괴물 문샤인

수학에서, 괴물 문샤인 또는 문샤인 이론은 괴물군 M과 모듈러 함수, 특히 j 함수 사이의 예상치 못한 연결이다.이 용어는 존 콘웨이와 사이먼 P에 의해 만들어졌다. 1979년 ^[1]^[2]^[3]노튼.

이 괴물 같은 문샤인은 1988년 이고르 프렌켈, 제임스 레포스키, 그리고 아르네 뫼르만에 의해 만들어진 문샤인 모듈(또는 괴물 정점 대수)이라고 불리는 정점 연산자 대수에 의해 지배되고 있는 것으로 알려져 있는데, 이 대수는 괴물 그룹을 대칭의 그룹으로 가지고 있다.이 정점 연산자 대수는 일반적으로 2차원 등각장 이론의 기초가 되는 구조로 해석되며, 물리학이 두 수학적 영역 사이에 다리를 형성할 수 있게 한다.콘웨이와 노턴에 의한 추측은 1992년 리처드 보셔스에 의해 현 이론과 정점 연산자 대수와 일반화 Kac-Moody 대수의 이론의 무고스트 정리를 사용하여 문샤인 모듈에 대해 증명되었다.

역사

1978년, John McKay는 정규화된 J-불변량의 푸리에 확장(OEIS의 시퀀스 A014708)의 처음 몇 개의 항이

J(\tau)=parcfrac {1}{q}+parc84{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^3}+parc5856256{q}+{4}+\cdots

${q}=e^{2\pi i\tau }$ ${q}=e^{2\pi i\tau }$ e ${q}=e^{2\pi i\tau }$ ${q}=e^{2\pi i\tau }$ i ${q}=e^{2\pi i\tau }$ { $displaystyle$ { $r_{n}$ $q$ } = $e^{$ $2\$ $pi$ i $\$ $display$ $}$ } τ ${q}=e^{2\pi i\tau }$ q q τ 、 τ τ 、 τ τ 、 m $r_{n}$ τ m 、 group m m m m m m m 、 m m group m m m m m m m m m m m m m m m m m m $r_{n}$ m m m m m m m m m m m $r_{n}$ m m m m $r_{n}$ n $r_{n}$ { $displaystyle r$ _ { $n$ } = $r_{n}$ 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ...로 $r_{n}$ .

\displaystyle { displaystyle }1&=r_{1}+r_{2}\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{1}}\\cap5856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\33202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{aligned}}

( $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ 1 $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ - r $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ + $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ + $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ 5 $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ - $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ 6 $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ { \ $displaystyle$ r _ { 1 } - $_$ r $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ _ r _ { 3 $}$ + r _ { 4 } + r $_$ r _ { 5 } - r _ { 6 $=$ 0 $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ $r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0$ $r_{n}$ r $r_{n}$ { $displaystyle$ r _ r _ { $n$ } 사이에는 $r_{n}$ 여러 가지 선형 관계가 있을 수 있습니다).McKay는 이것을 J의 계수에 의해 등급화된 차원이 주어지고, 저중량 조각이 위와 같이 환원 불가능한 표현으로 분해되는 M의 자연 발생 무한 차원 등급화된 표현이 있다는 증거로 보았다.존 G에게 알린 후에요 이 관찰의 Thompson은 등급화된 치수가 단지 동일 요소의 등급화된 추적이기 때문에, 그러한 표현에서 M의 중요하지 않은 요소 g의 등급화된 흔적도 흥미로울 수 있다고 제안했다.

콘웨이와 노튼은 현재 맥케이-톰슨 시리즈_g T로 알려진 이러한 등급별 배선의 하위 항을 계산했고, 이 모든 항이 Hauptmoduln의 확장인 것으로 보인다는 것을 발견했다.즉, G가 T를 고정하는_g SL(R)의₂ 부분군이라면_g, G에 의한_g 복소평면 상부의 몫은 유한한 점수가 제거된 구면이며, 나아가 T는_g 이 구면상에 자형함수장을 생성한다.

콘웨이와 노튼은 이들의 연산을 바탕으로 Hauptmoduln 목록을 작성하고 M의 무한 차원 등급별 표현의 존재를 추측했다. M의 등급별 트레이스_g T는 목록에 있는 함수의 확장이다.

