멀티폴 팽창

멀티폴 팽창은 각도에 의존하는 함수를 나타내는 수학적 시리즈로, 일반적으로 3차원 유클리드 공간에 대해 구형 좌표계(극각과 방위각)에서 사용되는 두 개의 각도, $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 테일러 시리즈와 마찬가지로 멀티폴 팽창이 유용하다.원래 함수의 좋은 근사치를 제공하기 위해 단지 처음 몇 개 용어만 필요한 경우가 많다.확장되는 함수는 실제 값 또는 복합 값일 수 있으며, ${\displaystyle {}^{}}$$$3 {\$displaystyle \mathb$ {$R}$^{$3}$ 또는$$$일부{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ $다른{\displaystyle }$ n ${\$$displaystyle \mathb {R} ^{n}$에 대해 R$$ n {\$displaystyn$

멀티폴 팽창은 전자기장과 중력장에 대한 연구에 자주 사용되는데, 여기서 먼 지점의 장들은 작은 지역의 근원에 관해서 주어진다.각도가 있는 멀티폴 팽창은 반지름의 팽창과 결합되는 경우가 많다.그러한 조합은 3차원 공간 전체에 걸친 함수를 설명하는 확장성을 제공한다.^[1]null

멀티폴 확장은 점진적으로 미세한 각도 특징(모멘트)을 가진 항의 합으로 표현된다.제1(제로스-오더) 용어는 단극모멘트, 제2(1차) 용어는 쌍극모멘트, 제3차(2차) 용어는 사극모멘트, 제4차(3차) 용어는 옥토폴모멘트라고 한다.그리스 숫자 접두사의 한계를 감안할 때, 상위 순서의 용어는 일반적으로 극의 수(예: 32극(Rare dotriaconapole or triacontadipole)^[2][3][4]와 64극(Rare tetrahexacontapole or 헥사콘타폴)에 "극"을 추가하여 명명된다.멀티폴 모멘트는 일반적으로 일부 각도 의존성뿐만 아니라 원점까지의 거리의 힘(또는 역동력)을 포함한다.null

원칙적으로 멀티폴 확장은 전위에 대한 정확한 설명을 제공하며, 일반적으로 (1) 출처(예: 전하)가 원점에 가깝고 전위가 관측되는 지점이 원점에서 멀리 떨어져 있는 경우 또는 (2) 그 반대로 출처가 원점에서 멀리 떨어져 있는 경우 및 th에 의해 수렴된다.e 전위는 원점에서 가까운 곳에서 관찰된다.첫 번째(더 일반적인) 경우에는 직렬 팽창의 계수를 외부 다중 홀 모멘트 또는 간단히 다중 홀 모멘트라고 하는 반면, 두 번째 경우에는 내부 다중 홀 모멘트라고 한다.null

구형 고조파 팽창

가장 일반적으로는 구면 고조파의 합으로 시리즈를 쓴다.따라서 함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \theta }$ ,${\displaystyle \phi }$) ${\displaystyle$ f$(\theta ,\varphi )}$을(를$$) 합으로 쓸 수도 있다.

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infit }\,\sum _{m=-\ell }^{}\c_{\ell }}\,Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

여기서 $Y{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle \theta }$ , ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$은 표준 구형 고조파이고$$, $C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m ${\$은 기능에 따라 달라지는 상수 계수다.$C{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$0}^{$0}}}}$이라는 용어는 단극을 ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {C\mathrm{}}_{}^{}{}_{}^{}}$-${\displaystyle {}_{}^{}{\mathrm{}}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ $1${1}^{$1}^{1}, C_{1}^{0},C_${1$}^{$1}^{1}:{1}:{1$}}$는 쌍극을$$ 나타낸다.마찬가지로, 시리즈는 또한 자주 다음과 같이 쓰여진다^[5].

