로렌츠 군

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

물리학과 수학에서 로렌츠 그룹은 모든 (비중력) 물리적 현상에 대한 고전적 및 양자적 설정인 민코프스키 스페이스타임의 모든 로렌츠 변환의 그룹이다. 로렌츠 그룹은 네덜란드 물리학자 헨드릭 로렌츠의 이름을 따서 지어졌다.

예를 들어 다음과 같은 법칙, 방정식, 이론은 로렌츠 대칭을 존중한다.

• 특수상대성이론의 운동학적 법칙
• 전자석 이론에서 맥스웰의 장 방정식
• 전자 이론의 디락 방정식
• 입자물리학의 표준모형

로렌츠 그룹은 알려진 자연의 모든 기본 법칙의 공간과 시간의 근본적인 대칭을 표현한다. 일반상대성물리학에서 중력분산이 무시할 수 있는 충분한 공간적 영역을 포함하는 경우, 물리적 법칙은 특수상대성물리학과 동일한 방식으로 로렌츠 불변성이다.

기본 속성

로렌츠 그룹은 푸앵카레 그룹의 하위그룹으로, 민코프스키 스페이스타임의 모든 등각류 그룹이다. 로렌츠 변환은 정확히, 기원을 고정시킨 채 그대로 두는 등각형이다. 따라서 로렌츠 그룹은 민코프스키 스페이스타임의 등위계 그룹의 동위원소 하위그룹이다. 이 때문에 로렌츠 그룹은 동종 로렌츠 그룹이라고 부르기도 하고, 푸앵카레 그룹은 동종 로렌츠 그룹이라고 부르기도 한다. 로렌츠 변환은 선형 변환의 예로서, 민코프스키 스페이스타임의 일반적인 등각 변환은 아핀 변환이다. 수학적으로 로렌츠 그룹은 2차 형태를 보존하는 매트릭스 Lie 그룹인 무한직교 그룹 O(1,3)로 설명할 수 있다.

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}:$

R에⁴. 이 2차 형태는 매트릭스 형태(고전 직교 그룹 참조)에 놓였을 때 물리학에서 민코프스키 스페이스타임의 미터법 텐서(metric tensor)로 해석된다.

로렌츠 그룹은 연결되지 않은 6차원 비컴팩트 비아벨리안 리얼 리 그룹이다. 연결된 4개의 구성 요소는 단순히 연결되지 않는다.^[1] 로렌츠 그룹의 아이덴티티 컴포넌트(즉, 아이덴티티 요소를 포함하는 컴포넌트)는 그 자체가 하나의 그룹이며, 종종 제한된 로렌츠 그룹이라고 불리며 SO⁺(1,3)로 표기된다. 제한된 로렌츠 그룹은 공간의 방향과 시간의 방향을 보존하는 로렌츠 변환으로 구성된다. 그것의 기본 그룹은 순서 2를 가지고 있고, 그것의 범용 커버인 무한 스핀 그룹 스핀(1,3)은 특수 선형 그룹 SL(2, C)과 공통 그룹 Sp(2, C) 모두에 이형이다. 이러한 이형성들은 로렌츠 그룹이 물리학에 중요한 많은 수의 수학 구조, 특히 스피너에 대해 활동할 수 있게 한다. 따라서 상대론적 양자역학과 양자장 이론에서는 SO⁺(1,3)가 그것의 구체적인 표현(벡터 표현)이라는 이해와 함께 SL(2, C)을 로렌츠 그룹이라고 부르는 것이 매우 일반적이다. 기하 대수학에서 인기 있는 바이쿼터니온은 SL(2, C)에 대해서도 이형이다.

제한된 로렌츠 그룹도 특정한 일반적인 미분 방정식의 점 대칭 그룹으로 발생한다.^[which?]

연결된 구성 요소

Lie 그룹이기 때문에 로렌츠 그룹 O(1,3)는 둘 다 그룹이고 매끄러운 다지관으로서의 위상학적 설명을 인정한다. 다지관으로서, 4개의 연결된 구성 요소를 가지고 있다. 직관적으로, 이것은 위상학적으로 분리된 4개의 조각으로 구성되어 있다는 것을 의미한다.

연결된 4개의 구성요소는 해당 구성요소의 두 가지 변환 속성으로 분류할 수 있다.

• 예를 들어, 어떤 원소들은 시간의 경과에 따라 로렌츠 변환에서 역전된다. 예를 들어, 미래지점화 시간 벡터는 과거지점화 벡터로 반전될 것이다.
• 일부 원소는 부적절한 로렌츠 변환에 의해 방향을 반대로 하여 방향을 바꾼다. 예를 들어, 특정 비어베인(테트라드)

시간의 방향을 보존하는 로렌츠 변환을 직교라고 한다. 직교 변환의 부분군은 종종⁺ O(1,3)로 표시된다. 방향을 유지하는 것을 적정하다고 하며, 선형 변환으로서 결정인자 +1을 가진다.(부적절한 로렌츠 변환은 결정인자 -1을 가진다.) 적절한 로렌츠 변환의 부분군은 SO(1,3)로 표시된다.

시간의 방향과 방향을 모두 보존하는 모든 로렌츠 변환의 하위 그룹은 적절한 직교 로렌츠 그룹 또는 제한된 로렌츠 그룹이라고 불리며, SO⁺(1, 3)으로 표시된다. (주: 일부 저자는 실제로 SO⁺(1,3)를 의미할 때 SO(1,3) 또는 O(1,3)를 참조한다는 점에 유의한다.

연결된 4개의 구성요소의 집합은 클라인 4개 그룹에 이형인 지수 그룹 O(1,3)/SO⁺(1,3)로 그룹 구조를 부여할 수 있다. O(1,3)의 모든 원소는 적절한 직교 변환의 반간접적 산물이며 이산 그룹의 원소로 쓸 수 있다.

{1, P, T, PT}

여기서 P와 T는 패리티 및 시간 역전 연산자:

P = diag(1, −1, −1, −1)

T = diag(-1, 1, 1, 1)

따라서 임의의 로렌츠 변환은 추가로 2비트의 정보와 함께 적절한 직교 로렌츠 변환으로 지정될 수 있으며, 이 변환은 네 개의 연결된 구성요소 중 하나를 선택한다. 이 패턴은 유한차원 거짓말 그룹의 전형이다.

제한된 로렌츠 그룹

제한된 로렌츠 그룹은 로렌츠 그룹의 아이덴티티 성분으로, 그룹에 놓여 있는 연속적인 곡선에 의해 아이덴티티에 연결될 수 있는 모든 로렌츠 변환으로 구성됨을 의미한다. 제한된 로렌츠 그룹은 동일한 차원을 가진 전체 로렌츠 그룹의 연결된 정상 부분군이며, 이 경우 치수 6이 있다.

