항복면

항복 표면은 응력의 6차원 공간에 있는 5차원 표면이다. 항복 표면은 보통 볼록하고 항복 표면 내부의 응력 상태는 탄력적이다. 응력 상태가 표면에 놓여 있을 때 물질은 항복점에 도달했고 물질은 플라스틱이 되었다고 한다. 재료의 추가 변형은 소성변형이 진화함에 따라 표면의 모양과 크기가 변할 수 있음에도 불구하고 항복 표면에 응력 상태를 유지하게 한다. 이는 일부 점성성 모델에서는 아니지만 수율 표면 외부에 있는 스트레스는 비율에 독립적인 가소성에서는 허용되지 않기 때문이다.^[1]

The yield surface is usually expressed in terms of (and visualized in) a three-dimensional principal stress space (${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$), a two- or three-dimensional space spanned by stress invariants (${\displaystyle I_{1},J_{2},J_{3}}$) or a versi하이에-웨스터고드 스트레스 공간의 3차원 공간으로부터 따라서 우리는 항복 표면(즉 항복 함수)의 방정식을 다음과 같은 형태로 작성할 수 있다.

• ${\displaystyle f(}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\$displaystyle f)(\$displaystyle f(\$displaysty_${1$$},\$$displayma_{$$3}=0\),$ 여기서$$ ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ i${\$는 주된 스트레스다$$.
• ${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3})=0\,}$ where ${\displaystyle I_{1}}$ is the first principal invariant of the Cauchy stress and ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$ are the second and third principal invariants of the deviatoric part of the Cauchy stress.
• ${\displaystyle f(p,q,r)=0\,}$ where ${\displaystyle p,q}$ are scaled versions of ${\displaystyle I_{1}}$ and ${\displaystyle J_{2}}$ and ${\displaystyle r}$ is a function of ${\displaystyle J_{2},J_{3}}$.
• ${\displaystyle f(\xi ,\rho ,\theta )=0\,}$ where ${\displaystyle \xi ,\rho }$ are scaled versions of ${\displaystyle I_{1}}$ and ${\displaystyle J_{2}}$, and ${\displaystyle \theta }$ is the stress angle^[2] or Lode angle^[3]

항복 표면을 설명하는 데 사용되는 불변제

The first principal invariant (${\displaystyle I_{1}}$) of the Cauchy stress (${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$), and the second and third principal invariants (${\displaystyle J_{2},J_{3}}$) of the deviatoric part (${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$) of the Cauchy stress are defined:

${\displaystyle {\reasoned}I_{1}&={\text{Tr}}({\boldsymbol {\sigma }})=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\J_{2}&={\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {s}}:{\boldsymbol {s}}={\tfrac {1}{6}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]\\J_{3}&=\det({\boldsymbol {s}})={\tfrac {1}{1}{3}}({\boldsymbol {s}}}\boldsymbol {s}}}}):{\\chbsymbol{s}=s_{1}s_{2}s_{3}\end{arged}}$

where (${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$) are the principal values of ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$, (${\displaystyle s_{1},s_{2},s_{3}}$) are the principal values of ${\displaystyle {\boldsymbol {s}}}$, and

${\displaystyle {\boldsymbol{s}={\boldsymbol {\sigma}}-{\\tfrac {I_{1}}}\\\boldsymbol {I}}}$

$여기$서 I ${\$은(는) ID 매트릭스 입니다.

관련 수량 세트($$${\displaystyle }$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle r}$ ${\$는 일반적으로 암석, 토양, 세라믹과 같은 응집성 마찰 물질의 항복 표면을 설명하기 위해 사용된다. 이것들은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle p={\tfrac {1}{3}}~~I_{1}~:~q={\sqrt{3~J_{2}}:}=\sigma _{\\\\\\\\\\\\\\\tfrac{1}{1}{2}}\\{\tfrac{1}{1}\}}}{1/3}}^{1/3}}}}}}}$

여기서 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{q}}_{}}$ ${\$은 등가 응력이다. 그러나 J ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 음수 값과 그로 인한 가상의 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 가능성은 실제로 이러한 수량을 사용하는 데 문제를 일으킨다$$.

