곱하기(풀리어 분석)

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푸리에 분석에서 승수 연산자는 선형 연산자의 한 유형, 즉 함수의 변환이다.이들 연산자는 푸리에 변환을 변경하여 함수에 작용한다.구체적으로는 함수의 푸리에 변환에 승수 또는 기호로 알려진 특정 함수를 곱한다.때때로 곱셈 연산자라는 용어는 단순히 곱셈으로 단축된다.^[1]간단히 말해서, 승수는 어떤 기능에 관련된 주파수를 재구성한다.이 연산자의 종류는 넓은 것으로 밝혀졌다: 일반 이론은 일부 (매우 온화한) 정규성 조건을 준수하는 그룹의 번역-불변환 연산자를 곱셈 연산자로 표현할 수 있다는 것을 보여준다.^[2]힐버트 변환과 같이 더 복잡한 예가 많지만 번역이나 분화 같은 익숙한 연산자는 다수 연산자다.

신호 처리에서 멀티플라이어 연산자를 "필터"라고 하며, 멀티플라이어는 필터의 주파수 응답(또는 전송 함수)이다.

더 넓은 맥락에서, 다중 연산자는 스펙트럼 다중 연산자의 특별한 경우로서, 연산자(또는 통근 연산자 가족)의 기능적 미적분에서 발생한다.그들은 또한 사이비 차등 연산자의 특별한 경우로서, 더 일반적으로 푸리에 적분 연산자의 경우다.L^p 경계 승수 연산자의 특성화(아래 참조)와 같이 이 분야에는 여전히 열려 있는 자연스런 질문이 있다.

곱셈 연산자는 둘 다 곱셈 연산을 수반한다는 점을 제외하고는 라그랑주 곱셈 연산자와 무관하다.

푸리에 변환에 필요한 배경은 해당 페이지를 참조하십시오.추가적인 중요한 배경은 페이지 운영자 규범과 L 공간에서^p 찾을 수 있다.

예

단위 원에 정의된 주기적 함수의 설정에서 함수의 푸리에 변환은 단순히 푸리에 계수의 시퀀스일 뿐이다.분화가 승수로 실현될 수 있도록 주기적 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$) . ${\displaystyle f(t$)의 파생형에 대한 푸리에 시리즈를 고려한다$.$${}$ 푸리에 계수의 정의에서 부품별 통합을 사용한 후$$, 다음과 같은 결과를 얻음

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f')(n)=\int _{-\pi }^{\pi }f'(t)e^{-int}\,dt=\int _{-\pi }^{\pi }(in)f(t)e^{-int}\,dt=in\cdot {\mathcal {F}}(f)(n)}$.

따라서, 형식적으로, 파생상품에 대한 푸리에 시리즈는 $단순히{\displaystyle }$f {\$displaystyle f$}에 $인자{\displaystyle }$ i ${\displaystyle n}${\$displaystyle in$}을$$ 곱한 푸리에 시리즈일 뿐이다$.$이는 차별화가 승수 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle in}$을(를) 가진 승수 연산자라고 말하는 것과 같다$.$

실제 라인의 함수에 작용하는 멀티플라이어 연산자의 예는 힐버트 변환이다.힐버트 변환은 $m{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle (}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle \mathrm{ign}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$ ) {\$displaystyle m(\xi )=-i\operatorname {sgn}(\xi )$에 의해 승수가 주어지는 복수 연산자임을 알 수 있다$.$ 여기서 sgn은 기호 함수다.

마지막으로 승수의 또 다른 중요한 예는 푸리에 변환에 대한 "부분 합계" 연구에서 발생하는$$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 있는 단위 큐브의 특성 함수다(Fourier 시리즈의 수렴 참조).

정의

멀티플라이어 연산자는 푸리에 변환도 정의되는 그룹 G(특히, 국소 소형 아벨리아 그룹에서)에 정의될 수 있다.일반적인 정의는 다음과 같다.${\displaystyle f\mathbb{}}$: G${\displaystyle }$→ C ${\$$G\to \mathb {C}}$은(는) 충분히 정규 함수로서, ${\displaystyle f\mathbb{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$: ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$→ C ${\$ {$f}:$${\hat{G}\to \mathb {C}은($는) 푸리에 변환을$$ 나타낸다($여기$서 G$^$ {\$displaystyle {\hat$ {$G}}$은(는) G의 폰트랴긴 듀얼이다).Let $m{\displaystyle }$: ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\$은(는) 또 다른 함수를 나타내며$$, 이를 승수라고 부른다.그런 다음 이 기호 m과 ${\displaystyle {연관}_{}}$된 곱셈 $연산자{\displaystyle }$ T${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ m ${\$를 공식으로 정의한다.