제한된 로렌츠 그룹은 일반적인 공간 회전과 로렌츠 부스트(시간과 같은 방향을 포함하는 쌍곡선 공간의 회전)에 의해 생성된다. 모든 적절한 직교 로렌츠 변환은 회전(실제 매개변수 3개로 지정)과 부스트(실제 매개변수 3개로 지정)의 산물로 기록될 수 있으므로 임의의 적절한 직교 로렌츠 변환을 지정하려면 6개의 실제 매개변수가 필요하다. 이것이 왜 제한된 로렌츠 그룹이 6차원인지 이해할 수 있는 한 방법이다. (로렌츠 그룹의 리 대수도 참조)

모든 회전 세트는 일반 회전 그룹 SO(3)에 대해 Lie 하위 그룹 이형성을 형성한다. 그러나 모든 부스트 세트는 부스트를 두 개 구성하면 일반적으로 또 다른 부스트를 얻을 수 없기 때문에 하위 그룹을 형성하지 않는다. (따라서, 비색 부스트 한 쌍은 부스트와 회전에 해당하며, 이것은 토마스 로테이션과 관련이 있다.) 어떤 방향의 부스트 또는 어떤 축을 중심으로 회전하면 1-모수 부분군이 생성된다.

Transitivity의 표면

If a group G acts on a space V, then a surface S ⊂ V is a surface of transitivity if S is invariant under G, i.e., ∀g ∈ G, ∀s ∈ S: gs ∈ S , and for any two points s₁, s₂ ∈ S there is a g ∈ G such that gs₁ = s₂. By definition of the Lorentz group, it preserves the quadratic form

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

직교 로렌츠 그룹 O⁺(1, 3), Q(x) = const. 스페이스타임은 다음과 같다.^[3]

• Q(x) > 0, x₀ > 0은 두 장의 하이퍼볼로이드의 위쪽 가지다. 이 시트의 점들은 미래 시간 같은 벡터에 의해 원점에서 분리된다.
• Q(x) > 0, x₀ < 0은 이 하이퍼볼로이드의 하부 분기다. 이 시트의 포인트는 과거와 같은 벡터다.
• Q(x) = 0, x₀ > 0은 라이트 콘의 위쪽 가지, 미래 라이트 콘이다.
• Q(x) = 0, x₀ < 0은 라이트 콘의 하부 분지, 과거 라이트 콘이다.
• Q(x) < 0은 한 시트의 하이퍼볼로이드다. 이 시트의 점들은 원점에서 분리된 공간과 같다.
• 원점 x₀ = x₁ = x₂ = x = 0₃.

이러한 표면은 3차원적이어서 영상이 충실하지 않지만 O⁺(1, 2)에 대한 해당 사실에 충실하다. 전체 로렌츠 그룹의 경우, 변환 T가 하이퍼볼로이드(코네)의 위쪽 분기를 아래쪽 분기로 가져가고 그 반대쪽 분기를 만들기 때문에, 전이성의 표면은 4개밖에 되지 않는다.

이러한 관찰은 유도 표현 방법을 사용하여 사실 푸앵카레 그룹의 로렌츠 그룹의 모든 무한 차원 단일 표현을 찾는데 좋은 출발점을 구성한다.^[4] 하나는 "표준 벡터"로 시작하는데, 이는 각 전이성 표면마다 하나씩이다. 그리고 나서 어떤 부분군이 이러한 벡터를 보존하는지 묻는다. 이들 하위 그룹은 물리학자에 의해 작은 집단이라고 불린다. 그러면 문제는 근본적으로 작은 집단의 대표성을 찾는 쉬운 문제로 축소된다. 예를 들어, 두 장의 하이퍼볼라 중 하나의 표준 벡터는 (m, 0, 0, 0)으로 적절하게 선택할 수 있다. 각 m ≠ 0에 대해 벡터는 정확히 하나의 시트를 뚫는다. 이 경우 작은 그룹은 모두 표현을 알 수 있는 회전 그룹인 SO(3)이다. 입자가 변환하는 정확한 무한 차원 단일 표현은 그 분류의 일부분이다. 모든 표현이 물리적 입자에 해당할 수 있는 것은 아니다(알고 있는 한). 단시트의 하이퍼볼라의 표준 벡터는 타키온에 해당할 것이다. 라이트콘의 입자는 광자, 그리고 더 가정적으로 그라비톤이다. 기원에 해당하는 "입자"는 진공이다.

동형성 및 이형성

대수구조 → 그룹 이론 집단 이론
기본 개념 부분군 정규 부분군 지수군 (세미-)직접 생산물 집단동형성 알맹이 이미지 직합 화환제품 소박한 유한한 무한의 연속의 승수의 첨가제의 순환의 아벨의 강하제의 무광의 해결할 수 있는 액션 집단 이론 용어집 그룹 이론 주제 목록
유한군 유한단순군 분류 순환의 교대로 거짓말형 산발적인 코치의 정리 라그랑주의 정리 실로우의 정리 홀의 정리 p그룹 초등 아벨 군 프로베니우스 군 슈르 승수 대칭군n S 클라인 4그룹 V 디헤드랄군n D 쿼터니온 그룹 Q 다사이클릭 그룹 Dicn
이산형 그룹 선반 정수(${\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 자유군 모듈 그룹 PSL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) SL(2, $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ $\}$ ) 산술군 격자 쌍곡군
위상학 및 눕기 그룹 솔레노이드 원 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 유클리드 E(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 로렌츠 푸앵카레 컨포멀 차이점형성 루프 무한 치수 리 그룹 오(∞) SU(수) Sp(()
대수군 선형대수군 환원군 아벨 품종 타원곡선
v t

다른 여러 그룹은 제한된 로렌츠 그룹 SO⁺(1, 3)에 대해 동형 또는 이형이다. 이러한 동형체들은 물리학의 다양한 현상을 설명하는 데 핵심적인 역할을 한다.

• 특수 선형 그룹 SL(2,C)은 제한된 로렌츠 그룹의 이중 커버다. 이 관계는 디락 방정식의 로렌츠 불변성과 스피너의 공분산을 표현하는 데 널리 사용된다.
• 공감 그룹 Sp(2,C)는 SL(2,C)과 이형이며, Weyl Spinter를 제작하는 데 사용되며, 스피너가 질량을 가질 수 있는 방법을 설명하는 데 사용된다.
• 스핀 그룹 스핀(1,3)은 SL(2,C)과 이형체인데, 클리포드 대수적 관점에서 스핀과 스피너를 설명하는 데 사용되므로, 슈퍼중력 이론과 끈 이론을 포함한 리만 기하학에서 로렌츠 그룹을 일반적인 설정으로 일반화하는 방법을 명확히 한다.
• 제한된 로렌츠 그룹은 투영 특수 선형 그룹 PSL(2,C)에 이형이며, 이는 리만 구에 있는 등정 기하학의 대칭 그룹인 뫼비우스 그룹에 이형이다. 이 관계는 뫼비우스 집단을 위해 개발된 이전의 분류 체계에 따라 로렌츠 집단의 하위집단을 분류하는 데 중심적이다.

Weyl

Weyl 표현 또는 스피너 맵은 SL(2,C)에서 SO⁺(1,3)에 이르는 한 쌍의 허탈적 동형상이다. 이들은 패리티 변환에서 일치 쌍을 형성하며, 이는 왼쪽과 오른쪽 치랄 스피너에 해당한다.

밍코프스키의 스페이스타임에 대해 SL(2,C)의 동작을 그 형태에 2x2의 에르미트 매트릭스로써 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\overline{X}={\begin{bmatrix}ct+z&x-iy\\x+iy&z-end{bmatrix}=ct1\!\!1+x\htma _{x}+y\htma _{y}+z\htma _{z}=ct1\!\!1+{\vec{x}}\cdot {\vec{\becma }}$

Pauli 행렬의 면면상 이 프레젠테이션, Weyl 프레젠테이션은 만족한다.