널리 사용되는 또 다른 관련 불변제 집합은 원통형 좌표계(Haigh-Westergaard 좌표)를 ${\displaystyle \mathrm{설명}}$하는 ( ,, ${\displaystyle ,,}$ {, {, {, {, $\$ $\backslash ,\})$이다. 이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \xi ={\tfrac {1}{\sqrt{3}}}~I_{1}={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {2J_{2}}}={\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~q~;~~\cos(3\theta )=\left({\tfrac {r}{q}}\right)^{3}={\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2}}~{\cfrac {J_{3}}{J_{2}^{3/2}}}}$

$\xi {\displaystyle }$ -${\displaystyle \rho }$ ${\$ -$\rho \,}$ 평면을$$ 렌둘릭 평면이라고도 한다. ⁡(3θ){\displaystyle \cos(3\theta)}은 때때로 Lode parameter[4][5][6]과θ{\theta\displaystyle}, J2J3{\displaystyle J_{2},J_{3}}먼저 Novozhilov 비에이유 빈뉴 의해 주어졌다 간의 관계이라 불리는 그 각도θ{\theta\displaystyle}스트레스 각도 호출하는 경우 값입니다. 1951,[7]에으로서의를 보기 때문이긴 했지만.아[8]

주요 응력 및 Haigh-Westgaard 좌표는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\\cos \left(\theta -{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\\\cos \left(\theta +{\tfrac {2\pi }{3}}\right)\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}~\rho ~{\begin{bmatrix}\cos \theta \\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}-\theta \right)\\-\sin \left({\tfrac {\pi }{6}}+\theta \right)\end{bmatrix}}\,.}$

로데 각도에 대한 다른 정의도 문헌에서 찾을 수 있다.^[9]

${\displaystyle \sin(3\theta )=~{\tfrac {3}{3}{2}}~{\cfrac{J_{3}{J_{2}^{3/2}}:$

이 경우 순서 있는 주계약자가 응력(여기서 ${\displaystyle {where\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ 2$$ ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 3 {\$displaystyle$\ \$ma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \mama$_$\{$$3})$에^[10] 의해 관련된다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\end{bmatrix}}={\tfrac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}\xi \\\xi \\\xi \end{bmatrix}}+{\tfrac {\rho }{\sqrt {2}}}~{\begin{bmatrix}\cos \theta -{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\{\tfrac {2\sin \theta }{\sqrt {3}}}\\-{\tfrac {\sin \theta }{\sqrt {3}}}-\cos \theta \end{bmatrix}}\,.}$

항복 표면의 예

공학에서 알려진 여러 가지 다른 항복 표면이 있으며, 가장 인기 있는 표면은 아래에 열거되어 있다.

트레스카수율표면

트레스카 수익률 기준은 앙리 트레스카의 작품으로 간주된다.^[11] 최대 전단응력 이론(MSST)과 트레스카-게스트^[12](TG) 기준으로도 알려져 있다. 주된 스트레스의 관점에서 트레스카 기준은 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\max( \sigma _{1}-\sigma _{2} , \sigma _{2}-\sigma _{3} , \sigma _{3}-\sigma _{1} )=S_{sy}={\tfrac {1}{2}}S_{y}}\!}$

여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 전단$$ 내 항복강도, $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 인장 항복강도다.

그림 1은 주응력의 3차원 공간에서 트레스카-게스트 항복 표면을 보여준다. 그것은 6개의 면으로 이루어진 프리즘이고 길이가 무한하다. 이것은 세 가지 주요 응력이 모두 압축되거나 늘어나더라도 대략 등가(수압)일 때 물질은 탄성을 유지한다는 것을 의미한다. 그러나 주요 스트레스 중 하나가 다른 스트레스보다 작거나 더 커지면 재료는 피복될 수 있다. 그러한 상황에서 전단 응력이 항복 한계에 도달하면 재료는 플라스틱 영역으로 들어간다. 그림 2는 2차원 응력 공간의 트레스카-게스트 항복 표면을 나타내며, , ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\sigma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$평면을$$ 따라 프리즘의 단면이다.

폰 미제스 수율표면

폰 미제스의 항복 기준은 주된 스트레스로 다음과 같이 표현된다.

${\displaystyle {\sigma _{1}-\sigma _{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3}}^{3}-\sigma _{1}^{2}=2}{S_{y}}^{2}}\!}$

여기서 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\$는 단축 장력에서의 항복 강도다.

그림 3은 주요 응력의 3차원 공간에서 폰 미제스의 항복 표면을 보여준다. 세 가지 주요 응력과 동일한 각도로 축이 기울어진 무한 길이의 원형 실린더다. 그림 4는 트레스카-게스트 기준과 비교하여 폰 미제스의 2차원 공간 항복 표면을 보여준다. $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ \sigma $_{1},\sigma _{$2}}의$$평면에 있는 폰 미제스 실린더의 단면은 항복면의 타원형 모양을 생성한다$$.

