세대주변환

선형 대수학에서, 주택소유자 변환(Householder reflection 또는 기초 반사체라고도 함)은 원점을 포함하는 평면이나 하이퍼 평면에 대한 반사를 설명하는 선형 변환이다. 1958년 Alston Scott Householder의 논문에서 Householder의 변신은 사용되었다.^[1]

일반적인 내부 제품 공간에 대한 그것의 아날로그는 Householder 운영자다.

정의

변환

반사 하이퍼 평면은 일반 벡터, 즉 하이퍼 $평면$에$$직교하는 단위 $벡터$v${\$$textstyle\mathrm{}$v}($길이$ 1 {\textstyle $1}$의 벡터$)$로 정의할 수 있다. 이 하이퍼플레인에 대한$$ $점$ x ${\textstyle x}$의 반영은 선형 변환이다.

${\displaystyle x-2\langle x,v\angle v=x-2v\왼쪽(v^{\textsf {H}x\right),}$

$여기$서 $v$ ${\textstyle v}$은(는$)$ ${Ameritian}^{}$ $transpose$ v H${\textstyle$ v^{\textsf ${H}}$이(가) 있는 열 단위 벡터로 주어진다$$$.$

세대주 행렬

이 변환으로 구성된 행렬은 외부 제품의 관점에서 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle P=I-2v^{\textsf {H}}$

Householder 매트릭스로 알려져 있으며 여기서 $I$ ${\textstyle$ I$}$은(는) ID 매트릭스임

특성.

Householder 매트릭스에는 다음과 같은 속성이 있다.

• 에르미트어: $P$= $P^{}$ H ${\$
• 단일: $P{}^{}$- $1^{}$= $P^{}$ H ${\$
• 따라서 그것은 비자발적인 것이다: $P$= P${}^{}$- $1^{}$ ${\$
• A Householder matrix has eigenvalues ${\textstyle \pm 1}$. To see this, notice that if ${\textstyle u}$ is orthogonal to the vector ${\textstyle v}$ which was used to create the reflector, then ${\textstyle Pu=u}$, i.e., ${\textstyle 1}$ is an eigenvalue of multiplicity ${\textstyle n-1}$, $v${\$textstyle v}$에 $직교$하는$$n - $1${\$textstyle n-1}$개의$$ 독립 벡터가 있으므로$,$ $주의$ $P$v$$= - v$${\$textstyle Pv=-v$ 그리고 -$1$ ${\textstyle$ $-1$$}$은 $다중성\mathrm{}$ 1 ${\textstyle$ 1$}$을 갖는 고유값입니다$.$
• 매트릭스의 결정요인은 고유값의 산물이기 때문에$,$ 가구주 반사체의 $\mathrm{결정요인}$은 -$$1 {\$textstyle -1}$이다. 이 경우 매트릭스 중$하나$는 -$1$ {\textstyle -1$}$이고 나머지는$$ $1\mathrm{}$ ${\textstyle -1}($앞 지점과 같이).

적용들

기하광학

기하학적 광학에서, 규격 반사는 주택소유자 행렬의 단위로 표현될 수 있다(규격반사 § 벡터 공식 참조).

수치 선형대수학

예를 들어, 집주인 변환은 행렬의 주 대각선 아래의 입력 사항을 전멸시키고 ^[2]QR 분해를 수행하며 QR 알고리즘의 첫 번째 단계에서 널리 사용된다. 그것들은 또한 헤센베르크 형태로 변형하는데 널리 사용된다. 대칭 또는 에르미트 행렬의 경우 대칭이 보존될 수 있어 삼지각화가 발생한다.^[3]

QR 분해

가구주 반사는 매트릭스의 첫 번째 열 하나를 표준 기준 벡터의 배수에 반사하고 변환 매트릭스를 계산하고, 이를 원래의 매트릭스와 곱한 다음 그 제품의 $(i$, $){\textstyle (i,i)}$ 미성년자를 재귀적함으로써 QR 분해물을 계산하는 데 사용할 수 있다.