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=C+C_{i}n^{i}+C_{ij}n^{i}n^{j}+C_{ijk}n^{i}n^{j}n^{k}+C_{ijk\ell }n^{i}n^{j}n^{k}n^{\ell }+\dots }$

여기서 ${\displaystyle n^{}}$ ${\$는 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta}$ 및$$$$$\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$ 각도에 의해 주어진 방향으로 단위 벡터의 구성요소를 나타내며$$ 인덱스는 암시적으로 요약된다.여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$라는 용어는 단극이고$$, ${\displaystyle {Ci}_{}}$ ${\$는 쌍극자를 나타내는 세 개의 숫자로 이루어진 집합이다$$.null

위의 팽창에서 계수는 실제일 수도 있고 복잡할 수도 있다.그러나 다중홀 확장으로 표현되는 함수가 실제일 경우 계수는 특정 특성을 만족해야 한다.구면 조화 확장에서는 반드시

${\displaystyle C_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}}C_{\ell }^{m\ast }\,}$

다중 벡터 팽창에서 각 계수는 실제여야 한다.

${\displaystyle C=C^{\ast };\c_{i}=C_{i}^{\};\C_{ij}=C_{ij}^{\st };\C_{ijk}=C_{jk}^{\ast }; \dots}}}}$

스칼라 함수의 확장이 단연코 다중 홀 확장의 가장 일반적인 적용이지만, 그것들은 또한 임의의 등급의 텐서들을 설명하기 위해 일반화될 수 있다.^[6]이것은 전자기학에서 벡터 전위의 다중극 팽창이나 중력파 설명에서 미터법 섭동에 사용되는 것을 발견한다.null

좌표 원점에서 벗어나 3차원의 기능을 설명하기 위해 멀티폴 팽창 계수는 원점까지의 거리의 $함수{\displaystyle }$,$$r ${\displaystyle r}($$가장{\displaystyle }$ 자주, r ${\displaystyle r})$로 기록할 수 있다$.$ 예를 들어 전자기 전위를 설명하기 위해 $V{\displaystyle }$.$(\displaystyle V$는 원점 근처에 있는 작은 영역의 소스에서 다음과 같이 계수를 기록할 수 있다.

${\displaystyle V(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-l}^{\ell }C_{\ell }^{m}(r)\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=\sum _{j=1}^{\infty }\,\sum _{\ell =0}^{\infty }\,\sum _{m=-l}^{\ell }{\frac {D_{\ell ,j}^{m}}{r^{j}}}\,Y_{\\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$

적용들

멀티폴 팽창은 질량 시스템의 중력장, 전하와 전류 분포의 전기장과 자기장, 전자파의 전파와 관련된 문제에 널리 사용된다.고전적인 예는 전자 궤도의 내부 다중점과의 상호작용 에너지로부터 원자핵의 외부 다중점 모멘트를 계산하는 것이다.핵의 다중 홀 모멘트는 핵 내의 전하 분포에 대해 보고하며, 따라서 핵의 형태에 대해 보고한다.다중홀 확장을 첫 번째 0이 아닌 기간으로 자르는 것은 종종 이론적 계산에 유용하다.null

멀티폴 팽창은 수치 시뮬레이션에서도 유용하며, 상호작용하는 입자의 시스템에서 에너지와 힘의 효율적인 계산을 위한 일반적인 기술인 그린가드와 Rokhlin의 빠른 멀티폴 방법의 기초를 형성한다.기본 아이디어는 입자들을 그룹으로 분해하는 것이다; 그룹 내의 입자들은 정상적으로 상호작용하는 반면(즉, 완전한 전위에 의해), 입자 그룹들 사이의 에너지와 힘은 그들의 멀티폴 모멘트로부터 계산된다.패스트 멀티폴 방식의 효율은 일반적으로 에발트 합산과 비슷하지만 입자가 군집화된 경우, 즉 시스템 밀도 변동이 큰 경우 우수하다.null

정전하 분포를 벗어난 전위의 멀티폴 팽창

위치 벡터 r과_i 함께 N 점 전하 q로_i 구성된 이산 전하 분포를 고려한다.우리는 모든 i: r_i < r_max, r에_max 대해 r이 어떤 유한한 값을 갖는다고 전하가 발생지 주위에 군집화한다고 가정한다.충전 분포로 인한 잠재적 V(R)는 충전 분포 외부의 R 지점, 즉 R > r에서_max 1/R의 힘으로 확장될 수 있다.이러한 확장을 위한 두 가지 방법은 문헌에서 찾을 수 있다.첫 번째는 데카르트 좌표 x, y, z에 있는 테일러 시리즈인 반면, 두 번째는 구형 극좌표에 의존하는 구형 고조파 측면이다.데카르트 접근방식은 레전드르 함수, 구형 고조파 등에 대한 사전 지식이 필요하지 않다는 장점이 있다.그것의 단점은 파생이 상당히 번거롭다는 것이다(사실 그것의 큰 부분은 1780년대에 레전드레가 한 번 그리고 모두를 위해 행했던 1/ r - R의 레전드르 팽창의 암묵적 재분배다).또한 다중홀 확장의 일반 용어에 대해 폐쇄적인 표현을 하는 것은 어렵다. 일반적으로 처음 몇 용어만 줄임표 뒤에 줄임표가 붙는다.null

