콤팩트 리 대수

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

리 이론의 수학 분야에는 콤팩트 리 대수학의 두 가지 정의가 있다. 외관적으로나 위상적으로 콤팩트한 Lie 대수학은 콤팩트한 Lie 그룹의 Lie 대수학이다.^[1] 이 정의에는 토리를 포함한다. 본질적으로 그리고 대수적으로, 콤팩트한 Lie 대수학은 킬링 형태가 음으로 확실한 진짜 Lie 대수학이다; 이 정의는 더 제한적이며 토리를 제외한다.^[2] 콤팩트한 Lie 대수학은 대응하는 복잡한 Lie 대수학의 가장 작은 실제 형태, 즉 복잡화라고 볼 수 있다.

정의

형식적으로는 콤팩트한 리 대수학을 콤팩트한 리 그룹의 리 대수학 또는 킬링 형태가 음으로 확실한 진짜 리 대수학으로 정의할 수 있다. 이러한 정의는 다음과 같이 그다지 일치하지 않는다.^[2]

• 콤팩트한 Lie 그룹의 Lie 대수학에서 킬링 폼은 음의 반미데핀으로, 일반적으로 음의 명확한 것이 아니다.
• Lie 대수학의 킬링 형식이 음수확정이라면, Lie 대수는 콤팩트한 semisimple Lie 그룹의 Lie 대수다.

일반적으로 콤팩트한 Lie 그룹의 Lie 대수학(Lie 대수학)은 (해당 부분군이 토루스인)과 킬링 형태가 음수확정인 리 대수직합으로 분해된다.

상기 첫 번째 결과의 역은 거짓이라는 점을 유념해야 한다. 리 대수학의 킬링 형식이 음의 세미데핀이라 하더라도, 이것은 리 대수학이 어떤 콤팩트 그룹의 리 대수라는 것을 의미하지는 않는다. 예를 들어 하이젠베르크 군단의 리 대수에서 킬링 폼은 동일하게 0이므로 음의 세미데피나이트(semidefinite)이지만, 이 리 대수는 어떤 콤팩트 군단의 리 대수(lie 대수)가 아니다.

특성.

• 콤팩트한 리알헤브라는 환원성이 있다.^[3] 유사한 결과가 콤팩트한 그룹에 일반적으로 적용된다.
• 컴팩트한 Lie 그룹 G의 $Lie{\displaystyle \mathfrak{}}$ 대수 g ${\$는 Ad(G)-invariant 내측 제품을 허용한다.^[4] 반대로 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(^[5]가) Ad-invariant 내부 제품을 허용하는$$ 경우, g$${\$displaystyle${\$mathfrak {g}$은(는) 일부 소형 그룹의 Lie 대수인 것이다$$. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$이(가) 반이(가) 구현된 경우 이 내부 제품은 킬링 형태의 음성으로 간주할 수 있다. Thus relative to this inner product, Ad(G) acts by orthogonal transformations (${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$) and ${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$ acts by skew-symmetric matrices (${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$).^[4] 콤팩트한 집단의 리알헤브라의 복합체로 보고 복잡한 반실현 리알헤브라의 이론을 발전시킬 수 있다;^[6] 콤팩트한 실재형태에 애드인바리어스 내제품이 존재하면 개발이 크게 간소화된다.

  이는 리알헤브라의 대표성에 관한 아도(Ado)의 정리의 콤팩트 아날로그로 볼 수 있다. 특성 0의 모든 유한차원 리 대수학이 g ${\displaystyle \mathfrak{l},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl},},$ 모든$$ 콤팩트 리 대수학도 ${\displaystyle \mathfrak{s}.}$ . ${\displaystystyle {\mathfrak$ {$so}.$$}$

• 콤팩트한 Lie 대수학의 사타케 도표는 모든 정점이 검게 그을린 복잡한 Lie 대수학의 Dynkin 도표다.
• 컴팩트한 리알헤브라는 실제 형태의 리알헤브라를 분할하는 것과 정반대인 반면, 리알헤브라는 "가능한 한" 분할된 것이다.

분류

콤팩트한 리알헤브라는 복잡한 세미시브 리알헤브라의 컴팩트한 실제 형태에 따라 분류되고 이름이 붙여진다. 다음은 다음과 같다.

• ${\displaystyle {}_{}}$A${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle A_{n}:}$ $s$${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {\mathfrak$ {$su}_{n+1},$ 특수 단일 그룹(적당히 콤팩트한 형태는 PSU, 투영 특수 단일 그룹)에 해당하는$$;
• ${\displaystyle {}_{}}$B ${\displaystyle n_{}}$: ${\displaystyle B_{n}:}$ $s$${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathfrak{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$,${\displaystyle {so}_{2n+1},$ 특수 직교 그룹(또는 $o{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$+ 1,${\displaystyle {\mathfrak {o}_{2n+1},$ 직교 그룹에 해당$$$$);
• ${\displaystyle C_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$: ${\displaystyle C_{n}:}$ $s$${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {sp}{n}},$ 콤팩트한 선호 그룹에$$ 해당하며, $때로는{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ {$usp}_{n$ ;
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$ corresponding to the special orthogonal group (or ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$ corresponding to the orthogonal group) (properly, the compact form is PSO, the projective special orthogonal group);
• 예외적인 리알헤브라스 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$E ${\displaystyle {7\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {8\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 4,${\displaystyle {}_{}{G\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$의 컴팩트한 실제 형태.

이소모르프스

The classification is non-redundant if one takes ${\displaystyle n\geq 1}$ for ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ for ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ for ${\displaystyle C_{n},}$ and ${\displaystyle n\geq 4}$ for ${\displaystyle D_{}}$${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \mathrm{D\_}}$${n}.}$ $만약{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \ge }$ 0 ${\displaystyle n\geq$ 0$}$ 또는$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ $\$ {\$displaystyn\geq$ 1$}$을(를) 대신 취하면 특정한$$$$ 예외적인 이형성을 얻게 된다.

For ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$ is the trivial diagram, corresponding to the trivial group ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} ($$0)\cong \operatorname {SO}(0).$$}$

For ${\displaystyle n=1,}$ the isomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$ corresponds to the isomorphisms of diagrams ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$ and the corresponding isom리 그룹 SU groups ( ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle 2}$스핀 (${\displaystyle 3}$)${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$ ( ${\displaystyle 1}$ ) {${\displaystyle }${${\displaystyle }${ { { { { { $\displaystyle \operatorname {SU}(2)\cong \operatorname {Spin}(3)\cong \operatorname {Sp}(1)}($3-sphere 또는 단위 쿼터니온).

For ${\displaystyle n=2,}$ the isomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$ corresponds to the isomorphisms of diagrams ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$ and the corresponding isomorphism of Lie groups ${\di$$splaystyle \operatorname {Sp}(2)\cong \operatorname {Spin}(5)$$}$

For ${\displaystyle n=3,}$ the isomorphism ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$ corresponds to the isomorphisms of diagrams ${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$ and the corresponding isomorphism of Lie groups ${\di$$splaystyle \operatorname {SU}(4)\cong \operatorname {Spin}(6)$$}$

E ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {E\mathrm{}}_{}}$ 5 ${\$를 다이어그램으로$$ 본다면 각각$$ A ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$와 $D$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle D_{5}$에 해당하는 리알헤브라의 이형이다.

참고 항목

• 실물형태
• 스플릿 리 대수

메모들

참조

외부 링크

• 수학 백과사전 속의 작은 거짓말 그룹