뉴턴의 운동 법칙

시리즈의 일부
고전역학
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}}(m{\textbf {v}})}$ 운동 제2법칙
역사 타임라인 교재
나뭇가지 응용의 천상 연속체 역학 운동학 동역학 통계학 통계역학
펀더멘털 가속도 각운동량 커플 달랑베르 원리 에너지 운동의 잠재적인 힘. 기준틀 관성 기준틀 충동 관성/관성 모멘트 덩어리 기계력 기계작업 순간. 운동량 공간 스피드 시간을 토크 속도 가상작업
제형 뉴턴의 운동 법칙 해석역학 라그랑주 역학 해밀턴 역학 루시아 역학 해밀턴-야코비 방정식 아펠의 운동방정식 쿱만-본 노이만 역학
핵심주제 감쇠 변위 운동방정식 오일러 운동 법칙 가공의 힘 마찰 고조파 발진기 관성/비관성 기준틀 평면입자운동의 역학 움직임(선형) 뉴턴의 만유인력 법칙 뉴턴의 운동 법칙 상대속도 강체 동역학 오일러 방정식 단순 고조파 운동 진동
회전 원운동 회전기준틀 구심력 원심력 반응성이 있는 코리올리스 힘 진자 접선 속도 회전주파수 각가속도/변위/주파수/속도
사이언티스트 케플러 갈릴레오 호이겐스 뉴턴 경이다. 호록스 핼리 모페르투이스 다니엘 베르누이 요한 베르누이 오일러 달랑베르 클라우로 라그랑주 라플라스 해밀턴 포아송 코시 루스 리우빌 아펠 깁스 쿠프만 폰 노이만
물리 포털 카테고리
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뉴턴의 운동 법칙은 물체의 운동과 물체에 작용하는 힘 사이의 관계를 설명하는 고전역학의 세 가지 기본 법칙입니다. 이 법칙들은 다음과 같이 비유할 수 있습니다.

1. 물체는 힘에 의해 작용하지 않는 한, 정지해 있거나 직선으로 일정한 속도로 움직이고 있습니다.
2. 물체에 작용하는 알짜 힘은 물체의 가속도에 질량을 곱한 것 또는 물체의 운동량이 시간에 따라 변하는 속도와 같습니다.
3. 만약 두 물체가 서로 힘을 가한다면, 이 힘들은 크기는 같지만 방향은 반대입니다.^[1]

이 세 가지 운동 법칙은 아이작 뉴턴이 1687년에 처음 발표한 그의 철학 æ 자연주의 원리 수학(자연철학의 수학적 원리)에서 처음 언급했습니다. 뉴턴은 고전역학의 기초가 된 많은 물리적 물체와 시스템의 운동을 조사하고 설명하기 위해 그것들을 사용했습니다. 뉴턴 이래로 고전 물리학의 개념적 내용은 대안적인 방법으로 재구성되어 왔으며, 이는 원래 뉴턴 공식에서 모호했던 통찰력을 산출한 다양한 수학적 접근 방식을 포함합니다. 뉴턴 법칙의 한계도 발견되었는데, 물체가 매우 빠른 속도로 이동하거나(특수 상대성), 매우 거대하거나(일반 상대성), 또는 매우 작은(양자 역학) 경우 새로운 이론이 필요합니다.

전제조건

뉴턴의 법칙은 흔히 점이나 입자의 질량, 즉 부피가 무시할 수 있는 물체로 표현됩니다. 이것은 내부 부품의 움직임을 무시할 수 있을 때, 그리고 신체 사이의 분리가 각각의 크기보다 훨씬 클 때 실제 신체에 대한 합리적인 근사치입니다. 예를 들어, 전자의 궤도를 볼 때, 지구와 태양은 둘 다 후자의 궤도를 고려할 때 점과 같은 것으로 근사할 수 있지만, 지구의 표면에서의 활동을 고려할 때 지구는 점과 같은 것이 아닙니다.^{[note 1]}

운동에 대한 수학적 설명, 즉 운동학은 숫자 좌표를 사용하여 위치를 지정한다는 아이디어에 기초합니다. 움직임은 시간에 따라 변하는 이 숫자들에 의해 표현됩니다. 물체의 궤적은 시간 변수의 각 값에 모든 위치 좌표의 값을 할당하는 함수에 의해 표현됩니다. 가장 단순한 경우는 일차원, 즉 몸이 직선을 따라서만 움직이도록 제약을 받는 경우입니다. 그런 다음 선택한 기준점과 상대적인 위치를 나타내는 단일 숫자로 위치를 지정할 수 있습니다. 예를 들어, 차체는 왼쪽에서 오른쪽으로 이어지는 트랙을 따라 자유롭게 미끄러질 수 있으며, 따라서 편리한 0점 또는 원점으로부터의 거리로 위치를 지정할 수 있으며, 음수는 왼쪽으로 위치를 나타내고 양수는 오른쪽으로 위치를 나타냅니다. 차체의 시간 함수로서의 $위치$가 s${\displaystyle (t)}$ ${\displaystyle$ s$(t)}$인 경우$,$ ${\displaystyle {t0\mathrm{}}_{}}$ ${\$부터 ${\displaystyle {t1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle t_{1}$까지의^[5] 시간 간격 동안의 평균 속도는