${\displaystyle \det \,{\overline {X}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

따라서 에르미트 행렬의 결정요인이 민코프스키 스페이스타임의 해당 벡터의 제곱 길이인 방식으로 민코프스키 스페이스(4차원, 실제 벡터 공간)와 에르미트 매트릭스의 공간을 식별했다. 요소 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle }$C${\displaystyle }$) ${\displaystyle S\in SL(2,\mathb {C})$은 다음을 통해 은둔자의 행렬 공간에 작용한다$$.

${\displaystyle {\overline{X}\mapsto S{\overline {X}S^{\daugger },}$

여기서 $†{\$은 S ${\displaystyle S}$의 은둔자 전치.$$이 작용은 결정 인자를 보존하므로 SL(2,C)은 (선형) 등위계에 의해 Minkowski spacetime에 작용한다. 위의 패리티 반전 형식은

$X=ct1\!\!1-{\vec{x}}\cdot {\vec{\becma}}$

로 변신하는.

${\displaystyle X\mapsto (S^{-1})^{\dager }XS^{-1}$

이것이 올바른 변화라는 것은 다음과 같은 것을 주목함으로써 나타난다.

${\displaystyle {\x}X=(c^{2}t^{2}-{2}-{\vec}\cdot {\vec{\vec{x}}1\!\(c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}1}1\!\!1}$

위의 변환 쌍에 따라 변하지 않는 상태로 유지된다.

이러한 지도는 허탈적이며, 어느 한 지도에 대한 커널은 두 요소 부분군 ±I이다. 첫 번째 이형성 정리에서는 지수군 PSL(2,C) = SL(2,C) / {±I}이(가) SO⁺(1,3)에 이형성이다.

패리티 맵은 이 두 커버링을 교환한다. 그것은 S ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle 2\mathbb{}}$,${\displaystyle \mathrm{C}}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle SL (2,\mathb {C}$ )의 자동형성으로서 은둔자의 결합에 해당한다$.$ 이 두$$ 개의 뚜렷한 커버링은 스피너에 대한 로렌츠 그룹의 두 개의 뚜렷한 키랄 작용에 해당한다. The non-overlined form corresponds to right-handed spinors transforming as ${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}~,}$ while the overline form corresponds to left-handed spinors transforming as ${\displaystyle \psi _{L}\mapsto (S^{\dagger })^{-1}\psi _{L}~.}$^[a]

이 덮개 쌍은 정량화에서 살아남지 못한다는 것을 관찰하는 것이 중요하다. 정량화되면, 이는 치랄 변칙의 특이한 현상을 초래한다. 로렌츠 그룹의 고전적(즉, 비정량화) 대칭은 정량화에 의해 깨진다. 이것이 아티야-싱어 지수 정리의 내용이다.

논설 규약

In physics, it is conventional to denote a Lorentz transformation ${\displaystyle \Lambda \in SO^{+}(1,3)}$ as ${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }~,}$ thus showing the matrix with spacetime indexes ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3.}$ A four-vector can be created from the Pauli matrices in two different ways: as ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ and as ${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }})~.}$$$ 이 두 양식은 패리티 변환에 의해 관련된다. $\sigma {\displaystyle {\stackrel{}{}\mu }_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mu }^{}.{}^{}}$ ${\displaystyle {\sigma$ }}$_{\mu }=\sigma ^{\mu }~}}$에 유의하십시오.

Given a Lorentz transformation ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }~,}$ the double-covering of the orthochronous Lorentz group by ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ given above can be written as

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

$x{\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 떨어뜨리면 형태가 된다.

${\displaystyle {\sigma }{\\mu }{\lambda ^{\mu }}{\nu }=S{\no }}}{\sigma }}}}{\nu }S^{\doger }}}}}}}}}}}}}}}$

패리티 결합 형태는

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\lambda ^{\mu }}{\nu }=(S^{-1})^{\dager }\sigma _{\nu }S^{-1}:{-1}$

증명

위의 형식이 색인화된 표기법에 대한 올바른 형태라는 것은, 부분적으로는 색인화된 표기법으로 작업할 때 로렌츠 변환과 그것의 역변환 또는 전치환자를 혼동하는 것이 상당히 쉽기 때문에, 즉시 명백하지 않다. 이 혼동은 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\eta }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= =${\displaystyle 1^{}}$ -$$1 {\$displaystyle \eta \eta \{T$}\eta =\$lambda$^{-$1}$가 색인 형태로 작성되었을 때 인식하기 어렵기$$ 때문에 발생한다. 로렌츠 변환은 로렌츠 변환에서 텐서가 아니다! 따라서 이 정체성에 대한 직접적인 증거는 정확성을 확립하는 데 유용하다. 아이덴티티로 시작해서 증명할 수 있다.

${\displaystyle \sigma ^{k}\omega ^{1}=-(\sigma ^{k})^{T}=-(\sigma ^{k}^{*}}}}}}}$

여기서 $k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$2,${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle k=1,2,3}$ 따라서$$ 위의 내용은 일반적인 Pauli 행렬과 ( and) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$$T}}$은 전치 행렬이고, (${\displaystyle {}^{}\cdot }$ $){\$은 복합 결합이다. 매트릭스 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega}$은(는)

${\displaystyle \omega =i\bma _{2}={\bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

4개의 벡터로 쓰여, 그 관계는

$\displaystyle \ \ma _{\mu }^{T}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega{\overline {\sigma }}}{\mu }\omega ^{-1}$

이것은 로 변환된다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\sigma _{\mu}^{T}{\Lambda ^{\mu}}_{\nu}&, =\omega{\overline{\sigma}}_{\mu}\omega ^{)}{\Lambda ^{\mu}}_{\nu}\\&, =\omega S\,{\overline{\sigma}}_{\nu}\,S^{\dagger}\omega ^{)}\\&, =(\omega S\omega ^{-1})\,(\omega{\overline{\sigma}}_{\nu}\omega ^{-1})\,(\omega S^{\dagger}\omega ^{-1})\\&, =(S^{.-1})^{T}\,\sigma _{\nu }^{T}\, (S^{-1})^{*}\end{aigned}}}}}$

전치물을 한 번 더 복용하면 한 번 더 복용하게 된다.

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\lambda ^{\mu }}{\nu }=(S^{-1})^{\dager }\sigma _{\nu }S^{-1}:{-1}$

동정군

sp(2,C)는 SL(2,C)과 이형이다. 이러한 이형성은 C ${\displaystyle {}^{}}$,$${\$displaystyle \mathb {C}$^{$2},$ 즉 형식을$$ 로렌츠 변환 아래 불변성으로 남기기 위해 구성된다. 이것은 다음과 같이 표현될 수 있다. 공감대 그룹은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle Sp(2,\mathb {C} )=\{S\in GL(2,\mathb {C}):S^{T}\omega S=\omega \}}$

어디에

${\displaystyle \omega =i\bma _{2}={\bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

다른 일반적인 명칭은 ${\displaystyle \Omega }$ =${\displaystyle }$= ${\displaystyle \omega =\epsilon }$ 이 요소에 대해$$, 때때로 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$이 사용되기도$$ 하지만, 이것은 그들이 다르게 변하기 때문에 거의 동일하지 않은, 거의 복잡한 구조에 대한 개념과 혼동을 불러 일으킨다.

