행 및 열 공간

행렬의 행 벡터. 이 행렬의 행 공간은 행 벡터에 의해 확장되는 벡터 공간이다.

행렬의 열 벡터. 이 행렬의 열 공간은 열 벡터에 의해 확장되는 벡터 공간이다.

선형대수학에서 행렬 A의 열 공간(범위 또는 영상이라고도 함)은 열 벡터의 범위(가능한 모든 선형 결합의 집합)이다. 행렬의 열 공간은 해당 행렬 변환의 영상 또는 범위다.

$\mathbb {F}$ ${\$ 를) 필드가 $\mathbb {F}$ 되게 하라. $\mathbb {F}$ ${\$ 의 성분이 $있는$ m × n 행렬의 열 공간은 m-space $\mathbb {F} ^{m}$ $\mathbb {F} ^{m}$ ${\$ {F $} ^{m}}$ 의 선형 하위 공간이다 $\mathbb {F}$ $\mathbb {F} ^{m}$ 열 공간의 치수는 행렬의 순위라고 하며 최대 $min(m,$ $n$ )이다 $.$ ^[1] 링 $\mathbb {K}$ ${\$ 에 대한 행렬 정의도 가능하다 $\mathbb {K}$ .

행 공간은 유사하게 정의된다.

행렬 $A$ 의 행 공간과 열 공간은 각각 $C (A T)$ 와 $C (A)$ 로 표시되기도 한다.^[2]

이 기사는 실수의 행렬을 고려한다. 행과 열 공간은 각각 $\mathbb {R} ^{m}$ 실제 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ {\ $displaystyle \mathb$ { $R}$ ^{ $n}}$ 과 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$ {\ $displaystyle \mathb {R}$ ^{m $}$ 의 하위 공간이다.^[3]

개요

$A$ 를 m-by-n 매트릭스로 하자. 그러면

$순위(A)$ = $딤(rowsp(A))$ = $딤(colsp(A)),$ ^[4]
$순위(A)$ = $A$ 의 모든 에셀론 형태의 피벗 수,
$순위(A)$ = $A$ 의 최대 선형 독립 행 또는 열의 수입니다.^[5]

$\mathbb {R} ^{n}$ 매트릭스를 $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ { $R} ^{n}}$ 에서 $\mathbb {R} ^{m}$ ${\$ { $R} ^{m}}$ 로 $\mathbb {R} ^{n}$ 선형 변환하는 것으로 간주한다면, 매트릭스의 열 공간은 이 선형 변환의 영상과 동일하다 $\mathbb {R} ^{m}$

행렬 $A$ 의 열 공간은 $A$ 에 있는 열의 모든 선형 조합의 집합이다. $A =$ [ $a 1$ ⋯ $a n]$ 이면 $colsp(A)$ = $span({a 1, ...,$ a $})$ 이다_n.

행 공간의 개념은 $\mathbb {C}$ ${\$ 복잡한 $\mathbb {C}$ 숫자의 필드 또는 모든 필드에 걸쳐 행렬로 일반화된다.

직관적으로, $매트릭스$ A가 주어진 $경우$ 벡터 $x$ 에 대한 매트릭스 A의 작용은 계수로서 $x$ 의 좌표에 의해 가중된 $A$ 의 열의 선형 결합을 반환한다. 이를 살펴볼 수 있는 또 다른 방법은 (1) $A$ 의 행 공간에 $x$ 를 먼저 투영하고, (2) 전도성 변환을 수행하고, (3) 결과 벡터 $y$ 를 $A$ 의 열 공간에 배치하는 것이다. 따라서 결과 $y$ = $Ax$ 는 $A$ 의 열 공간에 있어야 한다. 이 두 번째 해석에 대한 자세한 내용은 단수 값 분해를 참조하십시오.^{[clarification needed]}

