실물대수 기하학

Real algebraic geometry

수학에서, 실제 대수 기하학은 실제 대수학 세트를 연구하는 대수 기하학의 하위 지점이다. 즉, 실제 숫자 계수를 가진 대수 방정식에 대한 실제 숫자 해법과 그들 사이의 매핑(특히 실제 다항식 매핑)이다.

반수형 기하학은 반수형 집합 즉, 실제 수 계수를 갖는 대수적 불평등에 대한 실제 수 해법과 이들 사이의 매핑에 대한 연구다. 세미지브라틱 집합 사이의 가장 자연스러운 매핑은 세미지브라틱 매핑, 즉 그래프가 세미지브라틱 집합인 매핑이다.

용어.

오늘날에는 실제 대수학 집합은 반수세트를 사용하지 않고는 진지하게 연구될 수 없기 때문에 '세미알게브라질 기하학'과 '실제 대수학 기하학'이라는 단어가 동의어로 사용된다. 예를 들어 좌표축을 따라 실제 대수 집합의 투영법은 실제 대수 집합이 될 필요는 없지만, 항상 반(半)[1][2]게브라 집합이다: 이것이 타르스키-세이덴버그 정리다. 관련 분야는 최소 이론과 실제 분석 기하학이다.

예: 실제 평면 곡선은 실제 대수 집합의 예시, 다면체는 반음계 집합의 예시들이다. 실제 대수적 함수와 내시 함수는 반음계 매핑의 예다. 조각과 같은 다항식 매핑(Pierce-Birkhoff 추측 참조)도 반항식 매핑이다.

계산 실제 대수 기하학은 실제 대수 기하학의 알고리즘적인 측면과 관련이 있다. 주요 알고리즘은 원통형 대수분해다. 그것은 반음계 세트를 멋진 조각으로 자르고 그들의 예상치를 계산하는데 사용된다.

실제 대수학(Real 대수학)은 실제 대수학(및 반수학) 기하학과 관련이 있는 대수학의 부분이다. 그것은 주로 순서가 지정된 분야와 순서가 지정된 고리(특히 실제 폐쇄된 분야)의 연구와 다항식의 양의 다항식 및 제곱합 연구에 대한 이들의 적용에 관한 것이다. (힐버트의 17번째 문제, 그리고 크리빈의 Positivestellensatz를 보라.) 실제 대수 기하학과 실제 대수 기하학의 관계는 복합 대수 기하학에 대한 정류 대수학의 관계와 유사하다. 관련 분야로는 모멘트 문제 이론, 볼록 최적화 이론, 이차 형태 이론, 평가 이론, 모델 이론 등이 있다.

