소취소이론

집단 이론의 수학적 과목에서 소량 취소 조건을 만족하는 집단 프레젠테이션에 의해 주어지는 소량 취소 이론 연구 그룹은, 그 곳에서 정의 관계가 서로 '소량 중복'되는 것이다. 작은 취소 조건은 그룹의 대수적, 기하학적, 알고리즘적 특성을 의미한다. 충분히 강한 취소 조건을 만족하는 정밀하게 제시된 그룹은 단어 쌍곡선이며, 딘의 알고리즘으로 단어 문제를 해결할 수 있다. 타르스키 몬스터의 건설, 번사이드의 문제 해결에도 작은 취소 방법이 사용된다.

역사

작은 취소 이론의 밑바탕에 깔린 일부 아이디어는 1910년대 막스 딘의 작품으로 거슬러 올라간다.^[1] 딘은 적어도 2개의 밀폐된 방향성 표면의 기본 그룹이 현재 딘의 알고리즘이라고 불리는 것으로 해결할 수 있는 단어 문제를 가지고 있다는 것을 증명했다. 그의 증명에는 그러한 집단의 Cayley 그래프를 쌍곡면에서 그리고 Cayley 그래프에서 닫힌 루프에 대해 가우스-보넷 정리를 통해 곡률 추정치를 수행하여 그러한 루프가 정의 관계의 큰 부분(반 이상)을 포함해야 한다는 결론을 내렸다.

1949년 타르타코프스키의^[2] 논문은 소규모 취소 이론의 즉각적인 전조였다: 본 논문은 소규모 취소 유형 가정이 핵심적인 역할을 하는 복잡한 조합 조건을 만족하는 집단에게 단어 문제의 해결책을 제공했다. 오늘날 사용되고 있는 소규모 취소 이론의 표준 버전은 마틴 그렌들링거가 1960년대 초 일련의 논문에서 개발한 것으로,^[3][4][5] 이들은 주로 "금속적인" 소규모 취소 조건을 다루었다. 특히 그렌들링거는 C′(1/6) 소량취소 조건을 만족하는 정밀하게 제시된 그룹들이 딘의 알고리즘으로 해결할 수 있는 단어 문제를 가지고 있음을 증명했다. 이 이론은 린든,^[6] 슐프^[7], 린든-슈프의 후속 작업에서도 더욱 정제되고 공식화되었는데,^[8] 그는 또한 비금속적 소량 취소 조건의 사례를 다루었으며, 혼합된 자유 상품과 HNN 확장에 대한 소량 취소 이론의 버전을 개발하였다.

작은 취소 이론은 알렉산더 올샨스키에 의해 더 일반화되었는데, 그는 정의 관계의 집합이 여과 장치를 갖추고 특정 등급의 정의 재지정자가 더 높은 등급의 정의 재지정자와 큰 중첩을 가질 수 있는 이론의 "단계" 버전을 개발했다^[9]. 올샤스키는 등급이 매겨진 작은 취소 이론을 사용하여 타르스키 몬스터를^[10] 포함한 다양한 "괴물" 집단을 구성하고 또한 큰 홀수 지수의 자유로운 번사이드 집단이 무한하다는 새로운 증거를^[11] 제시하였다(이 결과는 원래 더 많은 조합 방법을 사용하여 1968년 아디안과 노비코프에 의해 증명되었다).^[12][13][14]

작은 취소 이론은 그로모프가 1987년 반음계 "하이퍼볼릭 그룹"^[15]에서 제시한 단어-하이퍼볼릭 그룹 이론에 대한 기본적인 예와 아이디어를 제공했다.

주요 정의

아래의 설명회는 대체로 Ch를 따른다. 린든과 슐프 책의 V.^[8]

조각들

내버려두다

$[\displaystyle G=\langle X\mid R\angle \qquad(*)}$

R ⊆ F(X)는 자유 그룹 F(X)에서 자유 그룹 F(X)에서 자유롭게 감소하고 반복적으로 감소된 단어 집합으로, 즉 R이 주기적 순열과 역순으로 닫힌다.

최대 공통 초기 세그먼트로 u를 가지는 두 개의 구별되는 요소 r₁, R에₂ r이 존재하는 경우 F(X)에서 자유자재로 축소된 단어 u를 (iiiious)와 관련하여 picture라고 부른다.