여기서 그리스 문자$$δ${\displaystyle$ \Delta }(델타)는 전통에 따라 "변화"라는 의미로 사용됩니다. 양의 평균 속도는 해당 간격 $동안{\displaystyle }$위치 $좌표$ {\$displaystyle$ s$}$가 증가함을 의미하고, 음의 평균 속도는 해당 간격 동안 순 감소함을 나타내며, 평균 속도가 0이면 신체가 시작한 것과 동일한 장소에서 시간 간격을 종료함을 의미합니다. 미적분학은 순간 속도를 정의할 수 있는 수단을 제공하는데, 이는 물체의 속도와 운동 방향을 간격이 아닌 한 순간에 측정하는 것입니다. 순간 속도에 대한 한 가지 표기법은$$δ${\$displaystyle$$\Delta }을$($를) $기호$ d${\displaystyle$d}로 바꾸는 것입니다. 예를 들어,이것은 순간 속도가 시간에 대한 위치의 도함수라는 것을 의미합니다. 이는$$ 위치 ${\displaystyle \mathrm{ds}}${\$displaystyle$ds}의 무한히 작은$$ 변화와 발생하는 무한히 작은 ${\displaystyle \mathrm{시간}}$ 간격 dt$${\$displaystyle dt}$ 사이의 비율로 대략 생각할 수 있습니다.^[6] 좀 더 신중하게 말하면, 속도와 다른 모든 도함수들은 극한의 개념을 사용하여 정의될 수 있습니다.^[5] A function ${\displaystyle f(t)}$ has a limit of ${\displaystyle L}$ at a given input value ${\displaystyle t_{0}}$ if the difference between ${\displaystyle f}$ and ${\displaystyle L}$ can be made arbitrarily small by choosing an input sufficiently close to ${\displaystyle t_{0}}$. 한 명은 이렇게 쓰고, 순간 속도는 시간 간격이 0으로 줄어들 때 평균 속도의 한계로 정의할 수 있습니다. 가속도는 속도가 위치하는 것과 같은 속도이며, 그것은 시간에 대한 속도의 도함수입니다.^{[note 2]} 가속도도 마찬가지로 한계로 정의할 수 있습니다.결과적으로 가속도는 $종종{\displaystyle \frac{{}^{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{}{}}$ t2 {\^[6]$displaystyle {\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$라고 쓰여진 위치의 2차 도함수입니다$.$

위치는 원점으로부터의 변위로 간주될 때 벡터입니다: 크기와 방향을 모두 가진 양입니다.^{[8]: 1} 속도와 가속도도 벡터의 양입니다. 벡터 대수학의 수학적 도구는 운동을 2차원, 3차원 또는 그 이상의 차원으로 기술하는 수단을 제공합니다. 벡터는 $종종$ 화살표로 표시됩니다. 예를 들어 $s$ → {\$displaystyle$ ${\vec {s}}$과$$같이 또는 ${\displaystyle {\bf {s}}$과 같이 굵은 글씨체로 표시됩니다$.$ 벡터의 방향이 화살표 방향인 경우가 많습니다. 그리고 화살표의 길이로 표시되는 벡터의 크기. 숫자로 표현하면 벡터를 목록으로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 물체의 속도 $벡터$는 v${\displaystyle }$=$(3m/$, 4m/s) {\displaystyle {\vc}} = (\mathrm {3~m/s},\mathrm {4~m/s})이며, 이는 물체가 가로축을 따라 초속 3m, 세로축을 따라 초속 4m로 이동하고 있음을 나타냅니다. 다른 좌표계에서 설명된 동일한 운동은 다른 숫자로 표현될 것이고, 벡터 대수학은 이 대안들 사이를 해석하는 데 사용될 수 있습니다.^{[8]: 4}

힘의 물리적 개념은 정량적으로 밀거나 당기는 것의 일상적인 아이디어를 만듭니다.^{[note 3]} 뉴턴 역학에서 힘은 종종 끈과 밧줄, 마찰, 근육의 힘, 중력 등에 기인합니다. 변위, 속도, 가속도와 마찬가지로 힘은 벡터량입니다.

