고체 물체가 어떻게 변형되는지에 대한 수학적 모델
선형탄성 (linear elastibility)은 정해진 하중조건에 의해 고체물체 가 어떻게 변형되고 내부적 으로 응력이 가해지는지를 나타내는 수학적 모델입니다.이것은 보다 일반적인 비선형 탄성 이론 의 단순화 이며 연속체 역학 의 한 분야입니다.
선형 탄성의 기본적인 "선형화" 가정은 다음과 같습니다. 즉, 극소 변형 또는 "작은" 변형(또는 변형) 및 응력과 변형 성분 간의 선형 관계입니다. 또한 선형 탄성은 항복 하지 않는 응력 상태에 대해서만 유효합니다.
이러한 가정은 많은 엔지니어링 재료 및 엔지니어링 설계 시나리오에 타당합니다. 따라서 선형 탄성은 종종 유한 요소 분석의 도움 을 받아 구조 분석 및 엔지니어링 설계에 광범위하게 사용 됩니다.
수학 공식화 선형 탄성 경계값 문제 를 지배하는 방정식은 선형 운동량의 균형 을 위한 3개 의 텐서 편미분 방정식과 6개 의 극소 변형-변위 관계에 기초한다. 미분 방정식의 체계는 일련의 선형 대수 구성 관계에 의해 완성된다.
직접 텐서 형식 좌표계 선택과 무관 한 직접 텐서 형식에서 이러한 지배 방정식은 다음과 같다.[1]
운동 방정식 , 이것은 뉴턴의 제2법칙의 표현 입니다. ∇ ⋅ σ + F = ρ u ¨ (*displaystyle\boldsymbol\cdot\boldsymbol\mathbf{F}+\rho\dot\mathbf{u}}) 변형률-변위 방정식: ε = 1 2 [ ∇ u + ( ∇ u ) T ] {\displaystyle {\boldsymbol {varepsilon}}=tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\mathbf {u}} +({\boldsymbol {\cla}}}}\mathbf {u}^{\mathbright}} 구성 방정식.탄성 재료의 경우 Hooke의 법칙 은 재료의 거동을 나타내며 알려지지 않은 응력과 변형과 관련이 있습니다. 후크의 법칙에 대한 일반적인 방정식은 σ = C : ε , {\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {C}}:\boldsymbol {\varepsilon}, 여기 {\({ displaystyle \ boldsymbol\ sigma}) 코시 응력 텐서, (\displaystyle\varepsilon}) 극소 변형 텐서, displaystyle\mathbf u }) 변위 벡터, C displaystyle\mathsf }) 4차 강성 F. style \mathbf {F} {\ {\displaystyle rho} , {\ displaystyle \boldsymbol \nabla } nabla 연산자, ） T displaystyle bulate )^{\ T}}}} 트랜스포스 , } 시간 B = A i B i displaystyle mathsf mathsf = A_{ij}B_{ij}
데카르트 좌표 형식 참고: 반복 지수에 대한 합계의 아인슈타인 합산 규칙은 다음 과 같습니다. 직사각형 데카르트 좌표계 에 대한 성분으로 표현되는 선형 탄성의 지배 방정식은 다음과 같다.[1]
운동 방정식 : σ j i , j + F i = ρ ∂ t t u i \displaystyle _{ji,j}+ F_{i}=\rho \syslog _{tt}u_{i}} 여기서 j displaystyle {\displaystyle}_{,j} ( x x j {\ x_{ j t t \ displaystyle _ displaystyle } ({displaystyle _{ij}={ji}) 코시 응력 텐서, Fi (\ displaystyle F_{i displaystyle \rho) u (\ displaystyle u_{i .
이들은 6개의 독립 미지(스트레스)를 갖는 3개의 독립 방정식입니다.
엔지니어링 표기법에서는 다음과 같습니다. ∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = ρ ∂ 2 u x ∂ t 2 ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = ρ ∂ 2 u y ∂ t 2 ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = ρ ∂ 2 u z ∂ t 2 \displaystyle {\frac _{x} {\frac x} + {\frac \frac _{yx}} {\frac \frac z} {\frac z} = \rho { frac ^{2} {\frac y} + {\frac z} {\frac } {\frac } F_{y}=\rho {\frac t^{2}u_{y}}\{\frac {\frac x}}+{\frac {\frac {\frac \fac \fac _{yz}}}+{\frac {\frac \fac _{\fac }{\f}{\frac {\frac {\f}{\f}{\frac {\f}{{\f}{\f}}_f}{\f}z}z} z} 변형률-변위 방정식: ε i j = 1 2 ( u j , i + u i , j ) ({displaystyle \varepsilon _{ij}=black {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}) 여기서 ε i = ε j displaystyle varepsilon ij varepsilon ji 이들은 9개의 독립적인 미지의 변형과 변위에 관한 6개의 독립 방정식이다(변형 및 변위).
엔지니어링 표기법에서는 다음과 같습니다. ϵ x = ∂ u x ∂ x ϵ y = ∂ u y ∂ y ϵ z = ∂ u z ∂ z γ x y = ∂ u x ∂ y + ∂ u y ∂ x γ y z = ∂ u y ∂ z + ∂ u z ∂ y γ z x = ∂ u z ∂ x + ∂ u x ∂ z (*displaystyle {displaystyle} \ silon _ {x} = silon u _ {y} = silon u _ {y} = silon = silon u _ {z} = silon u _ {\ silon z} } = silon frac u _ { u _ { } } {}}}}}} } { } { } { } { } { } { } {\ } {\ q } } adraminterfram rtial z}+{\frac {\frac u_{z}\frac _ {\frac u_{z}}{\frac x}+{\frac u_{x}{\frac z}}\end {aligned}} 구성 방정식.후크의 법칙의 방정식은 다음과 같다. σ i j = C i j k l ε k l \displaystyle _{ij}=C_{ijkl},\varepsilon _{display} 여기 Cijk l displaystyle C_{ijkl}} 이것들은 스트레스와 스트레인에 관한 6개의 독립된 방정식이다. 응력과 변형률 텐서의 대칭성 요구로 인해 많은 탄성 상수가 동일해지고, 서로 다른 요소의 수가 21 C i j k l = C i k l = C j k = C display style _ C = jik_ik_ik}C [2] 등방성 균질 매체의 탄성 경계값 문제는 15개의 독립 방정식과 동일한 수의 미지수로 이루어진 시스템이다(3개의 평형 방정식, 6개의 변형-변위 방정식 및 6개의 구성 방정식). 경계 조건을 지정하면 경계값 문제가 완전히 정의됩니다. 시스템을 해결하기 위해 경계값 문제의 경계 조건에 따라 변위 공식 과 응력 공식 이라는 두 가지 접근법을 취할 수 있다.
