계급장 이론

수학에서 계급장 이론은 지역 및 글로벌 분야의 갈루아 확장을 기술하는 것과 관련된 대수적 수 이론의 한 분야다.^[1] 힐버트는 종종 계급장 개념으로 인정받는다. 그러나 크론커에게는 이미 익숙한 일이었고 힐버트의 근본 논문이 나오기 전에 이 용어를 만든 사람은 사실 웨버였다.^[2] 이 이론은 18세기 말 가우스에 의한 이차적 상호주의 증명에 그 기원을 두고 있다. 이러한 사상은 다음 세기에 걸쳐 전개되어, 힐베르트에 의해 일련의 추측을 낳았고, 그 결과 다카기와 아르틴에 의해 증명되었다. 이러한 추측과 그 증거는 계급장 이론의 주체를 이루고 있다.

한 주요 결과는 숫자 필드 F와 F의 최대 아벨라비안 미확장 연장에 대해 K를 쓰는 것을 고려했을 때, K over F의 갈루아 집단은 표준적으로 F의 이상적인 계급 집단에 이형화되어 있다는 것이다. 이 진술은 아르틴 상호주의 법칙으로 일반화될 수 있다; F의 이상 계급 집단을 위해 C를_F 쓰고, L을 F의 유한한 아벨계급 확장으로 받아들이면, 이 법칙은 표준 이형성을 부여한다.

\theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})\\to \operatorname {Gal}(L/F),

여기서 $N_{L/F}$ $N_{L/F}$ / $N_{L/F}$ ${\$ 는 $N_{L/F}$ L에서 F까지의 특이적 표준 지도를 나타낸다. 이러한 이형성을 그 후 상호주의 지도라고 부른다. 존재 정리는 상호성 맵을 사용하여 F의 아벨리아 확장 $C_{F}.$ 과 $C_{F}.$ F $.$ 의 유한지수의 폐쇄성 부분군 집합 사이에 편차를 부여할 수 있다고 명시하고 있다. {\ $displaystyle C_{F}}$

1930년대 이후 글로벌 클래스 필드 이론을 개발하는 표준 방법은 지역 영역의 아벨리아적 확장을 기술한 지역 클래스 필드 이론을 개발한 후 이를 이용해 글로벌 클래스 필드 이론을 구축하는 것이다. 이것은 처음에 아르틴과 테이트에 의해 집단 코호몰로지 이론을 이용했고, 특히 계급형성의 개념을 발전시킴으로써 이루어졌다. 후에 누키르치는 공동의 사상을 사용하지 않고 글로벌 계급장 이론의 주요 진술에 대한 증거를 찾아냈다.

계급장 이론은 또한 그러한 구조가 알려진 몇 안 되는 경우에서 숫자 영역의 최대 아벨 확장성의 명시적인 구성을 포함한다. 현재 이론의 이 부분은 $\mathbb {Q}$ ${\$ 의 아벨리안 확장을 구성하는 데 사용할 수 있는 Kronecker-Weber 정리, CM-필드의 아벨리안 확장을 구성하는 데 사용할 수 있는 복합 곱셈 이론으로 구성되어 있다.

랭글랜드 프로그램은 비-아벨라니아 연장에 대한 계급장 이론을 일반화하기 위한 하나의 접근방식을 제공한다. 이 일반화는 대부분 여전히 추측이다. 숫자 분야의 경우, 계급장 이론과 모듈화 정리 관련 결과가 유일한 사례로 알려져 있다.

현대 언어의 공식화

현대 수학 언어 수업에서 필드 이론은 다음과 같이 공식화할 수 있다. 로컬 또는 글로벌 필드 K의 최대 아벨 확장 A를 고려한다. 그것은 K보다 무한하다; A over K의 갈루아 그룹 G는 무한히 많은 집단이므로 콤팩트한 위상학 집단이며 아벨리안이다. 계급장 이론의 중심 목적은 다음과 같다: K와 연관된 특정한 적절한 위상학적 개체의 관점에서 G를 기술하고, K와 연관된 위상학적 개체의 유한한 지수의 개방된 하위 그룹의 관점에서 K의 유한한 아벨리아적 확장을 기술하는 것이다. 특히 K에 대한 이 위상학적 객체에서 K의 유한한 아벨리아적 확장과 그들의 표준 집단들 사이에 일대일 일치성을 확립하고자 한다. 이 위상학적 개체는 유한잔류장을 가진 국소장의 경우 승수군, 글로벌장의 경우 이상급군이다. 유한지수의 개방된 부분군에 해당하는 유한 아벨의 확장을 그 부분군의 계급장이라고 하는데, 이것이 그 이론에 이름을 주었다.