$G{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle G=\langle$ X$\mid S\angle }$이(가) 정의 릴레이터 S의 세트가 대칭되지 않는 그룹 프레젠테이션이라면$$, 여기서 R은 S와 S 요소의⁻¹ 모든 순환 순열로 구성되는 S의 대칭 폐쇄 R을 항상 취할 수 있다. 그러면 R이 대칭되고 $G{\displaystyle }$= X ${\displaystyle X}$r ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle G=\langle$ X$\mid$ R$\angle }$도 G의 표시다$$.

메트릭 소량 취소 조건

let 0 < 1 < 1. presentation (presentation)는 위와 같이 C′(λ)의 작은 취소 조건을 만족시킨다고 하며, u는 (∗)에 관한 토막글이고, u < u r. 여기 v는 단어의 길이 v이다.

C′(λ) 조건은 때때로 미터법 소량 취소 조건이라고 불린다.

비금속소형취소조건

p ≥ 3을 정수로 한다. 위와 같은 그룹 프레젠테이션(comprehent)은, 매번 r and R과 ∈ R이 있을 경우, C(p) 소량의 취소 조건을 만족시킨다고 한다.

${\displaystyle r=u_{1}\reason u_{m}}$

여기서 u는_i 조각이고 위의 제품이 서면처럼 자유롭게 축소되는 경우 m ≥ p. 즉, 정의 재연결자는 p pp이하의 축소제품으로 작성할 수 없다.

q ≥ 3을 정수로 한다. 위와 같은 그룹 표시(∗)는 R에서 3 in₁ t < q와 r₁, ..., ..., r_tt r₁⁻¹ r이 될 때마다 적어도 하나의 제품 rr₂⁻¹₁₂, ...r_t−1t, r이 서면처럼_t1 자유롭게 축소되는 경우 T(q) 소량 취소 조건을 만족한다고 한다.

기하학적으로 조건 T(q)는 기본적으로 D가 (수평) 위로 축소된 밴 캄펜 도표인 경우, 최소 3도 D의 모든 내부 정점에는 실제로 q가 있다는 것을 의미한다.

예

• Let $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$- 1 b - ${\displaystyle 1^{}}$ b - 1 b${\displaystyle {}^{}}$⟩$${\$displaystyle G=\langle$ a$,b\mid aba^{-1}b^{-$1}{-$1}\angle }}}}$이(가) 자유 아벨리아 2위 그룹의 표준 프레젠테이션이다$$. 그리고 이 프리젠테이션의 대칭적인 마무리를 위해 유일한 조각은 길이 1의 단어들이다. 이 대칭형식은 1 > λ > 1/4에 대한 C(4)–T(4) 소량의 취소 조건과 C and(() 조건을 만족한다.
• Let ${\displaystyle G=\langle a_{1},b_{1},\dots ,a_{k},b_{k}\mid [a_{1},b_{1}]\cdot \dots \cdot [a_{k},b_{k}]\rangle }$, where k ≥ 2, be the standard presentation of the fundamental group of a closed orientable surface of genus k. 그런 다음 이 프리젠테이션의 대칭화를 위해 유일한 조각은 길이 1의 단어이며 이 대칭은 C satisfies(1/7)과 C(8)의 작은 취소 조건을 만족한다.
• Let ${\displaystyle G=\langle a,b\mid abab^{2}ab^{3}\dots ab^{100}\rangle }$. Then, up to inversion, every piece for the symmetrized version of this presentation, has the form bⁱab^j or bⁱ, where 0 ≤ i,j ≤ 100. 이 대칭은 C′(1/20) 소량 취소 조건을 만족한다.
• 대칭표시가 C′(1/m) 조건을 만족하면 C(m) 조건도 만족한다.
• r ∈ F(X)는 F(X)에서 적절한 힘이 아닌 비주력적 주기적 감소 단어가 되고 n ≥ 2가 되도록 한다. 그런 다음 $프레젠테이션{\displaystyle }$ G =${\displaystyle ⟨}$ X ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle r}$ ${$ {\$displaystyle$ G$=\langle$X=\langle X$\mid r^{n}\rangle }}}}$은(는) C(2n)^[16] 및 C and(1/n) 소량의 취소 조건을 만족한다$$.