예

행렬 $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\\-1&1&1&0&5\1&1&1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1&#1}}

r2)[− 1− 2대 105]{\displaystyle \mathbf{r}_{2}={\begin{bmatrix}-1&, -2&, 1&, 0&, 5\end{bmatrix}}}, 이렇게 3)[16222]그 줄은 r1)[24132]{\displaystyle \mathbf{r}_{1}={\begin{bmatrix}2&, 4&, 1&, 3&, 2\end{bmatrix}}},. {\displaystyle \mathbf{r}_{3}={\begin{bmatrix}1&, 6&, 2&, 2&, 2\end{bmatrix}}}, r4)[36251]{\displaystyle \mathbf{r}_{4}={\begin{bmatrix}3&, 6&, 2&, 5&, 1\end{bmatrix}}}. R5{\displaystyle \mathbb{R}^{5}결과적으로, J의 줄 공간이 부분 공간}{r1, r2, r3, r4}에 걸쳐 있었다.이러한 4열 벡터 일차에 있다.종속적으로, 행 공간은 4차원이다. 더욱이 이 경우 모두 $벡터$ n $=$ $[6, -1, 4, -4,$ 0 $]$ 에 직교하고 있음을 알 수 있으므로 행 공간은 $N$ 에 직교하는 $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$ ${\$ ^{ $5}}$ 의 모든 벡터로 구성되어 있음을 추론할 수 있다.

열 공간

정의

$K$ 를 스칼라의 들판이 되게 하라. $A$ 를 $m$ × $n$ 행렬로 하고, $열 2$ 벡터 $v 1,$ v, $...,$ $v n$ . 이 벡터의 선형 결합은 형태의 어떤 벡터다.

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}\cdots +c_{n}\mathbf {n} _{n}}}

$여기$ 서₁₂ c, c, $... c$ 는_n 스칼라다. $v 1, ...,$ $v$ 의_n 가능한 모든 선형 조합의 집합을 $A$ 의 열 공간이라고 한다. 즉, $A$ 의 열 공간은 벡터 $v 1, ...,$ $v$ 의_n 범위다.

행렬 $A$ 의 열 벡터의 선형 결합은 열 벡터를 사용하여 $A$ 의 곱으로 기록할 수 있다.

{\display{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots};\cdots &, a_{1n}\\\vdots &, \ddots &, \vdots \\a_{m1}&, \cdots &, a_{중성자의 정지 질량}\end{bmatrix}}}\\c_{n}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots&=&,{\begin{bmatrix}a_{11}& \\c_{n}\end{bmatrix}\\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{중성자의 정지 질량}\end{bmatrix}}=c_{1}{\b +c_{n}a_{1n}\\\vdots ={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots.egin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

따라서 $A$ 의 열 공간은 $x$ ∈ $C$ 에ⁿ 대해 가능한 모든 제품 $Ax$ 로 구성된다. 이는 해당 매트릭스 변환의 영상(또는 범위)과 동일하다.

예

$A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ = $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ [ $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ 1 $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ ${\$ 인 경우 열 벡터는 $v 1 =$ $[$ 1, 0, $2] T$ 이고₂ $v$ = [0, 1, 0 $] T$ 이다. v와₁ v의₂ 선형 결합은 형태의 벡터다.

c_{1}{\\bmatrix}1\0\\2\end{bmatrix}+c_{2}}{{\\bmatrix}0\\\\0\end{bmatrix}}={\\\nd{bmatrix}}={\\nd{bmatrix}c_{1}\2c_{1}\end{bmatrix}}}}}}}}

그러한 모든 벡터의 집합은

A

의 열 공간이다. 이 경우 기둥 공간은 정확히 벡터

(x,

y,

z)

∈

R

의³ 집합으로

z

=

2x

등식을 만족한다(카테시아 좌표를 사용하면 이 집합은 3차원 공간에서 원점을 통과하는 평면이다).

기본

$A$ 의 컬럼은 컬럼 공간에 걸쳐 있지만 컬럼 벡터가 선형적으로 독립적이지 않은 경우 베이스를 형성하지 않을 수 있다. 다행히도, 기본 열 연산은 열 벡터 사이의 의존 관계에 영향을 주지 않는다. 이를 통해 열 공간의 근거를 찾기 위해 행 축소를 사용할 수 있다.

예를 들어, 행렬을 고려하십시오.

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&9\1&5&3&1\1&0&8\end{bmatrix}}.