일반계급장 이론의 근본적 결과는 G군이 K계통의 특정 구조와_K 관련된 C계통의 자연위상에 관하여 지역계통의 승수집단 또는 지구계통의 이상계급집단인_K C계급의 확실한 완성에 대해 자연적으로 이형성이 있다고 밝히고 있다. 동등하게 K의 모든 유한한 갈루아 확장 L에 대해 이소모르퍼시즘(Artin 상호주의 지도)이 있다.

\operatorname {Gal}(L/K)^{\opername {ab}\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}

L의 이데클 클래스 그룹 규범의 이미지에 의해 K의 이데클 클래스 그룹의 지수를 갖는 확장자의 갈루아 그룹의 아벨리아화.

합리적인 숫자 $\mathbb {Q}$ ${\$ 또는 $\mathbb {Q}$ 그것의 2차 가상 확장 같은 일부 작은 분야의 경우 더 자세한 정보를 제공하는 매우 명확하지만 너무 구체적인 이론이 있다. 예를 들어 $\mathbb {Q}$ ${\$ 의 아벨리아화 절대 갈루아 그룹 G는 (자연적으로 이형성이며) 모든 소수 p를 넘겨받은 p-adic 정수들의 단위 그룹의 무한 생산물이며 $\mathbb {Q}$ , 이에 상응하는 최대 아벨리아식 확장은 모든 통합의 뿌리에 의해 생성되는 분야다. 이것은 원래 레오폴드 크로네커에 의해 추측된 크로네커-베버 정리라고 알려져 있다. 이 경우 계급장 이론(또는 아르틴 상호주의 지도)의 상호주의 이형성 역시 크로네커-베버 정리 때문에 명시적인 설명을 인정한다. 그러나 소 대수적 수 분야에 대한 이러한 보다 상세한 이론의 주구조는 대수적 수 분야의 일반적인 사례로 확장될 수 없으며, 일반 계급장 이론에는 다른 개념 원리가 사용되고 있다.

상호주의 동형성을 구성하는 표준방법은 우선 글로벌 필드의 완성의 승수군에서 최대 아벨리아 확장군 갈루아 그룹(이것은 지역 계급장 이론 안에서 이루어진다)에 이르는 지역적 상호주의 이형성을 구축한 다음, 그러한 모든 지역적 상호주의 지도의 산물임을 증명하는 것이다. 글로벌 필드의 이상 그룹에 정의된 경우, 글로벌 필드의 승수 그룹의 이미지에서는 사소한 것이다. 후자의 속성은 글로벌 호혜법이라 불리며 가우스 2차 호혜법(Gauss 2차 호혜법)의 광범위한 일반화에 도달한 것이다.

상호주의 동형성을 구성하는 방법 중 하나는 계급장 이론의 공리에서 계급장 이론을 도출하는 계급 형성을 이용한다. 이 파생은 순전히 위상학적 집단 이론적인 것이며, 반면에 지면의 고리 구조를 사용해야 하는 공리를 확립하기 위해서이다.^[3]

코호몰로지 그룹, 특히 브루어 그룹을 사용하는 방법이 있으며, 코호몰로지 그룹을 사용하지 않고 응용에 매우 명시적이고 알찬 방법이 있다.

역사

계급장 이론의 기원은 가우스에 의해 증명된 이차적 상호주의 법칙에 있다. 일반화는 2차적 형식과 그 '천재론'을 수반하는 장기적 역사 프로젝트로 진행되었는데, 에른스트 쿠메르와 레오폴트 크로네커/쿠르트 헨젤의 이상과 보완에 관한 작품인 사이클로토믹과 쿠메르 확장 이론이 그것이다.

