순서형 산술

집합 이론의 수학 분야에서 순서형 산술은 순서형 숫자에 대한 세 가지 일반적인 연산, 즉 덧셈, 곱셈, 지수를 설명한다.각각은 기본적으로 두 가지 다른 방법으로 정의될 수 있다. 즉, 작업 결과를 나타내는 순서가 잘 정렬된 명시적 세트를 구성하거나, 또는 트랜스피나이트 재귀법을 사용하는 것이다.칸토어 정규 형태는 표준화된 서수 작성 방법을 제공한다.이러한 통상적인 서수 연산 외에도 서수의 "자연적" 산술과 민첩한 연산도 있다.

덧셈

잘 정렬된 두 세트의 조합은 잘 정렬될 수 있다.이 조합의 순서형식은 S와 T의 순서형식을 추가함으로써 생기는 서수형이다.잘 정렬된 두 세트가 이미 분리되지 않은 경우, 순서 이형 분리 세트로 교체할 수 있다. 예를 들어 S를 {0} × S로, T를 {1} × T로 교체한다.이렇게 해서 잘 순서가 정해진 세트 T의 "왼쪽"이라고 쓰여 있는데, 이는 S의 모든 요소가 T의 모든 요소보다 작은 S ∪ ${\디스플레이$ 스타일 $\컵 }$ 에 $\cup$ 대한 주문을 정의한다는 뜻이다.S와 T 세트 자체가 이미 가지고 있는 순서를 지킨다.이러한 순서형식의 추가는 연관성이 있으며 자연수의 추가를 일반화한다.

덧셈의 정의도 유도적으로 부여할 수 있다(다음 유도는 β에 있다).

α + 0 = α,
α + (β + 1) = (α + β) + 1 (여기서 "+ 1"은 서수의 후임을 의미한다)
그리고 β가 한계 서수인 경우 α + β는 모든 Δ < β에 대한 α + Δ의 한계다.즉 α $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ + $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ = $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ Δ $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ < $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ ( $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ + $\alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )$ ) ${\displaystyle \alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\alpha +\delta$ )}이다 $.$

첫 번째 초지순 서수는 모든 자연수의 집합인 Ω이다.예를 들어, 서수 Ω + Ω은 통상적인 방법으로 주문된 자연수의 두 사본과 첫 번째 사본의 오른쪽에 있는 두 번째 사본에 의해 얻는다.0' < 1> < 2> <... 두 번째 카피에 대해 쓰니, Ω + Ω은 다음과 같이 보인다.

0 < 1 < 2 < 3 < ...< 0' < 1' < 2' < ...

이는 Ω에서는 0에 불과하지만 Ω에서는 Ω + Ω에서는 0에 해당하는 두 원소에는 직접적인 선행 요소가 없기 때문에 Ω과 다르다.다른 예로, 여기에 3 + Ω 및 Ω + 3:

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

0 < 1 < 2 < ...< 0' < 1' < 2'

리라벨링 후 전자는 Ω 그 자체로 보일 뿐이다. 즉, 3 + Ω = Ω과 같은 반면, 후자는: Ω + 3은 Ω과 같지 않다. 왜냐하면 Ω + 3은 가장 큰 원소(이름, 2')를 가지고 있고 Ω은 (Ω과 Ω + 3이 등비불능이라고 해도 이형성이 아니다.따라서, 이 추가는 상응하지 않는다.실제로 α+β가 β+α와 같은 경우는 상당히 드물다: 일부 서수 γ과 자연수 m과 n에 대해 α=γm, β=γn이 있는 경우에만 이러한 현상이 일어난다.이로부터 "α는 β로 통근한다"는 0이 아닌 서수의 등급에 대한 등가 관계이며, 모든 등가 등급은 셀 수 없이 무한하다.그러나 덧셈은 여전히 연관성이 있다. 예를 들어 (Ω + 4) + Ω = Ω = (4 + Ω) = Ω + Ω을 알 수 있다.

추가는 엄격히 증가하며 올바른 주장에서 계속된다.

\displaystyle \alpha <\beta \Rightarrow \gamma +\alpha <\gamma +\beta }

그러나 유사한 관계는 왼쪽 논쟁에 맞지 않는다. 대신 우리는 다음과 같은 것만을 가지고 있다.

\displaystyle \alpha <\beta \Rightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma }

순서형 덧셈은 좌-취소: α + β = α + γ이면 β = γ.더욱이 서수 β β α에 대한 왼쪽 뺄셈을 정의할 수 있다: α = β + γ과 같은 독특한 γ이 있다. 반면에 오른쪽 취소는 효과가 없다.

