이성적 매핑

수학에서 특히 대수 기하학의 하위 분야에서는 이성적 지도나 이성적 지도는 대수적 품종 사이의 일종의 부분함수다.이 글은 품종은 고칠 수 없다는 관례를 사용한다.

정의

형식 정의

Formally, a rational map ${\displaystyle f\colon V\to W}$ between two varieties is an equivalence class of pairs ${\displaystyle (f_{U},U)}$ in which ${\displaystyle f_{U}}$ is a morphism of varieties from a non-empty open set ${\displaystyle U\subset V}$ to ${\displaystyle W}$, and two such pairs ${\displaystyle (f_{U},U)}$ and ${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$ are considered equivalent if ${\displaystyle f_{U}}$ and ${\displaystyle {f'}_{U'}}$ coincide on the intersection ${\displaystyle U\cap U'}$ (this is, i특히 교차가 비어 있는 경우 빈칸이 맞지만 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$은(는) 수정할 수 없는 것으로 간주되므로 이는 불가능하다.이것이 동등성 관계를 정의한다는 증거는 다음과 같은 보조정리법에 의존한다.

• 비어 있지 않은 일부 오픈 세트에서 두 가지 형태의 품종이 동일하다면, 동일하다.

${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$은(는) ${\displaystyle 위}$의 의미로 구성을 취하는 역행 지도$$ $g{\displaystyle }$: W → ${\displaystyle V}${\$displaystyle g\colon W\to V}$이(가) 존재한다면 혼성이라고 한다$$.

대수 기하학에 대한 합리적 지도의 중요성은 그러한 $지도$와 V$[\displaystyle V}$와 $[\displaystyle W}$의 함수 필드 사이의 연관성에 있다$.$ 정의를 대충 검토해도 합리적 지도와 합리적인 기능의 함수 사이의 유사성이 드러난다. 사실, 합리적인 함수.단지 투영 선인 합리적인 지도일 뿐이다.Composition of functions then allows us to "pull back" rational functions along a rational map, so that a single rational map ${\displaystyle f\colon V\to W}$ induces a homomorphism of fields ${\displaystyle K(W)\to K(V)}$. In particular, the following theorem is central: the functor from the category of pr지배적인 합리적 맵을 가진 귀체적 품종(예: 고정된 베이스 필드 위에, $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$)을 기본 필드의 필드 확장 범주에 포함시키고, 확장자를 역포함으로서 각 품종을 기능 영역과 연관 함수 맵에 연결한다.필드(fields)는 범주의 동등함입니다.

예

투영공간의 합리적 지도

There is a rational map ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$ sending a ratio ${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$. Since the point ${\displaystyle [0:0:1]}$ cannot have an image, this map is only rational, and not a morphism of varieties.보다 일반적으로 합리적인 지도 ${\displaystyle {}^{}}$ m${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$} $^{m}\to$\m}\$mattb {P$$}$ $^$$n$}{n$}}}$ 전송이$$ 있으며 좌표를 잊어버리고 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $m$$}$ -tuple을$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaysty$ n}$$-tuple로$$ 전송한다.

개방형 하위 변수 포함

연결된 버라이어티 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$에서 열린 하위 변수 $i{\displaystyle }$ 포함 :${\displaystyle U}$→ X ${\displaystyle i:$$U\to X}$는 두 품종이 등가 함수 장을 가지기 때문에 균등하다.That is, every rational function ${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$can be restricted to a rational function ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ and conversely, a rational function ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ defines a rational equivalence class ${$$\displaystyle (U,f)}$ on ${\displaystyle X}$. An excellent example of this phenomena is the birational equivalence of ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ and ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$, hence ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_$$\{$$n}$ .