${\displaystyle {\widehat{Tf}(\xi ):=m(\xi ){\hat {f}(\xi ).}$

즉, 주파수 ξ에서 Tf의 푸리에 변환은 그 주파수에서 f의 푸리에 변환에 의해 주어지며, 그 주파수에서 승수의 값을 곱한 것이다.이것은 "멀티플라이어"라는 용어를 설명한다.

상기 정의는 Tf만 암묵적으로 정의한다는 점에 유의하십시오. Tf를 명시적으로 복구하려면 푸리에 변환을 반전시킬 필요가 있다.f와 m 둘 다 충분히 매끄럽고 통합이 가능하다면 이것은 쉽게 할 수 있다.대상의 주요 문제 중 하나는 특정 승수 m에 대해 해당 푸리에 승수 연산자가 매우 낮은 정규성을 가질 때, 예를^p 들어, F가 L공간에 있다고 가정했을 때, 해당 푸리에 승수 연산자가 계속해서 잘 정의되는지 여부를 결정하는 것이다.아래의 "경계 문제"에 대한 토론을 참조하십시오.최소값으로, 일반적으로 곱셈 m을 경계하고 측정할 수 있어야 한다. 이 $값$은 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ 2$${\$displaystyle L^{2$}}에 경계선을 설정하기에 충분하지만$$ 일반적으로 다른 공간에 경계선을 지정할 만큼 충분히 강하지 않다.

곱셈 연산자 T를 푸리에 변환, m에 의한 점 곱셈 연산, 그리고 그 다음에 역 푸리에 변환이라는 세 연산자의 구성으로 볼 수 있다.동등하게, T는 푸리에 변환에 의한 점 곱셈 연산자의 결합이다.따라서, 사람들은 멀티플라이어 연산자를 푸리에 변환에 의해 대각선으로 된 연산자로 생각할 수 있다.

공통 그룹에 대한 다중 연산자

우리는 이제 위의 일반적인 정의를 특정 그룹 G로 전문화한다.먼저 G에 대한 단위 ${\displaystyle 원\mathrm{}}$ G${\displaystyle }$= R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ${\displaystyle \pi \mathbb{}}$ Z${\displaystyle ;}$ ${\displaystyle G=\mathb {R} /2\pi \mathb {Z};}$ 함수를$$ 실제 선에서 2 π 주기 함수로 생각할 수 있다.이 그룹에서 폰트랴긴 듀얼은 정수의 그룹, $G{\displaystyle \stackrel{}{}^}$ = ${\displaystyle Z\mathbb{}.}$ ${\displaystyle {\g}=\mathb {Z}}}$ 푸리에 변환(충분히 정규 함수 f에 대해)은$$ 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat {{f}(n):={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}dt}$

그리고 역 푸리에 변환은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle f(t)=\sum _{n=--\ft }^{\ft}{\hat{f}(n)e^{int}.}$

이 설정의 승수는 단순히 숫자의 순서$$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$ = -${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$displaystyle (m_{n})_{n=-\infit }^{\infit }}}}}}$에 해당하며, $연산자{\displaystyle }$T = ${\displaystyle T_{}}$ m$${\$displaystyle T=T_{m}}}}$는 이 승수와 연관된$$ 공식으로 주어진다.

${\displaystyle(Tf)(t):=\sum _{n=-\infit }^{}m_{n}{\hat {f}(n)e^{int}}}}$

최소한 승수$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle n_{}^{}}$= -${\displaystyle {\mathrm{\infty }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$과 함수 f의 충분히 적절한 선택에 대해서는.