처음 두 계급의 분야 이론은 매우 노골적인 사이클로토믹과 복잡한 곱셈계급 분야 이론이었다. 그들은 추가적인 구조를 사용했다: 합리적인 숫자의 영역의 경우 그들은 통합의 뿌리를 사용한다, 합리적인 숫자 영역의 가상의 2차 확장의 경우 그들은 복잡한 곱셈을 가진 타원곡선과 그들의 유한한 순서의 포인트를 사용한다. 훨씬 후일, 시무라 이론은 대수적 수 분야의 한 부류에 또 하나의 매우 노골적인 계급장 이론을 제공했다. 긍정적인 특성 $p$ $p$ 에서 $p$ 카와다와 사타케는 상호주의 동형성의 $p$ $p$ 에 $p$ 대한 아주 쉬운 설명을 얻기 위해 비트 이중성을 사용했다.

그러나, 이러한 매우 노골적인 이론들은 더 일반적인 수 분야로 확장될 수 없었다. 일반 클래스 필드 이론은 모든 글로벌 분야에서 작동하는 다른 개념과 구조를 사용했다.

데이비드 힐버트의 유명한 문제들은 더 많은 발전을 자극했고, 이로 인해 상호주의 법칙과 테이지 타카기, 필립 푸르탱글러, 에밀 아르틴, 헬무트 하세, 그리고 많은 다른 것들에 의한 증거들이 생겨났다. 결정적인 다카기 존재의 정리는 1920년까지 알려졌고 주요 결과는 1930년경에 모두 알려졌다. 증명된 마지막 고전적 추측들 중 하나는 주체화 속성이었다. 학급장 이론의 첫 번째 증거는 실질적인 분석 방법을 사용했다. 1930년대 이후로는 무한 확장과 볼프강 크롤의 갈루아 집단에 대한 이론의 사용이 증가하였다. 이것은 폰트랴긴 이중성과 결합되어 중심 결과인 아르틴 상호주의 법칙의 보다 명확하고 추상적인 공식화를 주었다. 중요한 단계는 이상적인 계급을 대체하기 위해 1930년대에 Claude Chevalley에 의해 아이디얼을 도입하는 것으로, 근본적으로 글로벌 분야의 아벨리안 확장에 대한 설명을 구체화하고 단순화하는 것이었다. 대부분의 중앙 결과는 1940년까지 증명되었다.

이후 그 결과는 집단 코호몰로지 관점에서 개편되었는데, 이것은 수 세대에 걸친 수 이론가들에게 계급장 이론을 배우는 표준 방법이 되었다. 코호몰로지 방법의 한 가지 단점은 상대적 비능률이다. 베르나르 드워크, 존 테이트, 미치엘 헤이즈윙클, 위르겐 노이키르흐의 지역적·세계적 재해석 및 많은 수학자들의 명시적 상호주의 공식에 관한 연구와 관련하여 1990년대에 계급장 이론의 매우 노골적이고 공동학문이 없는 발표가 성립되었다(참조, 시험용)fle, Neukirch에 의한 계급장 이론)

적용들

계급장 이론은 Artin-Verdier 이중성을 증명하기 위해 사용된다.^[4] 이와사와 이론과 갈루아 모듈 이론과 같은 대수적 수 이론의 많은 하위 영역에서는 매우 노골적인 계급장 이론이 사용된다.

숫자 분야에 대한 랭글랜드 통신, 숫자 분야에 대한 BSD 추측, 숫자 분야에 대한 이와사와 이론에 대한 대부분의 주요 업적은 매우 명백하지만 좁은 계급장 이론 방법이나 그들의 일반화를 사용한다. 그러므로 개방적인 문제는 이 세 가지 방향에서 일반계급 분야 이론의 일반화를 이용하는 것이다.

학급장 이론의 일반화

세 가지 주요 일반화가 있는데, 각각 큰 관심을 가지고 있다. 그것들은 랭글랜드 프로그램, 아나벨라의 기하학, 그리고 상위 계급의 필드 이론이다.

