구심력

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시리즈의 일부
고전 역학
$({displaystyle {textbf {F}}=squalfrac {d}{dt}})(m*textbf {v}})$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교재
나뭇가지 응용의 천상의 연속체 다이내믹스 운동학 동력학 스태틱스 통계
기초 액셀러레이션 각운동량 커플 달랑베르의 원리 에너지 동적인 잠재적인 힘. 기준범위 관성 기준 프레임 충동 관성/관성 모멘트 덩어리 기계력 기계 작업 순간. 모멘텀 공간 속도 시간을 토크 속도 가상 작업
제제 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 루시아 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠 운동 방정식 쿱만-본 노이만 역학
주요 토픽 감쇠비 변위 운동 방정식 오일러의 운동 법칙 가공의 힘 마찰 고조파 발진기 관성/비관성 기준 프레임 평면 입자 운동 역학 움직임(선형) 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대 속도 강체 역학 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원운동 회전 기준 프레임 구심력 원심력 반응성 코리올리 힘 진자 접선 속도 회전 속도 각도 가속도/변위/주파수/속도
과학자 케플러 갈릴레오 호이겐스 뉴턴 경이다. 호록스 핼리 모페르튀이 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라이어트 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 코시 러스 리우빌 어필 깁스 쿠프만 폰 노이만
물리 포털 카테고리
v t

구심력(라틴어 centrum, center, petre, "seek"^[1]와 "seek"에서 유래)은 몸이 곡선을 그리게 하는 힘이다.이 방향은 항상 차체의 움직임과 직교하며 경로의 순간 곡률 중심 고정점을 향합니다.아이작 뉴턴은 이것을 "물체가 중심점을 향해 끌어당기거나 추진되거나 어떤 식으로든 기울어지는 힘"^[2]이라고 묘사했다.뉴턴 역학에서, 중력은 천문 궤도를 일으키는 구심력을 제공한다.

구심력과 관련된 한 가지 일반적인 예는 물체가 원형 경로를 따라 일정한 속도로 움직이는 경우이다.구심력은 운동에 대한 직각으로, 또한 ^[3][4]원형 경로의 중심을 향해 반지름을 따라 향한다.수학적인 설명은 네덜란드의 물리학자 Christiaan Huygens에 ^[5]의해 1659년에 도출되었다.

공식

곡률 반지름이 r인 경로를 따라 접선 속도 v로 이동하는 질량 m 물체에 대한 구심력의 크기는 다음과 같다.^[6]

${\displaystyle {여기}_{}}$서 c$(\$는 구심 가속도이고 ${\displaystyle \delta }$ v$\$는 속도 벡터 간의 차이입니다.위 다이어그램의 속도 벡터는 일정한 크기를 가지며 각각의 위치 벡터에 수직이기 때문에 단순한 벡터 감산은 합동 각도를 가진 두 개의 유사한 이등변 삼각형을 의미한다. 하나는$$ v \$Delta \textbf${v$}$이고 하나는 v\$displays$의 다리 길이를 $포함$한다$.$$tyle$ v$\}$ 및 다른 하나는 ${\displaystyle \delta }$r\$displaystyle \Delta {textbf {r}}($위치 벡터차)의 밑면과 $\displaystyle$ r$:$^[7] 따라서$$ ${\displaystyle \delta }$v \ $display$style \ $Delta${$textbf { v$ } $}$${\displaystyle }$、 v ${\displaystyle r}$ \ $display$ style \ $frac${ $v$} { $r }$ \ $Delta$\ $textbf${$r$^[7]로 $대체$할 수 있습니다. 힘의 방향은 물체가 움직이는 원의 중심 또는 맞물리는 원(경로가 ^[8]원형이 아닌 경우 개체의 로컬 경로에 가장 적합한 원)을 향합니다.공식의 속도는 제곱이므로 두 배의 속도는 네 배의 힘을 필요로 합니다.곡률 반지름과의 역관계는 반지름 거리의 절반이 두 배의 힘을 필요로 한다는 것을 나타냅니다.이 힘은 때때로 원의 중심을 중심으로 하는 물체의 각속도θ로 쓰여지며, 공식에 의해 접선속도와 관련된다.하도록

원의 한 바퀴에 대한 궤도 주기 T를 사용하여 표현하면,

방정식이^[9] 되다

입자 가속기에서 속도는 매우 높을 수 있으므로(진공에서 빛의 속도에 근접함) 동일한 정지 질량이 더 큰 관성(상대론적 질량)을 발휘하므로 동일한 구심 가속에 더 큰 힘이 필요합니다. 따라서 방정식은 다음과 같습니다.^[10]

어디에로렌츠 계수입니다.