Now let G be a Euclidean space ${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$. Here the dual group is also Euclidean, ${\displaystyle {\hat {G}}=\mathbb {R} ^{n},}$ and the Fourier and inverse Fourier transforms are given by the formulae

${\displaystyle {\displaysty}{\hat {f}(\xi ):={}&\int _{\mathb {R} ^{n}f(x)e^{-2\pi ix\cdot \x\cdot \x\f(x)={}\mathb {R}^{n}{n}{\hat {f}(\xi )e^{2\pi ix\cdx\xxxxxxxxxxxxxi.\end{정렬}}}$

이 설정의 승수는 함수 $m{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}$→ ${\displaystyle C\mathbb{}}$, ${\displaystyle m:\mathb {R} ^{n}\to \mathb {C} ,}$이며, 연관된 승수 $연산자{\displaystyle }$T = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}${\$displaystyle T=T_{m}$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle Tf(x):=\int _{\mathb {R} ^{n}m(\xi ){\hat {f}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi \d\xi ,}$

승수와 함수에 대해 충분히 강한 규칙성과 경계성 가정을 다시 가정한다.

분포의 의미에서는, 승수 연산자와 콘볼루션 연산자 사이에는 차이가 없다; 모든 승수 T는 Tf = f∗K 형태로 T의 콘볼루션 커널이라고 알려진 일부 유통 K에 대해서도 표현할 수 있다.이 견해에서 금액 x에₀ 의한 번역은 디락 델타 함수 Δ(· - x₀)로 경합하고, 분화는 Δ'로 경합한다.아래 표에 추가 예가 제시되어 있다.

도표

추가 예

유닛 서클에

다음 표에는 단위 원 $G{\displaystyle }$= R${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi \mathbb{}}$ Z${\displaystyle }$. ${\displaystyle G=\mathb {R} /2\pi \mathb {Z}$의 몇 가지 일반적인 예가 나와 있다$.$

이름	$곱하기{\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle m_{}}$ ${\$	연산자, $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle Tf(t)}$	커널, ${\displaystyle K}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(t)}$
ID 연산자	1	f(t)	디라크 델타 함수 $[\displaystyle \cHB(t)}$
상수 c에 의한 곱하기	c	cf(t)	$c\displaystyle c\property(t)}$
s별 번역	${\displaystyle e^{-ins}}$	f(t − s)	$[\displaystyle \des(t-s)}$
차별화	에	$(\displaystyle f'(t)}$	${\displaystyle \display '(t)}$
k-폴드 분화	$[\displaystyle(내부)]^{k}}}$	${\displaystyle f^{(k)}(t)}$	${\displaystyle \property ^{(k)}(t)}$
상수 계수 차등 연산자	${\displaystyle P(in)}$	${\displaystyle P\왼쪽({\frac {d}{dt}\오른쪽)f(t)}$	${\displaystyle P\왼쪽({\frac {d}{dt}\오른쪽)\delta(t)}$
순서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 부분 파생 모델	${\displaystyle n ^{\put }}$	${\displaystyle \왼쪽 {\frac {d}{dt}\오른쪽 ^{\reason }f(t)}$	${\displaystyle \왼쪽 {\frac {d}{dt}\오른쪽 ^{\reason }\reason (t)}$
평균값	${\displaystyle 1_{n=0}}$	${\displaystyle {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	1
무평균 성분	${\displaystyle 1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle f(t)-{\frac {1}{1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)\,dt}$	$[\displaystyle \displaystyle (t)-1}$
통합(평균이 없는 구성 요소)	${\displaystyle {\frac {1}{in1}1_{n\neq 0}}$	${\displaystyle {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }}(\pi -s)f(t-s)\,ds}$	톱토스 함수 ${\displaystyle {\frac {1}{1}{2}}\좌측(1-\좌측\{\frac {t}{2\pi }}}}오른쪽)}$
주기적 힐버트 변환 H	${\displaystyle 1_{n\geq 0}-1_{n<0}}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{-pi }{\frac {f}{e^{i(t-s):1}}\,ds}$	${\displaystyle p.v.2{\frac {f}{e^{i-s}:1}}\,ds}$
디리클레 합계 ${\displaystyle D_{}}$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\$	${\displaystyle 1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}{\hat {f}(n)e^{int}}}$	디리클레 커널 ${\displaystyle {\frac {\sin \left(\왼쪽(N+{\frac {1}{1}{2}}\오른쪽)t\오른쪽)}}{\sin \왼쪽 \frac {1}{2}}t\오른쪽)}}}$
Fejér Summation ${\displaystyle F_{}}$ $N{\displaystyle {}_{}}$ ${\$	${\displaystyle \leq N}(1-{\frac {n}{{N}\오른쪽)1_{-N\leq n\leq N}}$	${\displaystyle \sum _{n=-N}^{N}\왼쪽(1-{\{\frac {n}{N}\오른쪽){\hat{f}(n)e^{int}}}$	페제르 커널 ${\displaystyle {\frac {1}{N1}\좌({\frac {\sin \좌({\frac {1}{2}}Nt\우)}}{\sin \왼쪽 \frac {1}{1}{2}}t\오른쪽)^{2}}$
일반승수	${\displaystyle m_{n}}$	${\displaystyle \sum _{n=-\infit }^{}m_{n}{\hat{f}(n)e^{int}}}$	${\displaystyle T\delta (t)=\sum _{n=-\ft }^{\nft }m_{n}e^{int}}}}}$
일반 콘볼루션 연산자	${\displaystyle {\hat{K}(n)}$	$[\displaystyle f*K(t):={\frac {1}{2\pi }\int _{0}^{2\pi }f(s)K(t-s)\,ds}$	${\displaystyle K(t)}$