소량취소이론의 기본결과

그린들링거 보조정리

미터법 소량 취소 조건에 관한 주요 결과는 다음과 같다(Ch의 정리 4.4 참조). 보통 ( )의 V로 불린다.

그린들링거의 보조정리: 0 as presentation ≤ 1/6의 C′(λ) 소량 취소 조건을 만족하는 위와 같이 그룹 프리젠테이션이 되도록 한다. w 1 F(X)는 w = 1 in G와 같이 자유롭게 감소되지 않는 단어가 되도록 한다. 그 다음 w의 하위 단어 v와 정의 relator r ∈ R이 있는데, v도 r의 하위 단어이고, 그런 단어들도 있다.

$\displaystyle \left v\right >\좌측(1-3\virda \우측)\좌측 r\우측 }$

assumption 1/6 가정은 (1 - 3λ) 2 1/2을 의미하므로 w는 일부 정의 재조정자의 절반 이상을 하위 단어를 포함한다.

그린들링거의 보조정리기는 다음과 같은 기하학적 문장의 골격으로서 얻는다.

그렌들링거의 보조정리자의 가정 하에 D를 최소한 두 개의 영역을 포함하는 주기적으로 감소된 경계 라벨이 있는 축소판 캄펜 도표(∗∗)가 되도록 한다. 그리고 D에는 두 개의 구별되는 D와₁ D가₂ 존재하며, j = 1.2의 경우 지역 D는_j 길이가 (1 - 3㎛) ∂D보다_j 큰 단순한 호에서 D의 경계 주기 ∂D를 교차한다.

이 결과는 D에 대한 이중 도표를 고려함으로써 증명된다. 하나는 곡률의 결합적 개념(소규모 취소 가정에 의해 모든 내부 정점에서 음수)을 정의하고, 그 다음 가우스-보넷 정리의 결합 버전을 얻는다. 그린들링거의 보조정리법은 이러한 분석의 결과로 증명되며, 이러한 방식으로 증명된 증거는 표면 그룹의 경우 딘의 원래 증명서의 아이디어를 환기시킨다.

딘의 알고리즘

대칭 그룹 프레젠테이션(symmetriced group presentation)의 경우 다음과 같은 추상적 절차를 Dehn의 알고리즘이라고 한다.

• X에서^±1 자유자재로 줄인 w가 주어진다면 w = w₀, w₁, w, w₂, w..., 다음과 같이 자유자재로 줄인 단어들의 순서를 구성한다.
• w가_j 이미 생성되었다고 가정해 보십시오. 빈 단어일 경우 알고리즘을 종료하십시오. 그렇지 않으면 w에_j subword v가 포함되어 있는지 확인하여 v > r /2와 같은 일부 정의 relator r = vu sub R의 하위 워드도 된다. 아니오인 경우 출력_j w로 알고리즘을 종료한다. 예인 경우 v를 w에서_j u로⁻¹ 교체한 다음, 자유자재로 줄인 다음 w로_j+1 자유자재로 줄인 단어를 표시하고 알고리즘의 다음 단계로 이동하십시오.

우리가 항상 가지고 있는 것에 주목하라.

w₀₁ > w > w > w₂ >...

즉, 프로세스가 최대 w 단계로 종료되어야 함을 의미한다. 더욱이 모든 단어 w는_j w와 같은 G의 요소를 나타내며 따라서 공정이 빈 단어와 함께 종료되는 경우 w는 G의 정체성 요소를 나타낸다.

대칭적 표현(대칭적 표현)의 경우(대칭적 표현) 덴의 알고리즘이 G에서 단어 문제를 해결한다는 것, 즉, 역도 사실이라면, 즉 F(X)에서 자유자재로 축소된 어떤 단어에 대해 이 단어는 w에서 시작하는 덴의 알고리즘이 빈 단어로 종료되는 경우에만 G의 ID 요소를 나타낸다는 것이다.

그린들링거의 보조정리법은 C′(1/6) 프리젠테이션의 경우 딘의 알고리즘이 단어 문제를 해결한다는 것을 암시한다.