삼지각화

이 절차는 부담과 억제에 의한 수치 분석에 제시되어 있다. 약간 ${\displaystyle \mathrm{변경}}$된 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}$함수를$$ ${\displaystyle \mathrm{사용}}$하여 ${\displaystyle \mathrm{sgn}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) = 1$${\$displaystyle \operatorname {sgn}$ ($0)=1$^[4] 첫 번째 단계에서 $\alpha$ ${\textstyle \alpha}$ 및 r$$ ${\textstyle r}$을 결정해야 한다$.$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=-\operatorname {sgn} \left(a_{21}\right){\sqrt {\sum _{j=2}^{n}a_{j1}^{2}}};\\r&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-a_{21}\alpha \right)}};\end{aigned}}$

$\alpha$ ${\textstyle \alpha }$ 및 $r$ ${\textstyle r}$에서$$벡터 $v$ ${\textstyle v}$을(를) 생성하십시오$.$

${\displaystyle v^{(1)={\\bmatrix}v_{1}\\\v_{2}\\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix},}$

$\mathrm{여기}$서 $v{}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$= 0 ${\textstyle v_{1}=0$ ${v\mathrm{}}_{}$ 2${}_{}$= $\frac{{21}_{}}{}$- $\frac{\alpha }{}$ $\frac{\mathrm{}}{}$ $\frac{r}{}$ ${\$ $\}\},$ 그리고

${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle k\frac{{}_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{1_{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{2}{}}$ ${\displaystyle \frac{{}_{}}{\mathrm{}}}$ ${\$ 각${\displaystyle }k{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$,${\displaystyle }$n$${\$displaystyle k=3,4\ldots$ n$}$

그런 다음 다음을 계산하십시오.

${\displaystyle {\reasoned}P^{1}&=I-2v^{(1)\좌(v^{(1)}\우)^{\textsf{T}\\A^{(2)&=P^{1}AP^{1}\end{aigned}}$

$P{}^{}$ ${1\mathrm{}}^{}$ ${\$를 찾아 $계산$한 A${(2}^{}$ ) ${\$ A$^{(2)}}$에 대해 다음과 같이$$$$k = $2$,$3$,$\dots ,n$ - $2$ ${\textstyle k=2$,3$,\ldots,n-2}$에 대해 프로세스를 반복한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=-\operatorname {sgn} \left(a_{k+1,k}^{k}\right){\sqrt {\sum _{j=k+1}^{n}\left(a_{jk}^{k}\right)^{2}}}\\r&={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(\alpha ^{2}-a_{k+1,k}^{k}\alpha \right)}}\\v_{1}^{k}&=v_{2}^{k}=\cdots =v_{k}^{k}=0\\v_{k+1}^{k}&={\frac {a_{k+1,k}^{k}-\alpha }{2r}}\\v_{j}^{k}&={\frac {a_{jk}^{k}}{2r}}{\text{ for }}j=k+2,\ k+3,\ \ldots ,\ n\\P^{k}&=I-2v^{(k)}\left(v^{(k)}\right)^{\textsf {T}}\\A^{(k+1)}&=P^{k}A^{(k)}P^{k}\end{aigned}}}$

이런 식으로 계속하면 삼지각과 대칭 행렬이 형성된다.

예

이 예에서, 또한 Budble과 Fmagers에서도,^[4] 주어진 행렬은 Householder 방법을 사용하여 유사한 3지각 행렬 A로₃ 변환된다.

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&1&2&2&2\\1&0&0&1\\2&3&3\\\\2&1&#1&-1\end{bmatrix},},}$

Householder 방법의 이러한 단계에 따라, 우리는 다음과 같이 한다.

첫 번째 세대주 행렬:

${\displaystyle {\reasoned}Q_{1}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\\0&#1/3&2/3/3\0&2/3/3\0&2/3/3\0&3/3&#0&3&#3&#3&#3&#1}\\A_{2}=Q_{1}{1}{1}{1}{1}{1}}{1}}}{1}}}}}}{1}{1}}{1}{1}}}{1}{1}}}}}}}AQ_{1}&={\begin{bmatrix}4&-3&0&0&0\\\-3&10/3&1/3/3\0&1&5/3&4/3\0&4/3&#3&#3&#3&#3&#3&#3&#3&#1},\end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

${A\mathrm{}}_{}$ 2 ${\$}를 사용하여$$ 형성

${\displaystyle {\reasoned}Q_{2}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-3/5&-4/5\\0&0&-4/5&3/5\end{bmatrix}},\\A_{3}=Q_{2}A_{2}Q_{2}&={\begin{bmatrix}4&-3&0&0\\-3&10/3&-5/3&0\\0&-5/3&-33/25&68/75\\0&0&68/75&149/75\end{bmatrix}},\end{aligned}}}$

우리가 볼 수 있듯이 최종 결과는 원래와 비슷한 3각 대칭 행렬이다. 이 과정은 두 단계를 거치면 끝난다.