유클리드 우주에서

다음 표는 유클리드 공간 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 몇 가지 일반적인 예를 보여준다$.$

이름	곱하기, $m{\displaystyle }$ (${\displaystyle \xi }$) ${\displaystyle m(\xi )}$	연산자, ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle Tf(x)}$	커널, ${\displaystyle K}$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle K(x)}$
ID 연산자	1	f(x)	$[\displaystyle \design (x)}$
상수 c에 의한 곱하기	c	cf(x)	$C\displaystyle c\property (x)}$
y별 번역	${\displaystyle e^{2\pi iy\cdot \xi}}}$	${\displaystyle f(x-y)}$	$\displaystyle \cHB(x-y)}$
${\displaystyle \frac{d}{}}$ d $x{\displaystyle \frac{}{}}$ ${\$하나의 차원만 해당)	$2\pi i\xi }$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}(x)}$	${\displaystyle \property '(x)}$
부분파생상품 ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{j_{}}{}}$ ${\$	${\displaystyle 2\pi i\xi _{j}}$	${\displaystyle {\frac {\properties f}{\put x_{j}}}(x)}$	${\displaystyle {\frac {\reason \properties \}{\reason x_{j}}(x)}$
라플라시안 $\displaystyle \Delta }$	${\displaystyle -4\pi ^{2} \xi ^{2}}$	${\displaystyle \Delta f(x)}$	${\displaystyle \Delta \delta (x)}$
상수 계수 차등 연산자 $P{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \mathrm{\nabla }}$) ${\displaystyle$ P$(\nabla )}$	$P(i\xi )}$	${\displaystyle P(\nabla )f(x)}$	$(\displaystyle P(\nabla )\delta (x)}$
순서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 부분 파생 모델	${\displaystyle (2\pi \xi )^{\message }}}$	${\displaystyle(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}\delta (x)}$
$주문{\displaystyle }$ α$${\$displaystyle \alpha$}의 리에즈 잠재력	${\displaystyle (2\pi \xi )^{-\pi }}}$	${\displaystyle(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle(-\Delta )^{-{\frac {\alpha }}{2}}\delta(x)=c_{n,\alpha } x ^{\alpha -n}}$
베셀 잠재력$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$alpha }$	${\displaystyle \left(1+4\pi ^{2} \xi ^{2}\right)^{-{-{\frac {\frac }{2}}:$	${\displaystyle(1-\Delta )^{-{\frac {\alpha }{2}}f(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{(4\pi )^{\frac {\alpha }{2}}\Gamma \left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\pi }{s}} x ^{2}}e^{-{\frac {s}{4\pi }}}s^{\frac {-n+\alpha }{2}}{\frac {ds}{s}}}$
열 흐름 연산자 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$) ${\displaystyle \exp(t\Delta )}$	${\displaystyle \exp \left4\pi ^{2}t \xi ^{2}\오른쪽)}$	${\displaystyle \exp(t\Delta )f(x)={\frac {1}{1}{{{n}}}:{n}}:{n}:{n}{n}e^{-{\frac {x-y ^{4t}f(y)\,dy}$	열 커널 ${\displaystyle {\frac {1}{{{\pi t)^{\frac {n}{2}}:e^{-{-{\frac{x2}}:{4t}}}}}}}$
슈뢰딩거 방정식 진화 연산자 ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$) ${\displaystyle \exp(it\Delta )}$	${\displaystyle \exp \lefti4\pi ^{2}t \xi ^{2}\오른쪽)}$	${\displaystyle \exp(it\Delta )f(x)={\frac {1}{1}{{1}{{n}2}}\int_{\mathb{R}^{n}e^{i{\frac{x-y}}{4t}f(y)\,dy}$	Schrödinger $커널{\displaystyle \frac{\mathrm{}}{1}}$ (${\displaystyle \frac{4}{}}$ ${\displaystyle \frac{t{}^{}}{}}$i ${\displaystyle \frac{{t\frac{}{}}^{}}{}}$ ) ${\displaystyle {\frac{{}^{}}{\mathrm{}}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\displaystyle \frac{e^{}}{}{}^{}}$ x ${\displaystyle {\frac{{}^{\mathrm{}}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{4}{}}^{}}$ t ${\${1}{{1$}(pi it)^{\frac{n}{$2}}$e^{i{\frac${x${2}}:}}}}}}{$4t$}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}:$