따라서 구심력은 다음과 같이 구심력을 구한다.

이것은 상대론적 모멘텀의 변화율 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle m}$v \ $displaystyle$ \ $display$ mv이다$.$

원천

수평면에서 로프 끝에서 흔들리는 물체의 경우 로프의 장력에 의해 물체에 대한 구심력이 공급된다.로프의 예는 '당기는' 힘을 수반하는 예입니다.구심력은 벽의 정상적인 반응이 죽음의 벽 또는 로터 라이더에 구심력을 공급하는 경우와 같이 '밀어내기' 힘으로도 공급될 수 있습니다.

구심력에 대한 뉴턴의 생각은 오늘날 중심력이라고 불리는 것과 일치한다.위성이 행성 주위를 도는 궤도에 있을 때, 중력은 순간적인 ^[11]곡률 중심이 아닌 초점으로 향하지만 구심력으로 간주됩니다.

구심력의 또 다른 예는 다른 외부 힘이 없는 상태에서 하전된 입자가 균일한 자기장에서 움직일 때 추적되는 나선에서 발생합니다.이 경우 자력은 나선축을 향해 작용하는 구심력이다.

여러 사례의 분석

다음은 속도 및 가속도를 제어하는 공식의 파생과 함께 복잡성이 증가하는 세 가지 예입니다.

균일한 원운동

균일한 원운동은 일정한 회전속도의 경우를 말한다.다음은 이 경우를 설명하는 두 가지 접근법입니다.

미적분 유도

2차원에서는 x축 위의 $(표시$ 스타일\theta$)$를 향하는 크기 ${$displaystyle$\$$displaystyle$ r$}$의 위치 $벡터{\displaystyle }$ r${$은 단위 벡터$^{$를 사용하여 데카르트 좌표로 표현할 수 있습니다.$^$ { $displaystyle$} {$hat$ { $mathbf${ $j$}$$^[12]} :

균일한 원형 운동을 가정하려면 다음 세 가지가 필요합니다.

1. 개체는 원 위에서만 이동합니다.
2. $원$의 반지름$r$은 시간에 따라 변하지 않습니다$.$
3. 물체는 원을 중심으로 일정한 각속도$θ$(\displaystyle$\obega)$로 이동합니다.따라서 $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \omega }$t \ $displaystyle \theta$= \ $메가$t 입니다$$. $여기$서$$t \ $displaystyle$t는$$ 시간입니다.

움직임의 $속도{\displaystyle }$v(\$displaystyle\textbf {v})$와 $가속{\displaystyle }$ a$(\$는 시간에 대한 위치의 첫 번째 및 두 번째 파생 요소입니다.

괄호 안의 용어는 데카르트 좌표에서 r$\$의 $원래{\displaystyle }$ 표현입니다.그 결과,

음수는 가속도가 원의 중심(반경을 초과)을 가리키므로 "구심"(즉, "중심 추구")이라고 합니다.물체가 (관성에 의해) 자연스럽게 직선 경로를 따라가는 동안, 이 구심 가속은 구심력에 의해 야기되는 원형 운동 경로를 묘사합니다.

벡터를 이용한 도출

오른쪽 이미지는 균일한 원형 운동에 대한 벡터 관계를 보여줍니다.회전 자체는 (오른쪽 법칙을 사용하여) 궤도 평면에 정규인 각 속도 벡터 δ로 표현되며 다음과 같이 크기가 지정된다.

${\displaystyle \mathbf {Omega } = specfrac {mathrm {d} \theta } {\mathrm {d} t} = \mega \ , }$

시간 t에서의 θ 각도 위치.이 서브섹션에서 dµ/dt는 시간과 무관하게 일정하다고 가정한다.원형 경로를 따라 시간 dt에서 입자가 이동한 거리는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathrm {d} {boldsymbol {ell } = \mathbf {Omega } \times \mathbf {r} (t) \mathrm {d} t \ , }$

벡터 교차 곱의 특성에 의해, 크기 rdθ를 가지며 원형 경로에 접하는 방향이다.