법칙들

제1법칙

라틴어에서 번역된 뉴턴의 제1법칙은

모든 신체는 그것에 감명을 받은 힘에 의해 그 상태를 변화시킬 수밖에 없는 한, 정지 상태, 또는 직선 운동의 균일한 상태로 계속됩니다.^{[12]: 114}

뉴턴의 제1법칙은 관성의 원리를 표현하는데, 물체의 자연스러운 행동은 일정한 속도로 직선으로 움직이는 것입니다. 외부의 영향이 없을 때, 신체의 움직임은 현상을 유지합니다.

뉴턴의 제1법칙에 대한 현대적 이해는 어떤 관성 관측자도 다른 어떤 사람보다 특권을 누리지 못한다는 것입니다. 관성 관측기의 개념은 운동의 영향을 느끼지 않는다는 일상적인 생각을 정량적으로 만듭니다. 예를 들어, 지상에 서서 기차가 지나가는 것을 보고 있는 사람은 관성 관측자입니다. 만약 지상의 관찰자가 기차가 일정한 속도로 일직선으로 부드럽게 움직이는 것을 본다면, 기차에 앉아 있는 승객도 관성 관찰자가 될 것입니다: 기차 승객은 아무런 움직임도 느끼지 못합니다. 뉴턴의 제1법칙이 표현하는 원리는 어떤 관성 관측자가 "정말" 움직이고 어떤 것이 "정말" 가만히 서 있는지 말할 방법이 없다는 것입니다. 한 관찰자의 휴식 상태는 다른 관찰자가 직선으로 균일하게 움직이는 상태이며, 어떤 실험도 어느 관점이 옳고 그르다고 생각할 수 없습니다. 절대적인 휴식의 기준은 없습니다.^{[note 4]}

제2법칙

물체의 운동 변화는 충격을 받은 힘에 비례하며, 힘이 충격을 받은 직선 방향으로 이루어집니다.^{[12]: 114}

"운동"에 의해 뉴턴은 현재 운동량이라고 불리는 양을 의미했는데, 이것은 물체에 포함된 물질의 양, 그 물체가 움직이는 속도, 그리고 움직이는 방향에 달려 있습니다. 현대 표기법에서 물체의 운동량은 물체의 질량과 속도의 곱입니다.

뉴턴의 제2법칙은 현대적인 형태로 운동량의 시간 도함수는 힘이라고 말합니다. 질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}$이 시간에 따라 변하지$$ 않으면 도함수는 속도에만 작용하므로 힘은 질량의 곱과 속도의 시간 도함수, 즉 가속도와 같습니다.^[16] 가속도는 시간에 대한 위치의 2차 도함수이므로, 이 또한 기록될 수 있습니다.

몸에 작용하는 힘은 벡터로 추가되므로 몸에 작용하는 총 힘은 개별 힘의 크기와 방향에 모두 의존합니다. 물체에 대한 알짜힘이 0과 같을 때 뉴턴의 제2법칙에 의해 물체는 가속하지 않고 기계적 평형 상태에 있다고 합니다. 신체의 위치가 약간 변하면 신체가 그 평형 근처에 머물러 있으면 기계적 평형 상태는 안정적입니다. 그렇지 않으면 평형이 불안정합니다.

공동으로 작용하는 힘의 일반적인 시각적 표현은 관심 있는 신체와 외부 영향에 의해 작용하는 힘을 도식적으로 묘사하는 자유 신체 다이어그램입니다.^[17] 예를 들어, 기울어진 평면 위에 있는 블록의 자유 물체 도표는 중력, "정상" 힘, 마찰 및 끈 장력의 조합을 설명할 수 있습니다.^{[note 5]}

뉴턴의 제2법칙은 때때로 힘의 정의로 제시되는데, 즉 관성 관측자가 물체가 가속하는 것을 볼 때 존재하는 힘입니다. 가속도는 힘을 의미하고, 힘은 가속도를 의미하며, 이를 위해서는 힘에 대한 다른 설명도 이루어져야 합니다. 예를 들어 뉴턴의 만유인력의 법칙처럼 힘을 자세히 설명하는 방정식이 지정될 수 있습니다. $F$ → {\$displaystyle {\vec {F}}$에 대한 이러한 표현을 뉴턴의 제2법칙에 삽입하면 예측력을 가진 방정식을 쓸 수 있습니다. 뉴턴의 제2법칙은 물리학의 연구 프로그램을 세우는 것으로도 간주되어 왔으며, 이 연구의 중요한 목표는 자연에 존재하는 힘을 확인하고 물질의 구성 성분을 목록화하는 것임을 확립했습니다.^{[note 7]}