1980년에 A. 올리버 L. 앳킨, 폴 방, 스테판 D.스미스는 J의 많은 계수를 M의 표현으로 분해함으로써 그러한 등급화된 표현이 존재한다는 강력한 계산 증거를 생산했다. 등급화된 차원이 J인 등급화된 표현은 효과적인 솔을 제공하는 이고르 프렌켈, 제임스 레포스키, 그리고 아르네 모먼에 의해 명시적으로 구성되었다.McKay-Thompson 추측에 대한 설명과 그들은 또한 M의 분해능의 중앙집중기의 모든 원소에 대한 등급화된 트레이스를 결정하여 콘웨이-노튼 추측을 부분적으로 해결했다.또한, 그들은 Moonshine $V^{\natural }$ V ${\$ (\ $displaystyle$ V $^{\natural$ 라고 불리는 벡터 공간이 정확히 M인 정점 연산자 대수의 추가 구조를 가지고 있음을 보여주었다.

보르체르즈는 1992년 문샤인 모듈에 대한 콘웨이-노튼 추측을 증명했다.그는 1998년 이 추측을 풀어낸 공로로 필즈상을 수상했다.

밀주 모듈

Frenkel-Lepowsky-Meurman 공사는 다음 두 가지 주요 도구로 시작합니다.

등급 n의 짝수 격자 L에 대한 격자 정점 연산자 대수_L V의 구성.물리적인 용어로, 이것은ⁿ 토러스 R/L로 압축된 보손열의 키랄 대수이다.이는 대략 n차원의 발진기 표현을 가진 L군 링의 텐서 곱으로 설명할 수 있다(그 자체가 무한히 많은 발전기의 다항식 링과 동형이다.문제의 경우 L을 24등급의 거머리 격자로 설정한다.
오비폴드 구조요물리적인 용어로, 이것은 몫의 오르비폴드를 전파하는 보손현을 나타냅니다.Frenkel-Lefowsky-Meurman의 건설은 오르비폴드가 등각장 이론에서 나타난 첫 번째 순간이었다.거머리 격자의 –1 회전에는 V의 회전_L h와 회전 리프팅 h를 계승하는 환원 불가능한 H 트위스트 V모듈이_L 부착되어 있다.Moonshine Module을 얻으려면 V와_L 그 트위스트 모듈의 직합에서 고정점 부분 공간 h를 취합니다.

Frenkel, Lepowsky, 그리고 Meurman은 정점 연산자 대수로서 문샤인 모듈의 자기동형군이 M이라는 것을 보여주었다.또, 부분군¹⁺²⁴ 2내의 원소의 그레이드 트레이스도 판정했다.Co는 Conway와 Norton이 예측한 함수(Frenkel, Lepowsky & Meurman(1988)와 일치합니다₁.

보헤르드의 증명

Richard Borcherds의 Conway와 Norton 추측에 대한 증거는 다음과 같은 주요 단계로 나눌 수 있습니다.

하나는 불변 쌍선형 형태의 정점 연산자 대수 V, 자기동형에 의한 M의 작용, 그리고 7개의 가장 낮은 도수의 균질한 공간의 축소 불가능한 M-표현으로 알려진 분해로 시작한다.이것은 Frenkel-Lefowsky-Meurman의 Moonshine Module의 건설 및 분석에 의해 제공되었습니다.
Monster Lie 대수라고 불리는 Lie ${\mathfrak {m}}$ m $\$ 은 ${\mathfrak {m}}$ 양자화 함수를 사용하여 V로 구성됩니다.이것은 자기동형에 의한 괴물 작용이 있는 일반화 Kac-Moody Lie 대수이다.Goddard 사용-끈 이론의 가시 "고스트 없음" 정리, 근배수는 J의 계수인 것으로 밝혀졌다.
하나는 Koike-Norton-Zagier 무한곱 아이덴티티를 사용하여 생성자와 관계별로 일반화 Kac-Moody Lie 대수를 구축한다.동일성은 헤케 연산자가 J에서 J의 다항식을 산출한다는 사실을 사용하여 증명된다.
근승수를 비교하면 두 리 대수가 동형이며, 특히 m $(\$ 에 ${\mathfrak {m}}$ ${\mathfrak {m}}$ 바일 분모 공식은 정확히 코이케-노튼-자기에 항등식이다.
리 대수 호몰로지 및 애덤스 연산을 사용하여 각 요소에 대해 꼬임 분모 동일성이 부여됩니다.이러한 동일성은 Koike-Norton-Zagier 동일성이 J와 관련이 있는 것과 거의 같은 방식으로 McKay-Thompson 시리즈_g T와 관련이 있다.
뒤틀린 분모 ID는 T의_g 계수에 대한 재귀 관계를 의미하며, Koike의 미공개 연구는 Conway와 Norton의 후보 함수가 이러한 재귀 관계를 충족한다는 것을 보여주었다.이러한 관계는 매우 강력하기 때문에 처음 7개의 항이 Conway와 Norton이 제공한 함수와 일치하는지 확인하기만 하면 됩니다.가장 낮은 항은 첫 번째 단계에서 주어진 가장 낮은 7개의 균질한 공간의 분해로 나타납니다.