원통 좌표 형태 원통 좌표( , z displaystyle theta , z [1]
∂ σ r r ∂ r + 1 r ∂ σ r θ ∂ θ + ∂ σ r z ∂ z + 1 r ( σ r r − σ θ θ ) + F r = ρ ∂ 2 u r ∂ t 2 ∂ σ r θ ∂ r + 1 r ∂ σ θ θ ∂ θ + ∂ σ θ z ∂ z + 2 r σ r θ + F θ = ρ ∂ 2 u θ ∂ t 2 ∂ σ r z ∂ r + 1 r ∂ σ θ z ∂ θ + ∂ σ z z ∂ z + 1 r σ r z + F z = ρ ∂ 2 u z ∂ t 2 {\displaystyle {displaystyle _{r}}+{\frac {1}{r}}{\frac \theta }}{\frac \theta }}}+{\frac \displaystyle _{rz}}{\frac {r}}{\frac {r}{\frac {r}} F_{r}=\rho ~{\frac{\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&,{\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{r\partial}}+{\frac{1}{r}}{\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\theta\partial}}+{\frac{\partial \sigma_{\theta z}}{z\partial}}+{\frac{2}{r}}\sigma(~{\frac{\partial ^{2}u_{\theta}}{\partial t^{2}}}\\&,{\f.rac{\pa rtial \frac _{rz}{\frac r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\theta z}}{\frac \frac _{z}}{\frac {1}{r}}+{\frac {rz}+{\frac {rz}{\frcseta z}{\f}}{\frta z}{\frta z}}}}}{\frho}}}{\f}}}}}{\f}}}}}}{\frcrc 변형-변위 관계는 다음과 같습니다. ε r r = ∂ u r ∂ r ; ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ; ε z z = ∂ u z ∂ z ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ; ε θ z = 1 2 ( ∂ u θ ∂ z + 1 r ∂ u z ∂ θ ) ; ε z r = 1 2 ( ∂ u r ∂ z + ∂ u z ∂ r ) {\displaystyle{\begin{정렬}\varepsilon _{rr}&, ={\frac{\partial u_{r}}{r\partial}}일;~~\varepsilon _{\theta\theta}={\frac{1}{r}}\left({\cfrac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}}+u_{r}\right)~, ~~\varepsilon _{zz}={\frac{\partial u_{z}}{z\partial}}\\\varepsilon _{r\theta}&, ={\frac{1}{2}}\left(}{\cfrac{1}{r}{\cfrac{\partial u_.{r}}{\pa rtial \theta }}+{\timeout u_{\theta }}{\timeout r}-{\timeout {u_{\theta}}}{r}}\right}~;~\varepsilon_{\theta z}=timeout {1}{\timeoutomac}{\ta}{\timeoutac}{\timeoutac}}{\t}}}{right}}{\tac}{\timeoutac}{\t}}}}}}{right}z} _{z}}{\sign r}}\right)\end {aligned}} 그리고 구성 관계는 데카르트 좌표와 동일하지만 지수 displaystyle ), 2(\displaystyle ), 3 (\displaystyle (\displaystyle ), §(\displaystyle \theta z (\displaystyle )
구면 좌표 형태 구면 좌표( r , {\ displaystyle theta phi } [1]
∂ σ r r ∂ r + 1 r ∂ σ r θ ∂ θ + 1 r 죄 θ ∂ σ r ϕ ∂ ϕ + 1 r ( 2 σ r r − σ θ θ − σ ϕ ϕ + σ r θ 요람 θ ) + F r = ρ ∂ 2 u r ∂ t 2 ∂ σ r θ ∂ r + 1 r ∂ σ θ θ ∂ θ + 1 r 죄 θ ∂ σ θ ϕ ∂ ϕ + 1 r [ ( σ θ θ − σ ϕ ϕ ) 요람 θ + 3 σ r θ ] + F θ = ρ ∂ 2 u θ ∂ t 2 ∂ σ r ϕ ∂ r + 1 r ∂ σ θ ϕ ∂ θ + 1 r 죄 θ ∂ σ ϕ ϕ ∂ ϕ + 1 r ( 2 σ θ ϕ 요람 θ + 3 σ r ϕ ) + F ϕ = ρ ∂ 2 u ϕ ∂ t 2 {\displaystyle {r}&{\frac {r}+{\frac {1}{r}}{\frac \theta }}{\frac {\theata }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}}{\frac {\frac {\fr}{\f}}{\f}{\frac {\frac {\t}}}{{{{{{\t}}}}}}}{{{\frchi}}}}}}{\fr F_{r}=\rho ~{\frac{\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&,{\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{r\partial}}+{\cfrac{1}{r}}{\frac{\partial \sigma_{\theta \theta}}{\theta\partial}}+{\cfrac{1}{r\sin \theta}}{\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\phi\partial}}+{\cfrac{1}{r}}경우(\sigma_{\theta \theta}-\sigma_{\phi \phi})\cot \theta. +3\s igma _{r\theta }]+ F_{\theta}=\rho ~{\frac{\partial ^{2}u_{\theta}}{\partial t^{2}}}\\&,{\frac{\partial \sigma_{r\phi}}{r\partial}}+{\cfrac{1}{r}}{\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\theta\partial}}+{\cfrac{1}{r\sin \theta}}{\frac{\partial \sigma_{\phi \phi}}{\phi\partial}}+{\cfrac{1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi}\cot\theta +3\sigma _{r\phi}.)+ F_{\phi }=\rho~{\frac {\frac ^{2}u_{\phi }}{\flac t^{2}}\end {aligned}}
물리학에서 일반적 으로 사용되는 구면 좌표(r , θ , θ )는 반경 거리 r , 극각 θ (theta ), 방위각 θ (phi )이다. 기호 of (rho )는 r 대신 자주 사용됩니다. 구면 좌표의 변형 텐서는
ε r r = ∂ u r ∂ r ε θ θ = 1 r ( ∂ u θ ∂ θ + u r ) ε ϕ ϕ = 1 r 죄 θ ( ∂ u ϕ ∂ ϕ + u r 죄 θ + u θ 왜냐하면 θ ) ε r θ = 1 2 ( 1 r ∂ u r ∂ θ + ∂ u θ ∂ r − u θ r ) ε θ ϕ = 1 2 r [ 1 죄 θ ∂ u θ ∂ ϕ + ( ∂ u ϕ ∂ θ − u ϕ 요람 θ ) ] ε r ϕ = 1 2 ( 1 r 죄 θ ∂ u r ∂ ϕ + ∂ u ϕ ∂ r − u ϕ r ) . {\displaystyle{\begin{정렬}\varepsilon _{rr}&, ={\frac{\partial u_{r}}{r\partial}}\\\varepsilon _{\theta\theta}&, ={\frac{1}{r}}\left({\frac{\partial u_{\theta}}{\partial \theta}}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi}&, ={\frac{1}{r\sin \theta}}\left({\frac{\partial u_{\phi}}{\phi\partial}}+u_{r}\sin\theta +u_{\theta}\co.s\theta \ri Ght)\\\varepsilon _{r\theta}&, ={\frac{1}{2}}\left({\frac{1}{r}}{\frac{\partial u_{r}}{\partial \theta}}와{\frac{\partial u_{\theta}}{\partial r}}-{\frac{u_{\theta}}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi}&, ={\frac{1}{2r}}\left는 경우에는{\frac{1}{\sin \theta}}{\frac{\partial u_{\theta}}{\phi\partial}}+\left(}{\frac{\partial u_{\phi}{\p.\artial theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right]\ \\varepsilon _{r\phi }&=frac {1}{2}}\left\frac {1}{r\sin \theta}}{\frac u_{r}{\frac \phi }}+{\frac u_{\phi }}-{\fracu}}{\frcrcr}}}}{{{{\f}}}}}}}}}}}}}}}{\fracu}}}}}}}}}}}}{\fracu \end { aligned}}
(An) 등방성 (in) 동종 미디어 등방성 매체에서 강성 텐서는 응력(내부 응력)과 변형(변형) 사이의 관계를 제공합니다.등방성 매체의 경우, 강성 텐서는 선호하는 방향이 없다. 즉, 힘을 가하는 방향과 상관없이 힘을 가하면 동일한 변위(힘의 방향에 상대적인)가 주어진다. 등방성의 경우 강성 텐서는 다음과 같이 쓸 [citation needed 수 있다.
