5의 제곱근

5의 제곱근

합리성	비이성적
표현
십진법	2.23606797749978969...
대수형	${\displaystyle {\sqrt{5}}$
연속분수	${\displaystyle 2+{\properac {1}{4+{\properac {1}{4+{\properac {1}{4+\dots }}}}}}}}$
이진수	10.0011110001101110...
16진법	2.3C6EF372FE94F82C...

5의 제곱근은 그 자체로 곱하면 5가 되는 양의 실수다. 같은 성질을 가진 음수와 구별하기 위해 더 정확히 5의 주 제곱근이라고 한다. 이 숫자는 황금 비율의 분수식 표현에 나타난다. 그것은 다음과 같이 추정된 형태로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle {5}.\,}$

그것은 불합리한 대수학 숫자다.^[1] 소수점 확장 중 첫 번째 60자리 숫자는 다음과 같다.

2.23606797749978969640917366873127623544061835961152572427089... (OEIS에서 순서 A002163).

이 값은 2.12 ~ 99.99% 이내의 정확도로 반올림할 수 있다. 근사치 5의 제곱근에 대해 161/72(재위 2.1211)를 사용할 수 있다. 분모가 72에 불과함에도 불구하고 정확한 값과 1만분의 1(약 4.3×10⁻⁵) 미만 차이가 난다. 2019년 11월 현재 10진수 수치는 최소 200억자리 숫자로 계산되었다.^[2]

합리적 근사

5의 제곱근은 연속 분수로 표현할 수 있다.

${\displaystyle [2;4,4,4,4,4,\ldots ]=2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\dots }}}}}}}}.}$ (sequence A040002 in the OEIS)

그 수렴체라고 불리는 지속분수에 대한 연속적인 부분평가는 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$에 접근한다$.$

${\displaystyle {\frac {2}{1}},{\frac {9}{4}},{\frac {38}{17}},{\frac {161}{72}},{\frac {682}{305}},{\frac {2889}{1292}},{\frac {12238}{5473}},{\frac {51841}{23184}},\dots }$

이들의 분자는 2, 9, 38, 161, … (OEIS의 경우 순서 A001077), 분모는 1, 4, 17, 72, … (OEIS의 순서 A001076)이다.

이들 각각은 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$의 가장 합리적인 근사치인 즉, 분모가 작은 $다른{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 이성보다$$ 5 ${\$에 가깝다.

$5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$이₀(가) x = 2로 시작하고_n+1 x = 1/2(x_n + 5/x_n)를 사용하여 바빌로니아식 방법으로 근사치인 경우, n번째 근사치_n x는 연속 분수의 두 번째ⁿ 수렴량과 동일하다.

${\displaystyle {\frac {1}{1}:{1}=2.0,\frac {9}{4}}{4}}{4}}}\frac {frac}{72}=2.1011\filency,\frac {51841}{23184}=2.2360679779\ldots}}}}$

바빌로니아식 방법은 다항식 $x{\displaystyle {}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-5}$에 적용된 뉴턴의 뿌리 찾기 방법과 동일하다$.$ The Newton's method update, ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-f(x_{n})/f'(x_{n})}$, is equal to ${\displaystyle (x_{n}+5/x_{n})/2}$ when ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5}$. 따라서 그 방법은 2차적으로 수렴된다.

황금비율과 피보나치 수와의 관계

황금 비율 φ은 1과 $5$의 산술 평균이다$.$ {\$displaystyle${\$sqrt{5$^[3] $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 사이의 대수적 관계$,$ 황금 비율과 황금 비율의 결합( ( = –1/φ = 1 - φ)은 다음과 같은 공식으로 표현된다.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\sqrt {5}{5}}{\sqrt {5}{{\barphi -1-2\Phi \1-2\Phi \[5pt]={\fract}{1+{\sqrt}}}}}{2}}\[5pt]\]\\\\\\\\\\\\\\\pt]\\\\\\pt]\Phi &={\frac {1-{\sqrt{5}}{2}.\end{정렬}}}$

($5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 사각형의$$ 분해로 기하학적 해석은 아래 절을 참조하십시오.)