따라서 증명은 완료된다(Borcherds(1992)).보르체르스는 나중에 "달빛 추측을 증명했을 때 나는 매우 기뻤다"며 "이것이 당신이 특정 약을 복용했을 때 느끼는 감정인지 가끔 의심스럽다"고 말한 것으로 전해졌다.사실 나는 이 이론을 시험해 본 적이 없기 때문에 잘 모르겠다.(로버트 2009, 페이지 361)

보다 최근의 연구는 입증의 마지막 단계를 단순화하고 명확히 했다.주리시치(1998년), 주리시치, 레포스키 & 윌슨(1995년)은 몬스터 라이 대수의 통상적인 삼각 분해를 gl의₂ 합과 두 개의 자유 리 대수로 대체함으로써 호몰로지 계산이 상당히 단축될 수 있다는 것을 발견했다.Cummins와 Gannon은 재귀 관계가 McKay Thompson 시리즈가 자동으로 Hauptmoduln이거나 최대 3개의 항 후에 종료됨을 의미하므로 마지막 단계에서 계산이 필요하지 않음을 보여주었다.

일반 밀주

콘웨이와 노튼은 1979년 논문에서 아마도 문샤인이 괴물에만 국한된 것이 아니라 ^[a]다른 집단에서도 비슷한 현상이 발견될 수 있다고 제안했다.콘웨이와 노튼의 주장은 매우 구체적이지 않았지만, 1980년 라리사 퀸의 계산은 산발적인 그룹의 축소 불가능한 표현 차원의 단순한 조합으로 많은 하우프트모듈의 확장을 구성할 수 있다는 것을 강하게 시사했다.특히, 다음과 같은 경우 McKay-Thompson 시리즈의 계수를 몬스터의 하위 인수의 표현으로 분해했습니다.

T와_4A T를 Conway 그룹₀ Co.의 표현으로 변환합니다_2B.
T와_3B_6B T를 스즈키 그룹 3.2의 표현으로 변환합니다.수지
T를_3C 톰슨 그룹의₃ 표현 Th = F
하라다-노튼 군 HN = F의₅ 표현으로 T를 변환_5A
T와_5B_10D T를 홀-잔코 그룹 2의 표현으로 변환한다.HJ
T를_7A Held 그룹의 표현 He = F₇
T와_7B_14C T를 2로 표현한다.A₇.
T를_11A 마티외 그룹 2의 표현으로 변환합니다.M₁₂

퀸은 동일하지 않은 원소의 흔적으로 Hauptmoduln의 q-확장이 나타났으며, 그 중 일부는 몬스터의 맥케이-톰슨 시리즈가 아니었다.1987년, 노튼은 퀸의 결과와 자신의 계산을 결합하여 일반화된 문샤인 추측을 공식화했다.이 추측은 다음과 같이 몬스터의 각 요소 g, 등급이 매겨진 벡터 공간 V(g) 및 위쪽 반평면 상의 각 요소 쌍(g, h, θ)에 홀모픽 함수 f(g, h, θ)를 할당하는 규칙이 있다고 주장한다.