데카르트 좌표 확장

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) $v{\displaystyle (}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle v(}$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle v(x)=v(-x)}$을(를) 충족하도록 하십시오$.$그러면 원점 r = 0을 중심으로 v(r - R)의 테일러 확장을 기록할 수 있다.

${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )=v(\mathbf {R} )-\sum _{\alpha =x,y,z}r_{\alpha }v_{\alpha }(\mathbf {R} )+{\frac {1}{2}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )-\ldots +\dots }$

와 함께

${\displaystyle v_{\alpha }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0} }\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )\equiv \left({\frac {\partial ^{2}v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )}{\partial r_{\alpha }\partial r_{\beta }}}\right)_{\mathbf {r} =\mathbf {0}}.}$

v(r - R)가 Laplace 방정식을 만족하는 경우

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}v)(\mathbf {r} -\mathbf {R}\오른쪽)_{\mathbf {r} = {0} =\mathbf {0}=\\\\\nalpha =x,y,z_{\mathbf {}=0}$

그리고 나서, 그 팽창은 추적할 수 없는 데카르트 2위 텐서의 구성 요소 측면에서 다시 쓰여질 수 있다.

${\displaystyle \sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}r_{\alpha }r_{\beta }v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {1}{3}}\sum _{\alpha =x,y,z}\sum _{\beta =x,y,z}(3r_{\alpha }r_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }r^{2})v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} ),}$

여기서 Δ는_αβ Kronecker delta와 r² ≡ r. track을 제거하는 것이 일반적이다. 왜냐하면 그것은 2위 tensor에서 회전 불변 r를² 빼기 때문이다.null

예

다음 v(r - R) 형식을 고려하십시오.

${\displaystyle v(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\equiv {\frac {1}{ \mathbf {r} -\mathbf {R}}}}$

그런 다음 직접 분화하여 다음과 같이 한다.

${\displaystyle v(\mathbf {R} )={\frac {1}{R}},\quad v_{\alpha }(\mathbf {R} )=-{\frac {R_{\alpha }}{R^{3}}},\quad {\hbox{and}}\quad v_{\alpha \beta }(\mathbf {R} )={\frac {3R_{\alpha }R_{\beta }-\delta _{\alpha \beta }R^{2}}{R^{5}}}.}$

단극, 쌍극 및 (추적되지 않은) 사극을 각각 정의한다.

${\displaystyle q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i},\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad {\hbox{and}}\quad Q_{\alpha \beta }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}(3r_{i\alpha }r_{i\beta }-\delta _{\alpha \beta }r_{i}^{2}),}$

그리고 우리는 마침내 총 잠재력의 멀티폴 팽창의 첫 번째 몇 가지 조건을 얻는데, 이것은 개별 전하들의 쿨롱 잠재력의 합이다.^{[7]: 137–138}

${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi \varepsilon _{0}V(\mathbf {R} )&\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}v(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\\&={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{R}}+{\frac {1}{R^{3}}}\sum _{\alpha =x,y,z}P_{\alpha }R_{\alpha }+{\frac {1}{2R^{5}}}\sum _{\알파 ,\베타 =x,y,z}Q_{\알파 \알파 \beta }R_{\beta }}{\beta }+\dots{aigned}}}}}}}}}}$

이산 전하 분포의 전위 확장은 아래에 제시된 실제 고체 고조파와 매우 유사하다.가장 큰 차이점은 현재의 것은 선형으로 의존하는 양이라는 것이다.

${\displaystyle \sum _{\alpha }v_{\\alpha \alpha \alpha }=0\quad {\hbox{and}}\quad \sum _{\alpha \alpha }=0.}$

참고: 충전 분포가 d/R(d/R)이 극소 거리인 반대 기호의 두 전하로 구성되어 있는 경우,² 확장 시 유일하게 비반사 항이

${\displaystyle V(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}(\mathbf {P}\cdot \mathbf {R}),}$

전기 2극 전위장null

구면형

전하 분포 외부의 R 지점에서 잠재적 V(R) 즉, R > r은_max 라플라스 확장에 의해 확장될 수 있다.