그 결과,

${\displaystyle {\mathbf {r} {\mathbf {r} {\mathbf {d} t\to 0}=\lim _{\Delta } {\frac {\delta } t}-\mathbf {r} {r} {r} (t) {\delt} frac = {\delt}$

바꿔 말하면

${\displaystyle \mathbf {v} \{stackrel {def} {=}\frac {\mathbf {r} {\mathbrm {d}} = frac {mathbrm {d} \mathbol {d} \mathbrm {d} =\timescomm {d} \times$

시간에 따른 차별화를 통해

라그랑주의 공식은 다음과 같다.

δ • r(t) = 0이라는 관측치와 함께 라그랑주 공식을 적용하면

즉, 가속도는 항상 반지름 변위 r의 바로 반대쪽을 가리키며 크기가 다음과 같습니다.

여기서 수직 막대는 벡터 크기를 나타내며, r(t)의 경우 단순히 경로의 반지름 r입니다.이 결과는 앞의 섹션과 일치하지만 표기법은 약간 다릅니다.

비균일한 원운동의 해석에서 회전속도가 일정하게 되면 그 해석은 이 해석과 일치한다.

벡터 접근법의 장점은 어떤 좌표계로부터도 명백히 독립적이라는 것이다.

예제:뱅크 턴

오른쪽 영상의 상단 패널은 뱅킹된 곡선에서 원형으로 움직이는 공을 보여줍니다.곡선은 수평에서 θ각도로 둑을 이루고 있어 도로 표면이 미끄럽다고 판단된다.목표는 공이 도로에서 ^[13]미끄러지지 않도록 뱅크의 각도가 어느 정도인지 알아내는 것입니다.직감적으로 볼 때, 뱅킹이 전혀 없는 평평한 커브에서 볼은 단순히 도로 밖으로 미끄러질 뿐이고, 매우 가파른 뱅킹에서는 볼이 커브를 빠르게 이동하지 않는 한 중앙으로 미끄러질 것입니다.

경로 방향에서 발생할 수 있는 가속과는 별도로 위 이미지의 하단 패널은 볼에 가해지는 힘을 나타냅니다.두 가지 힘이 있습니다. 하나는 볼 mg의 질량 중심을 통해 수직으로 아래로 내려가는 중력입니다. 여기서 m은 볼의 질량이고 g는 중력 가속도입니다. 두 번째 힘은 노면_n ma에 대해 직각으로 도로에 의해 가해지는 위쪽 수직력입니다.곡선운동에 의해 요구되는 구심력도 위와 같다.이 구심력은 볼에 가해지는 제3의 힘이 아니라 정상력과 중력의 벡터 추가에 의해 볼에 가해지는 순력에 의해 제공되어야 한다.도로에 의해 가해지는 수직력과 중력에 의한 수직력의 벡터 추가에 의해 볼에 가해지는 결과 또는 순 힘은 원형 경로를 이동할 필요성에 의해 지시된 구심력과 동일해야 한다.이 순력이 운동에 필요한 구심력을 제공하는 한 곡선의 운동은 유지됩니다.

볼에 가해지는 수평 순 힘은 도로에서 가해지는 힘의 수평 성분으로, 진도_h F = m_n a sin θ를 갖는다.도로로부터의 힘의 수직 구성요소는 중력을 상쇄해야 한다. F_v = m_n a cos θ = m g. 이는 a = g / cos θ를 의미합니다_n.위의 식에 F를_h 대입하면 다음과 같은 수평력이 발생한다.

한편, 반경 r의 원형 경로에서 속도 v에서 운동학은 연속적으로 공을 회전시키는 데 필요한 힘은 반지름 안쪽의 구심력_c F 크기라고 말한다.

따라서 도로의 각도가 다음과 같은 조건을 만족하도록 설정했을 때 볼은 안정된 경로상에 있다.