한 쌍의 Weyl 스피너(2개 구성 요소 스피너) 제공

${\displaystyle u={\displaystyle u={bmatrix}u_{1}\u_{2}\end{bmatrix}},\nd v={\nd{bmatrix}}}}}}$

불변 이선형식은 관례적으로 다음과 같이 쓰여 있다.

${\displaystyle \langle u,v\langle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{1}v_{1}=u^{1}T}\omega v}$

이 형식은 로렌츠 그룹 아래에 불변하므로 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle L}$( ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle C\mathbb{}}$)$${\$displaystyle S\in SL$(2$,\mathb {C})}$에 대해 다음이 있다.

$\displaystyle \langle Su, Sv\angle =\langle u,v\angle }$

이것은 스피너의 일종의 "scalar product"를 정의하며, 일반적으로 라그랑비아에서 로렌츠-invariant 질량 용어를 정의하는데 사용된다. 물리학에 중요한 몇 가지 주목할 만한 특성들이 있다. 하나는 $\Omega {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$= -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega ^{2}=-1},$ 따라서$$ $\Omega {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$= ${\displaystyle {}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}}$Ω =${\displaystyle }$Ω = -$$ $\omega$ \omega $^{-1}=\t}=\$doger $}=-\omega$ }이다$.$

정의 관계는 다음과 같이 기록될 수 있다.

${\displaystyle \omega S^{T}\omega^{-1}=S^{-1}$

로렌츠 그룹의 정의 관계와 매우 유사함

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}$

여기서 $\eta {\displaystyle }$= d ${\displaystyle \mathrm{i}}$ a ${\displaystyle \mathrm{g}}$(${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)$은 Minkowski 공간에 대한 미터법 텐서이며$$ 물론 $before$ ${\displaystyle \in }$ S ${\displaystyle O}$(${\displaystyle 1}$, 3)${\displaysty \Lamda \in SO(1$,3) $이전).$

커버링 그룹

SL(2,C)은 간단히 연결되기 때문에 제한된 로렌츠 그룹 SO⁺(1, 3)의 범용 커버 그룹이다. 제한에 의해 동형상 SU(2) → SO(3)가 있다. 여기서 단위규격 쿼터니온의 그룹에 이형성이 있는 특수 유니터리 그룹 SU(2)도 간단히 연결되므로 회전 그룹 SO(3)의 커버 그룹이다. 이 커버링 맵 각각은 커버링 그룹 맵의 두 요소를 정확히 각 지수 요소에 적용한다는 의미에서 두 개의 커버로 되어 있다. 어떤 사람은 종종 제한된 로렌츠 그룹과 회전 그룹이 이중으로 연결되어 있다고 말한다. 이는 각 집단의 기본 집단이 2-elecyclic 그룹 Z에₂ 대해 이형성이라는 것을 의미한다.

2중 커버는 스핀 그룹의 특징이다. 정말, 이중 커버 외에도

스핀⁺(1, 3) = SL(2, C) → SO⁺(1, 3)

스핀(3) = SU(2) → SO(3)

우리는 이중 커버를 가지고 있다.

핀(1, 3) → O(1, 3)

스핀(1, 3) → SO(1, 3)

스핀⁺(1, 2) = SU(1, 1) → SO(1, 2)

이 2중 피복은 클리포드 알헤브라스에서 만들어졌다.

위상

이중 커버의 왼쪽 및 오른쪽 그룹

SU(2) → SO(3)

이중 커버에서 각각 왼쪽 및 오른쪽 그룹의 변형 수축

SL(2,C) → SO⁺(1,3).

그래서 우리는 섬유 SO(3)과 베이스 H3과 주요 섬유 다발로 제한된 로런츠 군 전시되어 그런데 등질 공간 SO+(1,3)(3)쌍곡선 3-space H3,homeomorphic 있다.반면 SO(3)3차원 실제 사영 공간 RP3에homeomorphic기 때문에 후자 R3에,homeomorphic은, 우리는 제한된 로런츠 군 lo 알 수 있다.R이³ 있는 RP의³ 산물에 대한 cally homopphyic. 기지 공간은 수축이 가능하기 때문에, 이것은 세계적인 동질성으로 확장될 수 있다.^{[clarification needed]}

부스트 및 회전 생성기

로렌츠 집단은⁴ R의 차이점형 집단의 한 부분군으로 생각할 수 있으며, 따라서 그 Lie 대수학은⁴ R의 벡터 장으로 식별할 수 있다. 특히 공간에 등각도를 생성하는 벡터는 킬링 벡터(Killing vectors)로, 리 대수 계산을 위한 좌변량 벡터장 대신 편리한 대안을 제공한다. 6개의 발전기를 써내려갈 수 있어

• R의⁴ 벡터 필드에서 세 번의 회전 iJ를 생성하며,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• R에서⁴ 세 개의 부스트 iK를 생성하는 벡터 필드,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~~,\qquad y\partial _{t}\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

(TODO: $여기$서 i ${\displaystyle i}$은(는) ... )

다음과 같은 1차 선형 부분 미분 연산자의 형태로 작성된 벡터 필드에서 1-모수 그룹을 얻는 방법을 여기서 간단히 상기하는 것이 도움이 될 수 있다.

${\displaystyle {\mathcal{L}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

해당하는 초기 값 문제($고려{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle$ r$=(x,y)}$ 스칼라 $함수$ ${\displaystyle \lambda }}$을(를$$) 해결하고${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ r${\displaystyle }$= ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \partial _{\lambda }r={\math {L}r$}r}r}r}r}r}r}r$}$r}r}r}r}r}r}r}r}.

${\displaystyle {\frac {\frac}{\frac }}}-y,\;{\frac }{\frac }{\\frac }}}=x,\;x(0)=x_{0},\y(0)=y_{0}.}$

해결책은 쓸 수 있다.

${\displaystyle x(\data )=x_{0}\cos(\da )-y_{0}\sin(\da )\;y(\da )=x_{0}\sin(\da )+{0}\cos(\da )}$

또는

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

여기서 우리는 z축에 대한 회전 지수(i i J_z)의 1-모수 행렬 그룹을 쉽게 인식한다.

그룹 파라미터 λ에 대해 차별화하고 그 결과 λ=0을 설정하여 표준 매트릭스를 복구한다.

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0&0\\\0&0&0&0\\0&0&0&0\nd{bmatrix},}$

우리가 시작했던 벡터 영역에 해당하는 거야 이것은 리 대수 원소의 행렬과 벡터장 표현 사이를 통과하는 방법을 보여준다. 지수 맵은 로렌츠 그룹뿐만 아니라 일반적으로 리 그룹에게도 이 특별한 역할을 한다.

이전 절의 절차를 거꾸로 하면, 우리의 6개 발전기에 해당하는 뫼비우스 변환은 3개의 Pauli 행렬에 각각 times/2(3개의 부스트) 또는 iθ/2(3개의 회전)를 곱한 지수에서 발생한다는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

커플러시 클래스

제한된 로렌츠 그룹 SO⁺(1, 3)는 뫼비우스 그룹 PSL(2,C)과 이형이기 때문에, 그 결합 등급도 다음과 같은 5가지 등급으로 분류된다.