각 V(g)는 G in M의 중앙집중장치의 등급별 투영 표현이다.
각 f(g, h, ))는 상수 함수 또는 Hauptmodul 중 하나입니다.
각 f(g, h, θ)는 스칼라 모호성까지 M에서 g와 h의 동시 공역 하에서 불변한다.
각 (g, h)에 대해 V(g) 상에서 직선변환에 대한 h의 상승이 존재하며, f(g, h, θ)의 팽창은 그레이드된 트레이스에 의해 주어진다.
어떤(abcd) 들어 ∈ SL2⁡(Z){\displaystyle{\begin{pmatrix}a&, b\\c&, d\end{pmatrix}}\in\operatorname{SL}_ᆰ(\mathbf{Z})}, f(g, h, τ+bcτ+d){\displaystyle f\left(g,h,{\frac{a\tau +b}{c\tau +d}}\right)}에 f(g은 hcgbhd, 정비례한다. τ) $\displaystyle$ f $\left(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\displaystyle$ \ $right$
f(g, h, θ)는 g = h = 1인 경우에만 J에 비례한다.

이것은 콘웨이-노튼 추측의 일반화이다. 왜냐하면 보헤르드의 정리가 g가 항등식으로 설정되는 경우와 관련이 있기 때문이다.

콘웨이-노튼 추측처럼, 일반화 문샤인 또한 1988년 딕슨-긴스파그-하비가 제안한 물리학 해석을 가지고 있다.그들은 벡터 공간 V(g)를 괴물 대칭을 가진 컨포멀 필드 이론의 트위스트 섹터로 해석하고 함수 f(g, h, θ)를 트위스트 경계 조건을 따라 접착함으로써 토러스를 형성하는 제1분할함수로 해석했다.수학적인 언어에서 트위스트 섹터는 축소할 수 없는 트위스트 모듈이며, 분할 함수는 주요 몬스터 다발을 가진 타원 곡선에 할당되며, 이들의 동형 형태는 1사이클, 즉 한 쌍의 통근 요소에 따라 모노드로미에 의해 기술된다.

모듈러형 밀주

1990년대 초, 그룹 이론가인 A. J. E. Ryba는 몬스터의 캐릭터 표의 일부와 특정 하위 그룹의 브라우어 캐릭터 사이의 놀라운 유사점을 발견했다.특히 몬스터의 1차 p 원소 g에 대해 k제곱 g인 k차 kp 원소의 환원 불가능한 문자가 g의 중심화에서의 순서 k 원소의 브라우어 문자의 단순 조합이다.이것은 괴물 같은 문샤인과 유사한 현상에 대한 수치적인 증거였지만 긍정적인 특징에 대한 표현이었다.특히 1994년 Ryba는 몬스터의 순서로 각 소인수 p에 대해 임의의 p-정규 자기동형 h의 등급부 브라우어 특성이 Gh(Ryba)에 대해 McKay-Thompson 계열과 동일하도록 순서 p 요소 g의 중심자의 작용에 의해 유한장_p F에 걸쳐 등급부 정점 대수가 존재한다고 추측했다.

1996년, Borcherds와 Ryba는 $V의$ 이중 적분 형태의 테이트 코호몰로지에 대한 추측을 재해석했다. 이 적분 형태는 존재하지 않지만, Z $[1$ /2 $V^{\natural }$ 위에 자기 이중 형식을 구축하여 홀수 pimes로 작업할 수 있도록 했다.일차 원소의 테이트 코호몰로지는 F 위의_p 슈퍼 정점 대수 구조를 가지고 있으며, 그들은 문제를 등급화된 브라우어 슈퍼 트레이스와 맥케이-톰슨 급수를 동등하게 하는 쉬운 단계와 테이트 코호몰로지가 홀수로 사라진다는 것을 보여주는 어려운 단계로 나누었다.그들은 거머리 격자에서 소실 결과를 옮김으로써 작은 홀수 소수에 대한 소실 진술을 증명했다(Borcherds & Ryba (1996)).1998년, 보헤르드는 호지 이론과 무고스트 정리의 일체적 정교함의 조합을 사용하여 나머지 홀수 소수에 대한 소실이 유지된다는 것을 보여주었다.

