공(수학)

유클리드 공간에서 공은 구에 의해 둘러싸인 부피이다.

수학에서, 공은 구에 의해 둘러싸인 고체 도형이다; 그것은 또한 고체 ^[1]구라고도 불린다.닫힌 볼(구체를 구성하는 경계점 포함) 또는 열린 볼(구체 제외)이 될 수 있다.

이러한 개념은 3차원 유클리드 공간뿐만 아니라 저차원 및 고차원, 그리고 일반적으로 미터법 공간에도 정의된다. $n차원$ 의 공은 하이퍼볼 또는 n-볼이라고 불리며, 하이퍼스피어 또는 ( $n-1$ )-구로 둘러싸여 있습니다.따라서, 예를 들어, 유클리드 평면의 공은 원으로 둘러싸인 영역인 원반과 같다.유클리드 3차원 공간에서 볼은 2차원 구에 의해 둘러싸인 부피로 간주된다.1차원 공간에서 공은 선분이다.

유클리드 기하학이나 비공식 용어와 같은 다른 맥락에서, 구는 때때로 공을 의미하기 위해 사용된다.토폴로지 $n$ 에서는 $닫힌n차원$ 볼은 $($ }) $D^{n}$ Dn $($ 스타일 $D^{$ n $D^{n}$ })으로 표시되며 $(디스플레이 스타일$ n $)$ 차원 $n$ 볼은 $\operatorname {Int} B^{n}$ $\operatorname {Int} B^{n}$ $\operatorname {Int} B^{n}$ n \ $display$ style \ $operatorname {Int}$ B $^{n}$ $\operatorname {Int} D^{n}$ $Int$ $display$ 스타일 D $\operatorname {Int} D^{n}$ $n$ $}$ 로 표시됩니다. $ratorname {Int} D^{n$

유클리드 공간에서

유클리드 n-공간에서 $반지름$ r과 $중심$ x의 (열린) n-볼은 x로부터 $r$ 보다 $작은$ 거리의 모든 점들의 집합이다. $반지름$ r의 닫힌 n-볼은 $x$ 로부터 $r$ 보다 작거나 같은 거리의 모든 점들의 집합이다.

유클리드 n-공간에서, 모든 공은 초구에 의해 경계된다.공은 n = $1일$ 때 경계 구간이고, n = $2일$ 때 $원$ 에 의해 경계된 디스크이며, n = $3일$ 때 구에 의해 경계된다.

용량

n차원 유클리드 공간에서 $반지름$ R의 유클리드 공의 n차원 부피는 다음과 같다.^[2]

V_{n}(R)=pi ^{\frac {n}{\Gamma \leftfrac {n}{n}}{\Gamma \leftfrac {n}}+1\right}}}}R^{n

여기서

δ

는 레온하르트 오일러의 감마 함수(인자 함수의 분수 인수에 대한 확장으로 생각할 수 있음)이다.정수와 반정수에서 감마 함수의 특정 값에 대한 명시적 공식을 사용하면 감마 함수의 평가가 필요하지 않은 유클리드 공의 체적에 대한 공식을 얻을 수 있다.다음과 같습니다.

디스플레이 스타일V_{2k}(R)&={pi ^{k}}{k!}}R^{2k},\[2pt]V_{2k+1}(R)&=flac {2^{k+1}\pi^{k}}{(2k+1)!!}}R^{2k+1}=pi frac {2(k!(4\pi)^{k}}{(2k+1)!}}R^{2k+1},\end { aligned}}

홀수 차원 부피의 공식에서 이중 요인( $2k$ + $1)!!$ 홀수 정수 $2k$ + $1$ 에 대해 ( $2k$ + $1)$ 로 정의됩니다. $= 1$ ⋅ $3$ ⋅ $5 \cdot$ ( $2k$ - 1) $\cdot$ ( $2k$ + 1)

일반 메트릭 공간

( $M,$ $d)$ 를 메트릭 공간, 즉 메트릭(거리 함수) $d$ 를 갖는 $집합$ M으로 하자 $.$ 일반적으로 $B$ $(p)$ $또는$ B $(p;$ $r)$ 로_r 나타나는 M의 $점$ p에 중심인 $반지름$ r > $0$ 의 열린(미터) 볼은 다음과 같이 정의된다.

B_{r}(p)=\{x\in M\mid d(x,p)<r\

B[ $p]$ $또는$ B $[p;$ $r]$ 로_r 표시될 수 있는 닫힌(미터) 볼은 다음과 같이 정의된다.