이 행렬의 열은 열 공간에 걸쳐 있지만 선형적으로 독립적이지 않을 수 있으며, 이 경우 이들 중 일부 열은 기초가 된다. 이러한 근거를 찾기 위해 $A$ 행을 다음과 같이 줄임꼴로 축소한다.

{\displaystyle{\begin{bmatrix}1&, 3&, 1&, 4\\2&, 7&, 3&, 9\\1&, 5&, 3&, 1\\1&, 2&, 0&, 8\end{bmatrix}}\sim{\begin{bmatrix}1&, 3&, 1&, 4\\0&, 1&, 1&, 1\\0&, 2&, 2&, -3\\0&, -1&, -1&, 4\end{bmatrix}}\sim{\begin{bmatrix}1&, 0&, -2&, 1\\0&, 1&, 1&, 1\\0&, 0&, 0&, -5\\0&, 0&, 0&5\end{bmatrix}}\sim{\begin{bmatrix}1&, 0&, -2&, 0\\0&, 1&, 1&, 0\\0&, 0&, 0&, 1\\0&, 0&, 0&, 0\end{bmatrix}}.}

^[6]

이때 제1열, 제2열, 제4열은 선형적으로 독립되어 있는 반면, 제3열은 제1열과 제2열, 제4열은 제1열 두 개의 선형 결합되어 있는 것이 분명하다. ( $특히 3$ v = $-2v 1$ + $v 2$ .) 따라서 원래 행렬의 첫 번째, 두 번째 및 네 번째 열은 열 공간의 기초가 된다.

{\displaystyle{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix},\\\\\\\\\7\\2\end{bmatrix},\\\\\\\\\\8\end{bmatrix},\nd{bmatrix}.}

축소된 행 에셀론 형식의 독립 열은 정확하게 피벗이 있는 열이라는 점에 유의하십시오. 이를 통해 에셀론 형태로만 축소함으로써 어떤 컬럼이 선형적으로 독립되어 있는지 판별할 수 있다.

위의 알고리즘은 벡터 집합 간의 의존 관계를 찾고, 어떤 스패닝 집합에서 기초를 선택하는 데 일반적으로 사용될 수 있다. 또한 $A$ 의 열공간에 대한 근거를 찾는 것은 $전치 T$ 행렬 A의 행공간에 대한 근거를 찾는 것과 같다.

실제 설정(예: 큰 행렬)에서 근거를 찾기 위해 일반적으로 단수 값 분해가 사용된다.

치수

열 공간의 치수를 행렬의 순위라고 한다. 순위는 축소된 행 에셀론 형식의 피벗 수와 같으며, 행렬에서 선택할 수 있는 선형 독립 열의 최대 수입니다. 예를 들어, 위의 예에서 4 × 4 행렬은 3등급이다.

열 공간은 해당 매트릭스 변환의 영상이기 때문에 매트릭스의 순위는 이미지의 치수와 동일하다. 예를 들어 위의 매트릭스에서 설명한 $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ R $\mathbb {R} ^{4}$ → R $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ ${\$ 변환 R $\mathbb {R} ^{4}$ → R 4 {\ $displaystyle$ \ $mathb$ {R $} ^4}$ 모든 3차원 하위 공간을 매핑한다 $\mathbb {R} ^{4}$ .

행렬의 null은 null 공간의 치수로, 축척된 행 에셀론 양식의 열 개수와 같다.^[7] $n개$ 의 열이 있는 $행렬$ A의 순위와 null은 다음 방정식에 의해 연관된다.

\operatorname {rank}(A)+\operatorname {nullity}(A)=n.\,

이것은 계급-영원성 정리라고 알려져 있다.

왼쪽 null 공간과의 관계

$A$ 의 왼쪽 null 공간은 $xA T$ = $0$ 과 같은 $모든 T$ 벡터 x의 집합이다 $.$ $A$ 의 전치 부위의 null 공간과 같다. 매트릭스 $A$ 와^T 벡터 $x$ 의 곱은 벡터의 도트 곱으로 다음과 같이 기록할 수 있다.

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

$왜냐하면 T$ A의 행 벡터는 $A$ 의 열 벡터 $v$ 의_k 트랜스포즈이기 때문이다. $따라서$ $A$ 의 각 열 벡터에 대해 x가 직교(수직)인 경우에만 $Ax T$ = $0$ 이다.