부르지스키야그 기준

이 기준^[13][14]

${\displaystyle 3I_{2}'={\frac {\sigma _{\mathrm {eq}-\gamma _{1}I_{1}:{1-\gamma _{1}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}:{1-\gamma _{2}}:$

정수축에 대한 2차 회전 표면의 일반적인 방정식을 나타낸다. 다음과 같은 특별한 경우가 있다.^[15]

• $실린더{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}=0}($맥스웰(1865), 휴버(1904), 폰 미제스(1913), 헨키(1924),
• 콘 ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$] ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle \gamma _{1}=\gamma _{2}\{$2}\$in ]0,1[($Botkin(1940), Drucker-Prager(1952), Miroyubov(1953)],
• 파라볼로이드 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ [ ,${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}=0}($부르지예스키(1928), 발란딘(1937), 토레(1947),
• 대칭 평면 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$= 0 ${\displaystyle I_{1}=0},$${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$= -${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$[ ${\displaystyle \gamma _{1}=-\gamma _{2}\in ]0,1[($벨트라미 (1885)],
• ellipsoid centered of symmetry plane ${\displaystyle I_{1}={\frac {1}{2}}\,{\bigg (}{\frac {1}{\gamma _{1}}}+{\frac {1}{\gamma _{2}}}{\bigg )}}$ with ${\displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}<0}$ (Schleicher (1926)),
• ${\displaystyle {sheets\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0,}$ 1 ${\displaystyle [,{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$[ {\$displaystyle \gamma _{1}\in ]0,1[,\gamma _{2}\in ]0,\gamma _{1}[}$ $$(Burzynski, 1928), 야그(1931)], 1931),
• 대칭 평면 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$= 0 ${\displaystyle I_{1}=0},$${\displaystyle {\gamma \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$= -${\displaystyle \gamma }$ 2${\displaystyle {}_{}}$= i ${\displaystyle \gamma_{1$}=-\$gamma _{2}=a$i${\displaystyle \},\sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{i}}}$= - 1 {\$displaystyle$i={\sqrt${-1}}}}($1980)
• 1시트의 하이퍼볼로이드 ${\displaystyle {\gamma 1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$= ${\displaystyle b}$± ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \gamma _{1,2}=b\pm$ a$\,i$ i${\displaystyle }$=${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{1}}$ ${\$필로넨코-Boroditsch(1960), 골덴블랫-코프노브), 필린(1975)(1975)

압축 강도와 비틀림 강도의 관계는 다음과 같이 계산될 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\sigma _{-}}{\sigma _{+}}}={\frac {1}{1-\gamma _{1}-\gamma _{2}}},\qquad {\bigg (}{\sqrt {3}}\,{\frac {\tau _{*}}{\sigma _{+}}}{\bigg )}^{2}={\frac {1}{(1-\gamma _{1})(1-\gamma _{2})}}}$

장력과 압축에서 포아송의 비율은 다음을 사용하여 구한다.

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in}}={\frac {-1+2(\flair _{1}+\fair _{2}-3\pair _{1}{1}+\pair _{1}{1}+\pair _{2}}:$

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}}$

연성 재료의 경우 제한

${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in}} {\bigg[}\\,0.48,\, {\frac {1}{1}:{2}}:}}$

중요하다. 취약성 고장에 대한 회전 대칭 기준 적용

${\displaystyle \nu \{+}^{+}^{\mathrm {in}-1, ~\nu _{+}^{\mathrm {el}\,]}$

충분히 연구되지 않았다.^[16]

부르지스키야그 기준은 학문적 목적에 매우 적합하다. 실용적인 적용을 위해 홀수 및 짝수 전력에서 데빌라이저의 세 번째 불변성을 방정식에 도입해야 한다. 예:^[17]

${\displaystyle 3I_{2}'{\frac {1+c_{3}}}\cos 3\theta +c_{6}}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}}}={\frac {\fraca _{\mathrm {eq} }-\reason _{1}I_{1}:{1-\gamma _{1}}{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}I_{1}:{1-\gamma _{2}}:$

휴버 기준

Huber 기준은 Beltrami 타원체와 주요 응력 공간에 있는 스케일링된 폰 Mises 실린더로 구성된다(^{[18][19][20][21]}참조^[22][23]).

$3\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{배열}{ 주어}\displaystyle{\frac{\sigma_{\mathrm{eq}}-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma_{1}}}\,{\frac{\sigma_{\mathrm{eq}}+\gamma _{1}\,I_{1}}{1+\gamma_{1}}},&amp을 말한다.I_{1}>, 0\\[1em]\displaystyle{\frac{\sigma_{\mathrm{eq}}}{1-\gamma_{1}}}\,{\frac{\sigma_{\mathrm{eq}}}{1+\gamma_{1}}},&amp을 말한다.I_{1}\leq 0\end{배열}}\right.}$

$\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\in [}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$ $[\displaystyle \gamma _{1}\in [0,$${\displaystyle 1}$$].$ 단면 I ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= 0 ${\displaystyle I_{1}=0}$의 표면 간 전환은 지속적으로 다를 수 있다$$. 이 기준은 비탄성 물질적 행동에 관한 "일반적 견해"를 나타낸다.