B_{r}[p]=\{x\in M\mid d(x,p)\leq r\

특히, 정의에서는 r > $0$ $이$ 필요하기 때문에, 볼(열림 또는 닫힘)에는 항상 p 자체가 포함되어 $있는$ 것에 주의해 주세요.

단위 볼(열림 또는 닫힘)은 반지름 1의 볼입니다.

메트릭 공간의 서브셋이 볼에 포함되어 있는 경우에는 그 서브셋이 경계된다.어떤 양의 반지름이 주어진 경우, 그 반지름의 최종 다수의 볼로 덮이면 세트는 완전히 경계가 된다.

미터법 공간의 열린 공은 베이스 역할을 할 수 있으며, 이 공간에 토폴로지를 제공합니다. 토폴로지는 모두 열린 공들의 가능한 결합입니다.메트릭 공간상의 이 토폴로지를 $메트릭d$ 에 의해 유도되는 토폴로지라고 부릅니다.

$B r (p)$ 는 이 위상에서 열린 볼 $B r (p)$ 의 닫힘을 나타낸다.B $(p) b r$ B $(p) b r$ B[ $p]$ 인_r 것은 항상 그렇지만 $B (p r$ ) = $B [$ p]인_r 것은 아니다.예를 들어 이산 메트릭을 사용하는 메트릭 $공간$ X에서는 임의의 $p µ$ X에 대해 B $(p)$ = { $p}$ 및 $B 1 [p]$ = $X$ 를 $가집니다 1$ .

노름 벡터 공간에서

노름 $\|\cdot \|$ $⋅$ $display$ \ displaystyle $\ cdot$ \ $}$ 인 $\|\cdot \|$ 노름 벡터 $공간$ V는 $d(x,y)=\|x-y\|.$ d ( $d(x,y)=\|x-y\|.$ , $d(x,y)=\|x-y\|.$ ) $d(x,y)=\|x-y\|.$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ - $d(x,y)=\|x-y\|.$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ . { $displaystyle$ d ( $d(x,y)=\|x-y\|.$ $x$ , y ) = \ $x$ $d(x,y)=\|x-y\|.$ - y \ $d(x,y)=\|x-y\|.$ . } $x$ $공간$ 에서는 $B_{r}(y)$ 의 볼 $B_{r}(y)$ ( $y$ ) ( y )。r $(\displaystyle$ r $)$ $r$ 의 $r$ 거리는 단위 볼 $B_{1}(0).$ 1 $displaystyle$ B_ ${1}(0)$ 의 스케일링(\ $displaystyle$ r $)$ $변환$ (\ $displaystyle$ y $)$ $복사본$ 으로 볼 수 있습니다.} y $B_{1}(0).$ $=$ $0$ { $displaystyle y =$ 0 $y=0$ }인 이러한 "중심" $y=0$ 은 $B(r).$ r $B(r).$ ) . { $displaystyle B($ r)로 $B(r).$ 됩니다 $.$ $}$

앞에서 논의한 유클리드 공은 규범 벡터 공간에 있는 공들의 예시이다.

p-표준

$p-norm p$ L을 갖는 데카르트 $공간 n$ R에서, 즉,

\left \ x\right \ {p} = \left ( x _ {p } + x _ {2} ^ {p } + \ ex _ { n } ^ {p } \ right )^{ 1 / p

원점 주위의 열린 공(

반경

r\

display style

r

)

은

r

세트에 의해 주어진다.

B(r)=\left\{x\in \mathbb {R}^{n},:\left\x\right\_{p}=\left(x_{1}^{p}+x_{2}^{p}+x_{n}^{p}\right)^{p}\right}<r}.

n=2,2차원의 비행기 R2{\displaystyle \mathbb{R}^{2}에}은"공"은 L1-norm(종종 택시나 맨해튼 metric을 불렀다)에 따라 좌표 축을 그들의 대각선과 평행인 사각형으로는 권 L∞-norm에 따르면, 또한 그들의 측면인으로 가지고 있는 체비 셰프 거리라고 불리는 경계를 이룬다. 로.좌표 축을 경계로 합니다.유클리드 메트릭으로 알려진 L-norm은 $2$ 원 안에 잘 알려진 디스크를 생성하며, $p$ 의 다른 값의 경우 대응하는 공은 라메 곡선(하이포엘립스 또는 하이프렐립스)으로 둘러싸인 영역입니다.

n = $3$ 의 $경우$ , $L-볼$ 은₁ 축 정렬된 본체 대각선으로 8면 내에 있고, L-볼은 $\infty$ 축 정렬된 모서리가 있는 입방체 내에 있으며, p > $2인$ $L$ 의_p 볼 경계는 초페렐립소이드이다.분명히, $p$ = $2$ 는 일반적인 구체의 내부를 생성한다.

