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle B}$ also follows, 직관적인 시스템이 폭발을 허용하는 것처럼 말입니다.

예를 들어, 동전 뒤집기로 인해 앞면 또는 뒷면이 나왔다는$건설적$인 주장(A${\$$displaystyle$ A} $또는$ B {\displaystyle $B})$을 고려할 때, 결과가 실제로 앞면이 아니라는 건설적인 주장과 함께 삼단 논법은 이것이 이미 뒷면이 발생했다는 주장을 구성한다고 표현합니다.

직관주의 논리 체계가 금속론적으로 일관된다고 가정할 경우, 삼단 $논법$은 $A$∨ B {\$displaystyle$ A$\$lor ${\displaystyle B}\}$와$A$ ¬ ${\$displaystyle \n의 건설적인 시연이라고 읽을 수 있습니다.$예 A$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$를 나타내는 다른 비논리적 공리가 없는 경우$,$ $실제로{\displaystyle }$ B ${\displaystyle$ B$} 시연$이 포함되어 있습니다$.$

최소 논리에서는 $이런{\displaystyle }$ 식으로$$ B ${\displaystyle B}$의 증명을 얻을 수 없습니다. 그러나 동일한 전제는 $B$ ${\displaystyle B$ ${\displaystyle 즉}$¬ ¬ B {\$displaystyle$ \n의 이중 부정을 의미합니다.$예 \n$$예$를 들어$,$ B}. 최소 논리 체계가 금속론적으로 일관적이라고 가정하면, 그 함축 $공식$은 B$${\$displaystyle$ B$}$가 단지 거부될 수 없다는 것으로 표현될 수 있습니다.

약한 형태의 폭발은 교의적 삼단논법을 증명하고 다른 방향으로, $A$ = ¬$$B {\displaystyle $A$ =\n로 삼단논법의 인스턴스$eg B}$은$($는${\displaystyle )}$ (${\displaystyle B}$$∨ ¬$${\displaystyle \mathrm{}}$B${\displaystyle \mathrm{}}$) $∧ ¬ ¬$ $B$ ) $→$ B {\displaystyle {\$big(})$ (B\lor \n)$eg B)\n땅\n$$예 \n$$예 B{\big )}\to B}$이며, 제외된 중간이 성립하는 명제에 대한 이중 부정 제거와 같습니다.

$displaystyle$$예 B)\to(\n$$)$$예 \n$$예 B\to$ B$)\}.$

중요 조건이 증명된 명제에 대해 이중 부정 제거를 부여함에 따라, 이는 다시 거부된 명제에 대한 이중 부정 제거에 해당합니다.

이론에서 사용되는 직관주의적 예

다음 헤이팅 산술 정리는 폭발 원리 없이 이 일반적인 결과로 증명할 수 없는 존재 주장의 증명을 가능하게 합니다. 결과는 기본적으로 단순 $이중$ 부정 제거 클레임의 계열인 ∃ {\$displaystyle$\exists} - 계산 가능한 술어를 바인딩하는 문장입니다.

$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$를 임의의 수식어가 없는 술어라고 하고$,$ 따라서 모든 수 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에 대해 결정 가능하므로 제외된 중간 홀드,

$displaystyle P$$eg$ P$(n$

$그런{\displaystyle }$ 다음 m ${\displaystyle m}$의 유도에 의해$,$

${\displaystyle \all m.\n예를 들어 {\big(})\forall(n<m).\neg P(n){\big )}\to \exists (b<m).P(b)}$

말로 표현하면: $m$ ${\displaystyle m}$까지의 유한한 범위 내에 있는 $수$ n$${\$displaystyle$ n$}$에 대하여$,$ 만약 어떤 경우도 유효하지 않다는 것을 배제할 수 있다면, 예를 들어 $n$= a ${\$displaystyle n= a}와 같이 모든 수에 대하여 대응하는 명제 P(a) {\displaystyle P(a)}는 항상 반증 가능합니다. 그러면 이는 P(b) {\displaystyle P(b)}를 증명할 수 있는 n ${\displaystyle$ n$}$ 중에 $n$ = ${\displaystyle b}${\$displaystyle n$= b}가 있음을 의미합니다.

앞에서 설명한 예와 마찬가지로 이를 증명하려면 부정 없이 명제를 얻기 위해 선행 측에서 폭발이 필요합니다. 명제가 $m$ = ${\$displaystyle m = 0}에서 시작하는 것으로 공식화된 경우, 이 초기 사례는 이미 공백 절에서 폭발하는 형태를 제공합니다.

$∃$$P(b$

다음 경우 $m$ = ${\$displaystyle m = 1}은 결정 가능한 술어에 대한 이중 부정 제거를 말합니다.

${\displaystyle$$예 \n$$eg P(0)\to P(0)}$.

$m$ = ${\$displaystyle m=2} 대소문자가 읽힙니다.

$P$$eg {\big(})\n$$eg P(0)\land \n$$eg P(1){\big)}\to {\big(}P(0)\lor$ P$(1){\big$

이미 언급한 바와 같이, 다음과 같은 것입니다.

$(1$$예 \n$$예$를 들어, {\$big(}P(0)\lor$P($1){\big)}\to {\big(}P(0)\lor$P($1){\big$

$m$ = ${\$$displaystyle$ m=0} 및 m = 1 {\displaystyle m=1} 모두 결정 가능한 술어에 대한 이중 음의 제거 사례입니다. 물론 ∃(b < ). P( b ) ${\displaystyle \ 가 존재$합니다 (b < m ).고정 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$ 및 $P$ ${\displaystyle$ P$}$에 대한 P$(b)}$는 최소 논리의 원리를 사용하여 다른 방법으로 증명할 수 있습니다$$.

