평형 삼진법

밸런스 삼진법은 3진법(즉, 3자리 숫자를 가진 베이스 3)으로, 숫자가 -1, 0 및 1을 갖는 정수의 부호 있는 균형 있는 자리 표현을 사용합니다.이는 디지트의 값이 0, 1, 2인 표준(불균형) 삼진법과는 대조적입니다.균형 삼진법은 별도의 마이너스 기호를 사용하지 않고 모든 정수를 나타낼 수 있습니다. 숫자의 선두가 0이 아닌 자릿수의 값에는 숫자 자체의 부호가 있습니다.균형 3진법은 비표준 위치 숫자 시스템의 한 예입니다.이것은 몇몇 초기^[1] 컴퓨터와 ^[2]균형 퍼즐의 해법에도 사용되었다.

다른 소스들은 균형 잡힌 삼진수에서 세 자리를 나타내기 위해 사용되는 다른 문자들을 사용한다.이 글에서 T(마이너스 기호와 1)는 -1을 나타내며, 0과 1은 자신을 나타낸다.다른 규칙으로는 각각 -1과 1을 나타내기 위해 '-'과 '+'를 사용하거나 원의 마이너스 기호와 유사한 그리스 문자 δ를 사용하여 -1을 나타내는 것이 있다.Setun 컴퓨터에 대한 출판물에서는 -1이 뒤집힌 1: "1"^[1]로 표시됩니다.

균형 잡힌 삼각류는 마이클 스티펠의 책 산술메티카 인테그라 (1544년)^[3]에 일찍 등장한다.그것은 요하네스 케플러와 레온 랄랑의 작품에서도 나타난다.존 콜슨, 존 레슬리, 오거스틴 루이 코시, 그리고 고대 인도 베다에 ^[2]의해 다른 기지에서의 관련 부호화된 숫자 체계에 대해 논의되었다.

정의.

$(\$ $displaystyle$ ${D}_{3})$ 은 ${\mathcal {D}}_{3}$ 기호(글리프 또는 문자라고도 함)의 집합을 나타냅니다. D3 ${\bar {1}}$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ { ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ $}$ { $display$ { $mathcal {D} =$ \ $lbrace \ operatorname$ { $T$ } , $0$ , $1$ . $brace$ 。여기서 ${\bar {1}}$ 는 $다음$ 과 같습니다 ${\bar {1}}$ $peratorname {T}$ .} 정수값 $\operatorname {T} .$ $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ f $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ : $f=f_{{\mathcal {D}}_{3}}:{\mathcal {D}}_{3}\to \mathbb {Z}$ {\ $displaystyle$ f $=f_{\mathcal {$ D}} $_{3}}:\mathcal$ {D $}_{3}\to$ \ $mathbb$ {Z $}$ 를 정의합니다.

f_{\operatorname {T}}=-1,

f_{}(0)=0,

(

f_{}(0)=0,

)

f_{}(0)=0,

, {\

displaystyle f_{}(0

) =

0,}

및

f_{}(0)=0,

^{[note 1]}

f_{}(1)=1

여기서 오른쪽은 보통(정수) 값을 가진 정수입니다.이 함수 $f_{},$ , $f_{},$ {\ $displaystyle f_{}$ 는 $f_{},$ ${\mathcal {D}}_{3}.$ 의 ${\mathcal {D}}_{3}.$ /글리프에 정수 값을 할당하는 방법을 엄격하고 공식적으로 설정하는 함수입니다 $.\displaystyle {D}_{3}$ 이 ${\mathcal {D}}_{3}.$ 형식주의의 이점 중 하나는 "정수"의 정의가 (그것들이 정의되어 있더라도) 특정 기호와 결합되지 않는다는 것입니다.이러한 방식으로 이 두 개의 서로 다른(긴밀하게 관련된) 개념은 분리됩니다.

${\mathcal {D}}_{3}$ $({$ 는 ${\mathcal {D}}_{3}$ 함수 $f_{}$ ({ $displaystyle f_{})$ 와 $f_{}$ 함께 균형 3진법이라고 불리는 부호 자릿수 표현이다.정수와 실수를 나타내는 데 사용할 수 있습니다.