기타 단일 변환에 대한 계산 및 이론적 관계

Householder 변환은 앞에서 설명한 대로 일반 $벡터$ v ${\textstyle v}$ 단위를 가진 하이퍼플레인에 대한 반영이다$.$ An ${\textstyle N}$-by-${\textstyle N}$ unitary transformation ${\textstyle U}$ satisfies ${\textstyle UU^{\textsf {H}}=I}$. Taking the determinant (${\textstyle N}$-th power of the geometric mean) and trace (proportional to arithmetic mean) of a unitary matrix reveals that its eigenvalues $$${\lambda }_{}$ $i_{}$ ${\$은(는) 단위 계수를 가지고$$ 있다. 이는 직접적이고 신속하게 확인할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Trace} \left(UU^{\textsf {H}\오른쪽)}{N}}={\frac {\sum _{j=1}^{N}\left \lambda _{j}\right ^{2}}{N}}=1,\quad \operatorname {det} \left(UU^{\textsf {H}}\right)=\prod _{j=1}^{N}\left \lambda _{j}\right ^{2}=1.}$

변수가 일정하면 산술 평균과 기하 평균이 같기 때문에(산술 평균과 기하 평균의 불평등 참조) 단위 계수의 주장을 성립시킨다.

실제 평가된 단일 행렬의 경우 직교 ${행렬}^{}$을 얻는다. ${}^{}$ T = $I$ ${\textstyle UU^{\textsf{T}=I$ 직교 행렬이 2x2 회전 곱으로 분해될 수 있다는 것은 (직교 행렬 참조) 다소 쉽게 뒤따른다. 직교 매트릭스에 의한 벡터 곱셈은 그 벡터의 길이를 보존하고 회전과 반사는 벡터의 길이를 불변시키는 (실제 가치 있는) 기하학적 연산의 집합을 소모하기 때문에 이것은 직관적으로 매력적이다.

하우스홀더 변환은 그룹 이론에 정의된 단일 군집 매트릭스의 표준 코제트 분해와 일대일 관계를 갖는 것으로 나타났으며, 이는 단일 군집 운영자를 매우 효율적으로 파라메트리하는 데 사용될 수 있다.^[5]

마지막으로, 우리는 단독 기븐스 변환과는 달리 단일 하우스홀더 변환은 매트릭스의 모든 컬럼에 작용할 수 있으며, 따라서 QR 분해와 3지각화에 대한 계산 비용이 가장 낮다는 점에 주목한다. 물론 이 "계산적 최적성"에 대한 벌칙은 하원 운영이 그렇게 심도 있고 효율적으로 병행될 수 없다는 것이다. 그러한 주택소유자는 순차적 기계의 조밀한 행렬에 선호되고, 기븐은 희박한 행렬 및/또는 평행 기계의 행렬에 선호된다.

참고 항목

• 기븐스 회전
• 자코비 회전

참조

• LaBudde, C.D. (1963). "The reduction of an arbitrary real square matrix to tridiagonal form using similarity transformations". Mathematics of Computation. American Mathematical Society. 17 (84): 433–437. doi:10.2307/2004005. JSTOR 2004005. MR 0156455.
• Morrison, D.D. (1960). "Remarks on the Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix". Journal of the ACM. 7 (2): 185–186. doi:10.1145/321021.321030. MR 0114291.
• Cipra, Barry A. (2000). "The Best of the 20th Century: Editors Name Top 10 Algorithms". 33 (4): 1. {{cite journal}}: Cite 저널 요구 (도움) (Herein Householder Transformation은 금세기 상위 10대 알고리즘으로 인용됨)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 11.3.2. Householder Method". Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.