C′(1/6) 프리젠테이션(∗)이 유한하다면(X와 R 모두 유한) 딘의 알고리즘은 재귀 이론의 의미에서 실제 비결정론 알고리즘이다. 그러나 ( ()가 무한 C′(1/6) 프레젠테이션이라고 해도, 추상적 절차로 이해되는 딘의 알고리즘은 여전히 발전기^±1 X에 있는 단어가 G의 정체성 요소를 나타내는지를 정확하게 판단한다.

아스퍼리시티

(iii) C′(1/6) 또는 보다 일반적으로 모든 r ∈ R이 F(X)에서 적절한 힘이 아닌 다음 의미로 G가 비구체적인 C′(6) 프레젠테이션이 되도록 한다. S의 대칭 닫힘이 R과 같도록 R의 최소 부분 집합 S를 고려한다. 따라서 r과 s가 S의 구별되는 요소인 경우 r은 s의^±1 주기적인 순열이 아니며,${\displaystyle }G{\displaystyle }$ = ${\displaystyle X\mid }$ ${\displaystyle S}$ ⟩ ${\displaystyle ⟩}$ { { {$$\$displaystyle$ G$=\langle X\mid S\angle }}$은 G의 또 다른 프레젠테이션이다$$. Y를 이 프레젠테이션의 프레젠테이션 콤플렉스로 한다. 그 다음에 (의 13.3 및 정리 참조), (의)에 대한 위의 가정 하에서, Y는 G에 대한 분류 공간이며, G = ((Y₁)이며 Y의 보편적 커버는 수축 가능하다. 특히 이는 G가 비틀림이 없고 공생학적 차원 2를 가지고 있음을 암시한다.

더 일반적인 곡면성

보다 일반적으로, 모든 반 캄펜 다이어그램에서 정점 + 면 - 에지의 평균 초과(매우 대략적으로)를 정의할 수 있으며( 오일러의 공식에 의해 총계 2)를 나타냄으로써 특정 그룹에서 이 값이 항상 비양성(또는 - 더 나은 - 더 부정적인)이라는 것을 내부적으로 보여줌으로써 곡선미를 보여준다.re는 모두 경계선 위 또는 근처에 있어야 하며, 따라서 단어 문제의 해결책을 얻으려고 노력한다. 나아가, 동일한 경계를 가진 "더 작은" 지역이 있을 정도로 일련의 "지역"을 포함하지 않는 도표에 주의를 제한할 수 있다.

소규모 취소 그룹의 기타 기본 속성

• C′(1/6) 프레젠테이션으로 하자. 그 다음, G의 요소 g는 만약 그리고 G의 s에 g가 결합되도록 F(X)에 r = s 형식의ⁿ R에 relator r이 있는 경우에만 n > 1의 순서를 갖는다. 특히 R의 모든 요소가 F(X)에서 적절한 힘이 아니라면 G는 비틀림 없는 것이다.
• (1993)이 유한 C′(1/6) 표시라면, 그룹 G는 단어-하이퍼볼릭이다.
• If R and S are finite symmetrized subsets of F(X) with equal normal closures in F(X) such that both presentations ${\displaystyle \langle X\mid R\rangle }$ and ${\displaystyle \langle X\mid S\rangle }$ satisfy the C′(1/6) condition then R = S.
• 유한 표시 (iii)가 C satisfies(1/6) C/(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3)–T(6) 중 하나를 만족하면 그룹 G는 해결 가능한 단어 문제와 해결 가능한 결합 문제를 가지고 있다.

적용들

소규모 취소 이론의 적용 예로는 다음과 같다.

