쿼터니온 다지관

미분 기하학에서 쿼터니온 다지관은 복합 다지관의 쿼터니온 아날로그다.이 정의는 복잡한 다지관에 대한 정의보다 더 복잡하고 기술적이다. 이는 부분적으로 쿼터니언의 비확정성 및 쿼터니온에 대한 홀로모르픽 함수의 적절한 미적분 부족 때문이다.가장 간결한 정의는 다지관의 G-구조체 언어를 사용한다.구체적으로 quaternionic n-manifold는 비틀림 없는 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$⁡ ${\displaystyle (n\mathbb{}}$, H${\displaystyle }$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ 구조물을$$ 갖춘 실제 치수 4n의 매끄러운 다지관으로 정의할 수 있다.더 순진하지만 직설적인 정의는 예를 결여하고, 쿼터니온 다지관으로 분명히 간주되어야 하는 쿼터니온 투영 공간과 같은 공간은 제외한다.

정의들

향상된 쿼터니온 일반 선형 그룹

If we regard the quaternionic vector space ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}\cong \mathbb {R} ^{4n}}$ as a right ${\displaystyle \mathbb {H} }$-module, we can identify the algebra of right ${\displaystyle \mathbb {H} }$-linear maps with the algebra of ${\displaystyle n\times n}$ quaternio왼쪽에서 $H{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$에 작용하는 nic 행렬.The invertible right ${\displaystyle \mathbb {H} }$-linear maps then form a subgroup ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ of ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$. We can enhance this group with the group ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times$오른쪽에서 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n}}$에 스칼라 곱으로 작용하는 논제로 쿼터 니온 중$$ $}}}}}{{$n}}}}Since this scalar multiplication is ${\displaystyle \mathbb {R} }$-linear (but not ${\displaystyle \mathbb {H} }$-linear) we have another embedding of ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ into ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$.The group ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$ is then defined as the product of these subgroups in ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$. Since the intersection of the subgroups ${\displaystyle \operatorn$$ame {GL} (n,\mathbb {H} )}$ and ${\displaystyle \mathbb {H} ^{\times }}$ in ${\displaystyle \operatorname {GL} (4n,\mathbb {R} )}$ is their mutual center ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\times }}$ (the group of scalar matrices with nonzero real coefficients), we have the isomorphism

${\displaystyle \operatorname {GL}(n,\mathb {H} )\cdot \mathb {H}^{\times }\cdg(\operatorname {GL})(n,\mathb {H})\time ^{\time}/\mathb {R}^{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

거의 쿼터니온 구조

An almost quaternionic structure on a smooth manifold ${\displaystyle M}$ is just a ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )\cdot \mathbb {H} ^{\times }}$-structure on ${\displaystyle M}$. Equivalently, it can be defined as a subbundle ${\displaystyle H}$ of the endomorphism bundle ${\displaystyle \operatorname {End} (TM)}$ such that each fiber ${\displaystyle H_{x}}$ is isomorphic (as a real algebra) to the quaternion algebra ${\displaystyle \mathbb {H} }$. The subbundle ${\displaystyle H}$ is called the almost quaternionic structure bundle.거의 쿼터니온 구조를 갖춘 다지관을 거의 쿼터니온 다지관이라고 한다.

쿼터니온 구조 $번들{\displaystyle }$ H ${\displaystyle$ $H$$}$은 자연스레$$ 쿼터니온 대수 구조에서 오는 번들 메트릭을 인정하고, 이 메트릭스를 사용하여 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $H{\displaystyle }$$}$ = ${\displaystyle L\oplus }$ E ${\displaysty H=L\oplus E}$의 직교 직교적인 총합으로 분할되는데$$ 여기서$$ $L{\displaystyle }$ ${\\displaystystystyle$ L$}$은 사소한$$ 번이다.ID 연산자를 통해 느릿느릿 지나가며, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$는 순전히 상상적인 쿼터에 해당하는 3등급 벡터 번들이다.$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 또는$$ $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$ 번들 중 어느 것도 반드시 사소한 것이 아니다$$.

