환원형 리 대수

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수학에서, Lie 대수학은 그것의 부호표현이 완전히 축소될 수 있는 경우, 이름을 생략한다.보다 구체적으로 말하면, 리 대수는 반이행된 리 대수학과 아벨리안 리 대수학의 직접적인 합이라면 축소된다: g${\displaystyle }$= s${\displaystyle }$= ${\displaystyle s\mathfrak{}}$ ${\displaystyle ;}$ $;$ {\$displaystyle$ {\$mathfrak{g$}={\$mathfrak{s}}\oplus{\mathfak{a}};}}}$ 대체 특성화가 다음과$$ 같다.

예

$가장{\displaystyle }$ 기본적인 예는 N ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle n}$ ${\$$displaystyle {\mathfak{gl}_{n}$의 Lie 대수 ${\displaystyle {\mathfrak{g}}_{}}$ ${\displaystyle l_{}}$ (${\displaystyle V}$) . ${\displaystyle${$gl$}}}{n$}$ 행렬이거나$$, n차원 벡터 공간의 내형성 ${\displaystyle \mathfrak{대수인}}$g (V${\displaystyle )}$ . . . . . . $.{\$mathfrak {$g(V$)}}}}}}}}보다 추상적으로 나타난다$.$$}}$일반 선형군 GL(n)의 Lie 대수로서, 트레이스리스 매트릭스 및 스칼라 매트릭스에$$ ${\displaystyle {해당}_{}}$하는 g${\displaystyle {}_{}}$l = ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ l ${\displaystyle {\mathfrak{l}}_{}}$ l${\displaystyle {}_{}k\mathfrak{}}$ k${\displaystyle }$, ${\displaystyle${\$mathfrak{gl}_{n}={\mathfrak {k},}}, {\mathfrak}$로 분해되어 환원된다.

어떤 반시 구현된 리 대수 또는 아벨리안 리 대수학도 포티오리아 환원법이다.

실제 수치에서 콤팩트한 리알헤브라는 환원성이 있다.

정의들

특성 0의 필드에 걸친$$ Lie 대수 $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$을(를) 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 충족되면 환원이라고 한다.

1. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 부선 표현(대괄호로 묶는 동작)은 완전히 축소할 수 있다(복원할 수 없는 표현들의 직접적인 합계).
2. ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$은(는) 충실하고 완전히 축소 가능한 유한 차원 표현을 허용한다.
3. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$의 radical은 중심$$: ${\displaystyle r\mathfrak{}}$( g${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle z}$( )${\displaystyle }$. ${\displaystyle {\$mathfak{$g}}}={\mathfak{z}}}.$$}$

   급진주의자들은 항상 중심을 가지고 있지만, 그것에 필적할 필요는 없다.

4. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the direct sum of a semisimple ideal ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{0}}$ and its center ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}$$({\mathfrak{g}).$$}$

   리바이스 분해와 비교해보면, 리바이스 대수학을 급진적(일반적으로 아벨비안이 아닌 해결 가능한)으로 분해하고, 리바이스 아발지브라(semisim)로 분해한다.

5. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is a direct sum of a semisimple Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ and an abelian Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.$$}$
6. ${\displaystyle \mathfrak{g}}$ ${\$은(는) 주요 이상을 직접 합한 것이다$$. $g{\displaystyle \mathfrak{}}$=${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ g ${\displaystyle i_{}}$ ${\${\$mathfrak {g}=\textstyle {\\\sum {$g$}_{i}.$$}$

이러한 동등성 중 일부는 쉽게 볼 수 있다.For example, the center and radical of ${\displaystyle {\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}}$ is ${\displaystyle {\mathfrak {a}},}$ while if the radical equals the center the Levi decomposition yields a decomposition ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\$$oplus {\mathfrak{z}({\mathfrak{g}).$$}}$또한$$ 단순한 리알헤브라와 $하찮은{\displaystyle \mathfrak{}}$ 1차원 리 대수 k ${\$이 주요한 이상이다$$.

특성.

환원성 리 알헤브라는 반시 구현 리 알헤브라의 일반화로서, 많은 특성을 공유한다: 반시 구현 리 알헤브라의 많은 성질은 환원성 사실에만 의존한다.특히 헤르만 바일의 유닛화 묘기는 환원성 리알헤브라를 위해 효과가 있다.

관련 환원형 거짓말 집단은 상당한 관심을 가지고 있다: 랭글랜드 프로그램은 한 환원형 거짓말 집단을 위해 행해지는 것이 모두를 위해 행해져야 한다는 전제를 깔고 있다.^{[clarification needed]}

환원성 리 알헤브라와 해결 가능한 리 알헤브라의 교차점은 정확히 아벨리안 리 알헤브라스(semisimply와 해결 가능한 리 알헤브라가 사소한 것과 대조된다)이다.

외부 링크

• 리 대수학, 환원학, A.L. 오니쉬치크, 수학 백과사전, ISBN1-4020-0609-8, SpringerLink