교대 매듭
Alternating knot
매듭 이론에서, 매듭이나 링크 다이어그램은 교차점이 링크의 각 구성요소를 따라 이동할 때, 교차점이 서로 교차하는 경우 교차한다.링크는 교대형 도표가 있으면 교대형이다.
건널목 수가 10개 미만인 매듭의 상당수가 교대하고 있다.태트 추측과 같은 교대 노트의 이 사실 및 유용한 특성들은 태트와 같은 초기 매듭 표식기들이 상대적으로 실수나 누락이 적은 표를 만들 수 있게 해준 것이었다.가장 단순한 비교체 프라임 노트는 8개의 교차점이 있다(그리고19 8, 8, 8과2021 같은 3개의 교차점이 있다).
건널목 수가 늘어나면 교대로 움직이는 노트의 비율이 기하급수적으로 빠르게 0으로 가는 것으로 추측된다.
교번 링크는 유용하고 흥미로운 기하학적, 위상학적 특성을 가진 보완성 때문에 매듭 이론과 3-manifold 이론에서 중요한 역할을 하게 된다.이로 인해 랠프 폭스는 "교대 매듭이란 무엇인가?"라고 묻게 되었다.이것에 의해 그는 매듭보충제의 비직교적 특성이 교대 매듭을 특징지을 것인지 묻고 있었다.[1]
2015년 11월, 조슈아 에반 그린은 링크 다이어그램의 개념을 사용하지 않고 확실한 스패닝 표면, 즉 교대 링크의 정의(교대 노트가 특수한 경우)에 있어 교대 링크의 특성화를 확립한 프리프린트를 발행했다.[2]
다양한 기하학적, 위상학적 정보가 교대로 나타난다.링크의 원시성과 분리성은 도표에서 쉽게 볼 수 있다.축소된 교차도의 교차점은 매듭의 교차점이다.마지막은 Tait의 유명한 추측 중 하나이다.
교대 매듭 다이어그램은 평면 그래프와 일대일 대응이다.각 교차점은 가장자리와 연관되어 있으며, 도표 보완물의 연결된 구성 요소의 절반은 체커보드 방식으로 정점과 연관되어 있다.
타이트 추측
Tait의 추측은 다음과 같다.
- 교대 링크의 축소된 도표는 가능한 가장 적은 교차점을 가진다.
- 동일한 교차 매듭의 축소된 두 도표는 동일한 휘장을 가지고 있다.
- 방향의 원시 교대 링크 D와1 D의2 축소된 교대 도표 D를 고려할 때, D는1 플라이페스라고 불리는 일련의 특정한 단순한 움직임에 의해 D로2 변환될 수 있다.'태트 플라이핑 추측'으로도 알려져 있다.[3]
Morwen Thistlethwaite, Louis Kauffman and K. 무라스기는 1987년에 최초의 두 개의 태트 추측을 증명했고, 모웬 테슬트와 윌리엄 메나스코는 1991년에 태트 플라이핑 추측을 증명했다.
쌍곡체량
메나스코는 하켄 다지관에 Thurston의 하이퍼볼라이제이션 정리를 적용하여 어떠한 프라임, 비분할 교대 연결은 쌍곡성, 즉 링크 보완은 토러스 링크가 아닌 한 쌍곡 기하학이라는 것을 보여주었다.
따라서 쌍곡 볼륨은 많은 교대 링크의 불변성이다.마크 로켄비는 볼륨이 축소되고 교대된 다이어그램의 트위스트 영역 수의 함수로써 상·하한 선형 한계를 가지고 있음을 보여 주었다.
참조
- ^ Lickorish, W. B. Raymond (1997), "Geometry of Alternating Links", An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 175, Springer-Verlag, New York, pp. 32–40, doi:10.1007/978-1-4612-0691-0_4, ISBN 0-387-98254-X, MR 1472978; 특히 페이지 32를 보다.
- ^ Greene, Joshua (2017). "Alternating links and definite surfaces". Duke Mathematical Journal. 166 (11). arXiv:1511.06329. doi:10.1215/00127094-2017-0004. S2CID 59023367.
- ^ Weisstein, Eric W. "Tait's Knot Conjectures". MathWorld. 액세스됨:2013년 5월 5일.
추가 읽기
- Kauffman, Louis H. (1987). On Knots. Annals of Mathematics Studies. Vol. 115. Princeton University Press. ISBN 0-691-08435-1. Zbl 0627.57002.
- Adams, Colin C. (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1.
- Menasco, William (1984). "Closed incompressible surfaces in alternating knot and link complements" (PDF). Topology. 23 (1): 37–44. doi:10.1016/0040-9383(84)90023-5.
- Lackenby, Marc (2004). "The volume of hyperbolic alternating link complements". Proc. London Math. Soc. 88 (1): 204–224. arXiv:math/0012185. doi:10.1112/S0024611503014291. S2CID 56284382.
외부 링크
- Weisstein, Eric W. "Alternating Knot". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Tait's Knot Conjectures". MathWorld.
- 평면 그래프와 교차 매듭을 짓기 위한 켈트 매듭 작업