제3법칙

모든 행동에는 항상 동등한 반응이 존재합니다; 또는 두 신체의 상호작용은 항상 동등하고 반대되는 부분을 향합니다.^{[12]: 116}

"행동은 반응과 같다"와 같은 제3법칙의 지나치게 간략한 표현은 학생들 사이에 혼란을 일으켰을 수 있습니다: "행동"과 "반응"은 다른 신체에 적용됩니다. 예를 들어, 테이블 위에 놓여있는 책을 생각해보세요. 지구의 중력이 책을 끌어당깁니다. 그 "행동"에 대한 "반응"은 책을 들고 있는 테이블의 지지력이 아니라 지구에 작용하는 책의 중력입니다.^{[note 8]}

뉴턴의 제3법칙은 보다 근본적인 원리인 운동량 보존과 관련이 있습니다. 후자는 뉴턴의 진술이 힘장뿐만 아니라 물질체가 운동량을 운반하는 경우, 양자역학에서도 운동량이 적절하게 정의되는 경우와 같이 그렇지 않은 경우에도 여전히 유효합니다.^{[note 9]} In Newtonian mechanics, if two bodies have momenta ${\displaystyle {\vec {p}}_{1}}$ and ${\displaystyle {\vec {p}}_{2}}$ respectively, then the total momentum of the pair is ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}}$, $그리고$ p → {\$displaystyle$ ${\vec {p}}$의 변화율은

뉴턴의 제2법칙에 의하면, 첫 번째 항은 첫 번째 물체에 대한 전체 힘이고, 두 번째 항은 두 번째 물체에 대한 전체 힘입니다. 만약 두 몸이 외부의 영향으로부터 격리된다면, 첫 번째 몸에 가해지는 유일한 힘은 두 번째 몸으로부터의 힘일 수 있고, 그 반대의 경우도 가능합니다. 뉴턴의 제3법칙에 의해 이 힘들은 크기는 같지만 방향이 반대이므로 $더하면$ 상쇄되고 p → ${\displaystyle {\vec {p}}$는 일정합니다. 또는 $p$ → {\$displaystyle$ ${\vec {p}}$이(가) 일정하다고 알려지면 힘의 크기가 같고 방향이 반대입니다.

추가법 후보자

다양한 출처에서 고전역학에서 사용되는 다른 아이디어를 뉴턴 법칙의 지위로 끌어올리자고 제안했습니다. 예를 들어, 뉴턴 역학에서 두 개의 작은 물체가 합쳐져서 만들어진 물체의 전체 질량은 각각의 질량의 합입니다. Frank Wilczek는 이 가정을 "Newton's Zeroth Law"로 지정하여 주의를 환기할 것을 제안했습니다.^[27] "제로 법칙"의 또 다른 후보는 어떤 순간에도 신체가 그 순간에 작용하는 힘에 반응한다는 사실입니다.^[28] 마찬가지로 힘이 벡터처럼 더해진다는 개념(또는 중첩 원리를 따른다)과 힘이 물체의 에너지를 변화시킨다는 개념은 모두 "제4법칙"으로 설명되었습니다.^{[note 10]}

일과 에너지

물리학자들은 뉴턴 시대 이후에 에너지 개념을 발전시켰지만, 그것은 "뉴턴" 물리학으로 간주되는 것과 분리할 수 없는 부분이 되었습니다. 에너지는 일반적으로 신체의 운동에 의한 운동과 다른 것들에 대한 신체의 위치에 의한 퍼텐셜로 분류될 수 있습니다. 열 흐름에 의해 전달되는 에너지인 열 에너지는 물체의 거시적인 운동과 관련이 없는 대신 그것들이 만들어지는 원자와 분자의 운동과 관련된 운동 에너지의 한 종류입니다. 일-에너지 정리에 따르면, 힘이 몸에 작용할 때 그 몸이 힘의 선을 따라 움직일 때, 힘은 몸에 작용하며, 일의 양은 몸의 운동 에너지 변화와 같습니다.^{[note 11]} 많은 경우, 물체가 닫힌 고리를 따라 움직일 때(한 점에서 시작하여 일부 궤적을 따라 움직이다가 다시 초기점으로 돌아올 때) 힘에 의해 수행되는 네트워크는 0입니다. 이 경우 힘은 스칼라 퍼텐셜이라고 불리는 함수의 기울기로 나타낼 수 있습니다.^{[35]: 303}

이것은 중력의 힘을 포함한 많은 힘에 해당되지만 마찰력에는 해당되지 않습니다. 실제로 마찰력을 포함하지 않는 역학 교과서의 거의 모든 문제는 이러한 방식으로 표현될 수 있습니다.^{[36]: 19} 힘을 이런 식으로 쓸 수 있다는 사실은 에너지의 보존으로부터 이해할 수 있습니다. 몸의 에너지를 열로 방출하기 위한 마찰이 없다면, 몸의 에너지는 총 양이 일정하게 유지되는 동안 위치 운동 형태와 (열이 아닌) 운동 형태 사이에서 교환될 것입니다. 물체에 작용하는 알짜 힘이 물체를 더 빠른 속도로 가속시킬 때 발생하는 운동 에너지의 증가는 위치 에너지의 손실을 동반해야 합니다. 따라서 신체에 미치는 알짜 힘은 위치 에너지가 감소하는 방식에 따라 결정됩니다.