따라서 왼쪽 null 공간( $A$ 의^T null 공간)은 $A$ 의 기둥 공간에 대한 직교 보완물이다.

행렬 $A$ 의 경우 열 공간, 행 공간, Null 공간 및 왼쪽 Null 공간을 네 개의 기본 하위 스페이스라고 부르기도 한다.

링 위에 있는 행렬의 경우

마찬가지로 열 공간(때로는 오른쪽 열 공간으로 구분됨)은 링 $K$ 를 통한 행렬에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.

\sum \sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}}

모든 $c 1, ...,$ $c$ 에_n 대해, 벡터 m-공간을 "자유형 모듈"로 대체하는 것으로, $벡터 k$ v의 스칼라 곱셈 순서를 비정상적인 순서로 벡터-벡터 $c$ 로_k 변경한다.^[8]

행공간

정의

$K$ 를 스칼라의 들판이 되게 하라. $A$ 를 행 $벡터 1 r 2,$ r, ..., $r$ 과_m 함께 $m$ × $n$ 행렬로 한다. 이들 벡터의 선형 결합은 형태의 어떤 벡터다.

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m}}}}

$여기$ 서₁₂ c, c, $... c$ 는_m 스칼라다. $r 1, ...,$ $r$ 의_m 가능한 모든 선형 결합의 집합을 $A$ 의 행 공간이라고 한다. 즉, $A$ 의 행공간은 벡터 $r 1, ...,$ $r$ 의_m 경간이다.

예를 들어, 다음과 같다.

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix},

그런 다음 행 $벡터$ 는₁ $r$ = [ $1, 0, 2]$ 이고₂ $r$ = [ $0,$ 1, 0 $]$ 이다. $r$ 과₁ $r$ 의₂ 선형 결합은 형태의 어떤 벡터다.

c_{1}{\\bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}+c_{2}}{{\nf{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\\nf{bmatrix}c_{1}&c_{1}\end{bmatrix}}}.

그러한 모든 벡터의 $집합$ 은 A의 행 공간이다. 이 경우 행공간은 정확히 벡터 $(x,$ y, $z)$ ∈ $K$ 의³ 집합으로 $z$ = $2x$ 등식을 만족한다(카테시아 좌표를 사용하면 이 집합은 3차원 공간에서 원점을 통과하는 평면이다).

선형 방정식의 동종 시스템을 나타내는 행렬의 경우 행 공간은 시스템의 방정식에서 이어지는 모든 선형 방정식으로 구성된다.

$A$ 의 열 공간은 $A$ 의^T 행 공간과 동일하다.

기본

행 공간은 기본 행 연산의 영향을 받지 않는다. 이를 통해 행 축소를 사용하여 행 공간의 근거를 찾을 수 있다.

예를 들어, 행렬을 고려하십시오.

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\1&5&2\end{bmatrix}.

이 행렬의 행은 행 공간에 걸쳐 있지만 선형적으로 독립적이지 않을 수 있으며, 이 경우 행은 기초가 되지 않는다. 근거를 찾기 위해 $A$ 를 echelon 형식으로 행을 줄인다.

$r 1$ , r, $r 2$ , $r$ 은₃ 행을 나타낸다.

{\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{bmatrix}1&, 3&, 2\\2&, 7&, 4\\1&, 5&, 2\end{bmatrix}}&\xrightarrow{\mathbf{r}_{2}-2\mathbf{r}_{1}\to\mathbf{r}_{2}}{\begin{bmatrix}1&, 3&, 2\\0&, 1&, 0\\1&, 5&, 2\end{bmatrix}}\xrightarrow{\mathbf{r}_{3}-\,\,\mathbf{r}_{1}\to \mathbf{r}_{3}}{\begin{bmatrix}1&, 3&a.융점, 2\\0&, 1&, 0\\0&, 2&, 0\end{bmatrix}}\\&, \xrightarrow{\mathbf{r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{정렬}}}

행렬이 echelon 형식으로 되면 0이 아닌 행은 행 공간의 기초가 된다. 이 경우 근거는 ${$ $[$ 1 $,$ 3, $2], [$ 2 $, 7, 4] }$ 이다. 또 다른 가능한 근거 ${1, 0, 2], [0,$ 1 $, 0] }$ 은(는) 추가 감소에서 나온다.^[9]

이 알고리즘은 벡터 세트의 범위에 대한 기초를 찾기 위해 일반적으로 사용될 수 있다. 행렬이 축소된 행 에셀론 형태로 더욱 단순화되면, 그 결과의 기초는 행 공간에 의해 고유하게 결정된다.