C i j k l = K δ i j δ k l + μ ( δ i k δ j l + δ i l δ j k − 2 3 δ i j δ k l ) ({displaystyle C_{ijkl}=K,\delta_{ij},\delta_{ij},\delta_{incl}+\mu,\display_{jl}+\display_{il}-{tfrac{2}{3}},\display_{ijk}) 여기서 δ j displaystyle delta _{ 델타 , K 는 벌크 계수(또는 비압축성), {\displaystyle } 2개의 탄성 계수입니다. 매체가 불균일할 경우 매체가 부분적으로 일정하거나 약하게 불균일할 경우 등방성 모델이 합리적이다.강력 불균일 평활 모델에서는 이방성을 고려해야 한다. 매질이 균질할 경우 탄성모듈리는 매질 내의 위치와 독립적입니다. 구성 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있다. σ i j = K δ i j ε k k + 2 μ ( ε i j − 1 3 δ i j ε k k ) . \displaystyle _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}})\displaystyle _{ij}\varepsilon _{k}\varepsilon _{k}\right}. }
이 표현식은 응력을 왼쪽의 스칼라 부분과 오른쪽의 트레이스리스 부분으로 구분하여 스칼라 압력과 관련지어집니다. 간단한 표현은 다음과 같습니다.[3] [4]
σ i j = λ δ i j ε k k + 2 μ ε i j \displaystyle _{ij}=\displayda _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij} 여기서 is은 Lamé의 첫 번째 파라미터입니다. 구성 방정식은 단순히 선형 방정식의 집합이기 때문에 스트레인은 다음과 같이 [5] ε i j = 1 9 K δ i j σ k k + 1 2 μ ( σ i j − 1 3 δ i j σ k k ) {\displaystyle \varepsilon _{ij}=black {1}{9K}}\delta _{ij}+{\flac {1}{2\mu}}}\left(\tfrac {1}{3}}\displaystyle _{ij}\frac {{ij}}\flack {{9K}) 왼쪽에는 스칼라 부분이 있고 오른쪽에는 흔적 없는 전단 부분이 있습니다. 간단히 말하면: ε i j = 1 2 μ σ i j − ν E δ i j σ k k = 1 E [ ( 1 + ν ) σ i j − ν δ i j σ k k ] {\displaystyle \varepsilon _{ij}=black {1}{2\mu}}}\delta _{ij}-{\flac {nu}=black {1}{E}{ij}[(1+\nu)\flac {nu}\flac {nu}_delta}_{ij} 여기 {\ displaystyle \nu } 포아송의 비율 이고 E displaystyle } 영 계수 입니다.
탄성학 탄성학은 탄성체에 가해지는 모든 힘이 0이 되고 변위는 시간의 함수가 아닌 평형 조건 하에서 선형 탄성을 연구하는 학문이다. 평형 방정식은 다음과 같습니다.
σ j i , j + F i = 0. \displaystyle _{ji,j}+ F_{i}=0. } 공학 표기법에서 (전단 응력으로 타우 를 사용)
∂ σ x ∂ x + ∂ τ y x ∂ y + ∂ τ z x ∂ z + F x = 0 (\displaystyle\frac_{x}}+{\frac_{yx}}+{\frac\frac_{zx}}{\frac z}}+F_{x}=0}) ∂ τ x y ∂ x + ∂ σ y ∂ y + ∂ τ z y ∂ z + F y = 0 (\displaystyle\frac_{xy}+{\frac_{y}}+{\frac_frac_{zy}}+ F_{y}=0} ∂ τ x z ∂ x + ∂ τ y z ∂ y + ∂ σ z ∂ z + F z = 0 {\displaystyle {\frac _{xz}}+{\frac _{yz}}+{\frac \frac _{z}}{\frac z}}+F_{z}=0} 이 섹션에서는 등방성 균질 사례만 설명합니다.
변위 공식 이 경우, 경계내의 모든 장소에 변위가 규정됩니다. 이 접근법에서는 변형률과 응력이 공식에서 제거되어 변위는 지배 방정식에서 풀어야 할 미지의 것으로 남는다. 먼저 변형-변위 방정식을 구성 방정식(Hooke의 법칙)으로 대체하여 알 수 없는 변형률을 제거합니다.