${\displaystyle V(\mathbf {R} )\equiv \sum _{i=1}^{N}{\frac {q_{i}}{4\pi \varepsilon _{0} \mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} }}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}I_{\\ell }^{-m}(\mathbf {R} )\sum _{{i=1}^{{{n}q_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}}$

where ${\displaystyle I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )}$ is an irregular solid harmonic (defined below as a spherical harmonic function divided by ${\displaystyle R^{\ell +1}}$) and ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} )}$ is a regular solid harmonic (a spherical harmonic times r^ℓ). 다음과 같이 전하 분포의 구형 다중 홀 모멘트를 정의한다.

${\displaystyle Q_{\ell }^{m}^\equiv \sum _{i=1}^{{n}q_{{}R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),\quad \\\el \leq m\leq \ell \ell.}}}$

다중 홀 모멘트는 전하 분포(N 전하의 위치 및 크기)에 의해서만 결정된다는 점에 유의하십시오.null

구형 고조파는 단위 벡터 $R{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$에 따라 달라진다. (단위 벡터는 두 개의 구형 극각으로 결정된다.)따라서 정의상 불규칙한 고체 고조파는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle I_{\ell }^{m}(\mathbf {R} )}\equiv {\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}{\frac {Y_{\ell}^{{\hat{R}}}}}}}}}{R^{R^\ell +1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

충전 분포 외부에 있는 R 지점에서 필드 V(R)의 다중 홀 확장은 다음과 같이 제공된다.

${\displaystyle {\begin{r}V(\mathbf {R} )&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}\\\ell =0}^{\inft _{m=-\el}^{m}}I_{\ell }^{-m}(\mathbf {R} )Q_{\ell }^{m}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[{\frac {4\pi }{2\ell +1}}\right]^{1/2}\;{\frac {1}{R^{\ell +1}}}\;\sum _{m=-\ell }^{\ell }(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}({\hat {R}})Q_{\ell }^{m},\qquad R>r_{\mathrm {max}}.\end{aigned}}}}}}}}}}$

이러한 확장은 처음 몇 개만이 아니라 모든 용어에 대해 폐쇄적인 형태를 제공한다는 점에서 완전히 일반적이다.그것은 구면 다중극 모멘트가 전위의 1/R 팽창에서 계수로 나타난다는 것을 보여준다.null

학부 교과서에서 흔히 볼 수 있는 유일한 용어인 처음 몇 가지 용어를 실제 형태로 고려하는 것이 관심사다.m 합계의 합계는 동시에 두 요인의 단일 변환 하에서 불변하므로 복잡한 구형 고조파를 실제 형태로 변환하는 것은 단일 변환에 의한 것이므로, 우리는 단순히 실제 불규칙한 고체 고조파 및 실제 다중극 모멘트를 대체할 수 있다.ℓ = 0 항은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle V_{\ell =0}(\mathbf {R} )={\frac {q_{\mathrm {tot} }}{4\pi \varepsilon _{0}R}}\quad {\hbox{with}}\quad q_{\mathrm {tot} }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}.}$

이것은 사실 다시 쿨롱의 법칙이다.ℓ = 1항 소개

${\displaystyle \mathbf {R} =(R_{x},R_{y},R_{z}),\quad \mathbf {P} =(P_{x},P_{y},P_{z})\quad {\hbox{with}}\quad P_{\alpha }\equiv \sum _{i=1}^{N}q_{i}r_{i\alpha },\quad \alpha =x,y,z.}$

그러면

${\displaystyle V_{\ell =1}(\mathbf {R} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}(R_{x}P_{x}+R_{y})}P_{y}+R_{z}P_{z}={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathbf {P}{}{4\pi \varepsilon _{0}R^{3}}}={\frac {{\hat {R}\cdot \mathbf {P}{}}{4\pi \varepsilon _{0}}}}}}}}}}}}}.}$