• 타원 변환
• 쌍곡선 변환
• 록소드로믹 변환
• 포물선 변환
• 사소한 신분 변환

뫼비우스 변환에 관한 기사에서는, 뫼비우스 변환의 리만 구에 대한 작용에서 고정된 뫼비우스 변환을 고려함으로써, 이 분류가 어떻게 발생하는지를 설명하는데, 이것은 민코프스키 스팩타임에 작용하는 작용에서 로렌츠 변환의 제한적인 무효 에겐스페이스에 해당한다.

각 유형의 예는 그것이 생성하는 1-모수 부분군의 효과(예: 밤하늘의 모양)와 함께 아래 하위섹션에 제시되어 있다.

뫼비우스 변환은 리만 구(또는 천체)의 정합적 변환이다. 그런 다음 SL(2,C)의 임의적 요소와 결합하면 각각 임의의 타원형, 쌍곡형, 록소드롬형 및 포물선(제한된) 로렌츠 변환의 예를 얻는다. 해당 1-모수 부분군의 흐름선에 미치는 영향은 예제에서 보이는 패턴을 어떤 일치 변환에 의해 변형시키는 것이다. 예를 들어 타원형 로렌츠 변환은 천체에 뚜렷한 두 개의 고정점을 가질 수 있지만, 점은 여전히 하나의 고정점에서 다른 고정점 쪽으로 원형 호를 따라 흐른다. 다른 사례들도 비슷하다.

타원체

SL(2,C)의 타원소자는

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\tea \0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\ta}\right)\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 고정점 = = 0, ∞이 있다. X ↦ P₁ X P로₁^† 액션을 작성하고 용어를 수집하면 스피너 맵은 이것을 (제한된) 로렌츠 변환으로 변환한다.

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

이 변환은 z축 exp(iθJ_z)에 대한 회전을 나타낸다. 그것이 생성하는 1-모수 부분군은 θ을 상수 대신 실제 변수인 회전각으로 취함으로써 얻는다.

이에 상응하는 연속적인 천체 변환(정체성 제외)은 모두 북극과 남극의 두 고정점을 공유한다. 변환은 위도 원을 중심으로 다른 모든 지점을 이동하므로 이 그룹은 θ이 증가함에 따라 z축을 중심으로 시계 반대 방향으로 연속 회전한다. 스피너 맵에서 확연히 드러나는 각도가 두 배로 증가하는 것은 스피너럴 이중 커버의 특징이다.

쌍곡선

SL(2,C)의 쌍곡성 요소는

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 고정점 = = 0, ∞이 있다. 리만 구체에서 유클리드 평면으로의 입체 투영 아래, 이 뫼비우스 변환의 효과는 원점으로부터의 팽창이다.

스피너 맵은 이것을 로렌츠 변환으로 변환한다.

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

이 변환은 빠른 속도로 z축을 따라 부스트를 나타낸다. 그것이 생성하는 1-모수 부분군은 상수 대신 variable을 실제 변수로 삼아 얻는다. 이에 상응하는 연속적인 천체 변형(정체성 제외)은 모두 같은 고정점(북극성 및 남극성)을 공유하고, 다른 모든 지점을 남극에서 멀리 떨어져 북극성 쪽으로 이동시킨다.

록소드로믹

SL(2,C)의 록소드롬 요소는

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

그리고 고정점 = = 0, ∞이 있다. 스피너 맵은 이것을 로렌츠 변환으로 변환한다.

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}.}$

이것이 생성하는 1-모수 부분군은 complex+iθ을 이 복합 상수의 실제 배수로 교체하여 얻는다.(만약 η, θ이 독립적으로 변화한다면, z축을 따라 z축과 부스트에 대한 동시 회전으로 구성된 2차원 아벨리아 부분군을 얻는다. 이와 대조적으로, 여기서 논의한 1차원 부분군을 얻는다.이 2차원 부분군 원소의 sts는 회전각과 부스트의 빠른 속도가 고정비를 갖도록 한다.)

그에 상응하는 연속적인 천체 변환(정체성 제외)은 모두 같은 두 개의 고정점(북극성과 남극점)을 공유한다. 그들은 모든 다른 지점들을 남극에서 멀어지고 록소드롬이라고 불리는 곡선을 따라 북극을 향해 이동한다. 각각의 록소드롬 나선은 각 극 주위에 무한히 자주 있다.

포물선

SL(2,C)의 포물선 요소는

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\알파 \\0&1\end{bmatrix}}}$

리만 구에 단일 고정점 ξ = ∞을 가지고 있다. 입체 투영에서는 실제 축을 따라 평범한 번역으로 나타난다.

스피너 맵은 이것을 행렬로 변환한다(로렌츠 변환을 나타냄)

${\displaystyle{\begin{정렬}Q_{4}&, ={\begin{bmatrix}1+{\frac{1}{2}}\vert \alpha\vert ^{2}&,\operatorname{리}(\alpha)&,\operatorname{나는}(\alpha)&, -{\frac{1}{2}}\vert \alpha\vert ^{2}\\\operatorname{리}(\alpha)&, 1&, 0&,-\operatorname{리}(\alpha)\\-\operatorname{나는}(\alpha)&, 0&, 1&,\operatorname{나는}(.\alpha)\\{\frac{1}{2}}\vert \alpha \ve.그러나 ^{2}&,\operatorname{리}(\alpha)&,\operatorname{나는}(\alpha)&, 1-{\frac{1}{2}}\vert \alpha\vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&, =\exp{\begin{bmatrix}0&,\operatorname{리}(\alpha)&,\operatorname{나는}(\alpha)&, 0\\\operatorname{리}(\alpha)&, 0&, 0&,-\operatorname{리}(\alpha)\\-\operatorname{나는}(\alpha)&amp을 말한다.0&, 0&,\operatorname{나는}(\alpha)\\0&, \operatorname {Re}(\alpha )&\operatorname {Im}(\alpha )&0\end{bmatrix}~\end{정렬}}}$

이것은 2-모수 아벨리안 서브그룹을 생성하는데, 이는 상수가 아닌 복합 변수를 α로 고려하여 얻는다. 그에 상응하는 연속적인 천체 변형(정체성 변환 제외)은 북극에 모두 접선된 원 계열을 따라 특정 원형으로 점을 이동시킨다. 북극을 제외한 모든 지점은 이 원들을 따라 움직인다.

포물선 로렌츠 변환은 종종 null 회전이라고 불린다. 이러한 것들이 네 가지 유형의 비식별성 로렌츠 변환(엘리프틱, 쌍곡선, 록소드로믹, 포물선)에 대해 가장 덜 친숙할 가능성이 높기 때문에, 여기에 포물선 로렌츠 변환의 예가 민코프스키 스팩타임에 미치는 영향을 결정하는 방법을 설명한다.

위에 주어진 행렬은 변환을 산출한다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}+\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

이제 일반성을 상실하지 않고 임(α) = 0을 선택한다. 현재 실군 매개변수 α에 대해 이 변환을 구별하고 α=0으로 평가하면 해당 벡터 장(첫 번째 순서 선형 부분 미분 연산자)이 생성된다.