일반 볼록 노름

보다 일반적으로, $R$ 의ⁿ 중앙 대칭, 경계, 개방 및 볼록 $부분$ 집합 X가 주어지면, R에 $대한 n$ 규범을 정의할 수 있으며, 여기서 볼은 모두 변환되고 $X$ 의 균일한 스케일 복사본이 된다.이 정리는 "열린" 부분 집합이 "닫힌" 부분 집합으로 대체되는 경우 유지되지 않는데, 이는 원점이 $R$ 에ⁿ 대한 규범을 정의하지는 않기 때문이다.

토폴로지 공간

어떤 $토폴로지$ 공간 X에 있는 공에 대해서도 말할 수 있지만 반드시 미터법에 의해 유도되는 것은 아니다. $X$ 의 (개방 또는 폐쇄) n차원 위상볼은 (개방 또는 폐쇄) 유클리드 n-볼과 동형인 $X$ 의 서브셋이다.위상 n-ball은 세포 복합체의 구성 요소로서 조합 위상에 중요하다.

열린 위상 n-볼은 데카르트 $공간 n$ R 및 열린 단위 n-큐브(하이퍼큐브 $)(0, n 1) δR$ 에ⁿ 대해 동형이다. 닫힌 위상 n-볼은 닫힌n-큐브 $[0$ , 1 $] n$ 와 $동형$ 이다.

n-ball은 n = $m$ 인 경우에만 m-ball과 동형이다.개방 $n-ball$ $B$ 와ⁿ R 사이의 동형사상은 두 $가지$ 등급으로 분류될 수 있으며, 이는 B의 가능한 두 가지 위상적 방향으로 식별될 수 있다.

위상 n-볼은 매끄러울 필요가 없다. 매끄러울 경우 유클리드 n-볼과 미분 형상이 될 필요가 없다.

지역

볼에 대해 다음과 같은 여러 특수 영역을 정의할 수 있습니다.

캡, 1개의 평면으로 경계
구 중심에 정점이 있는 원추형 경계로 둘러싸인 섹터
세그먼트, 한 쌍의 평행 평면으로 제한됨
서로 다른 반경의 두 개의 동심원 구에 의해 둘러싸인 조개
구 중심과 구 표면을 통과하는 두 개의 평면으로 둘러싸인 쐐기

「」를 참조해 주세요.

공 – 통상적인 의미
디스크(수학)
포멀 볼, 음의 반지름으로 확장
인근(수학)
비슷한 기하학적 형상인 구
3구
n-sphere 또는 하이퍼스피어
알렉산더 뿔구
다지관
n볼의 부피
팔면체 – l $미터법$ 으로₁ 3개의 공을 나타냅니다.

레퍼런스

^ Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 9780262590204.
^ 식 5.19.4, NIST 수학 함수 디지털 라이브러리.[1] 2013-05-06 릴리즈 1.0.6

Smith, D. J.; Vamanamurthy, M. K. (1989). "How small is a unit ball?". Mathematics Magazine. 62 (2): 101–107. doi:10.1080/0025570x.1989.11977419. JSTOR 2690391.
Dowker, J. S. (1996). "Robin Conditions on the Euclidean ball". Classical and Quantum Gravity. 13 (4): 585–610. arXiv:hep-th/9506042. Bibcode:1996CQGra..13..585D. doi:10.1088/0264-9381/13/4/003. S2CID 119438515.
Gruber, Peter M. (1982). "Isometries of the space of convex bodies contained in a Euclidean ball". Israel Journal of Mathematics. 42 (4): 277–283. doi:10.1007/BF02761407.

[1] Sūgakkai, Nihon (1993). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. MIT Press. ISBN 9780262590204.

[2] 식 5.19.4, NIST 수학 함수 디지털 라이브러리.[1] 2013-05-06 릴리즈 1.0.6

[1]

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용량

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노름 벡터 공간에서

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지역

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