아펠의 운동방정식

시리즈의 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}}(m{\textbf {v}})}$ 운동 제2법칙
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고전역학에서 아펠의 운동 방정식(일명 깁스-아펠 운동 방정식)은 1879년에^[1] 요시아 윌러드 깁스와 1900년에 폴 에밀 아펠이 기술한 고전역학의 대안적인 일반 공식입니다.^[2]

진술

깁스-애플 방정식은

${\displaystyle Q_{r}={\frac {\partial S}{\partial \alpha_{r}}}$

$여기$서 α ${\displaystyle r_{}}$ = $q$$$r ¨ ${\displaystyle$$\alpha_${r}={\ddot {q_{r}}}는 임의의 일반화된 가속도 또는 일반화된 좌표 q r {\displaystyle q_{r}}의 두 번째 시간 도함수이고, Q r {\displaystyle Q_{r}}는 해당 일반화된 힘입니다. 일반화된 힘은 일을 완성시킵니다.

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r},}$

인덱스 $r{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ r$}$이 $D{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ D$}$ 일반화$$ 좌표 ${\displaystyle {qr}_{}}$ ${\$위에 실행되는 경우 일반적으로$$ 시스템의 자유도에 해당합니다. 함수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$는 입자 가속도 제곱의 질량 가중치 합으로 정의됩니다.

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}^{2}\,,}$

$여기$서 인덱스$$k {\$displaystyle$ k$}$는$$K {\$displaystyle$K} 입자$$ 위에 실행되며$$,

${\displaystyle \mathbf {a}_{k}={\dot {\mathbf {r}}}_{k}={\frac {d^{2}\mathbf {r}_{k}} {dt^{2}}$

위치 벡터$rk$ {\displaystyle \mathbf {$r}_{k}$의 두 번째 시간 $도함수$인 k ${\$displaystyle$$$k}$번째$$ 입자의 가속도입니다$.$ 각 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 일반화된 좌표로 표현됩니다$$. ${\displaystyle {}_{}}$ k ${\$는 일반화된 가속도로 표현됩니다.

고전역학의 다른 공식과의 관계

아펠의 공식은 고전역학에 새로운 물리학을 도입하지 않으며, 따라서 라그랑주 역학이나 해밀턴 역학과 같은 고전역학의 다른 공식과 동등합니다. 모든 고전 역학은 뉴턴의 운동 법칙 안에 포함되어 있습니다. 경우에 따라 아펠의 운동 방정식은 특히 비홀로노믹 제약이 수반될 때 일반적으로 사용되는 라그랑지안 역학보다 더 편리할 수 있습니다. 사실, 아펠의 방정식은 라그랑주의 운동 방정식으로 바로 이어집니다.^[3] 또한 복잡한 우주선의 움직임을 설명하는 데 특히 적합한 케인의 방정식을 도출하는 데 사용할 수 있습니다.^[4] 아펠의 공식은 가우스의 최소 제약 원칙을 적용한 것입니다.^[5]

파생

D 일반화 좌표의 무한히 작은 변화에 대한 입자 위치 r의_k 변화는

${\displaystyle d\mathbf {r} _{k}=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}} {\partial q_{r}}}$

시간에 대해 두 도함수를 취하면 가속도에 대해 동등한 방정식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {a} _{k}} {\partial \alpha _{r}}={\frac {\partial \mathbf {r} _{k} {\partial q_{r}}}$

일반화 좌표에서 무한소_r 변화 dq가 하는 일은

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot d\mathbf {r} _{k}}$

여기서 k번째 입자에 대한 뉴턴의 제2법칙은

${\displaystyle \mathbf {F} _{k} = m_{k}\mathbf {a} _{k}$

사용되었습니다. 두_k 개의 합의 순서를 dr과 swatch하는 공식을 대입하면 다음과 같은 공식이 얻어집니다.