삼원 정수 평가

${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ + {\ $displaystyle$ ${D}_{3}^{+}$ 을 ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ (를) ${\mathcal {D}}_{3}$ 의 ${\mathcal {D}}_{3}$ 클린 플러스(\ $displaystyle {D}_{3$ 로 ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ .D3은 유한 길이의 모든 연결 $d_{n}\ldots d_{0}$ $(\$ 중 $d_{n}\ldots d_{0}$ 하나 또는 여러 기호(표시 스타일 n $)$ 의 $n$ $n$ 입니다.음의 정수 및 모든 $n+1$ + $({displaystyle$ n $+1}$ $d_{n},\ldots ,d_{0}$ $d_{n},\ldots ,d_{0}$ $d_{n},\ldots ,d_{0}$ $d_{n},\ldots ,d_{0}$ 0(\ $displaystyle d_{n},\ldots,d_{0})$ 은 $d_{n},\ldots ,d_{0}$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .$ $=$ { $1}$ 에서 $.{displaystyle {mathcal {D}_{$ 3}=\ $lclace \operatorname {T},0,$ 0,0,0,\ $r}$ 의 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace .$ $d_{n}\ldots d_{0}$ . $d_{0}$ d 0 $d_{0}$ {\ $displaystyle$ d_{ $0}(오른쪽$ ), $d_{0}$ 끝은 d $d_{n}$ {\ $displaystyle d_{n}($ 왼쪽), 길이는 $n+1$ n + $(\displaystyle$ n $+1$ 입니다.삼원평가는 $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ d $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ … $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ \ $displaystyle$ d3 $+$ \ $mathbb$ {Z}에 할당하여 $v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ 된 함수 v $=$ : $D3$ + $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ $→$ $v=v_{3}~:~{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ {\ $displaystyle v$ $=$ v_ ${3$ }~:~{\ $mathcal$ { $D$ $}^{+}\to\mathbbb$ {Z $}$ 입니다 $.$

\displaystyle v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)~=~\sum _{i=0}^{n}f_{}\left(d_{i}\right)3^{i}}

$d_{n}\ldots d_{0}$ $d_{n}\ldots d_{0}$ 0 $({$ 은(v { $displaystyle$ v $}$ 에 $대해$ ) $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ v $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ n … $).\display$ style v\ $left(d_{n}\ldots d_{0}\$ right)를 나타냅니다 $d_{n}\ldots d_{0}$ .} 값 $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ ( $d$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ ... $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ 0 ) { $displaystyle$ ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ \ $left$ ( d $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ _ { $n$ } \ $ldots$ d $_$ ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ 0 ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ $}$ $.$ 3 . { $displaystyle$ { $d_$ n } $_$ { \ $operatorname$ { $bal }$ } $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)$ ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ $v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right).$ d ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ d ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ d d d d d d d d d d d d d d d ${d_{n}\ldots d_{0}}_{\operatorname {bal} 3}.$ $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ v : $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ 3 $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ + $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ {\ $displaystyle$ v $:{\mathcal {D}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}}$ 은 $v:{\mathcal {D}}_{3}^{+}\to \mathbb {Z}$ (는) 투영형이지만, 예를 들어 0 $=$ ( $00$ $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ ( $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ v ( $00$ ) = v ( $000)$ = 000 (00) = v ( $00$ = v ( $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ ) = 000) = 000) = 000 = 000 $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ = 000 ( $000$ (000) $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ = 000) = 000) = 000 = 000 = 000 = 000 = 000 = $0=v(0)=v(00)=v(000)=\cdots .$ 끝 $0,$ 왼쪽)은 기호 0 $,\displaystyle$ 0 $,}($ $d_{n}=0.$ : $d_{n}=0.$ $=$ 0 $}$

$d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ n $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ … $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ 0 $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ + {\ $displaystyle d_{n}\ldots d_{0} in$ 및 $n>0$ > $n>0$ {\ $displaystyle$ n $>$ 0}인 $n>0$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+}$ v {\ $displaystyle$ v $}$ 은 $v$ $v$ 을 충족합니다.

\displaystyle v\left(d_{n}d_{n-1}\ldots d_{0}\right)~=~f_{}\left(d_{n}\right) 3^{n}+left(d_{n-1}\ldots d_{0}\right)}

이는v\ $displaystyle$ v가 $v$ 일종의 반복 관계를 충족함을 $나타냅니다$ .이 반복 관계의 $v\left(\varepsilon \right)=0$ $v\left(\varepsilon \right)=0$ 은 v ( $v\left(\varepsilon \right)=0$ )= $v\left(\varepsilon \right)=0$ { $displaystyle$ v \ $left$ ( \ $varepsilon$ \ $right$ ) $=$ 0 입니다 $v\left(\varepsilon \right)=0$ $.$ $\varepsilon$ 서 \ $displaystyle$ \ $varepsilon }$ 은 $\varepsilon$ 빈 문자열입니다.

즉, 모든 $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$ 0 $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$ $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$ + $d_{n}\ldots d_{0}\in {\mathcal {D}}_{3}^{+},$ , {\ $displaystyle d_{n}\ldots d_{0}\ in {mathcal {D}_{3}^{+}$ 에 대해 의미합니다.

\displaystyle v\left(0d_{n}\ldots d_{0}\right)=v\left(d_{n}\ldots d_{0}\right)}

즉, 선두 $({displaystyle$ 0 $}$ 기호 $0$ (2개 이상의 기호가 있는 문자열의 왼쪽)은 결과 값에 영향을 주지 않습니다.

다음 예시는 v $\displaystyle$ v $}$ 의 $v$ $일부$ 값을 계산하는 방법을 보여 줍니다. 여기서 (이전과 같이) 모든 정수는 10진수(기본값 10)로 작성되며 ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ + {\ $displaystyle {D}_{3}^+}$ 의 ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ ${\mathcal {D}}_{3}^{+}$ 요소는 단순한 기호입니다.