• 그러한 매듭의 증축된 매듭 그룹이 C(4)–T(4) 프레젠테이션을 승인한다는 것을 보여줌으로써, 교대 매듭 그룹에 대한 결합 문제의 해결책(및 5장, "의 8.5" 참조^[18][19])을 제시한다.
• 정확하게 제시된 C presented(1/6) 소량 취소 그룹은 단어-hyperbolic 그룹의 기본적인 예들이다. 단어-hyperbolic 그룹의 동등한 특성 중 하나는 딘의 알고리즘이 단어 문제를 해결하는 유한한 프레젠테이션을 인정하는 것이다.
• 유한 C(4)–T(4) 프리젠테이션이 제공하는 모든 피스의 길이가 CAT(0) 그룹의 기본 예로서, 프리젠테이션 콤플렉스의 범용 커버는 CAT(0) 사각형 콤플렉스다.
• 소규모 취소 이론의 초기 적용은 다양한 내포 가능성 결과를 얻는 것을 포함한다. 예를 들면 1974년 세 개 이상의 발전기를 가진 모든 1-릴레이터 그룹이 SQ-범용이라는 증거를 가진 새커도트와 슈프프의 논문^[20], 그리고 1976년 슈프프의^[21] 논문과 모든 셀 수 있는 그룹이 순서 2의 요소와 순서 3의 요소에 의해 생성된 단순한 그룹에 내장될 수 있다는 증거를 포함한다.
• 엘리 야후 Rips,[22]때문에 소위 Rips 건설,:→ Q어디 Ktwo-generate는 1{\displaystyle 1\to K\to G\to Q\to 1}→ 임의의 유한하게 제시된 그룹 Q건설 → 짧은 정확한 연속 1K→ G를 생산하 counter-examples의word-hyperbolic 그룹의 다양한 서브 그룹 속성에 관한 풍부한 소스를 제공합니다.댄.d 여기서 G는 비틀림이 없으며 유한 C′(1/6)–현상(따라서 G는 단어-하이퍼볼릭)에 의해 주어진다. 이 구조는 부분군 구성원 문제, 세대 문제, 순위 문제를 포함하여 단어-하이퍼볼릭 그룹에 대한 몇 가지 알고리즘 문제에 대한 불능성의 증거를 산출한다.^[23] 또한, 몇 가지 예외를 제외하고는 립스 건설의 K 그룹은 정확하게 제시할 수 없다. 이것은 정확히 생성되었지만 정확하게 나타낼 수 없는 부분군을 포함하는 일관성이 없는 단어-하이퍼볼릭 그룹이 존재함을 암시한다.
• 올샨스키가^[9] 타르스키 몬스터를 포함한 다양한 "몬스터" 집단을 구성하고, 또한 큰 홀수 지수의 자유로운 번사이드 집단이 무한하다는 증거를 제시하기 위해 작은 취소 방법(무한 프레젠테이션의 경우)을 사용하였다(동일한 결과는 더 많은 조합 방법을 사용하여 1968년에 아디안과 노비코프에 의해 처음 증명되었다. Ol'shanskii가 이 방법을 사용하여 구성한 다른 "몬스터" 그룹에는 무한 단순 노메트리안 그룹, 모든 적절한 하위 그룹이 원시 질서를 가지고 있고 동일한 순서의 두 하위 그룹이 결합되는 무한 그룹, 모든 적절한 하위 그룹이 순환하는 비아멘론 그룹 등이 있다.^[24]
• Bowditch는^[25] 2세대 그룹의 준등계 유형이 지속적으로 많이 존재한다는 것을 증명하기 위해 무한히 작은 취소 프레젠테이션을 사용했다.
• 토마스와 벨릭코비치는 작은 취소 이론을 사용하여 두 개의 비 동형성 점증 원뿔을 가진 정밀하게 생성된 그룹을 구성하여^[26] 그로모프의 질문에 대답하였다.
• McCammond와 Wise는 립스 건설로 인해 발생하는 어려움을 극복하고 일관성이 있는 소규모 취소 그룹들을 대량으로 생산하는 방법을 보여주었고, 더 나아가 립스 건설에서 발생하는 모든 하위 그룹이 정밀하게 제시된 지역적인 퀘이콘벡스(모든 하위 그룹이 퀘이콘벡스)를 생산했다.^[27][28]
• 소규모 취소 방법은 "일반" 또는 "랜덤"으로 정밀하게 제시된 여러 그룹의 모델을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다( 참조). 특히, 발전기의 고정수 m 2 2와 관계를 정의하는 고정수 t ≥ 1에 대해, 임의의 m-발생기 t-relator 그룹은 C′(() 작은 취소 조건을 만족한다. Even if the number of defining relations t is not fixed but grows as (2m − 1)^εn (where ε ≥ 0 is the fixed density parameter in Gromov's density model of "random" groups, and where ${\displaystyle n\to \infty }$ is the length of the defining relations), then an ε-random group satisfies the C′(1/6) condition provided ε < 1/12.
• 그로모프는^[30] 그래프에 관한 작은 취소 이론의 버전을 사용하여 무한 확장자 시퀀스를 "포함"(적당한 의미에서의)하고 따라서 힐버트 공간에 균일하게 내재하는 것을 인정하지 않는 정밀하게 제시된 그룹의 존재를 증명했다. 이 결과는 노비코프 추측에 대한 반증을 찾는 방향(지금까지 이용 가능한 유일한 방향)을 제공한다.
• 오신은^[31] 비교적 쌍곡선 그룹에 대한 Thurston의 쌍곡선 Dehn 수술 정리의 아날로그를 얻기 위해 작은 취소 이론의 일반화를 이용했다.