${\displaystyle dW=\sum _{r=1}^{D}Q_{r}dq_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \sum _{r=1}^{D}dq_{r}\left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)=\sum _{r=1}^{D}dq_{r}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{r}}}\right)}$

따라서 일반화된 힘은

${\displaystyle Q_{r}=\sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a}_{k}\cdot \left ({\frac {\partial \mathbf {r}}_{k}}\right)=\sum _{k=1}^{n}m_{k}\mathbf {a}_{k}\cdot \left ({\frac {\partial \mathbf {a}_{k}\right)}$

이는 일반화 가속도에 대한 S의 도함수와 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\alpha_{r}}={\frac {\partial }{\alpha_{r}}{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left \mathbf {a}_{k}\right ^{2}=\sum _{k=1}^{n}m_{k}\mathbf {a}_{k}\cdot \left ({\frac {partial \mathbf {a}_{k}} {\partial \alpha_{r}}\right)}$

아펠의 운동방정식을 산출하기

${\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial \alpha_{r}}}=Q_{r}}$

예

강체 동역학의 오일러 방정식

오일러 방정식은 아펠의 공식을 잘 보여줍니다.

단단한 막대로 연결된 N개 입자의 단단한 몸체를 고려합니다. 바디의 회전은 각속도 벡터$$ω {\displaystyle ${\boldsymbol$ $\{\backslash$omega}}, 및 대응하는 각가속도 벡터에 의해 기술될 수 있습니다.

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha}}={\frac {\boldsymbol {\omega}}{dt}}$

회전에 대한 일반화된 힘은 $토크$ N ${\displaystyle {\textbf {N}}$인데$,$ 이는 무한소 $회전$δ ϕ ${\boldsymbol${\phi}}에 대해 수행된 작업이 dW = N ⋅ δ ϕ {\displaystyle dW=\mathbf {N} \cdot \delta {\boldsymbol {\phi}}이기 때문입니다. $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$번째$$ 입자의 속도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {v}_{k}={\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {r}_{k}$

$여기$서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 직각좌표에서의 입자의 위치이며, 그에 대응하는 가속도는

${\displaystyle \mathbf {a}_{k}={\frac {d\mathbf {v}_{k}}{dt}}={\boldsymbol {\alpha}}\times \mathbf {r}_{k}+{\boldsymbol {\omega}}\times \mathbf {v}_{k}$

따라서 함수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$는 다음과 같이 쓸 수 있습니다$$.

${\displaystyle S={\frac {1}{2}\sum _{k=1}^{N}m_{k}\left(\mathbf {a}_{k}\cdot \mathbf {a}_{k}\right)={\frac {1}{2}\sum _{k=1}^{n}m_{k}\left\{\left({\boldsymbol {\alpha}}\times \mathbf {r}_{k}\right)^{2}+\left ({\boldsymbol {\omega}\times \mathbf {v}_{k}\right)^{2}+2\left ({\boldsymbol {\alpha}\times \mathbf {r}_{k}\right)\cdot \left ({\bold 기호 {\omega}}\times \mathbf {v} _{k}\right)\right\}$

$\alpha {\displaystyle \mathit{}}$ ${\$에 대한 S의 도함수를 토크와 동일하게$$ 설정하면 오일러 방정식이 생성됩니다.

${\displaystyle I_{xx}\alpha_{x}-\left(I_{y}-I_{zz}\right)\omega_{y}\omega_{z}=N_{x}}$

${\displaystyle I_{y}\alpha_{y}-\left(I_{z}-I_{xx}\right)\omega_{z}\omega_{x}=N_{y}}$

${\displaystyle I_{zz}\alpha_{z}-\left(I_{xx}-I_{y}\right)\omega_{x}\omega_{y}=N_{z}}$

참고 항목

• 정지 작용의 원리
• 해석역학

참고문헌

더보기

• Pars, LA (1965). A Treatise on Analytical Dynamics. Woodbridge, Connecticut: Ox Bow Press. pp. 197–227, 631–632.
• Whittaker, ET (1937). A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies (4th ed.). New York: Dover Publications. ISBN.
• Seeger (1930). "Appell's equations". Journal of the Washington Academy of Sciences. 20: 481–484.
• Brell, H (1913). "Nachweis der Aquivalenz des verallgemeinerten Prinzipes der kleinsten Aktion mit dem Prinzip des kleinsten Zwanges". Wien. Sitz. 122: 933–944. 항고인의 작성행위와 최소행위원칙의 연관성.
• 괴팅겐 대학의 아펠 기사 PDF 사본
• 아펠 방정식과 가우스의 원리에 관한 두 번째 기사의 PDF 사본