이 용어는 데카르트 형식에서 발견된 용어와 동일하다.null

ℓ = 2 용어를 쓰기 위해서는 4극 모멘트의 5개 실제 구성 요소와 실제 구형 고조파에 대한 속기법을 도입해야 한다.유형 표기

${\displaystyle Q_{z^{2}}\equiv \sum _{{i=1}q_{i}\;{\frac {1}{1}:{2}}(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2}),}$

문헌에서 찾을 수 있다.분명히 진짜 표기법은 곧 어색해지며, 복잡한 표기법의 유용성을 보여준다.null

겹치지 않는 두 전하 분포의 상호작용

점 A 주위에 군집화된 점 세트 {q_i}과(와) 점 B 주위에 군집화된 점 세트 {q_j}의 두 세트를 고려하십시오.두 개의 분자를 예로 들어 생각해 보고, 정의에 의한 분자는 전자(음점 전하)와 핵(양점 전하)으로 이루어져 있다는 것을 상기하라.두 분포 사이의 총 정전기 상호작용 에너지 U는_AB

${\displaystyle U_{AB}=\sum _{i\in A}\sum _{j\frac {q_{i}q_{j}{4\pi \varepsilon _{0}r_{ij}}}}.}$

이 에너지는 A와 B의 역거리에서 파워 시리즈로 확장할 수 있다.이 확장은 U의_AB 멀티폴 확장으로 알려져 있다.

이 다중홀 확장을 도출하기 위해 우리는 X에서 Y를 가리키는 벡터인 r_XYY = r - r을_X 쓴다.참고:

${\displaystyle \mathbf {R} _{AB}+\mathbf {r} _{Bj}+\mathbf {r} _{ji}+\mathbf {r} _{iA}=0\quad \iff \quad \mathbf {r} _{ij}=\mathbf {R} _{AB}-\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {r} _{Bj}.}$

두 분포가 겹치지 않는다고 가정한다.

${\displaystyle \mathbf {R} \mathbf {r} \mathbf {r} _{Bj}-\mathbf {r} _{Ai} {\text{{}모든 }$

이 조건 하에서 우리는 다음과 같은 형태로 라플라스 확장을 적용할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {1}{ \mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i} }}={\frac {1}{ \mathbf {R} _{AB}-(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}) }}=\sum _{L=0}^{\infty }\sum _{M=-L}^{L}\,(-1)^{M}I_{L}^{-M}(\mathbf {R} _{AB}\;R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj}),}$

여기서 $I{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$과 $R{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle L_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$은 각각$$ 불규칙하고 정규적인 고체 고조파다.정규 고체 고조파의 번역은 유한한 확장을 주지만,

${\displaystyle R_{L}^{M}(\mathbf {r} _{Ai}-\mathbf {r} _{Bj})=\sum _{\ell _{A}=0}^{L}(-1)^{L-\ell _{A}}{\binom {2L}{2\ell _{A}}}^{1/2}}$

$\displaystyle \does \sum _{m_{{A}=-\ell _{A}^{{A}^{A}R_{\ell _{A}^{m_{A}}{A}}{A}}}{{A}}}}}}A}}(\mathbf {r} _{Ai})R_{L-\ell _{A}^{M-m_{A}(\mathbf {r} _{Bj}\;\langle \ell _{A};L-\ell _{A}M-m_{A}\mid LM\angle ,},}$

여기서, 뾰족한 괄호 사이의 수량은 클렙슈-고단 계수다.더 나아가서 우리는 사용하였다.

${\displaystyle R_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(1-1)^{{{\ell }^{m}(\mathbf {r}).}$

구면 다중점 Q의^m
_ℓ 정의와 다소 다른 순서(L의 무한 범위에 대해서만 허용됨)의 합계 범위 커버를 사용하면 최종적으로 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\reasoned}U_{AB}={}&{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{\ell _{A}=0}^{\infty }\sum _{\ell _{B}=0}^{\infty }(-1)^{\ell _{B}}{\binom {2\ell _{A}+2\ell _{B}}{2\ell _{A}}}^{1/2}\\[5pt]&\times \sum _{m_{A}=-\ell _{A}^{{A}^{1}^{A}^{{B}=-\ell _{B}^{B}^{B}}-\ell _{B}^{B}}^{M_{A}+m_{B}}}}}}I_{{A}+\ell _{B}^{-m_{A}-m_{B}}(\mathbf {R} _{AB})\;Q_{\ell _{A}^{m_{{}A}Q_{{B}^{m_{B}\;\langle \ell _{A};\ell _{A},m_{A};\ell _{B}}\mid \ell _{A}+\ell _{B}+m_{B}\angle .end}}}}}}}}}}}}}}$