예

균일가속운동

만약 어떤 물체가 지구 표면 근처에서 정지 상태에서 떨어진다면, 공기 저항이 없을 때, 그것은 일정한 속도로 가속할 것입니다. 이것은 자유낙하라고 알려져 있습니다. 자유낙하 시 도달하는 속도는 경과 시간에 비례하고 이동 거리는 경과 시간의 제곱에 비례합니다.^[37] 중요한 것은 가속도는 질량에 관계없이 모든 물체에 대해 같다는 것입니다. 이것은 뉴턴의 운동 제2법칙과 그의 만유인력 법칙을 결합한 결과입니다. 후자는 지구가 신체에 미치는 중력의 크기는

여기서 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$은 낙하하는 물체의 질량, $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$은 지구의 질량, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$는 뉴턴 상수, $r{\displaystyle }${\$displaystyle$r}은$$ 지구의 중심에서 물체의 위치까지의 거리로 지구의 반지름과 매우 가깝습니다. Setting this equal to ${\displaystyle ma}$, the body's mass ${\displaystyle m}$ cancels from both sides of the equation, leaving an acceleration that depends upon ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle M}$, and ${\displaystyle r}$, and ${\displaystyle r}$ can be taken to be constant. 이 특정 가속도 값은 $일반적$으로 g ${\displaystyle g}$로 표시됩니다$.$

차체가 정지 상태에서 해제되지 않고 0이 아닌 속도로 위로 및/또는 수평으로 발사되면 자유 낙하는 발사체 운동이 됩니다.^[38] 공기 저항이 무시될 수 있는 경우, 발사체는 포물선 모양의 궤적을 따르는데, 중력은 물체의 수평이 아닌 수직 운동에 영향을 미치기 때문입니다. 발사체 궤도의 정점에서 수직 속도는 0이지만 항상 그렇듯이 가속도는 $아래쪽$으로 g$${\$display g}$입니다. 잘못된 벡터를 0으로 설정하는 것은 물리학과 학생들 사이에서 흔한 혼란입니다.^[39]

등원운동

물체가 균일한 원운동을 할 때, 물체에 작용하는 힘은 운동의 방향을 바꾸지만 속도는 바꾸지 않습니다. 일정한 속도 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에서 반지름 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$의 원을 따라 움직이는 본체의 경우 가속도가 크기를 갖습니다$.$

그리고 원의 중심을 향합니다.^{[note 12]} 따라서 이 가속도를 유지하는 데 필요한 힘인 구심력은 원의 중심을 향하며 $크기$가 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ r ${\display mv^{2}/r}$입니다$.$ 지구 주위의 달과 같은 많은 궤도는 균일한 원운동으로 근사화될 수 있습니다. 이러한 경우 구심력은 중력이며, 뉴턴의 만유인력 법칙에 의해 $크기$는 ${\displaystyle \mathrm{GM}}$ m${\displaystyle /{r\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$이며$,$ 여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은 궤도를 도는 큰 물체의 질량입니다. 따라서 한 물체의 질량은 그 주위를 돌고 있는 다른 물체의 관측으로부터 계산될 수 있습니다.^{[40]: 130}

뉴턴의 대포알은 발사체 운동과 균일한 원운동 사이를 보간하는 사고 실험입니다. 높은 절벽 가장자리에서 힘없이 로빙된 대포알은 정지 상태에서 떨어뜨린 것과 같은 시간에 땅에 부딪히게 되는데, 왜냐하면 중력은 대포알의 아래 방향 운동량에만 영향을 미치고 수평 이동으로도 그 효과가 줄어들지 않기 때문입니다. 초기 수평 속도가 더 큰 대포알이 발사되면 땅에 닿기 전에 더 멀리 이동하지만 같은 시간 내에 땅에 닿게 됩니다. 하지만, 만약 대포알이 더 큰 초기 속도로 발사된다면, 지구의 곡률은 매우 커지게 됩니다: 땅 자체가 떨어지는 대포알을 피해 휘어지게 될 것입니다. 아주 빠른 대포알은 지구가 그 아래로 휘어지는 것과 같은 속도로 관성 직선 궤도에서 떨어져 나갈 것입니다. 즉, 궤도에 있을 것입니다(공기 저항이나 장애물에 의해 느려지지 않는다고 가정하면).^[41]

