분수의 총 링

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추상 대수학에서, 총 지수 링 ^[1]또는 분수의 총 링은 ^[2]분수가 0일 수 있는 역률 R에 대한 통합 영역의 분수 영역의 개념을 일반화하는 구성이다.이 구조는 R을 더 큰 링에 포함시켜, R이 아닌 모든 R을 더 큰 링에서 역방향으로 만든다.R에서 새로운 링까지의 동형성이 주입되어야 한다면, 더 이상의 원소들은 역성을 부여할 수 없다.

정의

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 정류 링으로 하고$$ S ${\displaystyle S}$을(를) $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에서 0 divisor가 아닌 원소의 집합으로$$ 두십시오$.$ $그러면{\displaystyle }$ S$${\$displaysty$ S$}$은 승법적으로 닫힌 집합입니다.따라서 우리는 세트 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$에서 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$을(를) 국소화하여 총 지수 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle R}$= ${\displaystyle Q}$( R$){\displaystyle S^{-1}R=Q(R)}$를 얻을 수 있다$.$

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$이(가) 도메인인 경우 ${\displaystyle S}$= R${\displaystyle }$-${\displaystyle }${ 0${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S=R-\{0\}}$이(가) 있고 총 지수 링은 분수 영역과 동일하다.이것은 도메인의 경우 모호성이 없기 때문에 분수의 분야에도 가끔 사용되는 $Q{\displaystyle }$( $){\displaystyle$ Q$(R)}$라는 표기법을 정당화한다$.$

공사에 $있는$ S$${\$displaystyle S$}에 제로가 포함되어 있지 않기 때문에 ${\displaystyle \mathrm{자연}}$도${\displaystyle R}$→ Q${\displaystyle }$( R$$) {\$displaystyle R\to Q($R)}가 주입되므로$$ 총 지수 $링$은 R ${\displaysty R}$의 확장이다$.$

예

• 제품 링 A × B의 경우, 총 지수 링 Q(A × B)는 총 지수 링 Q(A) × Q(B)의 제품이다.특히 A와 B가 일체형 도메인이라면, 그것은 지수 분야의 산물이다.

• 복잡한 숫자의 오픈 세트 D에 있는 홀로모르픽 함수 링의 경우, D가 연결되어 있지 않더라도 총 지수 링은 D에 대한 메로모르픽 함수의 링이다.

• 아르티니아 고리에서는 모든 원소가 단위 또는 영점이다.Hence the set of non-zero divisors is the group of units of the ring, ${\displaystyle R^{\times }}$, and so ${\displaystyle Q(R)=(R^{\times })^{-1}R}$. But since all these elements already have inverses, ${\displaystyle Q(R)=R}$.

• 통신용 폰 노이만 정규 링 R에서도 같은 일이 일어난다.A in R이 영점 분할자가 아니라고 가정하자.그런 다음 폰 노이만 정규 링에서 a = R의 일부 x에 대해 a(xa - 1) = 0이라는 방정식을 제공한다. a는 0 divisor가 아니기 때문에 xa = 1을 나타내는 단위다.여기서 다시 $Q{\displaystyle }$( ${\displaystyle R}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ Q$(R)=R$

• 대수 기하학에서 어떤 계획에서 총 지수 반지의 한 조각을 고려하며, 이것은 카르티에 디비저의 하나의 가능한 정의를 제공하는 데 사용될 수 있다.

환원 링의 총 분수 링

다음과 같은 중요한 사실이 있다.

증명: Q(A)의 모든 요소는 단위 또는 제로디비저(zerodivisor.따라서 Q(A)의 모든 적절한 이상 I은 제로디비저로 구성되어야 한다.Since the set of zerodivisors of Q(A) is the union of the minimal prime ideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ as Q(A) is reduced, by prime avoidance, I must be contained in some ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$. Hence, the ideals ${\displaystyle {\math$$프락{p}_{i}Q(A)}$는 Q(A)의 최대 이상이며 교차점이$$ 0이다.따라서 Q(A)에 적용된 중국의 나머지 정리에 의해 우리는 다음과 같은 것을 갖게 된다.

${\displaystyle Q}$( ${\displaystyle A}$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$i Q${\displaystyle }$(${\displaystyle A{\mathfrak{}}_{}}$ ) / ${\displaystyle p_{}{}_{}}$ ${\displaystyle Q}$( A ) ${\displaystyle$ Q$(A)\simeq \prod_{i}Q/{\mathfrak{p}_{i}Q(A$

Finally, ${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)}$ is the residue field of ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$. Indeed, writing S for the multiplicatively closed set of non-zerodivisors, by the exactness of localization,

${\displaystyle Q(A)/{\mathfrak {p}}_{i}Q(A)=A[S^{-1}]/{\mathfrak {p}}_{i}$$A[S^{-1}]=(A/{\mathfrak{p}_{i})$$[S^{-1$

이미 필드인 $Q{\displaystyle (A}$/ ${\displaystyle p{\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$) ${\displaystyle Q(A/{\mathfrak {p}_{i}})$ .$$$◻{\displaystyle }$ ${\displaystyle \square }$

일반화

If ${\displaystyle R}$ is a commutative ring and ${\displaystyle S}$ is any multiplicatively closed set in ${\displaystyle R}$, the localization ${\displaystyle S^{-1}R}$ can still be constructed, but the ring homomorphism from ${\displaystyle R}$ to ${\displaystyle S^{-1}R}$ might주입에 실패하다예를 들어 $0{\displaystyle \mathrm{}}$∈ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 0\in$ S$\}$인 경우 S${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}R}$이(가) 사소한 링이 된다$$.

인용구

참조

• Matsumura, Hideyuki (1980), Commutative algebra
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative ring theory