일반화

• 아말감 자유상품과 HNN 확장의 지수 그룹에 대한 소량취소 이론은 새커도테와 슈프, 그리고 린든과 슈프에서 개발되었다.^[8]
• Rips[32]과 Ol'shanskii[9]이 relators의 집합 계층(각층은 작은 취소 상태를 충족시키면)의 상행 노조와 일부 계층에서 고발인 굽음 r과 그들의 중복과 관련 작은 것이 요구되는 높은 계층에서 고발인에로 여과된다 작은 취소 이론의"중층"버전을 개발하였다. s지만 이 이론은 올샨스키가 타르스키 몬스터를 포함한 다양한 "괴물" 집단을 구성하고, 큰 홀수 지수의 자유로운 번사이드 집단이 무한하다는 새로운 증거를 제시할 수 있도록 허용되었다.
• Ol^[33]'shanskii와 Deljant는^[34] 후에 단어-hyperbolic 그룹의 인용구에 대한 작은 취소 이론의 발전된 버전에 대해 이야기 했다.
• McCammond는 작은 취소 이론의 고차원적인 버전을 제공했다.^[35]
• McCammond와 Wise는 밴 캄펜 다이어그램의 기하학에 관한 표준 소량 취소 이론(그렌들링거의 보조정리 이론 등)의 기초적인 결과를 소량 취소 프레젠테이션보다 상당히 더 밀어붙였다.^[36]
• 그로모프는 그래프에 관한 작은 취소 이론의 버전을 사용하여 무한 확장자 시퀀스를 "포함"(적당한 의미에서의)하고 따라서 힐버트 공간에 균일하게 내재하는 것을 인정하지 않는 정밀하게 제시된 그룹의 존재를 증명했다^[30].^[37]
• 오신은^[31] 비교적 쌍곡선 집단의 인용구에 대해 작은 취소 이론을 제시했고, 이를 사용하여 Thurston의 쌍곡선 딘 수술 정리의 비교적 쌍곡선 일반화를 얻었다.

기본 참조

• 로저 린든과 폴 슈프, 콤비네토리얼 집단 이론. 1977년 판의 재인쇄. 수학의 고전. 2001년 베를린 스프링거-베를라크. ISBN3-540-41158-5.
• 알렉산더 유. 올레샨스키, 집단으로 관계를 정의하는 기하학. 1989년 러시아 원본을 A. A. Bakhturin에 의해 번역되었다. 수학 및 응용 프로그램(소비에트 시리즈), 70. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1991. ISBN 0-7923-1394-1.
• 랄프 스트레이벨, 부록. 소규모 취소 그룹. Sur les groupes d'aprés 다프레스 미카엘 그로모프(Bern, 1988), 페이지 227–273, Progress in Mathematics, 83, Birkhauser Boston, Massachusetts, Massachusettsetts. ISBN 0-8176-3508-4.
• Milé Krajchevski, 비행기의 틸링스, 쌍곡선 그룹 및 소규모 취소 조건. 미국수학협회의 회고록, 제154권(2001), 제733호.

참고 항목

• 기하군 이론
• 단어-하이퍼볼릭군
• 타르스키 몬스터 그룹
• 번사이드 문제
• 최종 제시된 그룹
• 그룹에 대한 단어 문제
• 반캄펜 도표

메모들