실제 대수기하와 실제 대수학

  • 1826 푸리에의 선형 불평등 시스템에 대한 알고리즘.[3] 1919년 로이드 데인즈가 재발견했고[5] 1936년 테오도르 모츠킨이 재발견했다.[4]
  • 1835 스투름의 진짜 뿌리[6] 계산 정리
  • 1856 헤르미테의 진짜 뿌리 세기에 대한 정리.[7]
  • 1876년 하낙의 곡선 정리.[8] (이러한 요소 수에 대한 구속은 나중에 모든 실제[9][10][11] 대수 집합과 모든 반미 대수 집합의 모든 베티 번호로 확장되었다.)[12]
  • 1888년 힐버트의 3차 사분위수 정리.[13]
  • 1900년 힐베르트의 문제(특히 16, 17번째 문제)
  • 1902 Farkas의 보조정리[14] (선형 positivstellensatz로 재구성될 수 있다.)
  • 1914년 Annibale Comessatti는 모든 실제 대수 표면이 R }에 비합리적인 것은 아니라는 것을 보여주었다.
  • 1916 Fejerr의 비부정 삼각 다항식에 대한 추측.[16] (Frigyes Riesz에 의해 해결됨)[17]
  • 1927년 힐베르트의 17번째 문제에 대한[18] 에밀 아르틴의 해결책
  • 1927 Krull-Baer Organization[19][20](순서와 평가의 연결)
  • 1928 Polya의 심플렉스[21] 상의 포지티브 다항식 정리
  • 1929년 B. L. Van der Waerden은 실제 대수학 집합과 반수학 집합이 삼각형화할 수 있다는 증거를 스케치하고 있지만,[22] 논쟁을 엄격하게 하기 위해 필요한 도구가 개발되지 않았다.
  • 1931년 알프레드 타르스키의 실제 정량화 제거.[23] 1954년 에이브러햄 세이덴버그에 의해 개선되고 대중화되었다.([24]둘 다 스터름의 정리를 사용한다.)
  • 1936년 허버트 사이페 르트는 Rn 사소한 정상적인 다발과(^{n}}의 모든 폐쇄 원활한 submanifold Rn의 결론은(으로부터 완전한 intersection[25] 비특이한 진정한 대수 부분 집합(^{n}}의 구성 요소에 isotoped 수 있는 원칙은 지..지 입증했다ord "구성 요소"는 제거할[26] 수 없음).
  • 1940 마샬 스톤이 부분적으로 주문한 반지에 대한 표현 정리.[27] 1951년[28] 리처드 카디슨, 1967년[29] 도널드 두부아에 의해 개선되었다(캐디슨-두부아 표현 정리). 1993년[30] 미하이 푸틴타르, 2001년[31] 자코비(푸티나르-자코비 표현 정리)에 의해 한층 더 개선되었다.
  • 1952년 존 내쉬는 모든 닫힌 매끄러운 다지관이 실제 대수 집합의 비정형 구성 요소와 차이가 있다는 것을 증명했다.[32]
  • 1956년 피어스-비르호프 추측이 공식화되었다.[33](치수 ≤ 2로 설정)[34]
  • 1964년 Krivine의 Nullstellensatz와 Positivestellensatz.[35] 1974년[36] Stengle에 의해 재발견되고 대중화되었다(Krivine은 실제 정량화 제거법을 사용하는 반면 Stengle은 Lang의 동형화 정리법을 사용한다).[37]
  • 1964 Lojasiewicz 삼각형 반분석 세트[38]
  • 1964년 히로나카 헤이스케는 특이점 정리[39] 해소를 증명했다.
  • 1964년 하슬러 휘트니는 모든 분석적 다양성이 휘트니 조건을 만족시키는 계층화를 인정한다는 것을 증명했다.[40]
  • 1967년 테오도르 모츠킨은 다항식의 제곱합이 아닌 양의 다항식을 찾는다.[41]
  • 1973년 Alberto Tognoli는 모든 닫힌 매끄러운 다지관이 비정규적 실제 대수 집합과 차이점이라는 것을 증명했다.[42]
  • 1975년 조지 E. 콜린스는 타르스키의 실제 정량화 제거를 개선하고 이를 컴퓨터에 구현할 수 있는 원통형 대수분해 알고리즘을 발견한다.[43]
  • 1973년 장 루이 베르디에르는 모든 아분석적 집합이 조건 (w)을 가진 계층화를 인정한다는 것을 증명했다.[44]
  • 1979년 미셸 코스트와 마리 프랑수아즈 로이는 교감반지의 실제 스펙트럼을 발견한다.[45]