3+\omega =0+\omega =\omega

+

3+\omega =0+\omega =\omega

=

3+\omega =0+\omega =\omega

+

3+\omega =0+\omega =\omega

=

3+\omega =0+\omega =\omega

{\displaystyle 3+\omega =0+\omega =\omega

} 그러나

3+\omega =0+\omega =\omega

3

3\neq 0

0

{\displaystyle 3\neq

0

}

우측 감산 또한, 예를 들어 β β α: when + 42 = Ω과 같은 γ은 존재하지 않는다.

α 미만 서수가 추가 시 닫히고 0을 포함하면 α를 γ-숫자로 부르기도 한다(추가적으로 외설적인 서수 참조).이것들은 정확히 Ω^β 형식의 서수들이다.

곱하기

잘 정렬된 두 세트 S와 T의 카르테시안 제품 S×T는 가장 중요한 위치를 우선하는 사전 순서의 변형으로 잘 정렬될 수 있다.효과적으로, T의 각 요소는 S의 분리 사본으로 대체된다.카르테시안 제품의 주문형은 S와 T의 주문형태를 곱한 데서 오는 서수형이다.다시 말하지만, 이 수술은 연관성이 있고 자연수의 곱셈을 일반화한다.

여기 Ω·2:

0₀ < 1₀ < 2₀ < 3₀ < ...< 0₁ < 1₁ < 2₁ < 3₁ < ...,

주문 유형이 Ω + Ω과 동일함.대조적으로, 2 Ω은 다음과 같이 보인다.

0₀ < 1₀ < 0₁ < 1₁ < 0₂ < 1₂ < 0₃ < 1₃ < ...

다시 본떠본 후에, 이것은 Ω과 똑같이 보인다.따라서 Ω·2 = Ω+Ω Ω = 2·Ω으로, 서수의 곱셈이 상보적이지 않음을 알 수 있다.보다 일반적으로, 1보다 큰 자연수는 어떤 무한 서수자와도 절대 통근하지 않으며, 일부 양의 자연수 m과 n에 대해 α^m = β인ⁿ 경우에만 2개의 무한 서수 α, β가 통근한다.관계 "α commits with β"는 1보다 큰 서수의 등가 관계이며, 모든 등가 등급은 셀 수 없이 무한하다.

서수 산술에 대한 분포도는 부분적으로 유지된다: α(β+γ) = αβ+αγ.그러나 다른 분배법(β++)α = βα++α는 일반적으로 사실이 아니다: (1+1)·Ω = 2·Ω = Ω인 반면 1·Ω+1·Ω = Ω+Ω인 경우는 다르다.따라서 서수 번호는 좌에 가까운 직선을 형성하지만, 고리를 형성하지는 않는다.

곱셈의 정의도 유도적으로 부여할 수 있다(다음 유도는 β에 있다).

α·0 = 0,
α·(β+1) = (α·β)+α,
그리고 β가 한계 서수인 경우 α·β는 Δ < β에 대한 α·Δ의 한계다.즉 $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ ⋅ $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ β = $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ Δ < $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ $\alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )$ $){\displaystyle \alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\decdot \delta )}$ 이다 $.$

제품의 주요 특성은 다음과 같다.

α·0 = 0·α = 0.
1(1)은 승법정체 α·1 = 1·α = α이다.
곱셈은 연상(α·β)·· = α·(β·γ)이다.
곱셈은 엄격히 증가하며 오른쪽 주장에서 계속된다: (α < β 및 γ > 0) $\Rightarrow$ $\Rightarrow }$ $\Rightarrow$ ·α < γ·β
예를 들어 1 < 2 그러나 1 Ω = 2 Ω = 2 Ω = Ω과 같이 왼쪽 인수에서 곱셈은 엄격히 증가하지 않는다.단, (비강제적으로) 증가하는데, 즉 α α ≤ β $\Rightarrow$ ${\displaystyle \Rightarrow$ } $\Rightarrow$ · β β · γ γ γ γ.
다음과 같은 왼쪽 취소법이 있다.α > 0과 α·β = α·β이면 β = γ.
오른쪽 취소는 작동하지 않는다. 예를 들어 1, Ω = 2 Ω = Ω이지만 1과 2는 다르다.
α·β = 0 $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ = 0 또는 β = 0.
왼쪽의 분포법칙: α·(β+γ) = α·β+α·γ
우측에 분배 법칙이 없음: 예: (Ω+1)·2 = Ω+1+1 = Ω+1 = Ω+2+1 = Ω+2+1 = Ω+2+1 = Ω·2+1은 Ω·2+2가 아니다.
나머지 왼쪽 구분: 모든 α와 β에 대해, 만약 β > 0이면, α = β·β+Δ와 Δ < β. (그러나 이것은 그들이 링도 아니고, 유클리드 "표준"은 서수 값이기 때문에 유클리드 영역이라는 것을 의미하지는 않는다.)
우분할이 작동하지 않음: α·Ω Ω^ω ≤ (α+1)·Ω과 같은 α는 없다.