고조파 운동

$x$ ${\displaystyle x}$ 축을 따라 이동할 수 있는 $질량$ m ${\displaystyle$ m$}$의 몸체를 고려하고 $x$ = ${\$displaystyle x = 0} 위치에 평형점이 존재한다고 가정합니다. 즉, $x$ = ${\$displaystyle x = 0}에서 몸에 작용하는 알짜 힘은 영벡터이며, 뉴턴의 제2법칙에 의해 몸은 가속하지 않습니다. 신체에 가해지는 힘이 평형점으로부터의 변위에 비례하고 평형점을 향한다면, 신체는 단순한 고조파 운동을 수행할 것입니다. 힘을 $F$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}${\displaystyle F =-kx}로 쓰면 뉴턴의 제2법칙은

이 미분 방정식은 해를 갖습니다. where the frequency ${\displaystyle \omega }$ is equal to ${\displaystyle {\sqrt {k/m}}}$, and the constants ${\displaystyle A}$ and ${\displaystyle B}$ can be calculated knowing, for example, the position and velocity the body has at a given time, like ${\displaystyle t=0}$.

고조파 발진기가 개념적으로 중요한 예인 한 가지 이유는 안정적인 기계적 평형 근처의 많은 시스템에서 좋은 근사치이기 때문입니다.^{[note 13]} 예를 들어, 진자는 수직 위치에서 안정적인 평형을 이루고 있습니다. 만약 거기서 움직이지 않는다면, 진자는 거기에 남아 있을 것이고, 약간 밀어내면 그것은 앞뒤로 흔들릴 것입니다. 피벗에서 공기저항과 마찰을 무시하고 추에 작용하는 힘은 중력이며, 뉴턴의 제2법칙은

여기서 $L$ ${\displaystyle L}$은 진자의 길이이고$$θ${\$displaystyle$$\theta}은 수직으로부터의 각도입니다. 각도$$θ {\displaystyle$$\theta }이(가)$$작으면 θ {\displaystyle \$theta$ $}$의$$사인은 θ {\displaystyle \theta }(테일러 시리즈 참조)와$거의$ 같으므로 이 식은 ${\displaystyle \sqrt{주파수}}$ω = g / L {\displaystyle \omega = {\sqrt {g/L}}인 단순 고조파 $발진기$에 대한 방정식으로 단순화됩니다.

고조파 발진기는 종종 마찰 또는 점성 항력에 의해 감쇠될 수 있으며, 이 경우 발진기에서 에너지가 배출되고 진동의 진폭이 시간이 지남에 따라 감소합니다. 또한, 고조파 발진기는 인가된 힘에 의해 구동될 수 있으며, 이는 공진 현상으로 이어질 수 있습니다.^[42]

질량이 가변적인 물체

뉴턴 물리학은 물질이 재배열될 수도 있지만 물질이 생성되거나 파괴되지 않은 것으로 취급합니다. 관심 있는 물체에 물질이 첨가되거나 제거되어 질량이 증가하거나 감소하는 경우일 수 있습니다. 그런 상황에서 뉴턴의 법칙은 물질의 개별 조각에 적용될 수 있으며, 시간이 지남에 따라 어떤 조각이 관심 대상에 속하는지 추적할 수 있습니다. 예를 들어, 속도 $v$ → ${\displaystyle (t)}${\$displaystyle$ ${\v$}(t)}로 움직이는 $질량$ M$(t$의 로켓이 로켓에 대해 속도 u → {\displaystyle {\v}}(t)}로 물질을 분출한다면,

$여기$서 F → {\$displaystyle$ ${\vec {F}}$은 순 외부 힘(예: 행성의 중력)입니다.

강체 운동 및 회전

강체는 크기가 너무 커서 방치할 수 없고 시간이 지나도 같은 모양을 유지하는 물체입니다. 뉴턴 역학에서 강체의 운동은 종종 물체의 질량 중심의 운동과 질량 중심의 운동으로 분리하여 이해됩니다.