• $\nu {\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}^{}}$ ${\displaystyle ]}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\$ {$in}{{in$}}\in \in \in $\in$ \{ft$]$가 있는$$ > 0${\displaystystylean I_{$1$}{$$1$}에 대한 압력 민감 재료 동작
• ${\displaystyle {}_{}^{}}$ -${\displaystyle {}_{\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle 1}$/ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ 2 {\$displaystyle$$\nu$ $_$${-}^{\mathrm {in} }=1/2}$인 < ${\$$displaystyle$ I_${$${\displaystyle {\mathrm{0}}_{}^{}}$$}>$에 대한 압력 민감하지 않은 재료 동작

The Huber criterion can be used as a yield surface with an empirical restriction for Poisson's ratio at tension ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }\in [0.48,1/2]}$, which leads to ${\displaystyle \gamma _{1}\in [0,0.1155]}$.

수정된 Huber 기준,^[24][23] 참고 항목

$3\displaystyle 3\,I_{2}'=\left\{{\begin{array}{ll}\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\,{\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}}{1-\gamma _{2}}},&I_{1}>-d\,\sigma _{\mathrm {+} }\\[1em]\displaystyle {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }^{2}}{(1-\gamma _{1}-\gamma _{2})^{2}}},&I_{1}\leq -d\,\sigma _{\mathrm {+} }\end{array}}\right.}$

슐라이셔 타원체(Schleicher allipsoid)로 구성되며, 압축 시 포아송 비율의 제한

${\displaystyle \nu _{-}^{\mathrm {in} }=-{\frac {-1+\gamma _{1}^{2}+\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}\,\gamma _{2}}{(-2+\gamma _{1}+\gamma _{2})\,(-1+\gamma _{1}+\gamma _{2})}}={\frac {1}{2}}}$

그리고 $단면{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$= - ${\displaystyle d{}_{}}$ ${\displaystyle {+}_{}}$ +$${\$displaystyle I_{1}=-d\,\sigma$ _${\mathrm$에 ${\displaystyle {변환}^{}}$이 있는 $실린더.$ $[0,1]$ 및 [0$$,$1$에서 매개 변수 ${\displaystyle {parameters\mathrm{}}_{}}$ 1$∈$ [$],$ [\$displaystyle$ \gamma$$$_{1$}\]에 대한 두 번째 설정은 압축/$장력$ 관계를 따른다$.$

${\displaystyle d={\frac {\fracma _{-}{-}{\probma _{+}}={\frac {1}{1-\proble _{1}-\proba _{2}}-\geq 1}$

수정된 Huber 기준은 Huber 기준으로서 측정된 데이터에 더 잘 적합될 수 있다. $\nu {\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{i}}_{}^{}}$= ${\displaystyle 0.48}$ ${\displaystyle \nu _{+}^{\mathrm {in} }=0.48}$의 경우 setting ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle 0.0880}$ ${\displaysty \gamma _{1}=0$$.0880$$}$ 및$$ $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle \mathrm{}}$- 0${\displaysty \gamma$ \down \gma \gamma $_{$2}={$2$

이후 나는 1>이 지역에서 더 안전한 결과를 얻은 일탈하는 사람을 위해 실용적인 애플리케이션 3invariant 3{\displaystyle I_{3}의}을 고려하여야 한다 ′ 그 후버 기준과 수정된 후버 기준은 폰 Mises 기준에;σ+{\displaystyle I_{1}>, \sigma _{\mathrm{+}}}. 우선되어야 한다.건축ese ^[23]기준

모어-쿨롬 항복 표면

Mohr-Coulomb 항복(고장) 기준은 Tresca 기준과 유사하며 인장 및 압축 항복 강도가 다른 재료에 대한 추가 조항이 있다. 이 모델은 콘크리트, 토양 또는 세분화된 재료를 모형화하는 데 종종 사용된다. Mohr-Coulomb 항복 기준은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {m+1}{2}}\max {\Big (} \sigma _{1}-\sigma _{2} +K(\sigma _{1}+\sigma _{2})~,~~ \sigma _{1}-\sigma _{3} +K(\sigma _{1}+\sigma _{3})~,~~ \sigma _{2}-\sigma _{3} +K(\sigma _{2}+\sigma _{3}){\Big )}=S_{yc}}$

, where

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}}{{\displaystyle m=S_{yt}};K={\frac {m-1}{m+1}}$

그리고 파라미터 S ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$와 S ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 각각 단축압축과 장력에서 물질의 항복(고장) 응력이다$$. ${\displaystyle {이}_{}}$ 공식은${\displaystyle {}_{}{Sy}_{}}$ c = ${\displaystyle S_{}}$y t {\$displaystyle S_{yc}=S_{$yt}}}일 경우 Tresca 기준으로 감소한다$.$