σ i j = λ δ i j ε k k + 2 μ ε i j = λ δ i j u k , k + μ ( u i , j + u j , i ) . \displaystyle _{ij}=\displayda _{ij}\varepsilon _{kk}+mu \varepsilon _{ij}=\displayda \mu _{ij}u_{k,k}+mu \left(u_{i,i}\right) } ({displaystyle\lambda} displaystyle }) σ i j , j = λ u k , k i + μ ( u i , j j + u j , i j ) . \displaystyle _{ij,j}=\displayda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,filen}+u_{j,ij}\오른쪽). } 평형 방정식에 대입하면 다음과 같은 결과가 나온다. λ u k , k i + μ ( u i , j j + u j , i j ) + F i = 0 {\displaystyle \{k,ki}+\mu \left(u_{i,ki}+u_{j,ij}\right)+ F_{i}=0} 또는 (슈바르츠 정리에 따라 j,j 및 교환 지수 ij to, ji에 의한 k,k 지수 k,k를 곱한 값) μ u i , j j + ( μ + λ ) u j , j i + F i = 0 \displaystyle \mu u_{i,ji}+(\displayda)u_{j,ji}+ F_{i}=0} 여기 {\(\displaystyle lambda) 및 displaystyle \mu) Lamé 파라미터 입니다.이렇게 해서 남은 유일한 미지수는 변위이며, 따라서 이 공식의 이름은 다음과 같습니다. 이러한 방식으로 얻어진 지배 방정식은 탄성 방정식이라고 불리며, 아래에 제시된 나비에-카우치 방정식의 특수한 경우입니다.
변위장이 계산되면 변위는 변형률-변위 방정식으로 대체하여 변형률에 대해 해결할 수 있으며, 이는 나중에 응력을 해결하기 위한 구성 방정식에 사용됩니다.
은 다음과 쓸 수 .
) 2 − 2 ) u j , i j + 2 u i , m m = − F i . \displaystyle (\alpha^{2}-\display^{2}u_{i,mm}=-F_{i}u_{j,ij}+\display^{2}u_{i}}})
정적 탄성 방정식의 양쪽의 차이 를 취하여 체력이 0의 발산(영역에서 동질)이라고 가정하면(Fi, i = 0 (\displaystyle F_{i,i 0
) 2 − 2 ) u j , i i j + 2 u i , i m m = 0. \displaystyle (\alpha ^{2}-\display ^{2}u_{i,imm}=0). }
일치할 는 없고 도함수가 에 유의하여 두 과 같이 됩니다
2 u j , i i j = 0 displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0} 여기서 우리는 다음과 같이 결론짓는다. u j , i i j = 0. ({displaystyle u_{j,ij}=0). }
정적 탄성 방정식의 양변에 대한 라플라시안 값을 취하여 Fi, k = 0 displaystyle F_{i,kk 0 더한다고
) 2 − 2 ) u j , k k i j + 2 u i , k k m m = 0. \displaystyle (\alpha ^{2}-\display ^{2}u_{i,kkmm}=0). }
의 첫 항은: 다시 한 번, 됩니다).0입니다.
2 u i , k k m m = 0 displaystyle ^{2}u_{i,kkmm}=0} 여기서 우리는 다음과 같이 결론짓는다. u i , k k m m = 0 }{\displaystyle u_{i,kkmm}=0} 또는 좌표 자유 표기법 θ 4 u = displaystyle \ displayla ^{4}\mathbf {u} =0} displaystyle mathbf \,!} 바이하모닉 방정식입니다.
이 경우 표면 경계의 모든 곳에 표면 트랜잭션이 규정됩니다. 이 접근법에서는 변형과 변위가 제거되어 지배 방정식에서 풀어야 할 미지의 것으로서 응력이 남습니다. 응력장이 발견되면 구성 방정식을 사용하여 균주를 찾습니다.
결정해야 하는 응력 텐서에는 6개의 독립된 성분이 있지만, 변위 공식에서는 결정해야 하는 변위 벡터의 구성요소는 3개뿐이다. 이는 자유도를 3으로 줄이기 위해 응력 텐서에 가해야 하는 몇 가지 제약이 있음을 의미합니다. 구성 방정식을 사용하여 이러한 제약조건은 스트레인 텐서에 대해 유지되어야 하는 해당 제약조건에서 직접 도출되며, 이 또한 6개의 독립된 구성요소를 가진다. 변형률 텐서의 제약조건은 변위 벡터장의 함수로 변형률 텐서의 정의에서 직접 도출할 수 있으며, 이는 이러한 제약조건이 새로운 개념이나 정보를 도입하지 않음을 의미한다. 가장 쉽게 이해할 수 있는 것은 변형률 텐서의 제약 조건이다. 탄성매체가 변형되지 않은 상태에서 무한소입방체 세트로 시각화되면 매체가 변형된 후 임의의 변형텐서는 왜곡된 입방체가 겹치지 않고 서로 맞는 상황을 만들어내야 한다. 즉, 주어진 변형률에 대하여 변형률 텐서를 도출할 수 있는 연속 벡터장(변위)이 존재해야 한다. 이러한 경우를 확인하기 위해 필요한 변형률 텐서의 제약은 세인트 베낭에 의해 발견되었으며, "세인트 베낭 호환성 방정식 "이라고 불립니다. 이들은 81개의 방정식으로 구성되어 있으며, 그 중 6개는 서로 다른 변형 성분과 관련된 독립적인 비삼차 방정식입니다. 이들은 인덱스 표기법으로 다음과 같이 표현됩니다.
ε i j , k m + ε k m , i j − ε i k , j m − ε j m , i k = 0. \displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0. } 엔지니어링 표기법에서는 다음과 같습니다. ∂ 2 ϵ x ∂ y 2 + ∂ 2 ϵ y ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ x y ∂ x ∂ y ∂ 2 ϵ y ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ y 2 = 2 ∂ 2 ϵ y z ∂ y ∂ z ∂ 2 ϵ x ∂ z 2 + ∂ 2 ϵ z ∂ x 2 = 2 ∂ 2 ϵ z x ∂ z ∂ x ∂ 2 ϵ x ∂ y ∂ z = ∂ ∂ x ) − ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) ∂ 2 ϵ y ∂ z ∂ x = ∂ ∂ y ) ∂ ϵ y z ∂ x − ∂ ϵ z x ∂ y + ∂ ϵ x y ∂ z ) ∂ 2 ϵ z ∂ x ∂ y = ∂ ∂ z ) ∂ ϵ y z ∂ x + ∂ ϵ z x ∂ y − ∂ ϵ x y ∂ z ) {\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partial y^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partialx\partial y}}\\&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon_{yz.}}{\part {\displaystyle{displaystyle}&,{\fraccamble ^{2}\fraccamble ^{2}+{\fraccamble ^{y}}{\fraccamble ^{2}=2\fraccamble ^{x}{\frac}\fraccracble ^{\frac} }}{\partialy\partial z}}\\&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partial z^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{z\partial는 관세 감축\partial}}\\&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partialy\partial z}}={\frac{\partial}{x\partial}}\left(-{\frac{\partial \epsilon_{yz}}{x\partial}}+{년.frac{\p Artial\Ialy\partial z}}\\&, ,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{\partial z^{2}}}+{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{관세감축\partialz\partial는}}\\&, ,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{)}}{z\partialy\partial}}={\frac{\partial}{x\partial}}\left(-{\frac{\partial \epsilon_{yz}}{x\partial}}와{\frac{년.p. \ 엡실론 _{zx}{\frac y}+{\frac\frac\frac_{xy}{\fracz}}\오른쪽)\\&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{y}}{z\partial는 관세 감축\partial}}={\frac{\partial}{이\partial}}{\frac{\frac z\fracy}=frac{z\frac}{\fra \left({\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x}}-{\frac{\partial \epsilon_{zx}}{y}\partial}와{\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}}\right)\\frac.c는 y} \frac{\frac)}{\frac)}-{\frac z\frac}}{z\frac}}+{z\frac}}{\fracy}\\&,{\frac{\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partialx\partial y}}={\frac{\partial}{z\partial}}\left({\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x}}와{\frac{\partial \epsilon_{zx}}{y}\partial}-{\frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}}\right)\end{정렬}}}\\frac{\frac{\fr.교류) \frac y=frac {frac z}\frac {frac x} + {frac z} - {frac \frac z}
이 방정식의 변형은 구성 방정식을 사용하여 응력의 관점에서 표현되며, 이는 응력 텐서에 해당하는 구속조건을 산출한다. 응력 텐서의 이러한 제약은 벨트라미-미셸 호환성 방정식으로 알려져 있다.