순서 2의 경우, 2-adic 링 위에 V의 $V^{\natural }$ 형태(\ $displaystyle$ V $^{\natural$ })가 $V^\natural$ 존재해야 합니다. 즉, 2로 나누지 않는 구조입니다.이러한 구조는 당시에는 존재하지 않았습니다.Ryba의 추측이 복합순서 요소의 테이트 코호몰로지에 어떻게 일반화되어야 하는지, 그리고 일반화된 문샤인 및 다른 문샤인 현상에 대한 연관성의 성격과 같은 추가적인 많은 의문들이 남아 있습니다.

양자 중력과의 추정 관계

2007년, E. 위튼은 AdS/CFT 대응이 (2+1)차원 반 드 시터 공간의 순수 양자 중력과 극단 정형 CFT 사이의 이중성을 나타낸다고 제안했다.2+1 차원에서의 순수한 중력은 국소적인 자유도를 가지고 있지 않지만, 우주 상수가 음수일 때, BTZ 블랙홀 용액의 존재로 인해 이론에는 중요하지 않은 내용이 있습니다.G에 의해 도입된 Extremal CFT.Höhn은 낮은 에너지에서 Virasoro 1차장의 부족으로 구분되며, 문샤인 모듈이 그 한 예이다.

Witten의 제안(Witten (2007))에 따르면 우주론적 상수가 최대인 AdS 공간의 중력은 중심 전하 c=24인 홀모픽 CFT와 이중이며 CFT의 분할 함수는 정확히 j-744, 즉 문샤인 모듈의 등급 특성이다.비튼은 문샤인 모듈이 중심 전하 24와 문자 j-744를 가진 독특한 홀모픽 VOA라는 Frenkel-Lefowsky-Meurman의 추측을 가정함으로써 우주 상수가 최대 음수인 순수 중력이 괴물 CFT와 이중이라는 결론을 내렸다.위튼의 제안 중 일부는 비라소로의 1차장이 블랙홀 생성 연산자와 이중이라는 것이며, 일관성 검사로서 그는 큰 질량 한계에서 주어진 블랙홀 질량에 대한 베켄슈타인-호킹 반고전적 엔트로피 추정치가 달의 해당 비라소로의 1차 다중성의 로그와 일치한다는 것을 발견했다.le. 저질량 상태에서는 엔트로피에 대한 작은 양자 보정이 있다. 예를 들어, 최저 에너지 1차장이 ln(196883)~12.19를 산출하는 반면, 베켄슈타인-호킹 추정치는 4µ~12.57을 나타낸다.

이후 작업은 위튼의 제안을 개선했다.비튼은 더 큰 우주 상수를 가진 극한 CFT가 최소의 경우와 매우 유사한 괴물 대칭을 가질 수 있다고 추측했지만, 이것은 가이오토와 회른의 독립적인 연구에 의해 빠르게 배제되었다.위튼과 말로니의 연구(Maloney & Witten (2007))는 복잡한 안장의 일부 미묘한 특성이 유리하게 작용하지 않는 한 순수한 양자 중력은 분할 기능과 관련된 일부 일관성 검사를 충족하지 못할 수 있다고 제안했다.그러나, Li-Song-Strominger (Li, Song & Strominger (2008))는 2007년에 Manschot에 의해 제안된 키랄 양자 중력 이론이 괴물 CFT의 키랄 부분, 즉 괴물 정점 대수에 대해 이중적이면서도 더 나은 안정성을 가질 수 있다고 제안했다.던컨-프렌켈(2009년)은 Rademacher 합계를 사용하여 전지구 토러스-등원 기하학적 구조에서 정규화된 합계로 2+1차원 중력 분할 함수로 McKay-Thompson 시리즈를 생성함으로써 이 이중성에 대한 추가 증거를 도출했다.게다가, 그들은 괴물의 요소들에 의해 매개 변수화된 꼬인 키랄 중력 이론의 패밀리의 존재를 추측했고, 이는 일반화된 문샤인과 중력 인스턴트 합과의 연관성을 시사했다.현재, 이 모든 생각들은 여전히 추측적이다. 부분적으로는 3D 양자 중력이 엄격한 수학적 기초를 가지고 있지 않기 때문이다.