그림 5는 주응력의 3차원 공간에서 Mohr-Coulomb 항복 표면을 보여준다. 원뿔 프리즘이며 원뿔 표면의 기울기 각도를 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이 결정한다. 그림 6은 2차원 응력 공간의 Mohr-Coulomb 항복 표면을 보여준다. 그림$$ 6 ${\displaystyle R_{}}$ ${\$과(와) ${\displaystyle R_{}}$ c ${\$은 공식에서 각각 ${\displaystyle {Sy}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$와 $S$y c$$ ${\$ ${\displaystyle {\sigma 1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 평면에 이 원뿔 프리즘의 단면이다. 그림$$6에서 Rr과 Rc는 각각 Syc와 Syt에 사용된다.

Drucker-Prager 항복 표면

Drucker-Prager 항복 기준은 von Mises 항복 기준과 유사하며, 인장 및 압축 항복 강도가 다른 물질을 취급하기 위한 조항이 있다. 이 기준은 정상 응력과 전단 응력이 모두 고장을 결정할 수 있는 콘크리트에 가장 많이 사용된다. Drucker-Prager 항복 기준은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {m-1}{2}}{\bigg )}(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})+{\bigg (}{\frac {m+1}{2}}{\bigg )}{\sqrt {\frac {(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}{2}}}=S_{yc}}$

, where

${\displaystyle m={\frac {S_{yc}}}{{\displaystyle m=S_{{yt}}}}}$

및 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$ $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$는 각각$$ 압축과 장력에서 단축 항복 응력이다. $이{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {공식}_{}}$은${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ = ${\displaystyle S_{}}$y t {\$displaystyle S_{yc}=S_{$yt}}}일 경우 von Mises 방정식으로 감소한다$.$

그림 7은 주응력의 3차원 공간에서 Drucker-Prager 항복 표면을 보여준다. 그것은 보통의 원뿔이다. 그림 8은 2차원 공간의 Drucker-Prager 항복 표면을 보여준다. 타원형 탄성 영역은 ${\displaystyle {\sigma 1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 면에 있는 원뿔의 단면이며$,$ 정점 수가 다른 Mohr-Coulomb 항복 표면을 교차하도록 선택할 수 있다. 한 가지 선택은 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$= -${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$선$$ 양쪽에 있는 꼭지점 세 개에서 Mohr-Coulomb 항복 표면을 교차시키는 것이지만, 일반적으로 관례에 의해 압축 체제에 있는 것으로 선택된다.^[26] 또 다른 선택은 양쪽 축의 네 꼭지점(일축 적합) 또는 대각선 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2 ${\$양축 적합)에서 Mohr-Coulomb 항복 표면을 교차하는 것이다.^[27] Drucker-Prager 항복 기준은 또한 일반적으로 물질 응집력과 마찰 각도로 표현된다.

브레슬러-피스터 항복 표면

브레슬러-피스터 항복 기준은 3개의 파라미터를 사용하는 Drucker Prager 항복 기준을 확장한 것으로, 정수압축 하에서 산출되는 재료에 대한 추가 항이 있다. 주된 스트레스의 관점에서, 이 수익률 기준은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle S_{yc}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left[(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}\right]^{1/2}-c_{0}-c_{1}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})-c_{2}~(\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3})^{2}}$

여기서 c ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$, c ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 재료$$ 상수다. 추가 파라미터 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}}: 수율 표면에 축에 수직인 방향에서 볼 때 타원형 단면을 제공한다$$. $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$가 단축압축의 항복응력이고, ${\displaystyle {\sigma }_{}}$ t ${\$가 단축장력의 항복응력이고, $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$가 2축압축의 항복응력인 경우 매개변수를 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}=&\left({\cfrac {\sigma _{t}-\sigma _{c}}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {4\sigma _{b}^{2}-\sigma _{b}(\sigma _{c}+\sigma _{t})+\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\\c_{2}=&\left({\cfrac {1}{(\sigma _{t}+\sigma _{c})}}\right)\left({\cfrac {\sigma _{b}(3\sigma _{t}-\sigma _{c})-2\sigma _{c}\sigma _{t}}{4\sigma _{b}^{2}+2\sigma _{b}(\sigma _{t}-\sigma _{c})-\sigma _{c}\sigma _{t}}}\right)\c_{0}=&c_{1}\n1}\cma _{c}-c_{2}\probma _{c}^{2}\ended}}}}}}$

윌람-워크 수율표

Willam-Warnke 항복 기준은 Mohr-Coulomb 항복 기준의 3-모수 평활 버전으로, Drucker-Prager 및 Bresler-Pister 항복 기준과 형태가 유사하다.

수익률 기준은 기능적 형태를 가진다.