σ i j , k k + 1 1 + ν σ k k , i j + F i , j + F j , i + ν 1 − ν δ i , j F k , k = 0. _ {1 _{kk \sigma _{ij}+{\frac {1}{1+\nu}\sigma _{k,}}\ {k,i} F_{j,i}+{\frac {nu }{1-\nu }}}\param _{i,j}F_{k,k}=0. } 체력이 균일한 특수한 상황에서 위의 방정식은 다음과 같이 감소한다[6] ) 1 + ν ) σ i j , k k + σ k k , i j = 0. {\displaystyle (1+\nu)\display_{ij,kk}+\display_{kkk,ij}=0. }
이 상황에서 호환성이 필요하지만 불충분한 조건은 = 0 displaystyle boldsymbol boldsymbol {0}} = i j k ℓ = displaystyle _ ij , kk \ ell [1]
이러한 제약조건은 평형 방정식(또는 탄성역학의 운동 방정식)과 함께 응력 텐서장을 계산할 수 있습니다. 이들 방정식에서 응력장이 계산되면 구성방정식에서 응력장을, 변형변위방정식에서 변위장을 구할 수 있다.
대안 솔루션 기법은 응력 텐서를 평형 방정식에 대한 해답을 자동으로 산출하는 응력 함수의 관점 에서 표현하는 것이다. 그런 다음 응력 함수는 호환성 방정식에 해당하는 단일 미분 방정식을 따릅니다.
Thomson - 톰슨 Navier-Cauchy 또는 Elastostic 방정식의 가장 중요한 해는 무한 등방성 매체의 한 점에서 작용하는 힘에 대한 해이다. 이 해법은 1848년 윌리엄 톰슨 (나중에 켈빈 경)에 의해 발견 되었다. 이 해는 정전학 에서 쿨롱의 법칙 과 유사하다. Landau & Lifshitz에서 [7] : §8 정의
a = 1 − 2 ν a}{\displaystyle a=1-2\nu} b = 2 ) 1 − ν ) = a + 1 b)=}{\displaystyle b=2(1-\nu)=a+1} 여기서 displaystyle \nu) u i = G i k F k {\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k 여기 F (\ displaystyle F_{k}) 벡터 Gi displaystyle G_{ik}) 좌표로 다음 과 같이 기록될 수 있는 텐서 그린의 함수 이다. G i k = 1 4 π μ r ) 1 − 1 2 b ) δ i k + 1 2 b x i x k r 2 ik}{ \ rleftleft{1 {}{right}\displaystyleflflflfrac {{{{{\}}}\}\flight}\flfrac{{\fflight}\flight}
과 같이 하게 쓸 도 있습니다.
G i k = 1 4 π μ δ i k r − 1 2 b ∂ 2 r ∂ x i ∂ x k {\rightdisplaystyle g_1}{fr} 다음과 같이 명시할 수 있다. G i k = 1 4 π μ r 1 − 1 2 b + 1 2 b x 2 r 2 1 2 b x y r 2 1 2 b x z r 2 1 2 b y x r 2 1 − 1 2 b + 1 2 b y 2 r 2 1 2 b y z r 2 1 2 b z x r 2 1 2 b z y r 2 1 − 1 2 b + 1 2 b z 2 r 2 교류{zx}{r^{2}}}& 류{ { zx } { ^ { 2} } & { \frac { { { \ frac { { { { { { { \ frac } }
원통 , , z displaystyle \rho phi \!
G i k = 1 4 π μ r 1 − 1 2 b z 2 r 2 0 1 2 b ρ z r 2 0 1 − 1 2 b 0 1 2 b z ρ r 2 0 1 − 1 2 b ρ 2 r 2 {\displaystyle G_{ik}={\frac{1}{4\pi\mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac{1}{2b}}{\frac{{2z^}}{r^{2}}}&0&,{\frac{1}{2b}}{\frac{\rho z}{r^{2}}}\\0&, 1-{\frac{1}{2b}}&0\\{\frac{1}{2b}}{\frac{z\rho}{r^{2}}}&0&, 1-{\frac{1}{2b}}{\frac{\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}({displaystyle G_{ik}=pic frac{1}{\pi \mu r}}{\frac{1}{2b}}.{\frac{{2z^}}{r^{2}}}&0 &{\frac {1}{2b}}{\frac {rcr}{\mu r^{\}{\frc}}{\frc}}{\frac {\frc}}}{\frc}}}}{\frac {\frc}}}}}{\frc}}} 여기 서 r은 포인트까지의 총 거리입니다.
특히 z축을 따라 향하는 점력 F displaystyle F_{z}} ^({ displaystyle\boldsymbol\rho}}) z({ displaystyle \ rho}}) 각각 displaystyle \ rho })
u = F z 4 π μ r 1 4 ) 1 − ν ) ρ z r 2 ρ ^ + ) 1 − 1 4 ) 1 − ν ) ρ 2 r 2 ) z ^ \ {u { r}} \[ { \{ 4 （ - \ } } } } { \ { \ { rho } } + \ ( right(\mathbf {z}}}\right}
힘의 방향으로의 변위 성분이 존재함을 알 수 있으며, 이는 정전기의 전위처럼 큰 r 의 경우 1/r 로 감소한다. 또, 「」지향의 컴포넌트도 있습니다.