Δ-숫자(승수적으로 외설적인 것 참조)는 0<α>가 될 때마다 αβ=β가 1보다 큰 서수이다.이들은 서수 2와 Ω^{ω^β} 형식의 서수로 구성된다.

지수

유한 지수에 대한 서수형 지수의 정의는 간단하다.지수가 유한한 수인 경우 검정력은 반복 곱셈의 결과물이다.예를 들어 순서형 곱셈의 연산을 사용하는 Ω² = Ω·Ω.Ω·Ω은 2 = {0,1} ~ Ω = {0,1,2,...}의 함수 집합을 사용하여 정의될 수 있으며, 가장 먼저 유의하지 않은 위치에 사전순으로 정렬된다.

(0,0) < (1,0) < (2,0) < (3,0) < ...< (0,1) < (1,1) < (2,1) < (3,1) < ...< (0,2) < (1,2) < (2,2) < ...

여기서는 간결성을 위해 순서가 지정된 쌍(k, m)으로 기능 {(0,k), (1,m)}을(를) 교체했다.

마찬가지로, 모든 유한 지수 n의 경우 n(도메인)에서 자연수(코도메인)에 이르는 함수 집합을 사용하여 $\omega ^{n}$ n ${\$ \omega ^{ $n}$ 을 $\omega ^{n}$ 정의할 수 있다.이러한 함수는 자연수의 n-tule로 약칭할 수 있다.

그러나 무한 지수의 경우 그 정의가 분명하지 않을 수 있다.Ω과^ω 같은 한계 서수는 모든 작은 서수의 우월성이다.자연수의 모든 무한 시퀀스 집합을 사용하여 Ω을^ω 정의하는 것은 당연해 보일 수 있다.그러나 우리는 이 세트에 절대적으로 정의된 순서가 제대로 정렬되어 있지 않다는 것을 알게 되었다.^[1]이 문제를 다루기 위해 우리는 변종 사전 편찬 순서를 다시 사용할 수 있다.우리는 한정된 수의 인수에 대해서만 0이 아닌 시퀀스로 집합을 제한한다.이것은 기지의 유한한 힘의 한계로서 자연스럽게 동기 부여된다(대수학에서 코프로덕트 개념과 유사하다).이것은 무한 결합 $\bigcup _{n<\omega }\omega ^{n}$ $\bigcup _{n<\omega }\omega ^{n}$ n ${\$ 라고도 생각할 수 있다 $\bigcup _{n<\omega }\omega ^{n}$

Each of those sequences corresponds to an ordinal less than $\omega ^{\omega }$ such as $\omega ^{n_{1}}c_{1}+\omega ^{n_{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{n_{k}}c_{k}$ and $\omega ^{\omega }$ is the su그 모든 작은 서수들의 전초전

이 집합의 사전 순서는 숫자 위치가 뒤바뀐 경우를 제외하고 소수 표기법으로 작성된 자연 숫자의 순서와 유사한 순서로 0~9자리 숫자 대신 임의의 자연 숫자를 사용한다.

(0,0,0,...) < (1,0,0,0,...) < (2,0,0,0,...) < ...<

(0,1,0,0,0,...) < (1,1,0,0,0,...) < (2,1,0,0,0,...) < ...<

(0,2,0,0,0,...) < (1,2,0,0,0,...) < (2,2,0,0,0,...)

< ... <

(0,0,1,0,0,0,...) < (1,0,1,0,0,0,...) < (2,0,1,0,0,0,...)

< ...

일반적으로 어떤 서수 α도 같은 방법으로^β 다른 서수 β의 힘으로 끌어올려 α를 얻을 수 있다.