${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\$ 그러면$$ 피보나치 숫자의 닫힌 형태 표현식에 자연스럽게 나타나는데, 이 공식은 보통 황금 비율의 관점에서 다음과 같이 쓰여진다.

${\displaystyle F(n)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}{n}{\sqrt{5}}}.}$

$5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$과($또는{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 5 ${\$과 φ)의 몫과 그 역수는 연속 분수의 흥미로운 패턴을 제공하며, 피보나치 숫자와 루카스 수 사이의 비율과 관련이 있다.^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}&=1.3819660112501051518\dots \\&=[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[5pt]{\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot{\sqrt{5}}}={\frac {5+{\sqrt{5}}{10}}}}}=0.723606797799799694\ldots \&=[0;1,1,1,1,1,1,1,1,1,,\ldots ].\end{정렬}}}$

이러한 값에 대한 일련의 수렴은 피보나치 숫자와 루카스 숫자 시리즈를 분자와 분모로 각각 특징지어지며, 그 반대의 경우도 각각 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\ldots \ldots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\ldots ]\\[8pt]&{1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76},{\frac {89}{123}},\cHB \cHB [0;1,1,1,1,1,1,1,1,,\cHB ]\end{정렬}}}$

기하학

기하학적으로 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$은 피타고라스 정리에서 분명히 알 수 있듯이 옆면이 길이 1, 2인 사각형의 대각선에 해당한다$$. 그러한 직사각형은 정사각형을 반으로 나누거나 두 개의 동일한 정사각형을 나란히 놓아 얻을 수 있다. $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\${5$}$과(와) φ 사이의 대수적 관계와 함께, 이것은 정사각형에서 황금 직사각형의 기하학적 구조와 그 면이 주어진 정규 오각형 구조(정규 오각형에서 횡대칭 비율이 φ이기 때문에)의 기초가 된다.

입방체의 인접한 두 면이 1:2 직사각형으로 펼쳐지기 때문에 입방체의 가장자리 길이와 정점 중 하나에서 반대쪽까지의 최단 거리 $사이$의 비율은 5 {\$displaystyle{\sqrt{5$ 반대로 입방체의 내부를 통과할 때 가장 짧은 거리e는 가장자리 3배의 제곱근인 대각선의 길이에 해당한다.^{[citation needed]}

A rectangle with side proportions 1:${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ is called a root-five rectangle and is part of the series of root rectangles, a subset of dynamic rectangles, which are based on ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$ (= 1), ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$, ${\displaystyle \sqrt{4}}$${\displaystyle {\sqrt{$^[5]4}}(=$$ 2) $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$}...)$$ 및 제곱부터 시작하여 이전 루트 사각형의 대각선을 사용하여 연속적으로 생성되었다. 루트-5 직사각형은 정사각형과 동일한 두 개의 황금 직사각형(차원 × × 1), 또는 크기가 다른 두 개의 황금 직사각형(차원 × × 1과 1 × φ)으로 나눌 수 있다는 점에서 특히 주목할 만하다.^[6] 또한 교차점이 정사각형을 이루는 두 개의 동일한 황금 직사각형(차원 1 × of)의 결합으로 분해될 수 있다. 이 모든 것은 위에서 언급한 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ φ 및 φ 사이의 대수적 관계에 대한 기하학적 해석으로 볼 수 있다. 루트-5 직사각형은 1:2 직사각형(root-4 직사각형)으로 구성하거나, 그림에 표시된 황금 직사각형에 대한 것과 유사한 방식으로 직사각형에서 직접 만들 수 있지만, 길이 $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}/2\mathrm{}}$ ${\displaystyle {\sqrt{5}/2$}의 호를 양쪽으로 확장할$$ 수 있다.