– - – Cerruti - Cerruti - b b b b b b b b b b b b b b 。 또 다른 유용한 해법은 무한 반공간의 표면에 작용하는 점력의 해법이다. 이것은 법선력에 대해서는 Bousinesq에[8] [7] : §8 이 경우, 용액은 무한대로 0이 되는 그린의 텐서로 다시 쓰여지고 표면에 수직인 응력 텐서의 성분이 사라진다. 이 해는 데카르트 좌표로 [주: a=(1-2µ) 및 b=2(1-199), θ = Poissons 비율]로 표시될 수 있다.
G i k = 1 4 π μ b r + x 2 r 3 − a x 2 r ) r + z ) 2 − a z r ) r + z ) x y r 3 − a x y r ) r + z ) 2 x z r 3 − a x r ) r + z ) y x r 3 − a y x r ) r + z ) 2 b r + y 2 r 3 − a y 2 r ) r + z ) 2 − a z r ) r + z ) y z r 3 − a y r ) r + z ) z x r 3 − a x r ) r + z ) z y r 3 − a y r ) r + z ) b r + z 2 r 3 {\displaystyle G_{ik}={\frac{1}{4\pi \mu}}{\begin{bmatrix}{\frac{b}{r}}+{\frac{{2x^}}{r^{3}}}-{\frac{{2ax^}}{r ᆨ ^{2}}}-{\frac{az}{r ᆩ}}&{\frac{xy}{r^{3}}}-{\frac{axy}{r ᆪ ^{2 ᆫ}-{\frac{라머 반경}{r}{r}}-{\frac{rac{r}{r}{r}{r}{r}{r}{r}}}{r}}{r}}}}}.}}}} {\frac {}}}} {\}}&{\frac{xz}{r^{3}}-{\frac{도끼}{r ᆨ}}\{\frac{yx}{r^{3}}-{\frac{ayx}{r ᆩ ^2}}}}&{\frac{b}{r}}+{\frac{{2y^}}{r^{3}}}-{\frac{{2ay^}}{r ᆪ ^{2}}}-{\frac{az}{r ᆫ}}&{\frac{yz}{r^{3}}}-{\frac{아아!}{r ᆬ}}\\{\frac{zx}{r^{3}}}-{\frac{도끼}{r ᆭ}}&{\frac{zy}{r^{3}}}-{\frac{아아!}{r(r+z)}}&{\frac{b}{r}}+{\frac{{2z^}}{.r^{3}}}\end{bmatrix} }}}}}&{\frac {b}+{\frac {y^{2}}-{\frac {az}-{\frac {r+z}}-{\frac {yz}{r^3}-{\frac {rc}{rc}-{r^}}}-{\frac {rac {rc}}}}-{yz}}}}}-{r}}}}}-{rclac {y}}}}}}-{r}-{rc}-{r}-}-}-{r}-}-{
에 이 섹션 에서는 더 많은 원리와 각 파형의 간단한 설명을 포함한 확장이 필요 합니다. 여기 추가함 으로써 도움이 될 수 있습니다. (talk) ( 2010년 9월
탄성역학은 탄성파의 연구 로 시간의 변화에 따른 선형 탄성을 수반한다. 탄성파 는 탄성 또는 점탄성 물질로 전파되는 일종 의 기계파입니다.소재의 탄성이 파도의 복원력 을 제공합니다. 그것들 이 지진이나 다른 교란으로 인해 지구 에서 발생할 때, 탄성파는 보통 지진파라고 불린다 .
항이 입니다.
σ j i , j + F i = ρ u ¨ i = ρ ∂ t t u i . displaystyle _{ji,j}+ F_{i}=\rho,\dot {u}_{i}=\rho,\dot _{tt}u_{i}. }
재료가 이방성 훅의 법칙에 의해 지배된다면(재료 전체에 걸쳐 동일한 강성 텐서로), 탄성역학의 변위 방정식 을 얻을 수 있다.
) C i j k l u ) k , l ) ) , j + F i = ρ u ¨ i . \displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k,_{l)}\right,_{j}+F_{i}=\rho {dot {u}}_{i}. }
소재가 등방성이고 균일한 경우 Navier-Cauchy 방정식을 구한다.
μ u i , j j + ) μ + λ ) u j , i j + F i = ρ ∂ t t u i or or or openicle. μ ∇ 2 u + ) μ + λ ) ∇ ) ∇ ⋅ u ) + F = ρ ∂ 2 u ∂ t 2 . \mu u_{i,ij}+(\displayda)u_{j,ij}+ F_{i}=\rho \cd_{i}\cdla ^{2}\mathbf {u} +(\cdot \mathbf {u})\cdla(\cdot \mathbf { u})=\rfr {f}}
방정식은 '탄성파 '으로수.
) δ k l ∂ t t − A k l ∇ ) u l = 1 ρ F k style _displaystyle \left(\displaystyle _{tA_{kl}[\nab]\fright)u_{l}=frac { 어디에 A k l ∇ = 1 ρ ∂ i C i k l j ∂ j _{displaystyle A_{kl}[\nabl]=slogfrac {1}{\rho}, _i},\partial {i}, 는 음향차동연산자이며 k l displaystyle \delta {kl} Kronecker 델타입니다.
등방성 매체에서 강성 텐서는 다음과 같은 형태를 가진다.
C i j k l = K δ i j δ k l + μ ) δ i k δ j l + δ i l δ j k − 2 3 δ i j δ k l ) C_{,\delta_{ij{display}){iyledisplay_{ 여기 (\displaystyle ) 벌크 계수 (또는 비압축성), displaystyle \mu) 2개의 탄성 계수인 전단 계수 (또는 강성)입니다.소재가 균일한 경우(즉, 재료 전체에 걸쳐 강성 텐서가 일정함), 음향 연산자는 다음과 같이 됩니다. A i j ∇ = 2 ∂ i ∂ j + 2 ) ∂ m ∂ m δ i j − ∂ i ∂ j ) ^{_{2}(\_{ _displaystyle A_{ij}[\nabla\display ^2}
평면파의 경우 위의 미분 연산자는 음향 대수 연산자가 된다.