또는,

뱅크 θ의 각도가 90°에 가까워지면 탄젠트 함수가 무한대에 가까워져 v/r에 더 큰 값을 사용할 수 있습니다.즉, 이 방정식은 속도가 높을수록(v가 클수록) 도로를 더 가파르게(θ 값이 클수록), 급커브할수록(r이 작을수록) 도로도 더 가파르게 둑을 쌓아야 한다는 것을 명시하고 있으며, 이는 직관과 일치한다.각도θ가 상기 조건을 만족시키지 못할 경우 도로에 가해지는 힘의 수평성분이 정확한 구심력을 제공하지 못하고 노면에 접하는 추가 마찰력을 요구하여 차이를 제공한다.마찰이 이를 수행할 수 없는 경우(마찰 계수가 초과됨), 볼은 균형을 ^[14][15]실현할 수 있는 다른 반지름으로 미끄러집니다.

이러한 생각은 항공 비행에도 적용된다.FAA 파일럿 ^[16]매뉴얼을 참조하십시오.

불균일한 원형 운동

균일한 원형 운동 사례의 일반화로서 각 회전 속도가 일정하지 않다고 가정합니다.이제 오른쪽 그림과 같이 가속도에 접선 구성요소가 있습니다.이 경우는 극좌표계에 기초한 파생전략을 설명하기 위해 사용됩니다.

r(t)가 점 질량의 위치를 시간의 함수로 설명하는 벡터라고 하자.우리는 원형 운동을 가정하고 있으므로, r(t) = R·u로_r 하자. 여기서 R은 상수(원반경)이고_r u는 원점에서 점 질량을 가리키는 단위 벡터이다.u의 방향은_r x축에서 시계 반대 방향으로 측정한 x축과 단위 벡터 사이의 각도인 θ로 나타낸다.극좌표에 대한 다른 단위 벡터 u는_θ u에_r 수직이며 θ가 증가하는 방향을 가리키고 있다.이러한 극 단위 벡터는 x 및 y 방향의 데카르트 단위 벡터로 표현할 수 있으며, 각각 ^[17]i$^($ 스타일 ${\mathbf${$i}})$${\displaystyle \stackrel{}{}}및{\displaystyle \stackrel{}{\mathbf{}}}$ j$^($로 $표시$됩니다.

그리고.

속도를 구하려면 다음과 같이 구분할 수 있습니다.

여기서 θ는 각속도 dθ/dt이다.

속도에 대한 이 결과는 속도가 원에 접선 방향으로 향해야 하며 속도의 크기는 rµ이어야 한다는 예상과 일치한다.다시 차별화하여

가속 a는 다음과 같습니다.

따라서 가속도의 반경 및 접선 구성요소는 다음과 같습니다.

그리고.여기서 v = r θ는 속도(속도)의 크기이다.

이러한 방정식은 속도가 변화하는 원형 경로를 따라 움직이는 물체의 경우 물체의 가속도가 운동 방향을 바꾸는 수직 성분(구심 가속도)과 속도를 바꾸는 평행 성분 또는 접선 성분으로 분해될 수 있다는 것을 수학적으로 표현한다.

일반 평면 운동

극좌표

위의 결과는 아마도 더 간단하게 극좌표에서 도출될 수 있으며, 동시에 다음에 나타낸 것과 같이 평면 내의 일반적인 운동으로 확장될 수 있다.평면내의 극좌표는 ^[18]위와 같이 방사단위벡터_ρ u와 각도단위벡터_θ u를 이용한다.위치 r의 입자는 다음과 같이 설명됩니다.

여기서 표기법 is은 R 대신 원점으로부터의 경로 거리를 나타내며 이 거리가 고정되지 않고 시간에 따라 변화함을 강조하기 위해 사용됩니다.단위 벡터_ρ u는 입자와 함께 이동하며 항상 r(t)와 같은 방향을 가리킵니다.단위 벡터_θ u도 입자와 함께 이동하며 u와_ρ 직교합니다.따라서_ρ u와_θ u는 입자에 부착된 국소 데카르트 좌표계를 형성하고 ^[19]입자가 이동한 경로에 결합됩니다.단위 벡터를 그 꼬리가 일치하도록 이동함으로써 u와_θ u가 r(t)와 같은 각도 θ(t)로 이 원의 둘레를 앞뒤로 추적하는 단위 원상의 선단부와 직각쌍을 형성하고_ρ 있음을 알 수 있다.