{\displaystyle{\begin{alignedat}(\operatorname{T}\operatorname{T}\right)&, =&, &, f_ᆰ\left(\operatorname{T}\right)3^{1}+&, &, f_ᆲ\left(\operatorname{T}\right)3^{0}&, &, =&, &,())&,&3&,&\,+\,&, &,())&,&1&,&=-4\\v\left(\operatorname{T}1\right)&, =&, &, f_{}\left(\opera.torname{T}\right)3^{1}+&,&f_ᆭ\left(1\right)3^{0}&, &, =&, &,())&,&3&,&\,+\,&, &,(1)&,&1&,&=-2\\v\leFt(1\operatorname{T}\right)&, =&, &, f_ᆱ\left(1\right)3^{1}+&, &, f_ᆳ\left(\operatorname{T}\right)3^{0}&, &, =&, &,(1)&,&3&,&\,+\,&, &,())&,&1&,&=2\\v\left(11\right)&, =&, &, f_ᆵ\left(1\right)3^{1}+&, &, f_ᆷ\left(1\right)3^{0}&, &, =&, &,(1)&,&3&,&\,+\,&am.P.&(1)&,&1&,&=4\\v\left(1\operatorname{T}0\right)&, =f_ᆬ\left(1\right)3^{2}+&, &, f_ᆮ\left(\operatorname{T}\right)3^{1}+&, &, f_{}\left(0\.그렇죠)3^{0}&,&=(1)9\,+\,&, &,())&,&3&,&\,+\,&, &,(0)&,&1&,&=6\\v\left(10\operatorname{T}\right)&, =f_ᆳ\left(1\right)3^{2}+&, &, f_ᆵ\left(0\right)3^{1}+&, &, f_ᆷ\left(\operatorname{T}\right)3^{0}&, &, =(1)9\,+\,&, &,(0)&,&3&,&\,+\,&, &,())&,&1&, 및.;=8\\\end{alignedat}}}

그리고 위의 반복 관계를 사용하여

\displaystyle v\left(101\operatorname {T} \right)=f_{}\left(1\right)3^{3}+left(01\operatorname {T} \right)=(1)27+v\left(1\operatorname {T} \right)=27+2=29.}

10진수로 변환

평형삼원계에서 기수점 왼쪽 자리수 n자리 값은 자릿수와 3의ⁿ 곱이다.이는 10진수와 평형 삼진수 사이에서 변환할 때 유용합니다.평형 삼원형을 나타내는 다음 문자열에는 bal3라는 접미사가 붙습니다.예를 들어.

10_bal3 = 1 × 3¹ + 0 × 3⁰ = 3₁₀

10Ω_bal3 = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (-1) × 3⁰ = 8₁₀

-9₁₀ = -1 × 3² + 0 × 3¹ + 0 × 3⁰ = 𝖳00_bal3

8₁₀ = 1 × 3² + 0 × 3¹ + (-1) × 3⁰ = 10Ω_bal3

마찬가지로, 기수점 오른쪽의 첫 번째 자리에는 3 =가 있습니다⁻¹.두 번째 순위는 3 = 1/9 등입니다⁻².예를 들어.

-23₁₀ = -1 +1/3 = -1 × 3⁰ + 1 × 3⁻¹ = δ.1_bal3.

12월	Bal3	팽창
0	0	0
1	1	+1
2	1𝖳	+3−1
3	10	+3
4	11	+3+1
5	1𝖳𝖳	+9−3−1
6	1𝖳0	+9−3
7	1𝖳1	+9−3+1
8	10𝖳	+9−1
9	100	+9
10	101	+9+1
11	11𝖳	+9+3−1
12	110	+9+3
13	111	+9+3+1

12월	Bal3	팽창
0	0	0
−1	𝖳	−1
−2	𝖳1	−3+1
−3	𝖳0	−3
−4	𝖳𝖳	−3−1
−5	𝖳11	−9+3+1
−6	𝖳10	−9+3
−7	𝖳1𝖳	−9+3−1
−8	𝖳01	−9+1
−9	𝖳00	−9
−10	𝖳0𝖳	−9−1
−11	𝖳𝖳1	−9−3+1
−12	𝖳𝖳0	−9−3
−13	𝖳𝖳𝖳	−9−3−1

단위 자리 숫자가 0인 경우에만 정수는 3으로 나눌 수 있습니다.

모든 트리트의 합계 패리티를 체크함으로써 균형 잡힌 삼원 정수의 패리티를 체크할 수 있습니다.이 합계는 정수 자체와 동일한 패리티를 가집니다.

평형 삼진법은 기수점 ^[4]오른쪽에 10진수를 쓰는 방법과 유사한 소수점까지 확장할 수도 있습니다.