대신 원래 행렬의 행 중에서 행 공간의 근거를 찾는 것이 편리할 때도 있다(예를 들어, 이 결과는 행렬의 결정요소 순위가 그 등급과 같다는 기초적인 증거를 주는 데 유용하다). 행 연산은 행 벡터의 선형 의존 관계에 영향을 줄 수 있으므로, 대신 $A$ 의^T 열 공간이 $A$ 의 행 공간과 같다는 사실을 이용하여 간접적으로 그러한 근거를 찾는다. 위의 매트릭스 $A$ 를 사용하여 $A$ 를^T 찾아 다음 행으로 줄이십시오.

A^{\mathrm {T}}={\begin{bmatrix}1&1\&1\\3&7\\2&4\end{bmatrix}\sim {\bgin{bmatrix}1&1\0&0&0\end{bmatrix}}.

피벗은 $A$ 의^T 처음 두 열은 $A$ 의^T 열 공간의 기초를 형성함을 나타낸다. 따라서 $A$ 의 처음 두 행(어떤 행 축소 전)도 $A$ 의 행 공간의 기초를 형성한다.

치수

행 공간의 치수를 행렬의 순위라고 한다. 이는 행렬에서 선택할 수 있는 선형 독립 행의 최대 수 또는 피벗 수와 동일하다. 예를 들어, 위의 예에서 3 × 3 행렬은 2위를 가진다.^[9]

행렬의 순위도 열 공간의 치수와 같다. null 공간의 치수를 행렬의 null이라고 하며, 다음과 같은 방정식에 의해 순위와 관련된다.

\operatorname {rank}(A)+\operatorname {nullity}(A)=n,

여기서 $n$ 은 행렬 $A$ 의 열 수입니다. 위의 방정식을 순위-nullity 정리라고 한다.

Null 공간과의 관계

행렬 $A$ 의 null 공간은 $Ax$ = $0$ 에 대한 모든 벡터 $x$ 의 집합이다. 매트릭스 $A$ 와 벡터 $x$ 의 곱은 벡터의 도트 곱으로 다음과 같이 기록할 수 있다.

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

여기서 $r 1, ...,$ $r$ 은_m $A$ 의 행 벡터다. $따라서$ $A$ 의 각 행 벡터에 x가 직교(수직)인 경우에만 $Ax$ = $0$ 이다.

$따라서$ A의 null 공간은 행 공간의 직교 보완 공간이다. 예를 들어 행 공간이 3차원으로 원점을 통과하는 평면인 경우, null 공간은 원점을 통과하는 수직선이 된다. 이것은 순위-nullity 정리를 증명한다(위 치수 참조).

행 공간과 null 공간은 $매트릭스$ A와 연관된 네 개의 기본 하위 공간 중 두 개(다른 두 개는 컬럼 공간과 왼쪽 null 공간)이다.

coimage와의 관계

$V$ 와 $W$ 가 벡터 공간인 경우, 선형 변환 $T :$ V → $W$ 의 커널은 $T (v)$ = $0인$ $벡터$ v ∈ $V$ 의 집합이다. 선형 변환의 커널은 행렬의 null 공간과 유사하다.

$V$ 가 내부 제품 공간이라면, 커널에 대한 직교 보어는 행 공간의 일반화라고 생각할 수 있다. 이것을 $T$ 의 coimage라고 부르기도 한다. 변환 $T$ 는 그 coimage에 일대일이고, coimage 맵은 $T$ 의 이미지에 이형적으로 배치된다.