입자가 움직일 때, 그 속도는

${\displaystyle \mathbf {v} = specfrac {\mathrm {d} \rho } {\mathbf {u} + \rho {frac {d} \mathbf {u} {\rho } } 、}$

속도를 평가하기 위해서는 단위 벡터_ρ u의 도함수가 필요하다.u는 단위 벡터이기 때문에_ρ 그 크기는 고정되어 있고, 방향만 변화할_ρ 수 있다. 즉, 그 변화 du는 u에만_ρ 수직인 성분을 가진다.궤적 r(t)가 dθ를 회전할 때, r_ρ(t)와 같은 방향을 가리키는 u도 dθ만큼 회전한다.위 그림을 참조하십시오.따라서 u의 변화는_ρ

$\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {u} _{\rho } = \mathbf {u} _{\theta } \mathrm {d} \theta {d} , , }$

또는

${\displaystyle {\frac {d} \mathbf {u} _{\rho }} = \mathbf {u} _{\theta } {\frac {mathrm {d} \theta },}$

비슷한 방법으로 u의_θ 변화율을 알 수 있다.u와 마찬가지로_ρ u는 단위_θ 벡터이며 크기를 변경하지 않고 회전할 수 있습니다.궤적 r(t)가 회전하는 동안 u와_ρ 직교하는 상태를 유지하기 위해_θ, r(t)에 직교하는 u도 dµ만큼 회전한다.위 그림을 참조하십시오.따라서_θ 변경 du는 u에_θ 직교하고 d (에 비례합니다(위 이미지 참조).

${\displaystyle {\mathrm {d} \mathbf {u} _{\theta }}=-{\frac {mathrm {d} \theta } {\mathbf {d} t}} \mathbf {u} _{\rho },}$

위 이미지는 부호로 표시되어 있습니다. 직교성을 유지하려면 du가 d,로 양이면_ρ du가_θ 감소해야 합니다.

속도식에 u의_ρ 도함수 대입:

${\displaystyle \mathbf {v} = specfrac {\mathrm {d} \rho} {u} {\rho } + \rho \mathbf {u} _{\theta } {\frac {mathbf {d} \ta} {\rho = {\rho}}$

가속도를 얻기 위해 다음 시간 차이를 수행합니다.

${\displaystyle \mathbf {a} = specfrac {mathrm {d} \rho } {\mathrm {d} t^{2}} \mathbf {u} + {\frac {mathrm {d} t} {\frmathb}eta }}{\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \theta } {\rho \mathbf {u} _{\theta } {\frac {mathrm {d} ^{2}\theta },}$

u와_θ u의_ρ 도함수를 대입하면 입자의 가속도는 다음과 같습니다.^[20]

${\displaystyle{\begin{정렬}\mathbf{를}&={\frac{\mathrm{d}^{2}\rho}{\mathrm{d}t^{2}}}\mathbf{u}_{\rho}+2{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}}\mathbf{u}_{\theta}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}-\rho \mathbf{u}_ᆸ\left({\frac{\mathrm{d}\theta}{{d}t}}\mathrm \right)^{2}+\rho \mathbf{u}_{\theta}{\frac.{\mAthrm(^{2}\theta}{\mathrm{d}t^{2}}}),\\&, =\mathbf{u}_ᆮ\left[{\frac{\mathrm{d}^{2}\rho}{\mathrm{d}t^{2}}}-\rho \left({\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}\right)^{2}\right]+\mathbf{u}_{\theta}\left는 경우에는 2{\frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t}}{\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}}+\rho{\frac{\mathrm{d}^{2}\.theta}{\mathrm {d} t^{2}}\right]\\&=\mathbf {u} _{\rho } \left[{\frac {mathrm {d} v_{\rho }} {\mathrm {d} t} - {\frac {v_{\theta }^{2}} - {\rho } +\mathbf {u} {u} _\frho } {\frh} {\frh} {\frh} {\frh} {\frh} {\f} {\f} {\frh} {\end { aligned}}$

예를 들어 입자가 일정한 반지름 R의 원 안에서 움직이면 dθ/dt = 0, v = v_θ, 그리고 다음과 같습니다.

$여기$서 v ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {}_{}{\theta }_{}}$ .$$。{$style$ v$=v_{\theta$}}

이러한 결과는 불규칙한 원형 운동에 대한 위의 결과와 일치합니다.비균일한 원형 운동에 대한 기사도 참조하십시오.만약 이 가속도에 입자 질량을 곱하면, 선행 항은 구심력이고 각 가속도와 관련된 두 번째 항의 음수는 때때로 오일러 ^[21]힘이라고 불립니다.