열린 하위 집합의 공백 포함

다양한 종류의 열린 하위 집합의 공간을 커버하는 것은 이성적인 지도가 아닌 충분한 예를 제공한다.예를 들어, Belyi의 정리에서는 모든 대수 $곡선{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$이(가) 지도 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$→ P ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$$C\to \mathb{P} ^{1}.$ 세 지점에서 충돌한다$$.그 다음, ${\displaystyle \mathrm{우주}}$를 포괄하는 공간 ${\displaystyle {}_{}}$ U${\displaystyle {}_{}}$→ U${\displaystyle }$= P ${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle }${ p ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$}$${\$displaystyle$C _${U}\to$ U$=\mathb {P}^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}}}}}}$과(와)가 있는데, 이는$$ 비합리적인 합리적 형태주의를 정의한다.또 다른 종류의 예는 제한된 숫자의 점으로 표시된$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ 1 ${\$의 이중 커버인 Hyperelliptic 곡선에서 나온다.Another class of examples are given by a taking a hypersurface ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ and restricting a rational map ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ to ${\displaystyle X}$. This gives a ramified cover.For example, the Cubic surface given by the vanishing locus ${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$ has a rational map to ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ sending ${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$. This rational map can be expr학위 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ 필드$$ 확장으로 기본 제공됨

특이점 분해능

혼성 지도의 표준적인 예 중 하나는 특이점 해상도다.특성 0의 필드에 걸쳐 모든 단일 $품종{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에는 혼성 맵${\displaystyle }\pi {\displaystyle }$ : Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi$:와$$ ${\displaystyle \mathrm{연관}}$된 비정규적 품종 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$이(가) 있다$$.$Y\to X$ 이 지도는 $U{\displaystyle }$= X${\displaystyle }$- ${\displaystyle \text{Sing}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle U=X-{\text{$$Sing$}(X$$$)}$에 이형성이라는 속성이 있고, 광섬유가 ${\displaystyle \text{Sing}}$ $){\displaysty}{\text}}(X)$은 일반적인 교차점이다.For example, a nodal curve such as ${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$ is birational to ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ since topologically it is an elliptic curve with one of the circles contracted.그리고 나서, 혼혈 지도는 정상화에 의해 주어진다.

균등성

두 가지 품종은 그 사이에 혼혈 지도가 존재한다면 이성적으로 동등하다고 한다. 이 정리는 품종의 혼혈 등가성이 염기장의 확장으로 기능장의 이소모르피즘과 동일하다고 기술하고 있다.이는 이종간이지만 이형간성이 아닌 품종이 존재한다는 점에서 다양성의 이형성(이형성을 단순히 이성적 지도가 아닌 이형성을 목격하기 위해서는 세계적으로 정의된 형태주의가 필요하다) 개념보다 다소 자유롭다.

The usual example is that ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ is birational to the variety ${\displaystyle X}$ contained in ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$ consisting of the set of projective points ${\displaystyle [w:x:y:z]}$ such that ${\displayst$$yle xy-wz=0$ 그러나 이형체는 아니다.실제로 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$의 어떤 두 선도$$ 교차하지만${\displaystyle }w{\displaystyle }$ =${\displaystyle 0}$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle$w=$x=0$$}$ ${\displaystyle 및}$y = 0 = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ y$=z=0}$로 정의된$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystystyle X}$의 선은 교차할 수 없다$$.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 함수 필드를 계산하기 위해 $w{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle w\neq 0$ 투영 공간에서 $w{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystate$ 0}을(를) 사용하는 부속품 하위 집합(필드를 변경하지 않음, 합리적인 지도가 도메인의 열린 하위 집합에서의 동작에만 의존한다는 사실의 표시)으로 전달한다$$.$yle w=1$}을(를$)$ 따라서$$ 아핀 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ z ${\displaystyle xyz}$ - 평면으로$$ 이 부분 집합을 식별하십시오.$여기$서 X ${\displaystyle X}$의 좌표 링은$$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

via the map ${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$. And the field of fractions of the latter is just ${\displaystyle k(x,y)}$, isomorphic to that of ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$. Note that at no time did we actually prod정리의 증거를 통해 추적하기는 하지만, 그렇게 하는 것은 가능하다.

참고 항목

• 혼성 기하학
• 폭파
• 대수종류의 함수장
• 특이점 분해능
• 미니멀 모델 프로그램
• 로그 구조

참조

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, 섹션 I.4.