모든 작은 서수들의 집합으로서 서수자에 대한 본 노이만의 정의를 사용하여 이것을 설명하는 것이 가장 쉽다.그런 다음, 순서형 α의^β 집합을 구성하기 위해서는 β에서 α까지의 모든 기능을 고려하는데, 따라서 β 지도의 유한한 수의 요소만이 α의 비 0 요소(본질적으로, 우리는 유한한 지지를 갖는 기능을 고려한다).순서는 우선 가장 의미 없는 위치를 가진 사전 편찬이다.우리는 찾아낸다

1^ω = 1,
2^ω = ω,
2^ω+1 = ω·2 = ω+ω.

또한 지수의 정의는 유도적으로 주어질 수 있다(다음 유도는 지수인 β에 있다).

α⁰ = 1,
α^β+1 = (α^β) ·α, 그리고
β가 한계 서수인 경우, α는^β 모든 nonzero Δ < β에 대한 α의^δ 한계다.즉, $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ β = $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ Δ $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ < $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ < $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ ( $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$ ) > ${\displaystyle \alpha ^{\beta ^}=\bigcup _{0<\delta <\beta }}}}}(\alpha ^{\delta$ })}이다 $\alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })$

순서형 지수의 속성:

α⁰ = 1.
0^α < α일 경우, 0 = 0.
1^α = 1.
α¹ = α.
α^β·α^γ = α^{β + γ}.
(α^β)^γ = α^β·γ.
α, β, β가 있으며, (α, β)^γ α^γ, β가^γ 있다.예를 들어 (Ω·2) ²= Ω·2·Ω·2 = Ω²·2 Ω²·4.
순서형 지수는 엄격히 증가하며 올바른 인수에 연속적이다.γ > 1과 α < β이면 then^α < γ^β.
만약 α < β, 그렇다면 α^γ^γ α β. 예를 들어, 그 2 < 3과 2^ω = 3 = Ω^ω.
α > 1과 α^β = α이면^γ β = α. α = 1 또는 α = 0이면 그렇지 않다.
모든 α와 β에 대하여, β > 1과 α > 0이면 α = β^γ·Δ + β가 0 < Δ < β>와 β < β^γ>와 같은 고유한 Δ, Δ가 존재한다.

서수형 지수와 기수형 지수에 동일한 표기법이 사용되지만, 서수형 지수는 기수형 지수와 상당히 다르다.For example, with ordinal exponentiation $2^{\omega }=\omega$ , but for $\aleph _{0}$ (aleph naught, the cardinality of $\omega$ ), $2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}$ .여기서 $2^{\aleph _{0}}$ $2^{\aleph _{0}}$ $2^{\aleph _{0}}$ ${\$ 는 모든 자연수 집합에서 두 개의 원소가 있는 집합에 이르는 모든 함수 집합의 카디널리티다 $2^{\aleph _{0}}$ .(이것은 모든 자연수 집합의 전원 집합의 카디널리티이며 연속체의 카디널리티인 ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 와 같다.)서수적 지수와 추기경 지수를 혼동하지 않으려면 전자의 서수(예: Ω) 기호, 후자의 추기경 기호( $\aleph _{0}$ : $\aleph _{0}$ 0 ${\$ 를 사용할 수 있다.

제이콥스탈은 α^β = β^α β의 유일한 용액은 α = β 또는 α = 2와 β = 4 또는 α는 어떤 한계 서수이고 β = β = α는 α보다 큰 β-숫자임을 보여주었다.^[2]

칸토르 정상형

Every ordinal number α can be uniquely written as $\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$ , where k is a natural number, $c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}$ are양의 정수, 그리고 $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ 1 $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ > $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ > $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ … $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ > $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ k $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ 0 $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ {\ $displaystyle \property \{1}\nots \{2$ }}\ $ldots$ >\ $ldots _{k}\geq$ 0 $}$ 은 순서형 번호다 $\beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0$ .퇴행 케이스 α=0은 k=0일 때 발생하며 βs나 cs가 없다.이러한 α의 분해는 α의 칸토르 정상 형태라고 하며, 기저 Ω 위치수 체계라고 할 수 있다.The highest exponent $\beta _{1}$ is called the degree of $\alpha$ , and satisfies $\beta _{1}\leq \alpha$ . The equality $\beta _{1}=\alpha$ applies if and only if $\alpha =\omega ^{\alpha }$ $\alpha =\omega ^{\alpha }$ 이 경우 칸토어 정규 형식은 서수를 작은 형식으로 표현하지 않는다. 이는 아래에서 설명하는 바와 같이 발생할 수 있다.