마티외 문샤인

2010년, 에구치 토루, 우구리 히로시, 다치카와 유지 등은 K3 표면의 타원 속은 N = (4,4) 초정식 대수의 문자로 분해될 수 있으며, 따라서 질량 상태의 곱셈은 마티외 ^[4]M24 그룹의 단순한 조합으로 보인다.이는 M24 대칭을 갖는 K3 표적을 갖는 시그마 모형 등각장 이론이 있음을 시사한다.그러나 무카이-곤도 분류에 따르면, 심플렉틱 자기 형질 및 가베르디엘의 작용에 의한 K3 표면에서 이 그룹의 성실한 작용은 없다.호헤네거-볼파토, 어떤 K3 시그마 모형 등각장 이론에도 충실한 작용이 없기 때문에 힐베르트 공간에 작용이 나타나는 것은 여전히 미스터리이다.

McKay-Thompson 시리즈와 유사하게, Cheng은 다중성 함수와 M24의 중요하지 않은 원소의 등급화된 흔적 모두 모의 모듈러 형태를 형성한다고 제안했다.2012년, 간논은 첫 번째를 제외한 모든 승수가 M24의 표현의 음이 아닌 적분 조합이라는 것을 증명했고, 가베르디엘-페르손-론엘렌피츠-볼파토는 일반화된 문샤인 함수의 모든 유사점을 계산하여, 홀모픽 준거장 이론의 일부 유사점이 마티외 문샤인 뒤에 있음을 강하게 시사했다.또한 2012년에 Cheng, Duncan 및 Harvey는 모의 모듈러 형태의 패밀리가 니메이어 격자에 연결되어 있는 것으로 보이는 추체 문샤인 현상의 수치 증거를 수집했다.A₁²⁴ 격자의 특수한 경우는 Mathieu Moonshine을 산출하지만, 일반적으로 그 현상은 아직 기하학의 관점에서 해석되지 않았다.

용어의 기원

"괴물 문샤인"이라는 용어는 콘웨이가 1970년대 후반 존 맥케이가 $qdisplay$ { $q}$ (이름을 ${q}$ )의 계수가 몬스터 그룹의 가장 작은 충실한 복소 표현 정도(이름을 196883)보다 정확히 하나 더 많다고 말했을 때 "문샤인"이라고 대답했다.미친 생각이나 바보 같은 ^[b]생각)을 주입한다.따라서, 이 용어는 괴물군 M을 지칭할 뿐만 아니라, M과 모듈러 함수의 이론 사이의 복잡한 관계에 대한 인식된 광기를 가리킵니다.

메모들

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^ 월드 와이드 워드: 문샤인

원천

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외부 링크

Wayback Machine에서의 Moonshine 서지 (2006년 12월 5일 아카이브)

^ 몬스터러스 문샤인 발도 타티체프 2019년 1월 24일 짧은 소개
^ J. Conway와 S.노튼.괴물 문샤인황소. 론드.수학. Soc., 1979년 11:308 ~ 339
^ 수학자들이 문샤인의 그림자 에리카 클라라이치를 쫓다 2015년 3월 12일 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/
^ T. 에구치, H. 우구리, Y.타치카와:K3 표면과 Mathieu 그룹 M24에 대한 참고 사항.Experim. 수학. 20 91 ~ 96 (2011)

[4] Conway, J. 및 Norton, S. "Monstrous Moonshine", 표 2a, 페이지 330, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.103.3704&rep=rep1&type=pdf

[6] 월드 와이드 워드: 문샤인

[1] 몬스터러스 문샤인 발도 타티체프 2019년 1월 24일 짧은 소개

[2] J. Conway와 S.노튼.괴물 문샤인황소. 론드.수학. Soc., 1979년 11:308 ~ 339

[3] 수학자들이 문샤인의 그림자 에리카 클라라이치를 쫓다 2015년 3월 12일 https://www.quantamagazine.org/mathematicians-chase-moonshine-string-theory-connections-20150312/

[5] T. 에구치, H. 우구리, Y.타치카와:K3 표면과 Mathieu 그룹 M24에 대한 참고 사항.Experim. 수학. 20 91 ~ 96 (2011)

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