삼각법

$2{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$ 및 3 {\$displaystyle{\sqrt{3}}}$과 같이, 도 단위가 3으로 나누어져 있지만 15로 나누어져 있지 않은 모든 각도의 sine과 cosin을 포함하여 정확한 삼각형 상수에 대한 공식에 5의 제곱근이 광범위하게 나타난다$.$^[7] 이것들 중 가장 간단한 것은

${\displaystyle{\begin{정렬}\sin{\frac{\pi}{10}}=\sin 18^{\circ}&, ={\tfrac{1}{4}}({\sqrt{5}}))={\frac{1}{{\sqrt{5}}+1}},\\[5pt]\sin{\frac{\pi}{5}}=\sin 36^{\circ}&, ={\tfrac{1}{4}}{\sqrt{2(5메가{\sqrt{5}})}},\\[5pt]\sin{\frac{3\pi}{10}}=\sin 54^{\circ}&, ={\tfrac{1}{4}}({\sqrt{5}}+1)={\frac{1}{{\sqrt{5}}-1}},\\[5pt]\s.{{\frac 2에\pi }{5}}}}}{\sin 72^{\pin }&={\tfrac {1}{4}{4}{\sqrt{5}}}}}}}\,\end{aigned}}}}}}}}$

이와 같이 삼각형 표를 생성하기 위해서는 값 계산이 중요하다.^{[citation needed]} $5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$은 반정사각형 직사각형 및 펜타곤과 기하학적으로 연결되기 때문에 도데카헤드론의 부피 공식과 같이 그것에서 파생된 인물의 기하학적 특성에 대해서도 공식에 자주 나타난다.^{[citation needed]}

디오판틴 근사

디오판틴 근사치에 있는 후르비츠의 정리에서는 모든 불합리한 숫자 x는 가장 낮은 용어로 무한히 많은 합리적인 숫자 m/n으로 근사할 수 있다고 명시하고 있다.

${\displaystyle \x-{\frac {m}{n}}\오른쪽 <{\frac {1}{{\sqrt{5}}\,n^{2}}:$

$5{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$$displaystyle{\$^[8]sqrt${5$}}보다 큰 상수의$$경우 그러한 근사치가 극히 일부만 존재하는 일부 비합리적인 숫자 x가 있다는 점에서 5 {\$displaystyle{\sqrt{$5$}}}}$가 가장$$ 적합하다.

이와 밀접하게 관련되는 것은 숫자 α의 3개 연속 수렴_ii p/q_i+1, p_i+1/q_i+2, p/q_i+2 중 적어도 하나가 갖는 정리다^[9].

${\displaystyle \left \alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right <{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left \alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right <{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left \alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right <{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}$

그리고 분모에 있는$$ ${\$는 황금비율의 수렴으로 왼쪽의 차이가 오른쪽의 값에 임의로 근접하게 만들기 때문에 가능한 최선의 바운드가 된다. 특히 4개 이상의 연속 수렴 순서를 고려해도 더 엄격한 경계를 얻을 수 없다.^[9]

대수학

The ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ contains numbers of the form ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$, where a and b are integers and ${\displaystyle {\sqrt {-5}}}$ is the imaginary number ${\displaystyle i{\sqrt {5}}}$. This ring is a frequently cited example of an 고유한 인자화 도메인이 아닌 통합 도메인.^{[citation needed]} 숫자 6은 이 링 내에서 두 가지 불평등 요소를 가진다.

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt{-5})(1+{\sqrt{-5}).\,}$

필드 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$[${\displaystyle \sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{5}}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle \mathb {Q} [{\sqrt{-5}}]$는 다른 2차 필드처럼 합리적인$$ 숫자의 아벨리아 확장이다. 따라서 Kronecker-Weber 정리는 5의 제곱근을 통일의 뿌리의 이성적인 선형 결합으로 쓸 수 있음을 보장한다.

${\displaystyle {\sqrt{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}-e^{5}{5}i}-e^{\frac {6\pi }{5}}+e^{\frac {8\pi },},},}}$

라마누잔의 정체성

5의 제곱근은 스리니바사 라마누잔에 의해 발견된 여러 가지 정체성에 계속적인 분수를 포함한다.^[10][11]

예를 들어, 로저스-라마누잔의 이 경우는 다음과 같은 분수를 계속하였다.

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}$

${\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+{\sqrt[{5}]{5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}.}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

참고 항목

• 황금비율
• 제곱근
• 2의 제곱근
• 3의 제곱근

참조