보통 작업하기가 약간 쉬운 칸토어 정규 형태의 사소한 변동은 모든 숫자_i c를 1로 설정하고 지수를 같게 하는 것이다.In other words, every ordinal number α can be uniquely written as $\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$ , where k is a natural number, and ${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta$ $_{k}\geq 0}$ 은 $\beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}\geq 0$ (는) 순서형 번호다.

칸토어 정규 형태의 또 다른 변화는 "베이스 Δ 확장"이며, 여기서 Ω은 임의의 서수 Δ>1로 대체되며, 숫자 c는_i Δ보다 작은 양의 서수이다.

그 칸토어 정규형 β 1<>를 추정하고 있는 자연수의 덧셈, 곱셈과 멱법 base-ω{\displaystyle \omega}의 산술 의 계산을 다른 말로 한정된 몇가지:에 의해 제작된다 우리에게 고유하게express—and order—the ordinals α,;α{\displaystyle \beta_{1}<, 칸토어에 \alpha}을 허용한다.수준 기자리l 형태, 우리는 또한 지수 $\beta _{i}$ $\beta _{i}$ ${\$ 를 칸토어 정상 형태로 $\beta _{i}$ 표현할 수 있으며, $\beta _{i}$ i ${\$ 에 대해 α와 동일한 $\beta _{i}$ 가정을 할 수 있으므로, 이러한 서수들에 대한 표기 체계를 재귀적으로 얻는다(예:

\omega ^{\좌측(\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42\우측)}\cdot 1729+\\omega ^{9}+88\우측)}\cdot 3+\omega ^{\좌측(\omega ^{\}\우측)\cdot 5+65537

서수를 나타내다

서수 ε₀(epsilon nought)은 칸토르 정상 형태의 유한 길이 산술적 표현 중 서수 값 α의 집합으로, 유전적으로 비삼차적(non-trivial)이며, 여기서 비삼차적(non-trivial)은 0<α일 때 β₁>를 의미한다.Ω의 관점에서 유한한 산술적 표현이 없는 가장 작은 서수이며, inal $\varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}$ = $\varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}$ 0 ${\$ 즉 칸토르 정상형에서 지수는 서수 자체보다 작지 않다.그것은 순서의 한계다.

0,\,\1=\omega ^{0},\omega =\omega ^{1},\omega ^{\omega },\dots \,\\data.

서수 ε은₀ 산술에서 여러 가지 이유로 중요하다(본질적으로 1차 페이노 산술의 증명-이론적 강도를 측정하기 때문이다: 즉, 페아노의 공리는 ε보다₀ 작지만 ε₀ 그 자체까지는 아닌 어떤 서수까지 트랜스피니트 유도를 보여줄 수 있다).

칸토어 정규 형태는 또한 우리가 서수수의 합계와 생산물을 계산할 수 있게 한다: 예를 들어, 단지 하나의 필요성(§ Addition 및 § 곱셈에 열거된 속성 참조)을 계산할 수 있다.

\displaystyle \omega ^{\c+\omega ^{\put '}c=\omega ^{\put '}c'\...}

만약′>β{\displaystyle \beta '>, \beta}(만약 β ′)β{\beta '=\beta}과 ω β 이 고쳐 쓰다 왼쪽에 분배 법을 적용할 수 있\displaystyle(댁+c′){\displaystyle\omega ^{\beta}(c+c의)}, 그리고 만약 β′<>β, β의 표현 이미 칸토어 규범에 있{\displaystyle \beta '<, \beta}.알 형태).d to compute products, the essential facts are that when $0<\alpha =\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}$ is in Cantor normal form and $0<\beta '$ , then

\cHB \omega ^{\}=\omega ^{\cHB_{1}+\cHB '}\,

그리고

\c=\omega ^{{1}c_{1}n+\omega ^{{1}n+\i1}{2}}c_\cdots +\omega ^{k}c_{k}\}}}

n이 0이 아닌 자연수인 경우

칸토어 정규 형태로 작성된 두 가지 서수를 비교하려면 먼저 $\beta _{1}$ 1 ${\$ c $c_{1}$ ${\$ $\beta _{2}$ 2 ${\$ $c_{2}$ 2 ${\$ }} 등을 비교해 보십시오 $c_{2}$ 첫 번째 차이에서 구성 요소가 더 큰 서수는 더 큰 서수이다.만약 그것들이 다른 것들보다 먼저 끝날 때까지 같다면, 먼저 끝나는 것이 더 작다.