Hilbert 변환 H(한 차원만 해당)	${sgn}(\xi )}$	${\displaystyle Hf:=p.v.{\frac {1}{\pi }\int_{-\inflt }^{-\inflt }{\frac {f(y)}{x-y}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac {1}{\pi x}}$
리에즈 변환 Rj	${\displaystyle -i{\frac {\xi _{j}{\xi }}{\xi }}$	${\displaystyle R_{j}f:=p.v.c_{n}\int _{\mathb {R}^{n}{n}}{\frac {f(y)(x_{j}-y_}}}}}{x-y ^{n+1}}\,dy}$	${\displaystyle p.v.{\frac{c_{n}x_{j}{x}}{x}}{x}}},\quad c_{n}={\frac \{1}{2}}(n+1)\pi ^{\frac{1}{1}{n+1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$
부분 푸리에 일체형 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$1차원만 해당)	${\displaystyle 1_{-R\leq \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int_{-R}^{R}{\hat {f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle {\frac {\sin(2\pi Rx)}{\pi x}}$
디스크 승수 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$	${\displaystyle 1_{ \xi \leq R}}$	${\displaystyle \int_{\xi \leq R}{\hat {f}(\xi )e^{2\pi ix\xi }dx}$	${\displaystyle x{}^{}}$- ${\displaystyle {n\frac{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {2J}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {n\frac{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\frac{2}{}}_{}}$( ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$x$^{-{-{\frac {n}{2$}}$J_{\frac {n}{2}}(2\pi$ x $)}$ (J는 베셀 함수)
보크너-리츠 운영자 ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}}$	${\displaystyle \left(1-{\frac {\xi^{2}}:{R^{2}}:\오른쪽)_{+}^{\delta }}}}}}}}}$	${\displaystyle \int_{\xi \leq R}\좌측(1-{\frac {\xi ^{R^{2}}}}\우측)^{\delta }{\delta }{\f}(\xi ){2\pi ixi\cdot \}}}}$	${\displaystyle \int_{\xi \leq R}\좌측(1-{\frac {\xi ^{{R^{2}}}}\우측)^{\delta }e^{2\pi ix\cdot \xi \}\,d\xi }$
일반승수	${\displaystyle m(\xi )}$	${\daystyle \int_{R^{n}m(\xi ){\hat {f}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi \d\xi }}}$	${\displaystyle \int_{R^{n}m(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi \\xi }}$
일반 콘볼루션 연산자	${\displaystyle {\hat{K}(\xi )}$	$[\displaystyle f*K(x):=\int _{\mathb {R} ^{n}f(y)K(x-y)\,dy}$	${\displaystyle K(x)}$

일반 고려사항

지도 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$는 C*-알게브라의 동형상이다.이는 두 곱셈 연산자 ${\displaystyle T_{}}$ $m{\displaystyle {}_{}}$ ${\$과 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {m{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\prime }^{}}_{}}$ ${\$의 합이 곱셈 $m{\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 가진 곱셈 연산자이므로$,$ 이 두 곱셈 연산자의 구성은 곱셈자 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ,${\displaystytype mm'$을 가진 곱셈 연산자 연산자 연산자 연산자 연산자다.$,}$과(와) 승수 연산자 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$의 조정은 승수 $'{\$을(를) 가진 또 다른 승수 연산자다$.$

특히, 우리는 어떤 두 개의 복수 연산자라도 서로 통근하는 것을 본다.멀티플라이어 연산자는 번역불가결하다고 알려져 있다.반대로 L²(G)에 경계로 하는 모든 변환-변환 선형 연산자가 승수 연산자임을 보여줄 수 있다.