궤도 원운동보다 다른 예를 들면, 더 보편적인 궤도 이미지 안의 위에서 상상했던 것처럼, 회전과 비행 궤도의 곡률 반경의 순간 중심은 단지 간접적으로 좌표계 uρ과 uθ에 의해 정의되고, 길이가 r(t))ρ기 위해 결과적으로, 일반적인 경우에,strai지 않다는 관련이 있다.는위의 일반 가속도 방정식에서 ^[22][23]구심 항과 오일러 항을 분리하는 tforward.이 문제에 직접 대처하려면 다음에 설명하는 것처럼 로컬 좌표를 사용하는 것이 좋습니다.

로컬 좌표

로컬 좌표란 ^[24]입자와 함께 이동하고 ^[25]입자의 경로에 따라 방향이 결정되는 좌표 집합을 의미합니다.단위 벡터는 오른쪽 영상에 표시된 대로 경로에 대한 접선 및 법선 둘 다로 형성됩니다.이 좌표계는 때때로 이러한 단위 벡터를 참조하는 정규 접선의 경우 고유 좌표 또는 경로 좌표^[26][27] 또는 nt 좌표라고 불립니다.이러한 좌표는 미분 ^[28]형식 이론의 보다 일반적인 국소 좌표 개념의 매우 특별한 예입니다.

입자의 경로를 따른 거리는 호 길이 s로, 시간의 함수로 간주됩니다.

${\displaystyle s=s(t)\}$

곡률의 중심은 법선_n u(s)에 따른 선상의 곡선으로부터 거리θ(곡률의 반지름)에 위치한 각 위치에 정의된다.호 길이 s에서 필요한 거리 θ(s)는 곡선에 대한 접선의 회전 속도로 정의되며, 이는 경로 자체에 의해 결정된다.일부 시작 위치에 상대적인 접선의 방향이 δ(s)이면 δ(s)는 도함수 dδ/ds로 정의됩니다.

${\displaystyle {1}{\rho(s)}=\kappa(s)=black{mathrm {d} \theta}{\mathrm {d} s}}\ .}$

곡률 반경은 보통 양의 값(즉 절대값)으로 간주되지만 곡률 반경은 부호 있는 양입니다.

곡률의 중심과 곡률의 반경을 구하는 기하학적 접근방식은 ^[29][30]접촉원으로 이어지는 제한 프로세스를 사용한다.위 그림을 참조하십시오.

이러한 좌표를 이용하여 경로를 따라 이동하는 것은 항상 변화하는 중심부의 원형 경로의 연속이라고 간주되며, 각 위치에서 s는 반지름 θ의 그 위치에서 불균일한 원형 운동을 구성한다.각 회전 속도의 로컬 값은 다음과 같이 구합니다.

${\displaystyle \mathrm {d} \theta } {\mathrm {d} \theta } = frac {d} s} {\mathrm {d} s} {\mathrm {d} t} = frac {d} {\rcrclac {d} {d}$

로컬 속도 v:

${\displaystyle v(s)=paramfrac {mathrm {d}s}{\mathrm {d} t}}\ .}$

위의 다른 예시와 마찬가지로 단위 벡터는 크기를 변경할 수 없기 때문에 그 변화율은 항상 방향과 수직입니다(위 이미지의 왼쪽 삽입 참조).^[31]

${\displaystyle {d\mathbf {u} _{\mathrm {n} } (s) {ds} = \mathbf {t} {{ds} = \mathbf {u} _{\mathrm {t} {u} {s} } {\frc} {\frc}$ ${\displaystyle {frac {d\mathbf {u} _{\mathrm {t} } } = -\mathbf {u} _{\mathrm {d} \theta } = - mathbf {d} s} {u} {\mathbrm {u}$

따라서 속도와 가속도는 다음과 같습니다.^[30][32][33]

${\displaystyle \mathbf {v}(t)=v\mathbf {u}_{\mathrm {t}}(s)\;}$

그리고 차별화의 연쇄 법칙을 사용한다:

${\displaystyle \mathbf{a}}$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle d\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{v}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}{\mathbf{}}_{}}$ t (${\displaystyle s}$) - ${\displaystyle \frac{{v\mathrm{}}^{}}{}}$ 2 ${\displaystyle \rho {\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$n (${\displaystyle s}$) $;{$ $displaystyle$\ $mathbf${ $a$} ( t ) =$scsyle$ \ $mathrm { d} v}{\ mathbf { u$} _ { t} - { \$mathb}$ $}$ } }$}$$style$

이 국소좌표계에서 가속도는 국소반경θ(s)에 의한 불균일한 원운동의 표현과 유사하며 구심가속도를 ^[34]제2항으로 동정한다.