A i j k = 2 k i k j + 2 ) k m k m δ i j − k i k j ) ^{ style A_{mathbf {k}^{2}(k_{m})\displaystyle A_{ijij}[\mathbf {k}^2} 어디에 2 = ) K + 4 3 μ ) / ρ 2 = μ / ρ ^{}\^{2}=\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {3}\mu\right)/\rho=\mu ^2} \ad2 A k ] displaystyle hat mathbf } {\ displaystyle k displaystyle \ mathbf { k 관련된 파동을 종파 및 전단 탄성파라고 합니다. 지진학 문헌에서는 대응하는 평면파를 P파, S파라고 부른다(지진파 참조).
에 지배 방정식에서 변위 및 변형을 제거 하면[11] 이그나크작 방정식 으로 이어집니다.
) ρ − 1 σ ) i k , k ) , j ) − S i j k l σ ¨ k l + ) ρ − 1 F ) i ) , j ) = 0. \displaystyle \left(\rho ^{-1}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {dhot }_{ikl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j}=0). }
등방성의, 은 소소등등 、 음음음음음음음음음음음 in in in로 감소한다.
) ρ − 1 σ ) i k , k ) , j ) − 1 2 μ ) σ ¨ i j − λ 3 λ + 2 μ σ ¨ k k δ i j ) + ) ρ − 1 F ) i ) , j ) = 0. {\displaystyle \left(\rho ^{-1}\flac,_{ j}}-{\frac\dot {2\mu}-{3\frho}+2\mu}-{\ frac\frac {k}}-{\ frac}
(1)의 경우, (1)의 경우, (2)의 경우, (2)의 경우, (3)의 경우, (4)의 경우 , (3)의 경우, (6) 다양한 유형의 상호작용 장(비탄성, 유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체-유체
균질 이방성 매체의 경우 강성 텐서 Ci j k display style {ijkl}} 응력 텐서 δ j displaystyle \sigma {ij} 마찬가지로 스트레인텐서 δi (\ displaystyle\varepsilon_{ij 강성텐서 Ci k l displaystyle C_{ijkl}) 매트릭스 Cαβ displaystyle C_{\ beta}) Voigt 표기법은 텐서 지수에 대한 표준 매핑이다.
i j = ⇓ = 11 22 33 23 , 32 13 , 31 12 , 21 ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ 1 2 3 4 5 6 {\displaystyle{\begin{행렬}ij&, =\\\Downarrow&\\\alpha&=\end{매트릭스}}{\begin{행렬}11&, 22&, 33&, 23,32&, 13,31&, 12,21\\\Downarrow&.\Downarrow&\Downarrow&\Downarrow&\Downarrow&\Downarrow&\\1&, 2&, 3&, 4&, 5&, 6\end{매트릭스}}}(\displaystyle{{행렬 시작}ij&\\\\\ downarrow&\)\\\알파&=)끝{매트릭스}11&33&23,32및>13,31및;12,21년)\)d 자신의 화살과 1열 아래 노를 저어
과 같이 쓸 수 .
C i j k l ⇒ C = C 11 C 12 C 13 C 14 C 15 C 16 C 12 C 22 C 23 C 24 C 25 C 26 C 13 C 23 C 33 C 34 C 35 C 36 C 14 C 24 C 34 C 44 C 45 C 46 C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 56 C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 . {\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta}={\begin{bmatrix}C_{11}&을 말한다.C_{12}&.C_{13}&.C_{14}&.C_{15}&.C_{16}\\C_{12}&.C_{22}&.C_{23}&.C_{24}&.C_{25}&.C_{26}\\C_{13}&.C_{23}&.C_{33}&.C_{34}&.C_{35}&.C_{36}\\C_{14}&.C_{24}&.C_{34}&.C_{44}&, C_{45}&, C_{46}\\C_{15}&.C_{25}&.C_{35}&, C_{45}&.C_{55}&.C_{56}\\C_{16}&.C_{26}&.C_{36}&, C_{46}&.C_{56}&.C_{66}\end{bmatrix}}. \displaystyle C_{ijkl}\rightarrow C_{\alpha \beta}=\begin{bmatrix}C_{11}&&;;;;;; C_{12}& C_{13}& C_{14}& C_{15}& C_{16}\\C_{12}& C_{22}& C_{23}& C_{24}& C_{25}& C_{26}\\C_{13}& C_{23}& C_{33)& C_{34}& C_{35}& C_{36}\\C_{14}& C_{24}& C_{34}& C_{44}&, C_{45}&, C_{46}\C_{15}&. C_{25}& C_{35}&, C_{45}&. C_{55}& C_{56)\\C_{16}& C_{26}& C_{36}&, C_{46}&. C_{56)& C_{66)\end {bmatrix}. }
행렬 C α displaystyle C_{\alpha \display}} θij = θij displaystyle \display_{ij} θifrac display }{\partial \varepsilon {ij Cαβ (\ displaystyle C_{\alpha beta },\!)
등방성 특수 케이스에는 2개의 독립된 요소가 있습니다.
C α β = [ K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 K − 2 μ / 3 0 0 0 K − 2 μ / 3 K − 2 μ / 3 K + 4 μ / 3 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ 0 0 0 0 0 0 μ ] . {\displaystyle C_{\alpha)}={\begin{bmatrix}K+4\mu\와 같이 /3&, K-2\mu)/3&, K-2\mu)/3&, 0&, 0&, 0\\K-2\mu)/3&, K+4\mu)/3&, K-2\mu)/3&, 0&, 0&, 0\\K-2\mu)/3&, K-2\mu)/3&, K+4\mu)/3&, 0&, 0&, 0\\0&, 0&, 0&, \mu)&0&, 0\\0&, 0&, 0&, 0&, \mu)&0\\0&, 0&, 0&, 0&, 0&,\mu\. \end{bmatrix}}. }
가장 단순한 이방성 케이스인 입방정대칭은 3개의 독립된 요소를 가진다.
C α β = [ C 11 C 12 C 12 0 0 0 C 12 C 11 C 12 0 0 0 C 12 C 12 C 11 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 ] . {\displaystyle C_{\alpha \display}=begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{12}&0&0&0\\ C_{12}&C_{11}&C_{12}&0&0&0\ C_{12}&C_{12}&{11}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0\0&0&C_{44}&0&C_{44}&0&C_{44}\end{brix}}. }
(대칭의 단일 축(3축)을 가진) 극성 이방성이라고도 하는 횡방향 등방성의 경우 , 5개의 독립된 요소가 있다.
C α β = [ C 11 C 11 − 2 C 66 C 13 0 0 0 C 11 − 2 C 66 C 11 C 13 0 0 0 C 13 C 13 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 66 ] . \displaystyle C_{\alpha \display}=begin{bmatrix}C_{11}-2C_{66)&C_{13}&0&0&0\\ C_{11}-2C_{66)&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\ C_{13}&C_{13}&{33)&0&0&0\\0&0&C_{44}&0\0&0&C_{44}&0\0&0&C_{66)\end{brix}. }
횡방향 등방성이 약할 경우(즉 등방성에 가까운 경우), 톰슨 매개변수를 이용한 대체 매개변수화가 파속 공식에 편리하다.