십진수	−0.9	−0.8	−0.7	−0.6	−0.5	−0.4	−0.3	−0.2	−0.1
밸런스 삼항식	𝖳 010 0	1.1번	𝖳.10 00	11일	0. or 또는 𝖳.1	0. 1111	0. 10010	0 . 11 0	0.0Ω01
십진수	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1
밸런스 삼항식	1.0Ω01	1. 11 1	1. 010년	1. 11.	0.1 또는 1.Ω	0.11Ω	0.10Ω0	0.1Ω1	0.010Ω

10진수 또는 2진수에서는 정수값과 종료분수가 여러 개 표시됩니다.예를 들어 1/10 = 0.1 = 0.10 = 0.09입니다.그리고 1/2 = 0₂.1 = 0.10₂ = 0.01입니다₂.일부 균형 삼원분수는 여러 개의 표현도 가지고 있다.예를 들어 1/6 = 0.1Ω_bal3 = 0.01입니다_bal3.확실히, 10진수와 2진수에서는 기수점 뒤의 맨 오른쪽 끝 무한 0을 생략하고 정수 또는 종료 분수를 나타낼 수 있습니다.그러나 균형 삼진수에서는 기수점 뒤의 오른쪽 끝 무한 -1s를 생략할 수 없습니다.정수 또는 끝 분수의 표현을 얻기 위해서입니다.

Donald^[5] Knuth는 절단과 반올림은 균형 삼진법에서 동일한 연산이며, 정확히 동일한 결과(다른 균형 숫자 시스템과 공유되는 속성)를 산출한다고 지적했다.숫자 1/2도 예외는 아닙니다.두 개의 동등한 유효한 표현과 두 개의 동등한 유효한 잘라내기(0으로 반올림, 0으로 잘라내기)와 1.Ω(1로 반올림, 1로 잘라내기)가 있습니다.홀수 기수를 사용하면 짝수 기수와 달리 이중 반올림은 최종 정밀도로 직접 반올림하는 것과 같습니다.

기본 연산(더하기, 빼기, 곱하기 및 나누기)은 일반 3진법과 동일하게 수행됩니다.2에 의한 곱셈은 그 자체에 숫자를 더하거나 a-트리트-왼쪽 시프트 후에 자신을 빼서 할 수 있습니다.

평형삼진수의 연산시프트좌는 3의 (정, 적분)승에 상당하고, 평형삼진수의 연산시프트우측은 3의 (정, 적분)승에 상당한다.

분수 변환 및 분수와 분수 변환

분율	평형 삼진법
1	1
1/2	0.1	1. 1
1/3	0.1
1/4	0.1Ω
1/5	0.1Ω1
1/6	0.01	0.1Ω
1/7	0.0110Ω
1/8	0.01
1/9	0.01
1/10	0.010Ω

분율	평형 삼진법
1/11	0.01Ω11
1/12	0.01Ω
1/13	0.01Ω
1/14	0.01 0 0 1 1
1/15	0.01Ω1
1/16	0.01Ω
1/17	0.01 0 10 0 0 11 111 01 0 1
1/18	0.001	0.01Ω
1/19	0.00111 1010100 01 00
1/20	0.0011

반복 균형 삼진수를 분수로 변환하는 것은 반복 십진수를 변환하는 것과 유사합니다.예를 들어 (11111_bal3 = (3⁶ - 1/3 - 1)₁₀ 때문에):

0.1인치 오버라인 {110}TT0} }} = 149 tfrac {1110TT0-1} {\mathrm {1111\times 1T\times 10}} = 124tfrac {1110}TTT} {\mathrm {1111\times 1T0} =tfrac {mathrm {times 1000T} } {\mathrm {times 1001\times 1T0} =tfrac {\mathrm {11\times 1Times 1T} =times frac {\mathr}T} } {\mathrm {1}TT0} }} = tfrac {101} {\mathrm {1T10} }

무리수

다른 정수 기저와 마찬가지로, 대수적 비합리수와 초월수는 종료되거나 반복되지 않는다.예를 들어 다음과 같습니다.

십진수	평형 삼진법
${2}}=1.4142135623731\ldots$	$displaystyle (디스플레이 스타일)T}}}=\mathrm {1.11T1TT00T00T01T0T00T00T01TT\ldots } }$
${3}}=1.7320508075689\ldots$	${\mathrm {10}}=\mathrm {1T}.T1TT10T0000TT1100T0TTT011T0\ldots}$
${5}}=2.2360679774998\ldots$	$displaystyle (디스플레이 스타일)TT}}}=\mathrm {1T.1T0101010TT1T11010TTT01T1\ldots } }$
${\textstyle \varphi = specfrac {1+{\specrt {5}}{2} = 1.6180339887499\ldots }$	${\textstyle \varphi = parfrac {1+{\mathrm {1}TT}}}{\mathrm {1}T}}}=\mathrm {1T}.T0T01T0T10TT11T0011T10011\ldots}$
$\displaystyle \displays = 6.28318530717959\ldots }$	$\displaystyle \mathrm {1T0.10TT0T1100T110TT0T1TT000001} \ldots }$
$\displaystyle \pi = 3.141592658979\ldots }$	$\displaystyle \pi =\mathrm {10.011T1000T011T1101T1111} \ldots }$
$e=2.718282845905\ldots$	$e=\mathrm {10}.T0111T0T0T111T011T011T000T11T} \ldots$

OEIS에서는 $\pi$ 잡힌 3진수 확장 $§(\displaystyle$ \pi $)$ 가 A331313, A331990에서는 e $\displaystyle$ e로 제시되어 $e$ .