$V$ 가 내부 제품 공간이 아닌 경우 $T$ 의 coimage를 V $/ker(T$ )의 몫 공간으로 정의할 수 있다 $.$

참고 항목

유클리드 아공간

참고자료 & 참고사항

^ 이 글에서 논의된 바와 같이 선형대수는 많은 출처가 있는 매우 확립된 수학 학문이다. 이 글의 거의 모든 자료는 레이 2005, 마이어 2001, 스트러트 2005에서 찾을 수 있다.
^ Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (Fifth ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ 안톤(1987, 페이지 179)
^ 안톤(1987년, 페이지 183년)
^ 보어가드 & 프랄리 (1973년, 페이지 254년)
^ 이 계산은 Gauss-Jordan 행 감소 알고리즘을 사용한다. 표시된 각 단계는 여러 개의 기본 행 연산을 포함한다.
^ 피벗이 없는 열은 선형 방정식의 관련 균일 시스템에서 자유 변수를 나타낸다.
^ $K$ 가 역순하지 않은 경우에만 중요하다. 실제로 이 형태는 위의 공식과 달리 인자의 순서가 보존되는 $K$ 로부터ⁿ 열벡터 $c$ 에 대한 $행렬$ A의 $제품$ Ac일 뿐이다.
^ ^a ^b 이 예는 실제 숫자, 합리적 숫자 및 기타 숫자 필드에 대해 유효하다. 0이 아닌 특성을 가진 필드와 링 위에서 반드시 정확한 것은 아니다.

추가 읽기

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5th ed.), New York: Wiley, ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (June 6, 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1st ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Lay, David C. (August 22, 2005), Linear Algebra and Its Applications (3rd ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7th ed.), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (February 15, 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archived from the original on March 1, 2001
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Row Space". MathWorld.
Weisstein, Eric W. "Column Space". MathWorld.
MIT OpenCourseWare에서 Google 비디오의 4가지 기본 하위 영역에 대한 MIT 선형 대수 강의
칸 아카데미 비디오 튜토리얼
MIT의 길버트 스트레이트의 기둥 공간과 널스페이스에 대한 강의
행 공간 및 열 공간

[ReferenceA-1] 이 글에서 논의된 바와 같이 선형대수는 많은 출처가 있는 매우 확립된 수학 학문이다. 이 글의 거의 모든 자료는 레이 2005, 마이어 2001, 스트러트 2005에서 찾을 수 있다.

[2] Strang, Gilbert (2016). Introduction to linear algebra (Fifth ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.

[3] 안톤(1987, 페이지 179)

[4] 안톤(1987년, 페이지 183년)

[5] 보어가드 & 프랄리 (1973년, 페이지 254년)

[6] 이 계산은 Gauss-Jordan 행 감소 알고리즘을 사용한다. 표시된 각 단계는 여러 개의 기본 행 연산을 포함한다.

[7] 피벗이 없는 열은 선형 방정식의 관련 균일 시스템에서 자유 변수를 나타낸다.

[8] $K$ 가 역순하지 않은 경우에만 중요하다. 실제로 이 형태는 위의 공식과 달리 인자의 순서가 보존되는 $K$ 로부터ⁿ 열벡터 $c$ 에 대한 $행렬$ A의 $제품$ Ac일 뿐이다.

[example-9] 이 예는 실제 숫자, 합리적 숫자 및 기타 숫자 필드에 대해 유효하다. 0이 아닌 특성을 가진 필드와 링 위에서 반드시 정확한 것은 아니다.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

v t 선형대수학
기본개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱하기 벡터 투영법 선형스팬 선형지도 선형 투영 선형독립 선형결합 기본 기준변경 행 및 열 벡터 행 및 열 공간 커널 고유값 및 고유 벡터 전치하다 선형 방정식
행렬	블록 분해 되돌릴 수 없는 마이너 곱하기 순위 변환 크레이머의 법칙 가우스 제거
바이린린 주	직교성 도트 제품 내부 제품 공간 아우터 제품 크로네커 제품 그람-슈미트 공정
다중선 대수	결정인자 크로스 제품 트리플 제품 7차원 교차 제품 기하 대수학 외부 대수 바이벡터 멀티벡터 텐서 외형성
벡터 공간 구성	이중 직합 함수 공간 지수 서브 스페이스 텐서 제품
숫자	부동 소수점 수치안정성 기본 선형 대수 하위 프로그램 희소 행렬 선형대수도서관 비교
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