$\displaystyle x\,\좌측(\reft _{t}+\reft _{z}\우측)+(t-z)\,\display _{x}.}$

이것을 함수 f(t, x, y, z)에 적용하고 불변성을 유지하도록 요구한다. 즉, 이 변환에 의해 소멸된다. 1차 결과 선형 부분 미분 방정식의 해법은 형식으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}, 오른쪽),}$

여기서 F는 임의의 부드러운 함수다. F의 주장은 점(이벤트) 자체가 움직이지 않기 때문에 이 포물선 변환 아래에서 점(이벤트)이 어떻게 움직이는지를 기술하는 세 개의 합리적 불변자를 제시한다.

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

오른쪽의 상수에 대한 실제 값을 선택하면 세 가지 조건이 산출되며, 따라서 민코프스키 스팩타임의 곡선이 지정된다. 이 곡선은 변환의 궤도다.

합리적 불변성의 형태는 이러한 유량선(궤도)이 단순한 설명을 가지고 있음을 보여준다: 비필수 좌표 y를 억제하고, 각 궤도는 하이퍼볼로이드, t² - x²² - z = c와₃ null 평면의 교차점인 t = z + c이다₂. 사례 c₃ = 0은 하이퍼볼로이드가 가벼운 원뿔로 변질되고 궤도는 해당 null 평면에 포물선이 된다.

라이트 콘에 놓여 있는 특별한 null 선은 불변으로 남겨져 있다. 이는 위에서 언급한 리만 구체의 고유한 (이중) 고정점에 해당한다. 원점을 통과하는 다른 null 선은 변환에 의해 "콘 둘레에 스윙"된다. α 증가와 같은 하나의 null 선의 움직임을 따르는 것은 위에서 설명한 대로 천구의 원형 흐름선 중 하나를 따라 점의 움직임을 따르는 것에 해당한다.

대신 선택 Re(α) = 0은 x와 y의 역할을 서로 바꿔가며 비슷한 궤도를 생성한다.

포물선 변환은 나선성 h ≥ 1을 가진 질량이 없는 입자(광자 등)의 게이지 대칭으로 이어진다. 위의 명시적 예에서 질량 없는 입자는 z 방향으로 이동하므로 4-모멘텀 P=(p, 0, 0, p)로 동작의 "작은 그룹"에서 아래에 정의된 x-부스트 및 y-회전 조합 K_x - J에_y 의해 전혀 영향을 받지 않는다. 이는 논의된 명시적 변환 법칙에서 분명히 나타난다: 어떤 빛과 같은 벡터처럼 P 그 자체는 이제 불변, 즉 α의 모든 흔적이나 효과가 사라졌다. c₁ = c₂ = c₃ = c = 0, 논의된 특수한 경우. (또 다른 유사한_z 발전기 K_y+J와_x 그것과 J는 모두 E(2)에 이형체인 빛과 같은 벡터의 작은 그룹으로 구성된다.

밤하늘의 모습

이러한 이형성주의는 리만 구의 뫼비우스 변형이 "고정 별"에 상대적인 속도로 기동하고 있는 관찰자가 보듯이 로렌츠 변형이 밤하늘의 외관을 변화시키는 방식을 나타낸다는 결과를 가져온다.

"고정 항성"이 민코프스키 스페이스타임에 살고 있으며 천구의 점으로 모형화된다고 가정해보자. 그러면 천구의 주어진 지점은 ξ = u + iv와 연관될 수 있으며, 리만 구의 지점에 해당하는 복잡한 숫자로 민코프스키 공간에서는 null 벡터(빛과 같은 벡터)로 식별할 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}u^{2}+v^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}}}$

또는 Weyl 표현(스피너 지도)에서 은둔자 행렬(Emidantian Matrix)

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}}}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}.}$

이 null 벡터의 실제 스칼라 배수로 원점을 통한 null line이라 불리는 집합은 특정 장소와 시간(Minkowski spacetime의 원점으로 식별할 수 있는 임의적인 사건)에서 관찰자가 별과 같은 다양한 먼 물체에 이르는 시선의 선을 나타낸다. 그런 다음 천구의 점(동등하게, 시선)은 특정 은둔자 행렬과 동일시된다.

리 대수

거짓말 그룹
클래식 그룹 일반 선형 GL(n) 특수 선형 SL(n) 직교 O(n) 특수직교 SO(n) 유니터리 U(n) 특수 유니터리 SU(n) Simplectic Sp(n)
단순 리 그룹 고전적인 A을n Bn Cn Dn 예외적인 G2 F4 E6 E7 E8
기타 Lie 그룹 원 로렌츠 푸앵카레 등각군 차이점형성 루프 유클리드 주
리알헤브라스 리 그룹-리 대수 통신 지수지도 부선 표현 킬링폼 색인 누점대칭 심플리 리 대수
Semisimple Lie 대수 딘킨 도표 카르탄 아발지브라 루트 시스템 웨일 그룹 실물형태 복합화 스플릿 리 대수 콤팩트 리 대수
표현 이론 리 그룹 표현 리 대수 표현 반실현 리알헤브라의 표현 이론 고전적 거짓말 집단 표현 최고중량의 정리 보렐-윌-보트 정리
물리학에서 거짓말 집단 입자물리학 및 표현이론 로렌츠 그룹 표현 푸앵카레 집단 표현 갈릴레이 집단 표현
과학자들 소푸스 리 앙리 푸앵카레 빌헬름 킬링 엘리 카탄 헤르만 바일 클로드 슈발리 하리시찬드라 아르망 보렐
용어집 거짓말 그룹 표
v t

다른 Lie 그룹과 마찬가지로 로렌츠 그룹의 많은 측면을 연구하는 유용한 방법은 Lie 대수학을 통해서이다. 로렌츠 그룹 SO(1,3)는 매트릭스 리 그룹이기 때문에, 그 리 대수 소(1,3)는 매트릭스 대수로서 계산될^[5] 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {so} (1,3)=\left\{4\times 4\,\mathrm {matrices} \,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}}$.

{$\displaystyle \eta}$이$($가) 대각선 항목(${\displaystyle 1,}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$- $)$이 있는$$ 대각 행렬인 경우$,$ Lie 대수 o(1,$3)$은 ${\displaystyle 4}$$$^[6] ${\displaystyle \times }$ 4 ${\displaystyle 4\time$ 4} $행렬{\displaystyle }$$$$X$$$ {\$displaystysty$ X}로 구성된다$.$

${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \eta }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$ ${\$

명시적으로, 따라서(1,3)는 양식의 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ 4$\time 4}$개의$$ 행렬로 구성된다.

b c b c a d b- - e -f ) ${\$}0$&a&b&c\a&d&d&e\b&d&d&$f\c$&$e&f\$c$&$e$&f\e$&f&f\end${pmatrix

여기서 $a{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c,}$ ${\displaystyle d,}$ ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$은 임의의 실제 숫자다. 이 Lie 대수학은 6차원이다. so(1,3)의 하위골격은 ${\displaystyle a$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$및 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$이(가) 0과 같은 원소로 구성된다.

전체 로렌츠 그룹 O(1,3)와 적절한 로렌츠 그룹 SO(1,${\displaystyle 3}$) 및 적절한 직교 로렌츠 그룹 ${\displaystyle {\mathrm{S}}^{}}$ O${\displaystyle {}^{}}$+${\displaystyle {}^{}}$( 1,${\displaystyle 3}$) ${\displaystyle \mathrmat {SO} ^{+}(1,3$)이 모두$$ 동일한 리 대수(Lie 대수)를 가지고 있으며, 일반적으로 이러한 대수(1,3)로 표시된다.