이것은 거리 R과_AB 떨어져 있는 두 개의 과대하전하 분포의 상호작용 에너지의 멀티폴 팽창이다.이후

${\displaystyle I_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}(\mathbf {R} _{AB})\equiv \left[{\frac {4\pi }{2\ell _{A}+2\ell _{B}+1}}\right]^{1/2}\;{\frac {Y_{\ell _{A}+\ell _{B}}^{-(m_{A}+m_{B})}\left({\widehat {\mathbf {R} }}_{AB}\오른쪽){R_{AB}^{\ell _{A}+\ell _{B}+1},}$

이 팽창은 분명히 1/R의_AB 힘이다.함수^m_l Y는 정규화된 구형 고조파다.null

분자모멘트

모든 원자와 분자(S-상태 원자를 제외한)는 하나 이상의 비탄성 영구 다중극 모멘트를 갖는다.문헌에서는 서로 다른 정의를 찾을 수 있지만, 구형의 다음과 같은 정의는 하나의 일반적인 방정식에 포함되어 있다는 장점이 있다.복잡한 형태이기 때문에 실제 상대보다 계산에서 조작하기가 더 쉽다는 장점이 있다.null

우리는 전하 eZ를_i 가진 N 입자(전자와 핵)로 구성된 분자를 고려한다.(전자의 Z-값은 -1인 반면, 핵의 경우 원자 번호)입자 i는 구면 극좌표_i r, and_i, φ_i, φ 및 카르테시안 좌표 x_i, y, z를_ii 가지고 있다.(복잡한) 정전기 멀티폴 연산자는

${\displaystyle Q_{\\ell }^{m}\equiv \sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i}),}$

여기서 $R{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ m${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle R_{\ell }^{m}(\mathbf {r} _{i})$은 라카의 정상화에 있는 정규 고체 고조파 함수(슈미트의 반정규화라고도 한다.분자가 (전자와 핵의 좌표에 따라) 총 정규화된 파형 함수 ψ을 갖는 경우, 분자의$$ 멀티폴 모멘트 $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell }$이(가) 기대(예상) 값으로 주어진다.

${\displaystyle M_{\ell }^{m}^{m}\equiv \langle \PSI \mid \Q_{\ell }^{m}\mid \psi \angle .}$

분자가 특정 지점군 대칭을 가지고 있다면, 이는 파동함수에 반영된다: ψ은 그룹의 특정 불가역적 표현 λ에 따라 변한다("대칭형은 λ").이것은 다중홀 연산자의 기대값, 즉 대칭성으로 인해 기대값이 사라질 수 있는 선택 규칙이 유지되는 결과를 가지고 있다.이에 대한 잘 알려진 예는 반전 중심이 있는 분자가 쌍극자(Q ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$를 운반하지 않는다는 사실이다.대칭성이 없는 분자의 경우 선택 규칙이 작동하지 않으며 그러한 분자는 어떤 순서의 비반사성 다중점(이중극과 동시에 4중극, 옥투폴, 헥사이드카폴 등)을 가질 것이다.null

정규 고체 고조파 중 가장 낮은 명시적 형태(콘돈-숏리 단계 포함)는 다음을 제공한다.

${\displaystyle M_{0}^{0}^{0}=\sum _{i=1}^{{N}eZ_{i}}}}$

(분자의 총 전하).(복잡한) 쌍극자 성분은 다음과 같다.

${\displaystyle M_{1}^{1}=-{\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi x_{i}+iy_{i} \Psi \rangle \quad {\hbox{and}}\quad M_{1}^{-1}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\langle \Psi x_{i}-iy_{i} \Psi \rangle .}$

${\displaystyle M_{1}^{0}=\sum _{i=1}^{{N}eZ_{i}\langle \Psi z_{i} \PSI \angle .}$