3진수로부터의 변환

언밸런스 삼진법은 다음 두 가지 방법으로 균형 삼진법으로 변환할 수 있습니다.

캐리(carry)가 있는 첫 번째 0이 아닌 삼중수소에서 1 트리트 바이 트리트를 더한 다음, 차입 없이 동일한 삼중수소에서 1 트리트 바이 트리트를 뺀다.예를들면,
021₃ + 11₃ = 102₃, 102₃ - 11₃ = 1T1_bal3 = 7₁₀ 。
3진수로 2가 있으면 1T로 변환한다.예를들면,
0212₃ = 0010_bal3 + 1T00_bal3 + 001T_bal3 = 10TT_bal3 = 23₁₀

균형 잡힌	논리	서명 없음
1	진실의	2
0	알 수 없는	1
T	거짓의	0

3진법의 3가지 값이 false, unknown 및 true이며, 이들 값이 T, 0 및 1로 평형삼진법과 0, 1, 2로 평형삼진법에 매핑되어 있으면 평형삼진법은 오프셋이진법과 유사한 바이어스수계로 볼 수 있다.3진수가 n개의 trit일 경우 바이어스 b는

{\displaystyle b=\left\lfloor {frac {3^{n}}{2}}\right\loor

모두 관습적이거나 편향된 ^[6]형태로 표현됩니다.

그 결과 이들 2개의 표현을 평형 및 부호 없는 3진수로 하면 바이어스 b를 가산함으로써 부호 없는 n-트리트의 정삼진수를 평형상으로 변환할 수 있고, 바이어스 b를 감산함으로써 정평형수를 부호 없는 형태로 변환할 수 있다.또한 x와 y가 평형수일 경우 이들의 평형합은 기존의 부호 없는 3진수 산술로 계산했을 때 x + y - b가 된다.마찬가지로 x와 y가 기존의 부호 없는 3진수일 경우 균형 3진수 산술을 사용하여 계산했을 때 합계는 x + y + b가 됩니다.

임의의 정수 베이스에서 균형 잡힌 3진수로 변환

다음 공식으로 균형 3진수로 변환할 수 있습니다.

\displaystyle \left(a_{n}a_{n-1}\cdots a_{0}c_{1}c_{2}c_{3}\cdots\right)_{b}=\sum_{k}a_{k}+\sum_k={k}b^{k}^{k={k}^{k}{\fty}cdots_cdots_c} }}

어디에,

a_na_n−1...a₁a₀.c₁c₂c₃...는 원래 숫자 체계에서의 원래 표현입니다.

b는 원래 기수이다.b는 10진수에서 변환할 경우 10이다.

a와_k_k c는 각각 기수점 왼쪽과 오른쪽에 있는 k자리 숫자입니다.

예를 들어.

-25₁₀.4 = -(1T×101¹ + 1T×101⁰ + 11×101⁻¹) = -(1T×101 + 1T + 11µ101) = -10T1.11TT = T01T.TT11

1010.1₂ = 1T¹⁰ + 1T¹ + 1T⁻¹ = 10T + 1T + 0.1 = 101.1

덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈

단일 트리트 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈 표는 다음과 같습니다.가환적이지 않은 감산 및 나눗셈의 경우 첫 번째 피연산자는 표의 왼쪽에 표시되고 두 번째 피연산자는 상단에 표시됩니다.예를 들어, 1 - T = 1T에 대한 답은 감산 표의 왼쪽 아래에 있습니다.

추가
+	T	0	1
T	T1	T	0
0	T	0	1
1	0	1	1T

뺄셈
−	T	0	1
T	0	T	T1
0	1	0	T
1	1T	1	0

곱셈
×	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

나누기
÷	T	1
T	1	T
0	0	0
1	T	1

멀티 트리트 덧셈 및 뺄셈

멀티 트리트 덧셈과 뺄셈은 이진법 및 십진법과 유사합니다.삼중수소를 삼중수소로 더하고 빼서 캐리어를 적절히 더한다.예를 들어 다음과 같습니다.

1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1TT1 1TT1TT.1T1 + 11T1T - 11T1 。T - 11T1 。T → + TT1T.1 ___________________________________________________________________________TT1 1T1001TT1 1T1001TT1 + 1T + T1 + TT _______________________________________________________________________________________TT1 1110TT.TT1 1110TT.TT1 + T + T1 + T1 ___________________________________________________________________________110.0TT1 1100T.TT1 1100T.TT1

멀티트리트 곱셈

다중 트리트 곱셈은 이진법 및 십진법과 유사합니다.

1TT1.TT × T11T.1 _____________1T.1TT 곱하기 1 T11 T.11 곱하기 1 TT1 TT 곱하기 1 TT1TT 곱하기 1 T11 곱하기 T __________0T0000T.10T

멀티 트리트 분할

균형 삼원 나눗셈은 이진수 및 십진수 나눗셈과 유사합니다.