소수점으로 인자화

Ernst Jacobsthal은 서수들이 고유한 인수 정리 형태를 만족한다는 것을 보여주었다: 모든 0이 아닌 서수들은 한정된 수의 프라임 서수들의 산물로 쓰여질 수 있다.이러한 소수점 이하 인자는 일반적으로 고유하지 않지만 유한 소수점 이하 인자의 순서를 변경할 수 있는 소수점 이하 인자가 있다(Sierpipiski 1958).

1차 서수(primary ordinal)는 1보다 큰 서수를 말하며, 2개의 작은 서수의 곱으로 쓸 수 없다.첫 번째 프라임의 일부는 2, 3, 5, ... , Ω, Ω+1, Ω²+1, Ω³+1, ..., Ω^ω, Ω^ω+1, Ω+1, Ω+1, Ω+1, Ω^ω+1+1, Ω+1, ...이다.프라임 서수에는 세 가지 종류가 있다.

유한 소수 2, 3, 5, ...
임의의 서수 α에 대한 Ω^{ω^α} 형식의 서수.이것들은 한계인 주요 서수이며, 델타 숫자다.
임의의 서수 α>0에 대한 Ω^α+1 형식의 서수.이것들은 무한대의 후계자 프라임이고, 감마 숫자의 후계자, 덧없이 외설적인 서수들이다.

프라임으로의 인자화는 고유하지 않다. 예를 들어, 2×3=3×2, 2×Ω=Ω, (Ω+1)××××Ω, Ω×Ω^ω = Ω^ω.그러나 다음과 같은 추가 조건을 만족하는 소수점에는 고유한 요인이 있다.

모든 한정된 전성기는 모든 후임 총리보다 먼저 일어난다.
만약 두 번의 연속적인 프라임 인자가 모두 한계이거나 둘 다 유한하다면, 두 번째 프라임은 기껏해야 첫 번째 프라임이다.

이러한 주요 요소화는 다음과 같이 캔터 정규 형태를 사용하여 쉽게 판독할 수 있다.

우선 서수를 제품 αβ로 표기한다. 여기서 α는 칸토르 정상 형태에서 Ω의 가장 작은 힘이고 β는 후속 힘이다.
만일 α=Ω이면^γ 칸토르 정상형태로 α를 표기하면 한계 프리임의 산물로서 α의 확장이 발생한다.
이제 캔터 정상 형태의 β를 보십시오.β = Ωm^λ + Ωn^μ + 더 작은 항이면 β = (Ωn^μ + 더 작은 항)(Ω^λ−μ + 1)m는 더 작은 서수 및 소수 m의 산물이다.이를 반복하고 정수를 소수점으로 인자화하면 β의 원인자가 된다.

그래서 칸토어 정규형 서수형의 인자화

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

+

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

+

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

+

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

n

\omega ^{\alpha _{1}}n_{1}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}n_{k}

{\

displaystyle

\omega

^{\n_{1

}+{

1}+\cdots +\cdots }{

1}\

cdots \{k}}}}}}(

\alpha _{1}>\cdots >\alpha _{k}

1 >

\alpha _{1}>\cdots >\alpha _{k}

>

\alpha _{1}>\cdots >\alpha _{k}

\alpha _{1}>\cdots >\alpha _{k}

>

\displaysty \cdots _{{{k

무한한 프리임과 정수의 최소 생산물로

\omega ^{\omega ^{\beta _{1}}}\cdots \omega ^{\omega ^{\beta _{m}}}n_{k}(\omega ^{\alpha _{k-1}-\alpha _{k}}+1)n_{k-1}\cdots n_{2}(\omega ^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}+1)n_{1}

여기서 각 n은_i 유한 프리임의 증가되지 않는 순서에 대한 인자로 대체되어야 한다.