직교성(벽돌 대칭)의 경우 9개의 독립 요소가 있습니다.
C α β = [ C 11 C 12 C 13 0 0 0 C 12 C 22 C 23 0 0 0 C 13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C 44 0 0 0 0 0 0 C 55 0 0 0 0 0 0 C 66 ] . {\displaystyle C_{\alpha \display}=begin{bmatrix}C_{11}&C_{13}&0&0&0\\ C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\ C_{13}&C_{23}&C_{33)&0&0&0\0&0&C_{44}&0&0\0&0&C_{55}&0\0&0&C_{66)\end{matrix}. }
탄성역학 이방성 매체에 대한 탄성역학적 파동 방정식은 다음과 같이 표현될 수 있다.
( δ k l ∂ t t − A k l [ ∇ ] ) u l = 1 ρ F k {\displaystyle(\displaystyle_{t}\display_{kl}[\nabla]), u_{l}=displayfrac {1}{\rho}}}F_{k}} 어디에 A k l [ ∇ ] = 1 ρ ∂ i C i k l j ∂ j {\displaystyle A_{kl}[\nabla]=syslogfrac {1}{\rho}},\syslog _{i},C_{iklj},\partial _{j} 는 음향차동연산자이며 k l displaystyle \delta {kl} Kronecker 델타입니다.
평면파와 크리스토펠 방정식 평면파는 다음 과 같은 형태를 가지고 있다.
u [ x , t ] = U [ k ⋅ x − ω t ] u ^ \displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,,t] = U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\Omega \,t],{\hat \mathbf {u} } 단위 길이의 u ^(\ displaystyle\mathbf {u}) 지정 § 2 displaystyle \obega 2}} 및 ^\ displaystyle hat {mathbf {u}}} 대수 연산자의 고유값/eigenvector 쌍을 구성하는 A k l [ k ] = 1 ρ k i C i k l j k j . {\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k}}=sqfrac {1}{\rho}},k_{i},C_{iklj},k_{j}. } 이 전파 조건(크리스토펠 방정식이라고도 함)은 다음과 같이 기술될 수 있다. A [ k ^ ] u ^ = c 2 u ^ {\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k}}}, {\hat {\mathbf {u}}}=c^{2}, {\hat {\mathbf {u}}} 여기 = k k ⋅ k displaystyle {\hat k}} cdot \ mathbf {k}} 나타내며 c = cdisplaystyle ope {\mathbf {k} cd}
「 」를 참조해 주세요. 레퍼런스 ^ a b c d e 도살, W.S., (2002년) 선형 탄성 이론 , Birkhauser.^ Belen'kii; Salaev (1988). "Deformation effects in layer crystals". Uspekhi Fizicheskikh Nauk . 155 (5): 89–127. doi :10.3367/UFNr.0155.198805c.0089 . ^ Aki, Keiiti ; Richards, Paul G. (2002). Quantitative Seismology (2 ed.). Sausalito, California: University Science Books.^ 엔지니어를 위한 Continuum Mechanics 2001 Mase, Eq. 5.12-2 ^ Sommerfeld, Arnold (1964). Mechanics of Deformable Bodies . New York: Academic Press.^ a b tribonet (2017-02-16). "Elastic Deformation" . Tribology . Retrieved 2017-02-16 . ^ a b Landau, L.D. ; Lifshitz, E. M. (1986). Theory of Elasticity (3rd ed.). Oxford, England: Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2633-X ^ Boussinesq, Joseph (1885). Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques ^ Mindlin, R. D. (1936). "Force at a point in the interior of a semi-infinite solid" . Physics . 7 (5): 195–202. Bibcode :1936Physi...7..195M . doi :10.1063/1.1745385 . Archived from the original on September 23, 2017.^ Hertz, Heinrich (1882). "Contact between solid elastic bodies". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 92 .^ Ostoja-Starzewski, M., (2018), 탄성역학의 이그나크작 방정식 , 고체의 수학과 역학.doi : 10.1177/1081286518757284
![{\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723da856c3591d5b6d338a054450eafcda8054bc)
단위 부피당 본체력, 
질량 밀도
2차 텐서의 내적(반복 지수에 대한 합계가 함축됨)이다. 
약어입니다.({
강성 텐서입니다.이것들은 스트레스와 스트레인에 관한 6개의 독립된 방정식이다.응력과 변형률 텐서의 대칭성 요구로 인해 많은 탄성 상수가 동일해지고, 서로 다른 요소의 수가 21 
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeff6e05d12be13c23e0e9934f192af0cdfd89d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa90ca80dd65296f4517746b485f85f251972d8)
![{\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fe88a3285b79201e7c5ce6006f71f213e5f3469)
고려됩니다.변형률-변위 방정식을 x
평형 방정식에 대입하면
대해 동일한 절차를 따릅니다
, 이는
.
지점에 적용되는 힘 
데카르트 ![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09318d1a5bbc2480ee34601e06a2b2919c15e1ee)
![{\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01709be91fa16951f8daa978ef6627be53d4c36)
대한 변위를 원통형 좌표로 쓰는 것이 좋습니다.
![{\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8431e9c95967db2d6c8f563b9c016da98fd55e0c)
![[icon]](/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small}
![{\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2164a9d2877536a28ad8a729396ded783ba7e3)
![{\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2076a92b96baea73708b16ae9523f010d2b627a)
![{\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec4cdf746891ffeabe2766c264491c3ba7d0db2)
![{\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb65c8cd57f9fa2e0c81565b2d2009683f2b4a47)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293081d36ba89658f43c20a9427f9f933d848eef)
대칭은 최대 6개의 다른 응력 요소가 있음을 의미합니다.마찬가지로 스트레인텐서 
![{\displaystyle (\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ])\,u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbe7fafcbea8b562114cd763d58898eb23475713)
![{\displaystyle \mathbf {u} [\mathbf {x} ,\,t]=U[\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t]\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6956e3d78df705544527732eb4688c2ba0afbb07)
![{\displaystyle A_{kl}[\mathbf {k} ]={\frac {1}{\rho }}\,k_{i}\,C_{iklj}\,k_{j}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97692acb27e756074f8ffd93856db2ff758817b1)
![{\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]\,{\hat {\mathbf {u} }}=c^{2}\,{\hat {\mathbf {u} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb51b8efe978661f7d4c2005e7b60cef76bebfc6)
전파 방향을 
