탕전위 4각형

유클리드 기하학에서, 전 탕전위 4각형은 4면체의 확장이 4면 바깥쪽의 원과 접하는 볼록한 4각형이다.^[1] 그것은 또한 외삽형 사각형이라고도 불린다.^[2] 원은 excircle, 반지름은 exradius, 중심은 excenter(그림에서 E)라고 한다. 중심은 6개의 각 이등분선의 교차점에 있다. 이것들은 두 정점 각도의 내부 각도 이등분자, 다른 두 정점 각도의 외부 각도 이등분자(보조 각도 이등분자), 그리고 반대편의 확장이 교차하는 각도의 외부 각도 이등분자들이다(이 6개 중 4개가 점선 세그먼트인 오른쪽 그림 참조). 전 탕전위 4각형은 (사면이 원에 접하는) 탕전위 4각형과 밀접하게 관련되어 있다.

또 다른 이름은 생략된 원이지만,^[3] 그 이름은 볼록한 사각형의 한 면에 접하는 원과 인접한 두 면의 확장에 사용되기도 한다. 그런 맥락에서 볼록한 사변측정감시자들은 모두 4개의 에스크립트 원을 가지고 있지만, 기껏해야 1개의 외피를 가질 수 있다.^[4]

특례

연은 전위적 사변측정감시법의 예다. 평행사변형(정사각형, rhombi, 직사각형 포함)은 다음 섹션에서 특성을 만족하므로 무한 엑라디우스가 있는 외부 접선 사분면 측정법으로 간주할 수 있지만, excircle은 (평행이므로) 반대편의 두 쌍의 확장에 모두 접선할 수 없다.^[4] 측면 길이가 산술적 진행을 형성하는 볼록 사변측정감시계는 인접 측면 길이에 대해 아래의 특성을 만족하기 때문에 항상 접선성이 없다.

특성화

볼록한 4각형은 6개의 동시 각 이등분자가 있는 경우에만 전위적이다. 이것들은 두 개의 반대 정점 각도의 내부 각도 이등분자, 다른 두 개의 정점 각도의 외부 각도 이등분자, 그리고 반대편의 확장이 교차하는 각도의 외부 각도 이등분자들이다.^[4]

계산의 목적상, 보다 유용한 특성은 인접한 두 변의 합이 다른 두 변의 합과 같을 경우에만 연속 변 a, b, c, d가 있는 볼록한 사각형이 전전위적이라는 것이다. 이것은 두 가지 다른 방법으로 가능하다.

$(\displaystyle a+b=c+d}$

또는

${\daystyle a+d=b+c.}$

이것은 1846년 야콥 스타이너에 의해 증명되었다.^[5] 첫 번째 경우, excircle은 정점 A 또는 C 중 가장 큰 정점 A 또는 C의 바깥쪽에 있는 반면, 두 번째 경우에는 정점 B 또는 D의 바깥쪽에 있다. 단, 정사각형 ABCD의 옆면이 a = AB, b = BC, c = CD, d = DA. 측면에 대한 이러한 특성을 결합하는 방법은 차이점의 절대값이다.두 쌍의 반대편에서 반대편 사이의 렌즈는 같다.^[4]

$(\displaystyle a-c = b-d .}$

이 방정식은 접선 사분면 측정의 피토 정리와 밀접하게 관련되어 있는데, 이 경우 반대편의 합은 반대편의 두 쌍에 대해 동일하다.

우르쿠하트의 정리

볼록한 사각형 ABCD의 반대쪽이 E와 F에서 교차하는 경우

$(\displaystyle AB+)BC=AD+DC\quad \왼쪽 화살표 \quad AE+EC=AF+FC.}$

오른쪽의 함의는 1841년 아우구스투스 드 모건에 의해 오래 전에 증명되었음에도 불구하고 L. M. 우르쿠하트(1902–1966)의 이름을 따서 명명되었다. 다니엘 페도는 직선과 거리만을 고려하여 유클리드 기하학에서 가장 기본적인 정리라고 이름지었다.^[6] 사실 등가성이 있다는 것은 모와팍 하지자에 의해 증명되었는데,^[6] 이것은 오른쪽의 평등을 또 하나의 필요조건으로 만들어 사면이 전위적이 되도록 한다.

접선 사각형과의 비교

접선 사변측정감시(표 왼쪽 열)의 메트릭 특성 중 몇 가지는 아래 표에서 볼 수 있듯이 전위 사변측정감시(표 가운데와 오른쪽 열)와 매우 유사한 상대 열이다.^[4] 따라서 볼록한 사각형에는 아래의 5가지 필요충분조건 중 하나라도 충족되는 경우에만 적절한 꼭지점(기둥에 따라 다름) 밖에 있는 근골이나 외근이 있다.