L^p 경계성 문제

특정 그룹 G에 대한 L^p 경계성 문제(특정 p에 대한)는 단순히 해당 승수 연산자가 L^p(G)에서 L^p(G)까지 경계되도록 승수 m을 식별하는 것이다.그러한 승수를 보통 간단히 "L^p 승수"라고 부른다.곱셈 연산자는 항상 선형이기 때문에, 그러한 연산자는 연속적인 경우에만 경계된다.이 문제는 일반적으로 극히 어려운 것으로 여겨지지만, 많은 특별한 경우 치료가 가능하다.$1{\displaystyle \mathrm{}}$ /${\displaystyle }$p${\displaystyle }$+ 1 /${\displaystyle q}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1/p+1/q=$1}과 1 ≤ p, q^q q ∞ } $}$ if if if if if if if의^p 이원 관계가 있지만, ${\displaystyle p}$에 크게 좌우된다.

Riesz-Thorin 정리는 승수 연산자가 두 개의 서로 다른^p L공간에 경계되어 있으면 모든 중간공간에 경계되어 있다는 것을 보여준다.따라서 우리는 L과¹ L의^∞ 경우 승수의 공간이 가장 작다는 것을 알게 되고, 승수의 공간이 가장 큰 L에² 접근하면서 성장한다.

L에서의² 경계성

이것이 가장 쉬운 경우다.파르세발의 정리는 이 문제를 완전히 해결하고 만약 그것이 경계되고 측정 가능한 경우에만 함수 m이 L²(G) 승수라는 것을 얻을 수 있다.

L¹ 또는 L의^∞ 경계

이 사건은 힐베르트(L²) 사건보다 복잡하지만 완전히 해결된다.다음은 사실이다.

정리:유클리드 공간 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$ 함수$$ $m{\displaystyle (}$ ${\displaystyle \xi }$) ${\displaystym(\xi )}$은 m이 μ의 푸리에 변환인 유한 보렐 측정 μ가 존재하는 경우에만 L¹ 곱하기(동일하게 L 곱하기^∞)이다$$.

("if" 부분은 간단한 계산이다.여기서 "only if" 부분이 더 복잡하다.)

1^p< p < ∞의 L에 대한 경계

이 일반적인 경우에는 유클리드 공간이나 단위 원에도 경계에 대한 필요하고도 충분한 조건이 성립되지 않았다.그러나 몇 가지 필요한 조건과 몇 가지 충분한 조건이 알려져 있다.예를 들어, 승수 연산자가 하나의 L 공간이라도^p 경계하기 위해서는 승수를 경계하고 측정할 수 있어야 한다고 알려져 있다(이는 위의² L 승수와 포함 속성의 특성화에 따른 것이다).그러나 p = 2를 제외하고는 이 정도로는 충분하지 않다.

경계에 대한 충분한 조건을 제공하는 결과를 곱셈 정리라고 한다.그러한 결과는 아래에 3가지로 제시되어 있다.

마르킨키에비치 승수 정리

자 m:R→ R{\displaystyle m:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} 계속해서 폼의 모든 세트에 j에∪(2j, 2j+1){\displaystyle \left(-2^{j+1},-2^{j}\right)\cup \left(2^{j},2^{j+1}\right)}[해명 필요한](− 2j+1, − 2j)구별할 수 있는은 경계 기능∈ Z{\di.splaystyle j\in \mathb$b {Z} }$ 및 다음과$$ 같은 파생 모델이 있음

${\displaystyle \sup _{j\in \mathbb {Z} }\left(\int _{-2^{j+1}}^{-2^{j}}\left m'(\xi )\right \,d\xi +\int _{2^{j}}^{2^{j+1}}\left m'(\xi )\right \,d\xi \right)<\infty .}$

그러면 m은 1 < p < ∞ 모두 L 승수다^p.

미클린 승수 정리

Let m be a bounded function on ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ which is smooth except possibly at the origin, and such that the function ${\textstyle x ^{k}\left \nabla ^{k}m\right }$ is bounded for all integers ${\textstyle 0\leq k\leq {\frac {n}{2}}+1}$: then m1 < p < ∞ 모두에 대한^p L 승수다.

이것은 호르만데르-미클린 승수 정리(Hörmander-Mikhlin 승수 정리)의 특수한 경우다.