단₁₀, 0.5 = 0.1111..._bal3또는 1.TTT..._bal3만약 플러스 또는 마이너스 반수의 배당이 있다면, 몫의 삼중수소는 1 또는 T가 되어야 한다.만약 배당이 절반의 제수의 더하기와 빼기 사이에 있다면, 몫의 삼중수소는 0이다.배당의 크기는 몫 삼중수소를 설정하기 전에 제수의 절반과 비교해야 한다.예를들면,

1TT1.TT지수 0.5×인자 T01.0 _____________ 인자 T11T.1)T0000T.10T 배당 T11T1 T000<>T010,;10T0, T. 세트 1_______ 1T1T0 1TT1T 1T1T0 을을 세웠다                   _____111T 1TT 111T > 10T0, T____T00.1 T001 < T010, 1 _____1T1.00 1TT로 설정합니다.1T 1T100 > 10T0, T _____1T로 설정합니다.T1T 1TT1T 1TT 1T > 10T0, T _____0 으로 설정합니다.

또 다른 예로는

1TT 0.5 × 제수 1T _____제수 11)1T01T = 1T, 단 1T.01 > 1T, 세트1 11 ____ T10 < T1, 세트TT ____________T11 T11 < T1, TT ___TT < T1, TT ___0 으로 설정합니다.

또 다른 예로는

101.TTTTTTT... 또는 100.11111111...0.5 × 제수 1T __________________________________________________________________________________________________________________________________TTTTTTT... 또는 0.11111111...

제곱근과 입방근

평형 삼진법으로 제곱근을 추출하는 과정은 10진법이나 2진법과 유사합니다.

(10\cdot x+y)^{\mathrm {1T}-100\cdot x^{\mathrm {1}T} = \mathrm {1T0} \cdot x\cdot y+y^{\mathrm {1}T} = cdot {case}\mathrm {T10} \cdot x+1,&y=\mathrm {T} \\0,&y=0\mathrm {1T0} \cdot x+1,&y=1\end {cases}

나눗셈과 마찬가지로 먼저 반수의 값을 확인해야 합니다.예를들면,

1. 1 T 1 T T 0 0 ..._____________________ 1 1T 1 < 11, 세트 1 - 1 ___1×10=10 1.0TT>0.10, 1 T0 - 1 을 설정합니다.T0 ____11×10=110 1T0T 1T0 - 10T0 1T0 > 110, 10T0 - 10T0 1세트 ______111×10=1110 T1T0T <TT0, 설정 T100T0 - T0010 _______111T×10=420T0 1TT0 1TT0, 설정 10T110 - 10T110 _________111×10=131T10 TT1TT0T TT1TT <TT1T0, T100 설정TT0 - T001110 ____________111T1T×10=420T1T0 T001TT0T T001TT0T <TT1T10, 세트 T10T11110 - T01TTT0 ______________111T1TT×10=1020T1TT0 T001T0T TT1T110 <T001T0T> 111T1TT0, 세트0 - T Return 1 __________111T1TT0×10=1020T1TT00 T001T000T TT1T1100 < T001T000T < 111T1TT00, 세트0 - T Return 1 ____________111T1TT00*10=180T1TT000 T001T00000T...

평형 3진수에서의 세제곱근 추출은 10진수 또는 2진수에서의 추출과 유사합니다.

{\displaystyle (10\cdot x+y)^{10}-1000\cdot x^{10}=y^{10}+1000\cdot x^{\mathrm {1}T} }\cdot y+100\cdot x\cdot y^{\mathrm {1}T} = spec{case}\mathrm {T} +\mathrm {1T} \cdot x^{\mathrm {1T} + 100\cdot x, &y= 0\1+1000\cdot x^{\mathrm {1T} + cdot x\cdot x,\cdot x\y=

나눗셈과 마찬가지로 반수의 값도 먼저 확인해야 합니다.예를 들어 다음과 같습니다.

1. 1 T 1 0 ...________________ 1 1 1T - 1 < 10T 、 set 1 ______1,000 1 × 100 = 100 - 0.100 100 100 _ _ do ____________________________________________________1TT 1T00 1T00 > 1TT, 1 × 1 × 1000 + 1 = 1001 - 1 . 001 _ _ _ _ _ __ T0T000 11 × 100 - 1100 100 100 _ _ do do do do ____ 10T000 TT1T00 < T01000 、 T11 × 1000 + 1 = 1 。TT1001 - T11T00T __________1TT01000 11T×100 - 11T00 대출 100×, 중분류 ___________1T01TT 1TT0100 1TTT0100 > 1T1T01TT, 1세트 11T×11T×1000+1=11111001 - 11111001 __________1T10T000 11T1×100 - 11T100 100× 대출, 중분류 ____________________________________________________________________TT 1T0T00 T010T11 <1T0T00> 10T0T01TT, 0 11T1×11T1×1000+1=1로 설정TT1T11001 - TT1T00은 100×____________1T10T000000을 반환한다...