한편, 일반적인 결정 가능한 술어에 대한 무한 스키마는 직관적으로 증명할 수도 없습니다. 마르코프의 원리를 참조하십시오.

유형론과의 관계

부정의 사용

$부조리$⊥ {\$displaystyle$ \bot}은 자연 추론뿐만 아니라 커리-하워드 대응 아래 유형 이론 공식에도 사용됩니다. $유형$ 시스템에서는 ⊥ {\$displaystyle$\bot}을(를) 빈 유형으로 도입하는 경우가 많습니다.

$많은$ 맥락에서 ⊥ {\$displaystyle \$bot}은(는) 논리에서 별도의 상수일 필요는 없지만 그 역할은 거부된 명제로 대체될 수 있습니다. 예를 들어 = ${\$$displaystyle$ a=b}로 정의할 수 있습니다. 여기서 a, b {\displaystyle a,b}는 구별되어야 합니다. 그렇다면 그 명제에 대한 증명의 부존재 주장은 일관성 주장입니다.

⊥$${\displaystyle \bot}의 $예$$$특성화는 자연수를 포함하는 이론에서 0 = 1 {\displaystyle 0= 1}입니다. 이것은 또한 일반적인 건설 논리에도 채택될 수 있습니다. 이를 통해 ${\displaystyle {34}^{}}$ = ${\$displaystyle 3^{4}=8}이(가) 거짓임을 증명합니다. 즉, ¬ (34 = 8) ${\displaystyle$ \n$예 (3^{4$}$=8$$)}$는 (34 $=$ 8) $→$ (0 $=$ 1) {\displaystyle (3^{4}$=$ 8)\to (0 $=$ 1)}을 증명하는 것을 의미합니다. $우리$는 ${\displaystyle 34}$ ≠ 8 ${\displaystyle$3^{4}\n 표기법을 도입할 수 있습니다.$eq$ 8$}$을(를) 사용하여 클레임을 캡처합니다. 그리고 $실제로$ 산술을 사용하면 ${\displaystyle \frac{{34}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{873}{}}$=$$ {\$displaystyle$ {\$tfrac {3^{4}-8$}{$73$}}=1}이 유지되지만 (34 = 8) {\displaystyle(3^{4}=8)}은 또한 34 - 873 = 0 {\displaystyle {3^{4}-8}{73}=0}을 의미합니다. 따라서 이것은 $1$ = ${\$displaystyle 1=0}을 의미하므로 ¬ (34 = 8) ${\displaystyle$ \n을 얻습니다.$eg (3^{4}=8)}$. QED.

단순형

기능 프로그래밍 계산은 이미 전제 논리 프레임워크에 대한 구성의 미적분과 같은 함의 연결에 가장 우선적으로 의존합니다.

이 절에서는 최소한의 논리를 함축으로만 제한하여 얻은 시스템에 대해 언급하고 공식적으로 설명합니다. 다음과 같은 후속 규칙으로 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {\dfrac {}{\Gamma \cup \{A\}\vdash A}{\mbox{axiom}}}$ ${\displaystyle {\dfrac {\Gamma \cup \{A\}\vdash B}{\Gamma \vdash A\to B}{\mbox{intro}}$ ${\displaystyle {\dfrac {\Gamma \vdash A\to B~~~~~~~~~~\Delta \vdash A}{\Gamma \cup \Delta \vdash B}}{\mbox{ elim.}}}$^[2][3]

이 제한된 최소 논리의 각 공식은 간단히 입력된 람다 미적분학의 한 유형에 해당합니다. 커리-하워드 대응을 참조하십시오. 그런 맥락에서 minimal logic이라는 용어는 minimal logic의 이러한 제약을 의미하기 위해 사용되기도 합니다.^[4] 미니멀 로직은 이미 단순히 직관주의 로직의 긍정적인 단편이기 때문에 미니멀 로직의 이 함축적 단편은 직관주의 로직의 긍정적이고 함축적인 단편과 동일합니다.

의미론

직관주의 논리의 프레임-의미론을 반영하는 최소 논리의 의미론이 있습니다. 의미론에 대한 논의를 파라 일관 논리에서 참조하십시오. 여기서 명제에 진리와 거짓을 부여하는 가치 평가 함수는 더 적은 제약을 받을 수 있습니다.

참고 항목

• 직관주의 논리
• 파라컨스턴스 논리
• 함축적 명제 미적분학
• 논리 체계 목록

메모들

참고문헌

• Colacito, Almudena (2016). Minimal and Subminimal Logic of Negation (PDF). MSc Thesis (Afstudeerscriptie). Institute for Logic, Language and Computation.
• Huet, Gérard (May 1986). Formal Structures for Computation and Deduction. International Summer School on Logic of Programming and Calculi of Discrete Design. Archived from the original on 2014-07-14.
• Johansson, Ingebrigt (1937). "Der Minimalkalkül, ein reduzierter intuitionistischer Formalismus". Compositio Mathematica (in German). 4: 119–136.
• Sørensen, Morten Heine B.; Urzyczyn, Paweł [in Polish] (May 1998). "Lectures on the Curry-Howard Isomorphism" (PDF).
• Troelstra, Anne Sjerp; Schwichtenberg, Helmut (2003) [1996]. Basic Proof Theory (2 ed.). Cambridge University Press. pp. XII, 417. ISBN 9780521779111.
• Weber, Matthias; Simons, Martin; Lafontaine, Christine (1993). The Generic Development Language Deva: Presentation and Case Studies. Lecture Notes in Computer Science (LNCS). Vol. 738. Springer. p. 246. ISBN 3-540-57335-6.