$단위{\displaystyle }$ 구체 번들 $Z{\displaystyle }$=${\displaystyle S}$ ( E ) {\$displaystyle Z=S(E)}$은 E ${\displaystyle E}$ 내부의 순수$$ 단위 가상 쿼터에 해당한다$$.이것들은 -1의 제곱을 이루는 접선 공간의 내형성이다.번들 $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$을(를) 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 트위스터 스페이스라고 하며$$$,$ 그 속성은 아래에 자세히 설명되어 있다.$Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$의 로컬 섹션은 거의 복잡한 구조물이다(로컬하게 정의됨).There exists a neighborhood ${\displaystyle U}$ of every point ${\displaystyle x}$ in an almost quaternionic manifold ${\displaystyle M}$ with an entire 2-sphere of almost complex structures defined on ${\displaystyle U}$. One can always find ${\displaystyle I,J,K\in \Gamma (Z _{U}$$)}$ 그런$$ 것

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

그러나 이러한 연산자 중 어느 것도 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ 전체에 확장할 수 없을 수 있다는 점에 유의하십시오$.$ 즉, 번들 $Z{\displaystyle }${\$displaystyle Z}$은(예: 쿼터니온$$ 투영 공간 H $P{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$HP}$^{n}).$이는 거의 전 세계적으로 정의된 복잡한 구조를 항상 가지고 있는 복잡한 다지관의 상황과 현저한 대조를 이룬다.

쿼터니온 구조

매끄러운 다지관 $M{\displaystyle }${\$displaystyle$M}의 쿼터니온 $구조{\displaystyle }$ Q {\$displaystyle$ $Q}$은(는) 거의 쿼터니온 구조 Q$$${\displaystyle \nabla }$을(를) 보존하는 비틀림 없는 연결부를 허용하는 구조$$$$ Q ${\displaystystylease$는 결코 고유하지 않으며, 쿼터니온 스트루의 일부로 간주되지 않는다$.$cture. quaternionic 다지관은 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$에 quaternionic 구조와 함께$$ 부드러운 다지관 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$이다$.$

특수 케이스 및 추가 구조물

하이퍼 복합 다지관

하이퍼 복합 매니폴드는 비틀림 없는 ${\displaystyle \mathrm{GL}}$⁡ ${\displaystyle (n}$, ${\displaystyle H\mathbb{}}$) ${\displaystyle \operatorname {GL}(n,\mathb {H} )}$ - 구조를$$ 가진 쿼터니온 다지관이다.The reduction of the structure group to ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {H} )}$ is possible if and only if the almost quaternionic structure bundle ${\displaystyle H\subset \operatorname {End} (TM)}$ is trivial (i.e. isomorphic to ${\displaystyle M\times \mathbb {H} }$).거의 하이퍼 복합 구조는 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 전역 프레임에 대응하거나$,$ 거의 복잡한 $구조{\displaystyle }$ I${\displaystyle ,}$ $, J}$및 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 세 배에 해당한다.

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=IJK=-1}$

하이퍼 복합 구조는 $I{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I,J}$및 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 각각 통합될$$ 수 있는 거의 하이퍼 복합 구조다.

콰터니오닉 케흘러 다지관

quaternionic Kahler 매니폴드는 비틀림 ${\displaystyle \mathrm{없는}}$ Sp ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \mathrm{Sp}(}$ ( 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)\cdot \operatorname {Sp}(1$) $-$ 구조를$$ 가진 Quaternionic 매니폴드다.

하이퍼켈러 다지관

하이퍼켈러 다지관은 비틀림 없는 ${\displaystyle \mathrm{Sp}}$ ${\displaystyle }$($){\displaystyle \operatorname {Sp}$ ($n)}$ - 구조를$$ 가진 쿼터니온 다지관이다.하이퍼켈러 다지관은 하이퍼 복합 다지관과 쿼터니오닉 카흘러 다지관이 동시에 있다.

트위스터 스페이스

Given a quaternionic ${\displaystyle n}$-manifold ${\displaystyle M}$, the unit 2-sphere subbundle ${\displaystyle Z=S(E)}$ corresponding to the pure unit imaginary quaternions (or almost complex structures) is called the twistor space of ${\displaystyle M}$. It turns out that, when ${\displaysty$$le n\geq 2}$, there exists a natural complex structure on ${\displaystyle Z}$ such that the fibers of the projection ${\displaystyle Z\to M}$ are isomorphic to ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. When ${\displaystyle n=1}$, the space ${\displaystyle Z}$ admits a natural almost complex structure, 그러나 이 구조는 다지관이 스스로 분해될 경우에만 통합할 수 있다.$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 Quaternionic $형상$은 Z$${\$displaystyle$Z$\}$의 홀로모르픽 데이터에서 완전히 재구성할$$ 수 있는 것으로 나타났다.

트위스터 우주 이론은 쿼터니온 다지관의 문제를 복잡한 다지관의 문제로 번역하는 방법을 제시하는데, 이것은 훨씬 더 잘 이해되고 대수 기하학에서 오는 방법에 순응할 수 있다.불행히도, 쿼터니온 다지관의 트위스터 공간은 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$와 같은 단순한 공간에서도 상당히 복잡할 수 있다$.$

참조

• Besse, Arthur L. (1987). Einstein Manifolds. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-15279-2.
• Joyce, Dominic (2000). Compact Manifolds with Special Holonomy. Oxford University Press. ISBN 0-19-850601-5.