따라서 √2 = 1.259921₁₀ = 1.1T1 000 111 001 T01 00T 1T1 T10 111_bal3.

적용들

컴퓨터 디자인

조작표

컴퓨팅 초기에는 소련의 몇몇 실험용 컴퓨터가 바이너리 대신 균형 잡힌 3진법으로 제작되었습니다.가장 유명한 것은 니콜라이 브루센초프와 세르게이 소볼레프가 만든 세툰입니다.이 표기법은 기존의 이진법 및 삼진법에 비해 많은 계산상의 이점이 있습니다.특히 플러스 마이너스 일관성은 여러 자리 곱셈의 이월률을 낮추고 반올림 등가성은 분수에 대한 반올림 시 이월률을 낮춥니다.평형 삼진법에서는 1자리 곱셈 테이블은 1자리 자리수를 유지하고 자리수가 없으며 가산 테이블은 각각 1자리, 3자리인 불균형 삼진법에 비해 9개의 엔트리 중 자리수가 2자리밖에 없다.

"균형 3진법 산술회로의 복잡도는 이진법 산술회로의 복잡도보다 크지 않습니다.또한 특정 수치에는 로그 3 ^[5] $\log _{3}2\approx 63\%$ 2 $\log _{3}2\approx 63\%$ 63 $%$ (\ $displaystyle \log$ _ { $3}$ 2 \ $63$ 63 $%$ )만 $\log _{3}2\approx 63\%$ 있으면 표현됩니다."
"아마도 이 숫자 체계에서 대칭적인 특성과 간단한 산술이 언젠가는 ^[5]꽤 중요한 것이 될 것입니다."

기타 응용 프로그램

모든 정수가 균형 3진수에서 고유한 표현을 가지고 있다는 정리는 레온하르트 오일러에 의해 형식 멱급수의^[7] 동일성을 정당화하기 위해 사용되었다.

\displaystyle _{n=0}^{\infty}\left(x^{-3^{n})+1+x^{3^{n}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n}.}

균형 3진법에는 컴퓨팅 외에 다른 응용 프로그램이 있습니다.예를 들어, 3의 검정력당 하나의 무게를 갖는 기존의 2팬 저울은 두 팬과 테이블 사이에서 무게를 이동시킴으로써 적은 수의 무게로 비교적 무거운 물체의 무게를 정확하게 측정할 수 있다.예를 들어, 60그램 물체(60₁₀ = 1T1T0_bal3)는 각 힘의 무게가 3 ~ 81그램일 때 다른 팬의 81그램 무게, 27그램 무게, 다른 팬의 9그램 무게, 자신의 팬의 3그램 무게 및 1그램 무게와 완벽하게 균형을 맞출 수 있습니다.

마찬가지로, 1센트, 3센트, 9센트, 27센트, 81센트 동전이 있는 통화 체계를 생각해 보자.구매자와 판매자가 각각 1개씩 가지고 있는 코인이라면 121엔까지 거래가 가능합니다.예를 들어, 가격이 7파운드(7 = 1T1_bal3)이면₁₀ 구매자는 1파운드 + 9파운드를 지불하고 거스름돈으로 3파운드를 받습니다.

또한 Qutrit 및 이를 사용하는 시스템에 대해 보다 자연스러운 표현을 제공할 수도 있습니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov (1963). "Chapter 10. Program-controlled machine Setun". In M.R.Shura-Bura (ed.). Programming (in Russian). Moscow.
^ ^a ^b Hayes, Brian (2001), "Third base" (PDF), American Scientist, 89 (6): 490–494, doi:10.1511/2001.40.3268.전재
^ 를 클릭합니다Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (in Latin), p. 38.
^ Bhattacharjee, Abhijit (24 July 2006). "Balanced ternary". Archived from the original on 2009-09-19.
^ ^a ^b ^c Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming. Vol. 2. Addison-Wesley. pp. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.
^ Douglas W. Jones, Ternary Number Systems, 2013년 10월 15일
^ Andrews, George E. (2007). "Euler's "De Partitio numerorum"". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 44 (4): 561–573. doi:10.1090/S0273-0979-07-01180-9. MR 2338365.