${\displaystyle f(I_{1},J_{2},J_{3}=0~)}$

단, 하이-웨스터고드 좌표에는 다음과 같이 더 일반적으로 표현된다.

${\displaystyle f(\xi,\rho,\theta )=0~.}$

축을 따라 볼 때 표면의 단면은 평활 삼각형이다(Mohr-Coulomb와는 달리). Willam-Warnke 항복 표면은 볼록하고 표면의 모든 점에서 독특하고 잘 정의된 첫 번째 및 두 번째 파생상품을 가지고 있다. 따라서 윌람-워너크 모델은 계산적으로 견고하며 다양한 응집성-마찰성 재료에 사용되어 왔다.

포드고르스키 및 로젠달 삼각수율표면

단축 인장 응력 $\sigma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {e\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{q}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$ 스트레스 각도 함수로서의 포드고리스키 기준 $reads$ ${\displaystyle \ta}$읽음

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq}}={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\\frac _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3}}}{\Oomega _{3},},},}$

$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ - 평면에$$ 삼각대칭의 형상함수를 적용

${\displaystyle \Omega _{3}(\theta ,\beta _{3},\chi _{3})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{3}}\left(\pi \beta _{3}-\arccos[\,\sin(\chi _{3}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 3\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{3}\in [0,\,1],\quad \chi _{3}\in [-1,\,1].}$

It contains the criteria of von Mises (circle in the ${\displaystyle \pi }$-plane, ${\displaystyle \beta _{3}=[0,\,1]}$, ${\displaystyle \chi _{3}=0}$), Tresca (regular hexagon, ${\displaystyle \beta _{3}=1/2}$, ${\displaystyle \chi _{3}=\{1,-1\}$}), 마리오트(규칙적인 삼각형, β 3={0,1}{\displaystyle \beta_{3}=\{0,1\}},χ 3){1, − 1}{\displaystyle \chi_{3}=\{1,-1\}}), Ivlev[29](규칙적인 삼각형, β 3){1,0}{\displaystyle \beta_{3}=\{1,0\}},χ 3){1, − 1}{\displaystyle \chi_{3}=\{1,-1\}})과 또한 체적 criter.이온 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$의 Sayir(Ottosen 기준)와$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ = { ${\displaystyle 0}$, 1 } {\$displaystyle$ \$beta _{3}=\{0,$1\}}의 Capurso 기준의^[29][30][32] 동위원소(동위원소) 16각과 ilateral 3${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${${\displaystyle 1}$,${\displaystyle -}$ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystytype \chi \{3$}{1$,-1$ 그 폰 미제스-Tresca 전환[33]β 3=1/2{\displaystyle \beta_{3}=1/2},χ 3)[0,1]{\displaystyle \chi_{3}[0,1]}. Haythornthwaite 기준[23][34][35]의(정육 각형)은 Podgór 설명할 수 없는 등편 각의(등각의)6각형은 Schmidt-Ishlinsky 기준이 포함된 따른다.스키 ctiterion.

Rosendahl 기준은 다음과 같다.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq}}={\sqrt {3\,I_{2}'}}\,{\frac {\\frac _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6}){\Oomega _{6},},}$

$\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi$} - 평면에$$ 육각 대칭의 형상 함수 포함

${\displaystyle \Omega _{6}(\theta ,\beta _{6},\chi _{6})=\cos \left[\displaystyle {\frac {1}{6}}\left(\pi \beta _{6}-\arccos[\,\sin(\chi _{6}\,{\frac {\pi }{2}})\,\!\cos 6\,\theta \,]\right)\right],\qquad \beta _{6}\in [0,\,1],\quad \chi _{6}\in [-1,\,1].}$

It contains the criteria of von Mises (circle, ${\displaystyle \beta _{6}=[0,\,1]}$, ${\displaystyle \chi _{6}=0}$), Tresca (regular hexagon, ${\displaystyle \beta _{6}=\{1,0\}}$, ${\displaystyle \chi _{6}=\{1,-1\}}$), Schmidt—Ishlinsky(일반 육각형, β 6={0,1}{\displaystyle \beta_{6}=\{0,1\}},χ 6){1, − 1}{\displaystyle \chi_{6}=\{1,-1\}}), 소콜롭 스키(정십이 각형, β 6=1/2{\displaystyle \beta_{6}=1/2},χ 6){1, − 1}{\displaystyle \chi_{6}=\{1,-1\}}), 그리고 또 이중 큐빅 기준[23].wi[36][38][39]$th\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \beta _{6}=0}$ 또는$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ $\$$beta$ $_$${6}=1}$ 및$$ Yu의 통일된 항복기준 동위원소 도데카곤과 ${\displaystyle {\beta \mathrm{}}_{}}$ 6 =${\displaystyle }${$,$- ${\displaystyle 1\}}$ ${6$}{$6}=\1-1$ 이슐린스키-이블레프 기준(정규 도데카곤)을 포함하는 육각 대칭의 승수 안사츠 기준의 이등분 도데카곤은 로젠달 기준으로 설명할 수 없다.