  • 1980년 올레그 비로(Oleg Viro)는 "패치 작업" 기법을 도입하여 저도의 실제 대수 곡선을 분류하는 데 사용했다.[46] 이후 일리야 이텐베르크와 비로가 이를 이용해 래그스데일 추측에 백작샘플을 생산했고,[47][48] 그리고리 미할킨은 이를 열대기하 기하학에 적용해 곡선을 세었다.[49]
  • 1980년 셀만 악불루트와 헨리 C. King은 고립된 특이점과 함께 실제 대수 집합의 위상학적 특성을 부여하고, 위상학적으로 특징지은 비정규적 실제 대수 집합(필수적으로 콤팩트하지는 않음)[50]을 부여했다.
  • 1980년 아크불루트와 킹은 의 모든 매듭이 + ^{}의 고립된 특이점을 가진 실제 대수 집합의 링크임을 증명했다.
  • 1981년 아크불루트와 킹은 모든 소형 PL 다지관이 실제 대수 집합에 PL 동형이라는 것을 증명했다.[52][53][54]
  • 1983년 아크불루트와 킹은 실제 대수 집합의 위상학적 모델로서 "위상학적 분해능 타워"를 도입하였고, 이를 통해 실제 대수 집합의 위상학적 불변수를 새로 얻었으며, 위상학적으로 모든 3차원 대수 집합의 특성을 갖추었다.[55] 이러한 불변성들은 후에 클린트 맥크로리와 아담 파루시우스키뿐만 아니라 미셸 코스트와 크르지스토프 쿠르디카에[56] 의해 일반화되었다.[57]
  • 1984년 루드비히 브뢰커의 기본 오픈 반메뉴브레이크 세트의[58] 최소 생성에 대한 정리(쉐이더러가 기본 폐쇄 반메뉴브레이크 세트로 개선 및 확장)[59]
  • 1984년 베네데티와 데도는 모든 닫힌 매끄러운 다지관이 완전히 대수적 비정수적 실제 대수 집합과 다른 것은 아니라는 것을 증명했다(전체적으로 대수학이란 모든 Z/2Z-호몰로지 주기는 실제 대수적 하위 집합으로 표현됨을 의미한다).[60]
  • 1991년 Akbulut와 King은 모든 닫힌 매끄러운 다지관이 완전히 대수학적 실제 대수 집합에 대해 동형체라는 것을 증명했다.[61]
  • 1991 Schmüdgen의 콤팩트한 반음계 집합과 관련된 엄격한 positivstellensatz에 대한 다차원 모멘트 문제에 대한 해결책.[62] Wörmann이 발견한 대수학적 증거.[63] 레즈닉이 균일한 분모를 가진 아르틴의 정리 버전을 암시한다.[64]
  • 1992년 아크불루트와 킹은 내시 토놀리 정리의 주변 버전을 증명했다. R의n 모든 닫힌 매끄러운 서브매니폴드는 R의n 실제 대수적 부분집합의 비정규적 점(구성요소)에 동위원소이며, 이 결과를 R의n 서브매니폴드에 담근다.[65][66]
  • 1992년 베네데티와 마린은 모든 소형 폐쇄형 평활기 3-매니폴드 M은 부드러운 중심을 따라 연속적인 블로우핑을 통해 S S로부터 얻을 수 있으며, M은 아마도 단일한 실제 대수학적 합리적 3배와[67] 동종이라는 것을 증명했다.
  • 1997년 Bierstone과 Milman은 특이점 정리의[68] 표준적 분해능을 증명했다.
  • 1997년 Mikhalkin은 닫힌 매끄러운 n-manifold는 위상학적 충격의 연속적인 충격으로 Sn[69] S로부터 얻을 수 있다는 것을 증명했다.
  • 1998년 Janos Kollar는 모든 닫힌 3-manifold가 RP에3[70] 버라이어티인 실제 3-projective는 아니라는 것을 보여주었다.
  • 2000년 스키데러의 지역-글로벌 원리와 슈무드겐의 포지티브스텔렌사츠 치수 str 2에 대한 관련 비강력적 확장.[71][72][73]
  • 2000 Janos Kollar는 모든 닫힌 매끄러운 3–manifold가 C 에서 실제 타격 및 블로 다운을 통해 얻을 수 있는 콤팩트한 복합 매니폴드의 실제 부분임을 증명했다.[74]
  • 2003 Welschinger는 실제 합리적인 곡선을[75] 계산하는 불변성 물질을 도입했다.
  • 2005년 Akbulut와 King은 RP의n 모든 비정규적 실제 대수적 부분n[76][77] 집합이 CP의 비정규적 복합 대수적 부분 집합의 실제 부분과 원활하게 동위원소화된 것은 아니라는 것을 보여주었다.

참조

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