로렌츠 그룹의 아이덴티티 성분은 SL(2,C)의 유한 몫에 이형성이므로(Möbius 그룹에 로렌츠 그룹의 연결에 관한 위의 절 참조), 로렌츠 그룹의 리 대수학은 리 대수 sl(2,C)에 이형성이 있다. sl(2,C)은 복잡한 Lie 대수학으로 볼 때는 3차원이지만 실제 Lie 대수학으로 볼 때는 6차원이라는 점에 유의한다.

뫼비우스 그룹의 발전기

뫼비우스 그룹에 대한 이형성을 통해 또 다른 생성 집합이 발생한다. 다음 표에는 6개의 발전기가 수록되어 있으며, 이 중 6개의 발전기가 수록되어 있다.

• 첫 번째 열은 유클리드 평면의 실제 벡터 장으로서 뫼비우스 작용(리만 구에서 입체 투영 후)에 따른 흐름의 발생기를 제공한다.
• 두 번째 열에는 뫼비우스 변환의 해당 1-모수 부분군이 표시된다.
• 세 번째 열은 로렌츠 변환의 해당 1-모수 부분군(앞의 1-모수 부분군의 동형상 아래 이미지)을 제공한다.
• 네 번째 열은 로렌츠 작용에 따른 흐름의 해당 발생기를 민코프스키 스페이스타임의 실제 벡터 필드로 제공한다.

발전기가 다음 구성 요소로 구성됨

• 포물선 두 개(Null Rotation)
• 쌍곡선 1개(∂_z방향 상승)
• 3개의 타원형(각각 x, y, z축에 대한 회전)

R의2 벡터 필드	SL(2,C)의 1-모수 부분군 뫼비우스의 변혁을 대표하여	SO의+ 1-모수 부분군(1,3) 로렌츠 변환 표현	R의4 벡터 필드
포물선
$\displaystyle \do_{u}\,\!}$	${\displaystyle {\bmatrix}1&\redit \0&1\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin}X_{1}={}&x(\partial _{t}+\partial _{z}\&(t-z)\partial _{x}\ended}}}}}}}}}$
$\displaystyle \do_{v}\,\!}$	${\displaystyle {\bmatrix}1&i\reason \\0&1\end{bmatrix}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin}X_{2}={}&y(\partial _{t}+\partial _{z}\&(t-z)\partial _{y}\ended}}}}}}}}$
쌍곡선
${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(u\ft _{u}+v\properties _{v}\오른쪽)}$	${\displaystyle {\bmatrix}\exp \leftfr\frac {\eta }{2}}\오른쪽)&#0\\exp \exp \frac{\eta }{{2}}\오른쪽)\end{bmatrix}}}}}$	${\displaystyle {\bmatrix}\cosh(\eta )&0&#\sinh(\eta)\\0&0&0&0\\\\sinh(\eta )&0&#0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
타원체
${\displaystyle {\frac {1}{1}:{2}}\왼쪽(-v\pair _{u}+u\pair _{v}\오른쪽)}$	${\displaystyle {\bmatrix}\exp \left \frac {i\theta }{2}}\right)&#0\\exp \fruck\i\theta }{2}}\오른쪽)\end{bmatrix}}}}$	${\displaystyle {\bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )&#0&#0&0&1\end{bmatrix}}}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\pair _{u}-uv\,\pair _{v}}}}$	${\displaystyle {\displaysty {\bmatrix}\cos \lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)&-\sin \leftd_fract\}\\sin \leftfr\frac {\theta }{2}}\오른쪽)&\cos \left({\frace\frac {\theta }{2}}\오른쪽)\end{bmatrix}}}}$	${\displaystyle {\bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\0&1&0\\0&#0&#0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}}}}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle ub\,\cHB _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}2}}:{2}}:\partial _{v}}}$	${\displaystyle {\bmatrix}\cos \lefts\frac {\theta }{2}}\오른쪽)&i\sin \lefts\fract\}{}{2}}\오른쪽)\i\sin \leftfr\frac {\theta }{2}}\오른쪽)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\오른쪽)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\displaystyle {bmatrix}1&0&0&#0&#1&0&0&#0&#0&\cos(\theta )\0&#0&#sin(\theta )&\cos(\ta )\end{bmatrix}}}}}}}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$

이 표에서 한 줄을 확인해보자. 시작

${\displaystyle \bmatrix _{2}={\bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.}$

지수:

${\displaystyle \exp \exp \frac {i\theta }{2}\i1},\fracma _{2}\right)={\\\pretpatrix}\cos \reftepreck\ca{}&-\sinlefte}}}\\sin \leftfr\frac {\theta }{2}}\오른쪽)&\cos \left({\frace\frac {\theta }{2}}\오른쪽)\end{bmatrix}}.}$

SL(2,C)의 이 요소는 (엘립틱) 뫼비우스 변환의 1-모수 부분군을 나타낸다.

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left \\frac {\theta }{2}}\오른쪽)\\\xi -\sin \left({\frac {\ta }{2}}\오른쪽)}}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\오른쪽)\\\xi +\cos \leftleft\fract\}}}.}$

다음

$왼쪽.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right _{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}.}$

C에 해당하는 벡터 필드(S의² 영상으로서 스테레오 투영)는 다음과 같다.

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}:\,\cHB _{\xi }}$

$\xi {\displaystyle }$ =${\displaystyle u}$+ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \xi =u+iv$ 이것은 R의² 벡터 필드가 된다.

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}:\,\filename _{u}-uv\,\filename _{v}.}$

SL(2,C)의 요소로 돌아가 $작용{\displaystyle }$ X ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {}^{}}$ P$†{\dapsto PX^{\dager}}$을(를) 작성하고 용어를$$ 수집하면 스피너 맵 아래의 이미지가 SO⁺(1,3)의 요소임을 알 수 있다.

${\displaystyle {\bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\0&1&0\\0&#0&#0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

θ=0에서 θ과 관련하여 구별하며, R에⁴ 해당하는 벡터장을 산출한다.

${\displaystyle z\board _{x}-x\board _{z}\,\!}$

이것은 분명히 y축에 대한 반시계방향 회전의 발생원이다.

로렌츠 그룹의 부분군

로렌츠 그룹의 Lie 대수학 아발게브라는 열거할 수 있으며, 여기서부터 제한된 로렌츠 그룹의 폐쇄된 하위집단을 열거할 수 있는 결합까지 열거할 수 있다. (자세한 내용은 아래 인용한 홀별 책을 참조하십시오.) 위 표에 제시된$$ 발전기 $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$X_${n$} 단위로 쉽게 표현할 수 있다.

물론 1차원 아발레브라는 로렌츠 그룹의 원소들의 네 가지 결합 등급에 해당한다.

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}은(는) 패러브릭 SO(0,1)의 1-모수 하위격자를 생성한다$$.
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 부스트 SO(1,1)의 1-모수 하위 지브라 생성$$
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 1-모수 회전 SO$$(2),
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}{}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ 4 ${\$${\displaystyle \mathrm{모든}}$ ${\displaystyle \ne }$ 0 ${\displaystyle a\neq 0}$의 경우$)$는 록소드로믹 변환의 1-모수 하위격자를 생성한다.