이 접근방식을 3차원 공간 곡선으로 확장하면 Frenet-Serret ^[35][36]공식으로 이어진다.

대체 어프로치

위의 이미지를 보면 호 길이를 ds = ρ(s)d'로 계산할 때 ((s)와 s(s + ds) 사이의 곡률 차이를 적절히 고려했는지 궁금할 수 있다.이 점에 대한 안심은 아래에 설명된 보다 공식적인 접근방식을 사용하여 확인할 수 있습니다.이 접근법은 곡률에 관한 기사와도 관련이 있다.

국소 좌표계의 단위 벡터를 도입하기 위해, 한 가지 접근방식은 데카르트 좌표로 시작하여 이러한 데카르트 좌표로 국소 좌표를 기술하는 것이다.호 길이 s의 관점에서 경로를 다음과 ^[37]같이 기술합니다.

경로 ds에 따른 증분 변위는 다음과 같이 설명됩니다.

여기서 소수점은 s에 대한 미분을 나타내기 위해 도입된다.이 변위의 크기는 ds로 ^[38]다음을 나타낸다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle （{}^{}s}$ )${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{（}^{}}$ ${\displaystyle s{}^{}}$） ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $=$ . { $displaystyle \left$[ x ' ($s$ )^{$2}$ + y' ( s$)^2$\ $right$ ]=$1$ \ .$$（ 1 ）

이 변위는 반드시 s에서 곡선에 대한 접선이며, 곡선에 대한 단위 벡터는 다음과 같습니다.

곡선에 수직인 바깥쪽 단위 벡터는

벡터 도트 곱이 0임을 보여줌으로써 직교성을 확인할 수 있다.이러한 벡터의 단위 크기는 Eq 1의 결과입니다. 탄젠트 벡터를 사용하여 곡선에 대한 탄젠트의 각도 θ는 다음과 같이 구합니다.

${\displaystyle 및}$ cos ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle x\frac{{}^{}{\}\}}^{}}{}}$( s )${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}\}\}}}{}}$ (${\displaystyle \frac{\sqrt{{}^{}s}}{}}$ )${\displaystyle \frac{\sqrt{{2\mathrm{}}^{}{}^{}{}^{}}}{}}$ ${\displaystyle {}^{}{\}\}}^{}}$ (${\displaystyle s}$) .$${ $displaystyle \cos \theta = specfrac {x'(s)}{\caprt {x'(s)+y(s$)}} $=x(s$)\}

곡률 반경은 다음과 같이 완전히 공식적으로 도입된다(기하학적 해석 필요 없음).

can의 도함수는 sin의 도함수에서 찾을 수 있다.

지금:

분모가 통일인 거죠사인 도함수에 대한 이 공식으로 곡률 반경은 다음과 같습니다.형태 등가성은 Eq 1의 차이에서 비롯된다.다음과 같은 결과를 통해 가속도를 확인할 수 있습니다.단위 벡터_t u(s)와_n u(s)를 사용하여 도트 곱을 취함으로써 확인할 수 있습니다.이 가속도 결과는 반지름 θ에 기초한 원운동의 결과와 같다.관성 프레임의 이 좌표계를 사용하면 궤도에 수직인 힘을 구심력으로, 궤도에 평행한 힘을 접선력으로 쉽게 식별할 수 있다.정성적 관점에서 경로는 제한된 시간 동안 원의 호로 근사할 수 있으며, 제한된 시간 동안 특정 곡률 반경이 적용되는 동안 원심력과 오일러력은 그 반지름의 원운동에 기초하여 해석할 수 있다.

가속에 대한 이 결과는 앞에서 발견한 결과와 일치합니다.단, 이 접근법에서는 s와의 곡률반경의 변화에 대한 질문은 기하학적 해석과 일치하지만 이에 의존하지 않고 완전히 정식으로 처리되므로 위의 이미지가 θ의 변동을 무시하는 것에 대해 제안할 수 있는 질문은 회피한다.