^ $f_{}(0)=0$ 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 은 $0$ 등호 $f_{}(0)=0$ ( $f_{}(0)=0$ ) $=$ 0(\ $displaystyle f_$ {}(0 $)=0$ )에 $f_{}(0)=0$ 두 번 표시되지만 이러한 인스턴스는 동일한 것을 나타내지 않습니다.오른쪽 $({displaystyle$ 0})은 $0$ 정수 0을 의미하지만 ${\mathcal {D}}_{3}$ $(\displaystyle$ ${\mathcal {D}}_{3}$ f})의 괄호안에 $있는 0({displaystyle$ 0 ${\mathcal {D}}_{3}$ 의 $0$ 인스턴스는 (의미 없는 $)$ 기호로 간주해야 합니다.그 이유는 이 글에서 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ { ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ 0 , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ { $style$ { $mathcal {D} _$ {3} = \ $lbrace \operatorname {T}$ , $0$ , $1$ \ $rrace$ } ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ (이 선택으로 인해 모호성이 도입됨)을 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ 했지만, 이 세트는 예를 들어 { ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ 로 구성될 수 있기 때문입니다. $playstyle {mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T},\operatorname {U},\operatorname {V}$ \ $rbrace$ .} 이 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ 모호성은 " $f(0)$ $f(0)$ $f(0)=0$ $f(0)$ ) $f(0)$ $=$ $f(0)$ { $displaystyle$ $f$ $f(0)$ ( $0$ )"로 $f(0)=0$ 대체하여 $f(0)$ 제거할 수 있습니다. $0_{10}$ 0 $({$ 은 $0_{10}$ 기본 10의 일반적인 정수 값을 나타냅니다. $f_{}(1)=1.$ ) $=$ . $f_{}(1)=1.$ { $displaystyle f_{}(1$ )= $1$ 의 $기호$ 1 $(style$ 1)도 $1$ 마찬가지입니다 $.$ $}$

외부 링크

모스크바 주립대학교 삼원 컴퓨터 개발
평형 삼진수에서의 소수 표현
3진법, 3진법, 균형 3진법
평형 삼진수 시스템(10진수에서 평형 삼진수 변환기 포함)
OEIS 시퀀스 A182929(균형 3진 리스트로 축소된 이항 삼각형)
밸런스(서명) Brian J. Shelburne의 삼원 표기법 (PDF 파일)
마크 글러스커의 토마스 파울러의 삼진수 계산기

[setun-1] N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov (1963). "Chapter 10. Program-controlled machine Setun". In M.R.Shura-Bura (ed.). Programming (in Russian). Moscow.

[hayes-2] Hayes, Brian (2001), "Third base" (PDF), American Scientist, 89 (6): 490–494, doi:10.1511/2001.40.3268.전재

[3] 를 클릭합니다Stifel, Michael (1544), Arithmetica integra (in Latin), p. 38.

[5] Bhattacharjee, Abhijit (24 July 2006). "Balanced ternary". Archived from the original on 2009-09-19.

[Knuth-6] Knuth, Donald (1997). The art of Computer Programming. Vol. 2. Addison-Wesley. pp. 195–213. ISBN 0-201-89684-2.

[7] Douglas W. Jones, Ternary Number Systems, 2013년 10월 15일

[8] Andrews, George E. (2007). "Euler's "De Partitio numerorum"". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 44 (4): 561–573. doi:10.1090/S0273-0979-07-01180-9. MR 2338365.

[Ambiguous_0-4] $f_{}(0)=0$ 0 $(\displaystyle$ 0 $)$ 은 $0$ 등호 $f_{}(0)=0$ ( $f_{}(0)=0$ ) $=$ 0(\ $displaystyle f_$ {}(0 $)=0$ )에 $f_{}(0)=0$ 두 번 표시되지만 이러한 인스턴스는 동일한 것을 나타내지 않습니다.오른쪽 $({displaystyle$ 0})은 $0$ 정수 0을 의미하지만 ${\mathcal {D}}_{3}$ $(\displaystyle$ ${\mathcal {D}}_{3}$ f})의 괄호안에 $있는 0({displaystyle$ 0 ${\mathcal {D}}_{3}$ 의 $0$ 인스턴스는 (의미 없는 $)$ 기호로 간주해야 합니다.그 이유는 이 글에서 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ { ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ 0 , ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ { $style$ { $mathcal {D} _$ {3} = \ $lbrace \operatorname {T}$ , $0$ , $1$ \ $rrace$ } ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ (이 선택으로 인해 모호성이 도입됨)을 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,0,1\rbrace$ 했지만, 이 세트는 예를 들어 { ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ 로 구성될 수 있기 때문입니다. $playstyle {mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T},\operatorname {U},\operatorname {V}$ \ $rbrace$ .} 이 ${\mathcal {D}}_{3}=\lbrace \operatorname {T} ,\operatorname {U} ,\operatorname {V} \rbrace .$ 모호성은 " $f(0)$ $f(0)$ $f(0)=0$ $f(0)$ ) $f(0)$ $=$ $f(0)$ { $displaystyle$ $f$ $f(0)$ ( $0$ )"로 $f(0)=0$ 대체하여 $f(0)$ 제거할 수 있습니다. $0_{10}$ 0 $({$ 은 $0_{10}$ 기본 10의 일반적인 정수 값을 나타냅니다. $f_{}(1)=1.$ ) $=$ . $f_{}(1)=1.$ { $displaystyle f_{}(1$ )= $1$ 의 $기호$ 1 $(style$ 1)도 $1$ 마찬가지입니다 $.$ $}$

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정의.

삼원 정수 평가

10진수로 변환

분수 변환 및 분수와 분수 변환

무리수

3진수로부터의 변환

임의의 정수 베이스에서 균형 잡힌 3진수로 변환

덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈

멀티 트리트 덧셈 및 뺄셈

멀티트리트 곱셈

멀티 트리트 분할

제곱근과 입방근

적용들

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