이 두 가지 이론의 증거는 칼데론-지그문트 이론과 마르킨키에비츠 보간 정리의 기법을 포함하여 상당히 까다롭다: 원본 증거는 미클린(1956년)이나 미클린(1965년, 페이지 225–240년)을 참조한다.

방사승수

레이디얼 multipliers 들어, Lp({\displaystyle L^{p}(\mathbb{R}^{n}\right)}boundedness을 위한 필요 충분 조건 p{p\displaystyle}는 일부 범위에 대해.n 4{\displaystyle n\geq 4}과 1개체 ≥, p<>2n− 1n+1{1<, p<2{\frac{n-1\textstyle}{n+ 알려져 있다.1}}}. 부록$ose{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$은(는) 원점에서 떨어져서 콤팩트하게 지지되는 방사형 승수다.Then ${\displaystyle m}$ is an ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ multiplier if and only if the Fourier transform of ${\displaystyle m}$ belongs to ${\displaystyle L^{p}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$.

이것은 허, 나자프, 시거의 정리다.^[3]또한 그들은 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$에 대한 콤팩트한 지지 가정 없이 유효한 필요하고도 충분한 조건을 제공했다$.$

예

번역은 어떤 L에서도^p 경계 연산자. 차별화는 어떤 L에서도^p 경계되지 않는다.힐버트 변환은 1과 ∞ 사이의 p에만 한정된다.스텝 함수의 힐버트 변환은 한이 없다는 것이 잘 알려져 있기 때문에^∞ L에서 한이 없다는 사실은 쉽다.이중성은 p = 1에 대해 동일하다.그러나 마르킨키에비츠와 미클린의 승수 이론 모두 힐버트 변환이 1 < p < ∞ 모두 L로^p 경계되어 있다는 것을 보여준다.

Another interesting case on the unit circle is when the sequence ${\displaystyle (x_{n})}$ that is being proposed as a multiplier is constant for n in each of the sets ${\displaystyle \left\{2^{n},\ldots ,2^{n+1}-1\right\}}$ and ${\display$$스타일 \left\{-2^{n+1}+1,\ldots ,-2^{n}\right\}}}$우리는 마킨키에비츠 승수 정리(단위 원의 맥락에 가감)에서$$ 그러한 수열(물론 경계라고 가정하기도 함)^{[clarification needed]}이 1 페이지 < <마다 승수라는 것을 알 수 있다.

1차원에서는 디스크 멀티플라이어 연산자 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle R_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$위의 표 참조)이 1< p < ∞)마다^p L에 경계한다.그러나 1972년 찰스 페퍼만은 2차원 이상에서 디스크 멀티플라이어 연산자 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ R ${\$이(가) p ≠ 2마다 L에^p 묶여 있다는 놀라운 결과를 보여주었다.Bochner-Riesz 승수의 해당 문제는 부분적으로만 해결되었다. Bochner-Riesz 추측도 참조하라.

참고 항목

• 칼데론-지그문트 보조정리
• 마르킨키에비치 정리
• 단일한 통합
• 콘볼루션 유형의 단일 적분 연산자

메모들

인용된 작품

• Duoandikoetxea, Javier (2001), Fourier Analysis, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2172-5
• Stein, Elias M. (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press

일반참조

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier Analysis (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-09431-1
• Katznelson, Yitzhak (2004), An Introduction to Harmonic Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54359-0
• Hörmander, Lars (1960), "Estimates for translation invariant operators in L^p spaces", Acta Mathematica, 104: 93–140, doi:10.1007/bf02547187
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators, I. Distribution theory and Fourier analysis (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 3-540-52343-X
• Mikhlin, Solomon G. (1956), "On the multipliers of Fourier integrals", Doklady Akademii Nauk SSSR, 109: 701–703, Zbl 0073.08402 (러시아어로)
• Mikhlin, Solomon G. (1965), Multidimensional singular integrals and integral equations, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, vol. 83, Pergamon Press, Zbl 0129.07701.이것은 출판 당시 알려진 모든 결과에 대한 종합적인 조사를 포함하며, 역사 스케치를 포함한다.
• Rudin, Walter (1962), Fourier Analysis on Groups, Interscience
• Torchinsky, Alberto (2004), Real-Variable Methods in Harmonic Analysis, Dover, ISBN 0-486-43508-3