예: 원형 운동

위의 공식을 설명하기 위해 x, y를 다음과 같이 지정합니다.

${\displaystyle x=\alpha \cos {\alpha }\;\y=\alpha \sin {\alpha }\ .}$

그 후, 다음과 같이 입력합니다.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=\alpha^{2}\,}$

반지름α를 가진 원점 주위의 원형 경로로 인식할 수 있다.위치 s = 0은 [α, 0] 또는 3시에 해당합니다.위의 형식주의를 사용하려면 파생상품이 필요합니다.

${\displaystyle y^{\prime}=\cos {frac {s}{\alpha }}\;\x^{\prime}(s)=-\sin {\frac {s}{\alpha }}\,}$

${\displaystyle y^{\prime \prime }=-{\frac {1}{\alpha }}\sin {\frac {s}\prime }=-{\frac {1}{\alpha }}\cos {frac {s}{\alpha } } } }$

이러한 결과를 통해 다음을 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle x^{\prime }^{2}+y^{{\prime }=1\;\{frac {1}{\rho}}=y^{\prime }(s)-y^{\prime }(s) =frac {\prime }$

단위 벡터도 찾을 수 있습니다.

$\displaystyle \mathbf {u} _{\mathrm {t} = \left [ - \ sin { frac { s } { \ alpha } } \ , \ cos { frac { s } { \ right } = left [ \ mathbfrm { n } ]$

이는 s = 0이 [0, 0] 위치에 있고 s = ρρ/2가 [0, ρ]에 있음을 나타내며, 이는 x 및 y에 대한 원래 식과 일치합니다.즉, s는 3시부터 원을 중심으로 시계 반대 방향으로 측정됩니다.또한 이러한 벡터의 도함수를 찾을 수 있다.

${\displaystyle {\mathrm {d} {\mathrm {d} s} {\mathrm {t} } = - {\frac {1} {\alpha } } } \ 、 \ cos {\frac { s} {\alpha } = {\fright }$

$\displaystyle \\frac {\mathrm {d} s} {\mathrm {n} {u} {\mathrm {n} {s} = left[-\sin {frac {s} {\alpha }} \ , \ cos {frac {s} {\alpha } {u}$

속도와 가속도를 얻으려면 s에 대한 시간 의존성이 필요합니다.가변 속도 v(t)에서 시계 반대 방향으로 움직이는 경우:

${\displaystyle s(t)=\int _{0}^{t}\dt^{\prime}\v(t^{\prime})\,}$

여기서 v(t)는 속도, t는 시간, s(t = 0) = 0입니다. 그러면 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {v} = v(t)\mathbf {u} _{\mathrm {t} }(s)\,}$

${\displaystyle \mathbf {a} = specfrac {\mathrm {d} v} {\mathbrm {d} t} {\mathbf {d} {u} {\mathbf {u} {\mathbrm {t} frac = specfrac$

${\displaystyle \mathbf {a} = specfrac {\mathrm {d} v} {\mathbf {u} _ {\mathrm {d} t} {\mathbf {u} - {\frac {v^2} {\alpha } \mathbf {u} _ {u} 、$

α = = α가 이미 확립된 경우.이 가속도는 균일하지 않은 원형 운동에 대한 표준 결과입니다.

「 」를 참조해 주세요.

주 및 참고 자료

추가 정보

• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4.
• 구심력 vs.원심력, 오스위고 시 학군의 온라인 Regents 시험 물리학 튜토리얼에서 인용

외부 링크

• 위니펙 대학교 노트
• 조지아 주립 대학의 물리 및 천문학 하이퍼물리학 노트(홈 페이지 참조)
• 브리태니커에서 온 노트
• PhysicalNet의 노트
• 데이비드 P의 NASA 노트.스턴
• U Texas에서 온 메모.
• 스마트 요요 분석
• 이누이트 요요
• KMODL(Design Digital Library) 키네마틱 모델
  코넬 대학의 수백 개의 기계 시스템 모델의 영화와 사진.기계 설계와 엔지니어링에 관한 고전적인 텍스트가 수록되어 있는 전자책 라이브러리도 포함되어 있습니다.