근친상간	A 또는 C 외부 환경	B 또는 D 외부 환경
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{2}=R_{3}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}+R_{4}=R_{2}+R_{3}}$
${\displaystyle agh+cef=beh+dfg}$	${\displaystyle agh+beh=cef+dfg}$	${\displaystyle agh+dfg=beh+cef}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}+{\frac {1}{3}}}={\frac {1}{h_{2}}+{\frac {1}{1}{4}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}+{\frac {1}{1}{1}{2}}:}={\frac {1}{h_{3}}+{\frac {1}{1}{4}}}}}}}}}}}}}}}$	${\displaystyle {\frac{1}{h_{1}}+{\frac{1}{1}{4}}}={\frac {1}{h_}}+{\frac{1}{3}}}}}}}}}}}}$
${\displaystyle \tan{\frac {x}{2}}:\frac {z}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}:\tan {\frac {w}{2}}:}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}\tan {w}{2}}=\tan {\frac {y}{2}}\tan {\frac {z}{2}}}$	${\displaystyle \tan {\frac {x}{2}}:\frac {y}{2}}=\tan {\frac {z}{2}}:\tan {\frac {w}{2}}:}$
${\displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}}}$	${\displaystyle R_{a}R_{b}=R_{c}R_{d}}}$	${\displaystyle R_{a}R_{d}=R_{b}R_{c}}}}$

이 표의 표기법은 다음과 같다. 볼록 네모꼴의 엘리스에서 P.L, R2, R3,에서 대각선 교차하는 삼각형 동맥 혈압, 바이트 제어 프로토콜, CDP, DAP에 R은 circumradii, P= AB, b)BC, c)CD, d)을 양쪽으로에서 h1, h2, h3, h4 있는 고도 DA각각 같은 삼각형 네개 A, B, C, D는 각각 vertices P에서 e, f, g, h는 거리, x, y, z, w은.각도 ABD, ADB, BDC, DBC 각각과_a R_b, R, R, R은_cd 각각 면 a, b, c, d에 접하는 원 내 반지름이며 각 면에 대해 인접한 두 면의 확장이다.

면적

면 a, b, c, d가 면적을 갖는 탕전위 4각형 ABCD

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}\sin {\frac {B+D}{2}.}$

이것은 접선 사각형의 면적에 대한 공식과 동일한 공식이며 또한 같은 방식으로 브레츠니더의 공식에서 파생된다는 점에 유의한다.

엑라디우스

연속된 면이 a, b, c, d인 전 탕전위 사각형의 외경(exradius)은 다음과 같이^[4] 주어진다.

${\displaystyle r={\frac {K}{a-c }={\frac {K}{b-d }}}}$

여기서 K는 4각형의 영역이다. 주어진 면이 있는 외부 접선 사각형의 경우, 4각형도 순환할 때(따라서 이전 4각형) 최대가 된다. 이 공식들은 왜 모든 평행그램들이 무한한 외반경을 가지고 있는지를 설명해준다.

외이방사방형

만약 전 탕전위 4각형도 원주를 가지고 있다면, 전 탕전위 4각형이라고 불린다.^[1] 그 다음, 두 개의 반대되는 보조 각도를 가지기 때문에, 그것의 면적은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle \displaystyle K={\sqrt {abcd}}}$

이등분 4각형도 마찬가지야

x가 원곡선과 원곡선 사이의 거리인 경우^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{{(R-x)^{2}}+{\frac {1}{(R+x)^{2}}}={\frac{1}{r^{2}},}$

여기서 R과 r은 각각 회음부 및 외음부이다. 이것은 2등방정자에 대한 Rougs의 정리와 같은 방정식이다. 그러나 x를 위해 풀 때 우리는 2차 방정식에 비해 전 2차 방정식의 다른 뿌리를 선택해야 한다. 그러므로, 전 생물학자를 위해^[1]

${\displaystyle x={\sqrt {R^{2}+r^{2}+r^{2}+r}\sqrt {4R^{2}+r^{2}}}}}}.}$

이 공식으로부터 그것은 다음과 같다.

${\displaystyle \displaystyle x>R+r,}$

그 말은 원곡선과 외피가 절대 서로 교차할 수 없다는 뜻이지

참고 항목

• 전체 사분면
• 주기 4각형

참조