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

=

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

+

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

+

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

\alpha _{k}=\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{m}}

{\

\alpha \cdots

_{k}=\omega ^{1}+\cdots +\omega ^{\m}},

\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{m}

\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{m}

\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{m}

\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{m}

\

cdes \1

}\cdots \

get \eq \eq

큰 카운트 가능 서수

위에서 논의한 바와 같이 can $\varepsilon _{0}$ ${\$ 이하의 칸토어 정상 서수 형식은 덧셈, 곱셈, 지수를 위한 함수 기호뿐 아니라 각 자연수 및 $\omega$ 에 대한 상수 기호만을 포함하는 알파벳으로 표현할 $\varepsilon _{0}$ 수 있다 ${\displaysty \omega$ }. inf를 없앨 수 있다.상수 기호 0과 후임자 $S$ ${\displaystyle S}($ 예를 들어 $S(S(S(S(0))))$ 4는 $S(S(S(S(0))))$ ( S $S(S(S(S(0))))$ ( $S(S(S(S(0))))$ ( ( $S(S(S(S(0))))$ ) $S(S(S(S(0))))$ ${\displaystyle S(S$ (S $)(0)})})$ 로 표현될 수 있다. $S(S(S(S(0))))$ 이것은 서수 표기법: 유한한 알파벳 위에 서수의 이름을 붙이는 시스템을 설명한다.이 특별한 서수 표기법 체계는 산술 서수식의 집합이라 불리며, 모든 서수를 $\varepsilon _{0}$ 0 ${\$ 이하로는 표현할 수 있지만, ${\$ 을 나타낼 수는 없다 $\varepsilon _{0}$ $\varepsilon _{0}$ ${\$ 을 훨씬 지나서 서수를 캡처할 수 있는 다른 서수 표기법이 있지만, 한정된 알파벳에 걸쳐 문자열이 셀 수 없이 많기 때문에, 주어진 서수 표기법에 대해서는 $\omega _{1}$ $\omega _{1}$ ${\$ 최초 불가한 서수)보다 낮은 서수가 있을 것이다.형용할 수 있는그러한 서수들은 큰 카운트 가능한 서수라고 알려져 있다.

덧셈, 곱셈, 지수의 연산은 모두 원시 재귀 서수함수의 예로서 보다 일반적인 원시 재귀 서수함수를 사용하여 더 큰 서수를 설명할 수 있다.

자연 연산

서수의 자연 총액과 천연 제품 연산은 게르하르트 헤센베르크에 의해 1906년에 정의되었으며, 헤센베르크 합(또는 제품) (Sierpinski 1958) 이것들은 존 콘웨이의 초현실적 숫자 분야의 덧셈과 곱셈(서수수로 제한)과 같다.그들은 연상적이고 상호 작용적이며, 자연산물이 자연산보다 분배된다는 장점을 가지고 있다.이러한 운영을 상쇄시키는 데 드는 비용은 통상적인 총액과 제품의 속성인 올바른 주장에서 연속성을 상실한다는 것이다.α와 β의 자연 합은 종종 αββ 또는 α#β로 나타내며, 자연산물은 αββ 또는 αββ로 나타낸다.

자연적 연산은 잘 부분 순서 이론에서 나온다; (최대 선형화) o(S)와 o(T)의 두 가지 부분 순서 S와 T를 감안할 때, 분리 결합의 유형은 o(S)⊕o(T)이고, 직접 생산물의 유형은 o(S)⊗o(T)^[3]이다.S와 T를 서수 α와 β로 선택함으로써 자연 연산의 정의로서 이 관계를 취할 수 있다. 따라서 α⊕β는 α와 β의 디스조인트 유니언(부분 순서로서)을 확장하는 총 주문의 최대 순서 유형인 반면, αββ는 직접 제품을 확장하는 총 주문의 최대 순서 유형인 α와 β의 (부분 순서로서)이다.^[4]이것의 유용한 적용은 α와 β 둘 다 더 큰 전체 순서의 하위 집합일 때, 그들의 조합은 최대 α⊕β의 순서 유형을 가진다.만약 둘 다 주문된 아벨리아 그룹의 하위 집합이라면, 그들의 합은 최대 α⊗β의 주문 유형을 가진다.

또한 α와 β의 자연 합을 (α와 β에 대한 동시 유도에 의해) 모든 γ < β에 대한 자연 합보다 가장 작은 서수로 정의할 수 있다.천연물에 대한 귀납적 정의(상호 유도에 의한)도 있지만, 적는 것은 다소 지루하고 우리는 그렇게 하지 않을 것이다(그러나 그러한 맥락에서 초현실적 숫자에 관한 기사, 즉 서수들에 대해 분명히 정의할 수 없는 것을 사용하는 것을 그 맥락에서 그 정의를 위해 초현실적 뺄셈을 사용한다).