종종, 랭글랜드 서신은 비아벨리안 계급장 이론으로 간주된다. 만약 그것이 완전히 확립된다면, 그리고 완전히 확립되었을 때, 그것은 글로벌 분야의 비아벨리안 갈루아 확장에 대한 어떤 이론을 포함할 것이다. 그러나 랭글랜드 통신문에는 계급장 이론이 아벨리아 사례에서 하는 것처럼 유한한 갈루아 확장에 대한 산술적 정보가 많이 포함되어 있지 않다. 그것은 또한 계급장 이론에 존재 정리의 아날로그를 포함하지 않는다: 계급장의 개념은 랭글랜드 통신에 존재하지 않는다. 다른 몇 가지 비아벨리안 이론이 있는데, 지역 이론과 글로벌 이론은 랭글랜드 대응 관점에 대한 대안을 제공한다.

클래스 장 이론의 또 다른 일반화는 아나벨리 기하학인데, 이것은 완전한 절대 갈루아 그룹이나 대수학적 기본 집단의 지식으로부터 원래의 물체(예: 숫자 필드 또는 그것 위의 쌍곡선)를 복원하기 위한 알고리즘을 연구한다.^[5]

또 다른 자연 일반화는 상위 지역 계급 분야 이론과 상위 지구 계급 분야 이론으로 나뉜 상위 계급 분야 이론이다. 더 높은 지역 분야와 더 높은 글로벌 분야의 아벨리안 확장을 설명한다. 후자는 정수보다 유한한 형태의 체계와 그 적절한 지역화와 보완의 함수 분야로 나온다. 대수학 K-이론을 사용하며, 적절한 Milnor K-groups는 1차원 클래스 장 이론에 사용되는 $K_{1}$ $K_{1}$ $K_{1}$ ${\$ }를 일반화한다.

참고 항목

비아벨론계급장론

인용구

^ 밀른 2020, 페이지 1 소개.
^ Cassels & Fröhlich 1967, 266 페이지, Ch. XI by Helmut Hasse.
^ 상호주의와 IUT, 2016년 7월 IUT Summit에 관한 RIMS 워크숍에서 이반 페센코
^ Milne, J. S. 산술적 이중성 이론. 찰스턴, SC: 북서지, LLC 2006
^ Fesenko, Ivan (2015), Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 (PDF)

참조

Artin, Emil; Tate, John (1990), Class field theory, Redwood City, Calif.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51011-9
Cassels, J.W.S.; Fröhlich, Albrecht, eds. (1967), Algebraic Number Theory, Academic Press, Zbl 0153.07403
Conrad, Keith, History of class field theory. (PDF)
Fesenko, Ivan B; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR 1915966
Gras, Georges (2003). Class Field Theory: from theory to practice. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-44133-5.
Iwasawa, Kenkichi (1986), Local class field theory, Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR 0863740, Zbl 0604.12014
Kawada, Yukiyosi (1955), "Class formations", Duke Math. J., 22: 165–177, doi:10.1215/s0012-7094-55-02217-1, Zbl 0067.01904
Kawada, Yukiyosi; Satake, I. (1956), "Class formations. II", J.Fac. Sci.Univ. Tokyo Sect. 1A, 7: 353–389, Zbl 0101.02902
Milne, James S. (2020), Class Field Theory (4.03 ed.)
Neukirch, Jürgen (1986), Class Field Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-15251-4
Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[FOOTNOTEMilne20201Introduction-1] 밀른 2020, 페이지 1 소개.

[FOOTNOTECasselsFröhlich1967266Ch._XI_by_Helmut_Hasse-2] Cassels & Fröhlich 1967, 266 페이지, Ch. XI by Helmut Hasse.

[3] 상호주의와 IUT, 2016년 7월 IUT Summit에 관한 RIMS 워크숍에서 이반 페센코

[4] Milne, J. S. 산술적 이중성 이론. 찰스턴, SC: 북서지, LLC 2006

[5] Fesenko, Ivan (2015), Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki, Eur. J. Math., 2015 (PDF)

[1]

[2]

[3]

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