질량중심

확장된 물체의 운동의 중요한 측면은 그 물체의 질량이 질량의 중심이라고 알려진 한 점에 집중되어 있다고 상상하면 이해할 수 있습니다. 신체의 질량 중심의 위치는 신체의 물질이 어떻게 분배되는지에 달려 있습니다. $r$ → ${\displaystyle 1_{}}$${\displaystyle \dots ,}$${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$→ ${\displaystyle N_{}}$ ${\displaystyle m_{1},\ldots, m_{N}$ 위치에 질량 $m$ ${\displaystyle 1_{}{}_{}}$…, m → N ${\displaystyle {\r}_{1},\ldots$, ${\vec {r}_{N}}$의 경우 질량 중심은 다음 위치에 있습니다$.$

여기서 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ M$}$은(는) 집합의 총 질량입니다. 알짜 외력이 없을 때 질량 중심은 직선으로 일정한 속도로 이동합니다. 예를 들어, 두 물체 사이의 충돌에 적용됩니다.^[43] 전체 외력이 0이 아니면 $질량$의 중심은 마치 질량 M ${\displaystyle M}$의 점체인 것처럼 속도가 변합니다$.$ 이것은 집합 내의 내부력, 즉 물체들이 서로에게 작용하는 힘이 뉴턴의 제3법칙에 의해 균형 잡힌 쌍으로 일어난다는 사실에서 비롯됩니다. 하나가 다른 하나보다 훨씬 더 질량이 큰 두 물체로 이루어진 체계에서, 질량의 중심은 더 질량이 큰 물체의 위치와 대략 일치할 것입니다.^{[14]: 22–24}

뉴턴 법칙의 회전 유사성

뉴턴의 법칙이 회전하는 확장체에 적용되면 원래의 법칙에서 사용된 것과 유사한 새로운 양으로 이어집니다. 질량의 아날로그는 관성 모멘트이고, 운동량의 상대는 각운동량이며, 힘의 상대는 토크입니다.

각운동량은 기준점을 기준으로 계산됩니다.^[44] 기준점으로부터 물체까지의 변위 벡터가 $r$ → ${\$$displaystyle$ ${\vec${r}}이고 물체의 운동량 p → {\displaystyle {\vec {p}}인 경우, 그 점에 대한 물체의 각운동량은 벡터 교차 곱을 사용하여,

각운동량의 시간 도함수를 구하는 것은 $v$ → ${\$$displaystyle$ ${\v$}}과($와)$ mv → {\displaystyle m{\vec {v}}이(가) 같은 방향을 가리키기 때문에 첫 번째 항이 사라집니다. 남은 항은 토크입니다. 토크가 0일 때 각운동량은 일정한데, 힘이 0일 때와 마찬가지로 각운동량도 일정합니다.^{[14]: 14–15} $$가 기준점(r → 0 {\displaystyle ${\vec${r}}=0})에 위치하거나 힘 F = {\displaystyle {\vec {F}}와 변위 벡터 r → {\displaystyle {\vec {r}}가 동일한 선을 따라 향할 경우에도 토크가 사라질 수 있습니다.

점 질량의 집합, 따라서 확장된 몸체의 각운동량은 각 점의 기여도를 더하면 알 수 있습니다. 이것은 각 조각의 각운동량을 합함으로써 축을 중심으로 한 신체의 회전을 특징짓는 수단을 제공합니다. 결과는 선택한 축, 몸체의 모양 및 회전 속도에 따라 달라집니다.^{[14]: 28}

다체중력계

뉴턴의 만유인력의 법칙은 어떤 물체든 자신을 연결하는 직선을 따라 다른 물체를 끌어당긴다는 것을 말합니다. 인력의 크기는 질량의 곱에 비례하고, 그들 사이의 거리의 제곱에 반비례합니다. 역제곱 힘 법칙이 만들어낼 궤도의 모양을 찾는 것은 케플러 문제로 알려져 있습니다. 케플러 문제는 Laplace-Runge-Lenz 벡터가 일정하다는 것을 증명하거나 ^[45]2차원 고조파 발진기에 이중성 변환을 적용하는 것을 포함하여 여러 가지 방법으로 해결할 수 있습니다.^[46] 하지만, 결과적으로 궤도는 원뿔 구간, 즉 타원(원 포함), 포물선 또는 쌍곡선이 될 것입니다. 궤도의 이심률, 따라서 원뿔 단면의 유형은 궤도체의 에너지와 각운동량에 의해 결정됩니다. 행성들은 태양을 탈출하기에 충분한 에너지를 가지고 있지 않기 때문에, 그들의 궤도들은 타원형입니다. 왜냐하면 행성들은 서로 끌어당기기 때문에, 실제 궤도들은 정확히 원뿔의 단면이 아닙니다.