단순한 선형 결합을 통해 복잡한 다중 홀 연산자를 실제 연산자로 변환할 수 있다는 점에 유의하십시오.실제 멀티폴 연산자는 코사인 타입 $C{\displaystyle {}_{}^{}}${\$displaystyle C_{\ell }^{m}$ 또는$$ 사인 타입 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 가장 낮은 연산자는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{igned}C_{1}^{0}&=\sum _{n}eZ_{i}\;z_{i}\\\c_{1}^{1}^{1}={{i=1}={{{n=1}^{n}\x_{i}\}\}\\\\\\\\\S_{1}^{1}&=\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;y_{i}\\C_{2}^{0}&={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;(3z_{i}^{2}-r_{i}^{2})\\C_{2}^{1}^{1}&={\sqrt{3}}\sum _{i=1}^{N}eZ_{i}\;z_{i}x_{i}\\\C_{2}^{2}^{2}&={\frac {1}{3}}}{{3}}{\}}}{{i=1}^{n}eZ_{i}\;(x_{i}^{2}-y_{i}^{2}\}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\S_{2}^{1}^{1}&={\sqrt{3}}\sum _{i=1}^{{n}eZ_{i}\;z_{i}y_{i}\\\S_{2}^{2}^{2}&={\frac {2}{3}}{{\sqrt{3}}\sum _{i=1}^{{N}eZ_{x_{i}y}\end{i}}}}}}}}}}}$

규약에 대한 참고 사항

위에서 주어진 복잡한 분자 다중극 모멘트의 정의는 정상화를 제외한 ^{[7]: 137} 잭슨의 고전적 전자역학에 관한 표준교재의 정의를 따르는 이 글에서 주어진 정의의 복잡한 결합이다.더욱이 잭슨의 고전적 정의에서 N-입자 양자역학적 기대치에 상당하는 것은 하나의 입자 전하 분포에 대한 필수불가결한 것이다.단입자 양자역학 시스템의 경우 기대값은 전하분포(파동함수 제곱의 계량)에 대한 적분일 뿐이므로 이 글의 정의는 잭슨의 정의에 대한 양자역학적 N입자 일반화라는 것을 기억하라.null

이 글의 정의는 무엇보다도 파노와 라카^[8], 브링크와 사클러의 정의와 일치한다.^[9]null

예

다중 홀 모멘트에는 여러 종류의 전위가 있고, 전하 분포의 좌표와 대칭에 따라 직렬 확장에 의해 전위를 근사하는 여러 가지 방법이 있기 때문에 여러 종류가 있다.가장 일반적인 확장에는 다음이 포함된다.

• 1/R 전위의 축 멀티폴 모멘트
• 1/R 전위의 구형 다중 홀 모멘트
• ln R 전위의 원통형 다중 홀 모멘트

1/R 전위의 예로는 전위, 자기 전위, 점 선원의 중력 전위를 들 수 있다.ln R 전위의 예로는 무한선 전하의 전위가 있다.null

일반 수학 특성

수학과 수학적 물리학의 멀티폴 모멘트는 서로 무한히 가까운 점 선원에 대한 한 장의 반응에 기초하여 함수의 분해에 대한 직교적 기초를 형성한다.이것들은 다양한 기하학적 형태로 배열된 것으로 생각할 수 있고, 또는 분배 이론의 의미에서 방향 유도체라고 생각할 수 있다.null

멀티폴 팽창은 물리적 법칙의 기본 회전 대칭과 관련 미분방정식과 관련이 있다.소스 용어(질량, 전하 또는 전류 등)가 대칭이 아닐 수 있지만, 구면 고조파 및 관련 직교 함수의 집합으로 이어지는 회전 대칭 그룹의 불가역적 표현 측면에서 이를 확장할 수 있다.하나는 변수의 분리 기법을 사용하여 방사상 의존성에 대한 해당 해결책을 추출한다.null

실제로 많은 필드는 제한된 수의 다중 홀 모멘트로 충분히 근사할 수 있다(필드를 정확하게 재구성하기 위해 무한히 많은 수가 필요할 수 있다).일반적인 적용은 단극 및 쌍극자 용어로 국부적 전하 분포의 장을 근사하는 것이다.주어진 멀티폴 모멘트의 순서에 따라 한 번 해결된 문제는 선형으로 결합되어 주어진 출처에 대한 최종 근사 해결책을 만들 수 있다.null

참고 항목

• 반스-허트 시뮬레이션
• 고속 다공법
• 라플라스 확장
• 레전드르 다항식
• 4극 자석은 입자 가속기에 사용된다.
• 고체 고조파
• 토로이드 모멘트

참조