(엄격한 표현으로, ${\displaystyle a}$은(는) 서로 다른 클래스를 제공하므로$$, 마지막 클래스는 무한히 많은 클래스에 해당한다.) 2차원 아말게브라는 다음과 같다.

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 완전히 포물선교로 구성된 아벨리안 아발게브라 생성$$,
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 아핀 그룹 App(1)의 Lie 대수학에서 비아벨리안 아발지브라 이형성 생성$$,
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 부스트, 회전 및 로크로믹스로 구성된 아벨리안 아발겔라를 생성하여$$ 모두 동일한 쌍의 고정점을 공유한다.

3차원 아말게브라는 비안치 분류 체계를 사용한다.

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ 3 ${\$는 유클리드 호모테스 그룹인 Hom(2)의 Lie 대수학으로 이형화된 비안치 V 아발게브라를 생성한다$$.
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 유클리드 그룹인 E(2)의 Lie 대수학에서 비안치 VII_0 아발게브라, 이형성을 생성한다$$.
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {X\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$$aX_$${4$ 여기서 ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a\neq$ 0$\},$ Bianchi VII_a subalgebra 생성,
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {5\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 쌍곡면의 등각류 그룹인 SL(2,R)의 Lie 대수학으로 이형화된 비안치 8세 아발지브라 생성$$,
• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ 5,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$는 회전 그룹인 SO(3)의 Lie 대수치에 이형인 비안치 IX 하위격자(이형)를$$ 생성한다.

비안치형은 이탈리아의 수학자 루이지 비안치가 3차원 리알헤브라를 분류한 것을 말한다. 4차원 아말게브라는 모두 다음과 같이 결합되어 있다.

• ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{X\mathrm{}}_{}}$ 4 ${\$유클리드 유사도 그룹인 심(2)의 리 대수학에서 아발게브라 이형성을 생성한다$$.

하위 게브라는 격자를 형성하며(그림 참조), 각 하위 게브라는 제한된 Lie 그룹의 폐쇄된 하위 그룹을 지수화하여 생성한다. 이들로부터 로렌츠 그룹의 모든 하위 그룹은 클라인 4개 그룹의 요소 중 하나에 곱하여 결합까지 구성할 수 있다.

연결된 모든 Lie 그룹과 마찬가지로 제한된 로렌츠 그룹의 닫힌 부분군의 코제트 공간, 즉 동질적인 공간은 상당한 수학적인 관심을 갖는다. 몇 가지 간단한 설명:

• 그룹 심(2)은 리만 구에 있는 한 점의 null 선의 스태빌라이저로서, 균일한 공간 SO⁺(1,3)/Sim(2)는 구 S에² 대한 일치 형상을 나타내는 클라인 기하학이다.
• (Identity component of the) 유클리드 그룹 SE(2)는 null 벡터의 스태빌라이저여서 균질 공간 SO⁺(1,3)/SE(2)는 질량이 없는 입자의 운동 공간이다. 기하학적으로 이 클라인 기하학은 민코프스키 스페이스타임에 라이트콘의 퇴화된 기하학을 나타낸다.
• 회전군 SO(3)는 시간 벡터의 스태빌라이저여서 균질 공간 SO⁺(1,3)/SO(3)는 거대한 입자의 운동 공간이며, 기하학적으로 이 공간은 다름아닌 3차원 쌍곡선 공간 H이다³.

상위 차원으로 일반화

로렌츠 그룹의 개념은 임의의 수의 차원에 대한 스팩타임에 대한 자연적인 일반화를 가지고 있다. 수학적으로 n+1차원 민코스키 공간의 로렌츠 그룹은 2차 형태를 보존하는 R의ⁿ⁺¹ 선형 변환의 무한직교 그룹 O(n,1)이다.

${\displaystyle(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},mapsto x_{1}^{2}+x_{2}}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

그룹 O(1, n)는 2차 형태를 보존한다.

${\displaystyle(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},x_{n+1},mapsto x_{1}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}^{2}}}$

O(n,1)와 이형이지만 수학물리학에서 더 큰 인기를 누리고 있는 것은 주로 디락 방정식의 대수학, 그리고 더 일반적으로 스피너와 클리포드 알헤브라가 이러한 서명으로 "더 자연스럽다"는 것이다.

로렌츠 그룹의 4차원(여기서 n = 3)의 많은 특성은 임의의 n에 대해 직설적으로 일반화한다. 예를 들어 로렌츠 그룹 O(n,1)는 4개의 연결된 구성요소를 가지고 있으며, n+1차원 밍코우스키 공간에서 천체(n-1)-sphere에 대한 정합성 변환에 의해 작용한다. ID 구성요소 SO⁺(n,1)는 쌍곡 n-공간 H에ⁿ 대한 SO(n)-번들이다.

저차원 사례 n = 1과 n = 2는 물리적 사례 n = 3의 "토이 모델"로서 유용한 경우가 많은 반면, 고차원 로렌츠 그룹은 숨겨진 차원의 존재를 상정하는 끈 이론과 같은 물리적 이론에서 사용된다. 로렌츠 그룹 O(n,1)는 또한 동질 공간 O(n,1)/O(n-1,1)로 실현될 수 있는 n차원 de Sitter 공간 dS의_n 등측계 그룹이다. 특히 O(4,1)는 우주론적 모델인 데 시터 우주 dS의₄ 등위계 그룹이다.

참고 항목

로렌츠 변환 로렌츠 그룹 표현 이론 푸앵카레 군 뫼비우스 군 민코스키 공간 바이쿼터니온스

무한직교군 쿼터니온과 공간 회전 상대론적 질량 중심 특수상대성 양자역학의 대칭

메모들

참조

읽기 목록

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• Carmeli, Moshe (1977). Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field. McGraw-Hill, New York. ISBN 978-0-07-009986-9. 표준 참조. 로렌츠 그룹의 표현은 1-6장을 참조한다.
• Frankel, Theodore (2004). The Geometry of Physics (2nd Ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-53927-2. 거짓말 이론, 섬유 묶음, 가림막 및 기타 많은 주제에 대한 훌륭한 자료.
• Fulton, William; Harris, Joe (1991). Representation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics. 129. New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249. OCLC 246650103. 수정 불가능한 SL(2,C) 표현은 제11강좌를 참조한다.
• Gelfand, I.M.; Minlos, R.A.; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications, New York: Pergamon Press
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hall, G. S. (2004). Symmetries and Curvature Structure in General Relativity. Singapore: World Scientific. ISBN 978-981-02-1051-9. 로렌츠 그룹의 리 대수학 하위골격은 6장을 참조한다.
• Hatcher, Allen (2002). Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-79540-1. 덮개 공간에 대한 자세한 설명은 섹션 1.3 참조를 참조하십시오. 회전 그룹의 토폴로지는 섹션 3D를 참조하십시오.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John (1973). Gravitation. W. H. Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0344-0. §41.3
• Naber, Gregory (1992). The Geometry of Minkowski Spacetime. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0486432359. (도버 재인쇄판) Minkowski spacetime과 로렌츠 그룹에 대한 훌륭한 참조서.
• Needham, Tristan (1997). Visual Complex Analysis. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853446-4. 뫼비우스 변환에 대한 훌륭한 설명은 3장을 참조하십시오.
• Weinberg, S. (2002), The Quantum Theory of Fields, 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7
• Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456.