포드고르스키와 로젠달의 기준은 추가적인 외부 윤곽과 평면 교차점이 없는 주된 응력 공간의 단일 표면을 설명한다. 숫자 문제를 피하기 위해 실제 부품 함수 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle {Re\mathrm{}}_{}}$$}$을(를) 형상 함수에 도입할 수 있다$$. R ${\displaystyle e({\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle Re(\Oomega _{3})$ 및 $R$ ${\displaystyle e({\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$) ${\displaysty Re(\Oomega _{6$ $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{3n}}_{}}$ ${\$ 형식의 일반화는 이론 조사와 관련이 있다$$^[36].

기준의 압력에 민감한 확장은 선형 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$- submission을$$ 통해 얻을 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }\rightarrow {\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\qquad {\mbox{with}}\qquad \gamma _{1}\in [0,\,1[,}$

금속, 주철, 합금, 콘크리트, 비강제 중합체 등과 같은 많은 용도에 충분하다.

비고니-피콜로아즈 항복면

Bigoni-Piccolroaz 항복 기준은^[41][42] 7-모수 지표면이다.

${\displaystyle f(p,q,\theta )=F(p)+{\frac {q}{g(\theta )}}=0,}$

여기서 $F{\displaystyle (p}$) ${\displaystyle F(p)}$은(는) "meridian" 함수임

${\displaystyle F(p)=\left\{{\begin{array}{ll}-Mp_{c}{\sqrt {(\phi -\phi ^{m})[2(1-\alpha )\phi +\alpha ]}},&\phi \in [0,1],\\+\infty ,&\phi \notin [0,1],\end{array}}\right.}$

${\displaystyle \phi ={\frac {p+c}{p_{c}}},}$

압력 측정 및 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle \theta }$ )${\displaystyle$ g$(\theta )}$을(를) 설명하는 것이$$ "deviatoric" 함수임

${\displaystyle g(\theta )={\frac {1}{\cos[\cos[\pi }{6}-{6}-{\frac {1}{3}}\cos ^{1}(\cos \cos 3\theta )}},},},},}$

양보의 로드 의존성을 묘사하는 것. 음이 아닌 7가지 재료 매개변수:

${\displaystyle \underbrace {M>0,~p_{c}>0,~c\geq 0,~0<\alpha <2,~m>1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {F(p)}},~~~\underbrace {0\leq \beta \leq 2,~0\leq \gamma <1} _{{\mbox{defining}}~\displaystyle {g(\theta )}},}$

자오선 및 일차 단면의 형상을 규정한다.

이 기준은 부드럽고 볼록한 표면을 나타내며, 유체 장력과 압축으로 닫혀 있고 낙하와 같은 형태를 가지고 있으며, 특히 마찰 및 세분화된 재료를 설명하기에 적합하다. 이 기준은 모서리가 있는 표면의 경우에도 일반화되었다.^[44]

코사인 안사츠 (알텐바흐-볼춘-콜루패예프)

강도 기준 제형의 경우 응력 각도

${\displaystyle \cos 3\theta ={\frac {3{\sqrt{3}}{2}}:{\frac {I_{3}}}{{}}}}{{\frac}}}}}{}}}}}}}{}}}}I_{2}'^{\frac {3}{2}}}$

사용할 수 있다.

등방성 물질 거동의 다음 기준

${\displaystyle(3I_{2}')^{3}{\frac {1+c_{3}}}\cos 3\theta +c_{6}}\cos ^{2}3\theta }{1+c_{3}+c_{6}}}}=\displaystyle \left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{1}\,I_{1}}{1-\gamma _{1}}}\right)^{6-l-m}\,\left({\frac {\sigma _{\mathrm {eq} }-\gamma _{2}\,I_{1}:{1-\gamma _{2}}\오른쪽)^{l}\,\sigma _{\matrm {eq} ^{m}}}$

적절한 매개변수 값을 선택할 경우 잘 알려져 있지 않은 다수의 다른 일반 기준을 포함한다.

매개변수 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 $c$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는)$display$ {\displaystyle$\pi$} - 평면에서$$ 표면의 지오메트리를 설명한다$$. 그들은 제약을 받는다.