자연금은 연상적이고 상쇄적이다.늘 통상적인 총액보다 크거나 같으나 엄밀히 말해 더 클 수도 있다.예를 들어 Ω과 1의 자연 합은 Ω+1(일반적인 합)이지만 이 역시 1과 Ω의 자연 합이다.자연산물은 연상적이고 상호 작용하며 자연금액에 걸쳐 분포한다.자연산은 항상 보통 제품과 더 크거나 같으나, 엄격히 더 클 수도 있다.예를 들어 Ω과 2의 자연산은 Ω·2(일반적인 제품)이지만, 이것 또한 2와 Ω의 자연산이다.

그러나 두 가지 서수 α와 β의 자연 합과 산출물을 정의하는 또 다른 방법은 칸토르 정상 형태를 사용하는 것이다: 한 가지는 γ₁ > … > γ과_n 두 개의 순서(k₁, …, k)와 (j₁, …, j_n_n)는 (0을 포함하나 모든 i에 대해_i k + j_i > 0을 만족시키는)를 찾을 수 있다.

\cdot k_{1}+\cdots +\omega ^{n}\cdot k_{n}

\cdot j_{1}+\cdots +\omega ^{n}\cdot j_{n}

그리고 정의하다

\#\j_\omega ^{{1}\cdot (k_{1}+j_{1}+\cdots +\cdots ^{n}}\cdot (k_{n}+j_{n})

자연적 추가에서, 서수들은 감마 번호 Ω에^α 의해 생성된 자유 정류 단면체의 원소로 식별할 수 있다.자연적 덧셈과 곱셈에서, 서수들은 델타 번호 Ω에^{ω^α} 의해 생성된 자유 정류적 의미들의 요소들로 식별될 수 있다.그 서수들은 자연산 아래의 소수들에 대한 고유한 요소들을 가지고 있지 않다.전체 다항식 링에 고유한 인자화가 있는 반면, 음수가 아닌 계수를 갖는 다항식의 부분집합은, 예를 들어, x가 델타 번호라면, 다음이 아니다.

x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x1=(x+1)(x^{4}+x^{2}+1)=(x^{2}+x+1)=(x^{3}+1)

더 이상 분해할 수 없는 음수가 아닌 계수를 가진 다항식들의 자연산물로써 두 개의 양립불가능한 식을 가지고 있다.

님버 산술

서수들과 민첩한 사람들 사이의 일대일 대응으로 인해 서수들에 대한 산술 연산이 있다.민첩성에 대한 세 가지 일반적인 작업은 더 빠른 덧셈, 더 빠른 곱셈, 그리고 최소 멕스다.님버 덧셈은 비트 배타적 또는 자연수에 대한 연산을 일반화한 것이다.서수 집합의 $mex$ 는 집합에 없는 가장 작은 서수이다.

메모들

^ Feferman, S. (1964). "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets". Fundamenta Mathematicae. 56 (3): 325–345. doi:10.4064/fm-56-3-325-345.
^ Ernst Jacobsthal, Vertauschbarkeit transfinit Ordnungsahlen, Matheatische Annalen, Bd 64(1907), 475-488.여기에서 사용 가능
^ D. H. J. De Jongh 와 R.패리크, 부분 순서와 위계, 인닥터.수학. 39 (1977), 195–206.여기에서 사용 가능
^ Philip W. Carruth, Abelian groups, Bull 명령을 받은 이론에 응용한 서수의 산술.아머. 수학.Soc. 48 (1942년), 262–271.정리 1을 참조하라.여기에서 사용 가능

참조

Thomas Jech (21 March 2006). Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7.
쿠넨, 케네스, 1980년세트 이론: 독립 증명서에 대한 소개.엘시비어.ISBN 0-444-86839-9
Sierpiński, Wacław (1958), Cardinal and ordinal numbers, Polska Akademia Nauk Monografie Matematyczne, vol. 34, Warsaw: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, MR 0095787

외부 링크

ordCalculate 순서형 계산기

[1] Feferman, S. (1964). "Some Applications of the Notions of Forcing and Generic Sets". Fundamenta Mathematicae. 56 (3): 325–345. doi:10.4064/fm-56-3-325-345.

[2] Ernst Jacobsthal, Vertauschbarkeit transfinit Ordnungsahlen, Matheatische Annalen, Bd 64(1907), 475-488.여기에서 사용 가능

[3] D. H. J. De Jongh 와 R.패리크, 부분 순서와 위계, 인닥터.수학. 39 (1977), 195–206.여기에서 사용 가능

[4] Philip W. Carruth, Abelian groups, Bull 명령을 받은 이론에 응용한 서수의 산술.아머. 수학.Soc. 48 (1942년), 262–271.정리 1을 참조하라.여기에서 사용 가능

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