${\displaystyle c_{6}={\frac {1}{4}}(2+c_{3}),\qquad c_{6}={\frac {1}{4}}(2-c_{3}),\qquad c_{6}\geq {\frac {5}{12}}\,c_{3}^{2}-{\frac {1}{3}},}$

볼록한 상태로부터 오는 것. 세 번째 제약조건의 보다 정밀한 제형이 제안되었다.^[45][46]

매개변수 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}{}_{}}$ [ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ $[\displaystyle \gamma _{1}\in [0,\,1]$ 및$$ $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}: 수율 표면의 교차점 위치를 정수축(주 응력 공간의 대각선)으로 설명한다$$. 이러한 교차점을 정수 노드라고 한다. 그렇지 않으면에 대한 수압을 실패하는 물질γ 2<다음(열심히 폼, 도자기, 소결 재료 등)재료의 경우 수압에(철강, 놋쇠 등)한, 1γ는 경우에는{\displaystyle \gamma_{2}\inγ 2∈[0을 가져오는 경우에는 0,\,\gamma _{1}[}.;0{\displaystyle \gamma_{2}&l 실패하지 않는다.t;0}.

정수 검정력 $l{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l\geq$ 0$}$ $및{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{m<img\; alt="l\backslash geq0"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6e8d7debe3dbe2599a0b1df61cd66e8b1a896fa8"\; style="vertical-align:\; -0.505ex;\; width:4.954ex;\; height:2.343ex;"\; papago-attr-id="399">}}$ ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle m\geq 0$ l+ < ${\displaystyle l+m<6})$은 자오선의 곡률을 설명한다. $l{\displaystyle }$${\displaystyle }$= ${\displaystyle m}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l=m=0}$의 자오선은 직선이며$$ l${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle l=0}$ $$– 포물선이다.

Barlat의 항복 표면

비등방성 재료의 경우 적용된 공정의 방향(예: 압연)에 따라 기계적 특성이 달라지기 때문에 비등방성 항복 함수를 사용하는 것이 중요하다. 1989년 이후로 프레데릭 바라트는 플라스틱 음이소트로피의 구성 모델링을 위한 수율 함수의 제품군을 개발했다. 이 가운데 광범위한 판금(예: 알루미늄 합금 및 첨단 고강도 강철)에 대해 Yld2000-2D 항복 기준이 적용됐다. Yld2000-2D 모델은 응력 텐서의 두 가지 선형 변환에 기초한 비 2차 유형 항복 함수다.

$\phi =\Phi '(X)'+\\\$$displaystyle$$Phi''(X")=2{{\bar {\sigma }}^{a}}$ $$:

Yld2000-2D 항복은 AA6022 T4 시트에 대한 loci이다.

여기서 ${\$}}}이$($가) 효과적인 스트레스다$$. 및 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 및 $X$ ${\displaystyle {″}^{}}$ ${\$은 변환 행렬(선형 변환 C 또는 L):

$\displaystyle {\begin{array}{l}X'=C'.s=L'.\sigma \\x'=C's=L'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''\sigma \end{array}}}$

여기서 s는 일탈적 스트레스 텐서이다.

X'와 X"의 주 값에 대해 모델은 다음과 같이 표현될 수 있다.

${\displaystyle {\design{array}{l}\Phi '={\왼쪽 {{X'}_{1}+{{X'}_{{X}}}}\{2}}\오른쪽 ^{a}\\\\Phi'={{\좌측 {2}{{X"}_{2}}+{{X"}_{1}}}\우측 ^{a}+{2}{{X"}_{1}+{X"}}{1}}}{{X"}}}}}{a}}\우측 ^{}}}}}}}}}}}}}}}$

및:

${\displaystyle \left[{\put{array}{*{20}{c}}{{c}}{{}}}{L'}_{11}\\{{{{L'}_{12}\\{{{{L'}_{21}\\{{{L'}_{22}\\{{{L'}_{66}}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{2/3}&0&0\\{-1/3}&0&0\\0&{-1/3}&0\\0&{-2/3}&0\\0&0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\alpha _{1}}\\{\alpha _{2}}\\{\alpha _{7}}\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{L'}_{11}\\{{{}L'}_{12}\\{{{{L'}_{21}\\{{{L'}_{22}\\{{{{L"}_{66}}\end{배열}}\right]=\left[{\begin{배열}{*{20}{c}}{-2}&2&, 8&,{-2}&0\\1&,{4}&,{4}&4&, 0\\4&,{4}&,{4}&4&, 0\\{-2}&8&, 2&,{-2}&0\\0&, 0&, 0&, 0&, 1\end{배열}}\right]\left는 경우에는{\begin{배열}{*{20}{c}}{\alpha_{3}}\\{\alpha_{4}}\\{\alpha_{5}}\\{\alpha_{6}}\\{\alpha_{8}}\end{배열}.}\right]}$

여기서 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$. . .${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$ ${\$\ \ $_{1}...$$\alpha _{8}$는 일련의 실험으로 식별할 Barlat의 Yld2000-2D 모델의 8개 매개변수다$$.

참고 항목

참조