세 번째 질량이 추가되면 케플러 문제는 삼체 문제가 되는데, 일반적으로 닫힌 형태에서는 정확한 해가 없습니다. 즉 뉴턴의 법칙이 암시하는 미분방정식에서 출발하여 유한한 일련의 표준적인 수학적 연산 후에 세 물체의 운동을 시간에 따라 표현하는 방정식을 얻을 수 있는 방법은 없습니다.^[47][48] 수치적 방법을 적용하여 삼체 문제에 대한 근사치는 있지만 유용한 결과를 얻을 수 있습니다.^[49] 물체의 위치와 속도는 컴퓨터의 메모리 내 변수에 저장될 수 있습니다. 뉴턴의 법칙을 사용하여 짧은 시간 간격 동안 속도가 어떻게 변할지 계산하고, 속도를 알면 그 시간 간격 동안의 위치 변화를 계산할 수 있습니다. 이 과정은 대략 시체의 궤적을 계산하기 위해 순환됩니다. 일반적으로 시간 간격이 짧을수록 정확한 근사치를 보여줍니다.^[50]

혼돈과 예측 불가능

비선형 동역학

뉴턴의 운동 법칙은 혼돈의 가능성을 허용합니다.^[51][52] 즉, 질적으로 말하면 뉴턴의 법칙을 따르는 물리계는 초기 조건에 민감한 의존성을 보일 수 있습니다. 계의 한 부분의 위치나 속도가 약간 변하면 짧은 시간 내에 계 전체가 근본적으로 다른 방식으로 행동하게 될 수 있습니다. 주목할 만한 예로는 3체 문제, 이중 진자, 동적 당구, 페르미-파스타-울람-칭거우 문제 등이 있습니다.

뉴턴의 법칙은 유체를 무한히 작은 조각들로 구성된 것으로 간주하여 유체에 적용할 수 있으며, 각각은 이웃하는 조각들에 힘을 작용합니다. 오일러 운동량 방정식은 유체 역학에 적응한 뉴턴의 제2법칙을 표현한 것입니다.^[53][54] 유체는 속도장, 즉 공간과 시간의 각 점에 속도 벡터를 할당하는 함수 $v$ → ${\displaystyle (x\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle {\v}}({\vec {x}},$ t$)}$로 설명됩니다. 유체 흐름에 의해 운반되는 작은 물체는 두 가지 이유로 속도를 변화시킬 수 있습니다. 첫째, 위치의 속도장이 시간에 따라 변화하기 때문이고, 둘째, 속도장이 다른 값을 갖는 새로운 위치로 이동하기 때문입니다. 따라서 뉴턴의 제2법칙을 유체의 극소 부분에 적용하면 $가속도$ a → ${\displaystyle {\vec {a}}$는 두 개의 항을 갖는데, 그 조합을 토탈 도함수 또는 물질 도함수라고 합니다. 무한히 작은 부분의 질량은 유체 밀도에 따라 달라지며, 유체 압력이 한쪽 면에서 다른 면으로 달라지면 알짜 힘이 작용합니다. 따라서 $a$ → =${\displaystyle }$F → / m {\displaystyle {\vec {a}} = {\vec {F}/m} 이 됩니다.

여기서$$ρ ${\displaystyle \$rho }는$밀도$, P${\displaystyle$ P}는 $압력$, f → {\$displaystyle {\$vec {f}}는 중력 끌림과 같은 외부 영향을 나타냅니다. 점도의 효과를 통합하면 오일러 방정식이 나비에로 변환됩니다.–스토크스 방정식: 여기서$$ν ${\displaystyle$ \n스타일 \n$u}$는 운동학적 점도입니다.^[53]

특이점

수학적으로 뉴턴의 법칙에 따라 움직이는 점 질량들의 집합이 그들 중 일부를 너무 강력하게 발사하여 유한한 시간 안에 무한대로 날아가는 것은 가능합니다.^[55] "비충돌 특이점"^[48]으로 알려진 이 비물리적 행동은 뉴턴 물리학에서 상대론적 속도 제한이 없는 것뿐만 아니라 질량이 점과 같고 임의로 가까이 접근할 수 있는지 여부에 달려 있습니다.^[56]

오일러와 나비에의 여부는 아직 알려지지 않았습니다.– 스톡 방정식은 초기 매끄러운 해가 유한한 시간에 "날아오르는" 유사한 행동을 보여줍니다. 나비에의 존재와 매끄러움의 문제–Stokes 솔루션은 Millennium Prize Problem 중 하나입니다.^[57]

고전물리학의 다른 공식과의 관계

고전역학은 수학적으로 여러 가지 다른 방법으로 공식화될 수 있습니다. (물론 뉴턴 이전과 이후 모두 다른 사람들의 기여를 포함합니다.) 이러한 다양한 제형의 물리적 내용은 뉴턴의 것과 동일하지만, 다양한 통찰력을 제공하고 다양한 유형의 계산을 용이하게 합니다. 예를 들어 라그랑주 역학은 대칭과 보존 법칙의 연관성을 분명히 하는 데 도움이 되며, 곡선 궤도를 따라 이동하거나 구의 표면에서 이동하도록 제한된 질량과 같이 구속된 물체의 운동을 계산할 때 유용합니다.^{[14]: 48} 해밀턴 역학은 통계 물리학에 편리하고 ^{[58][59]: 57} 대칭에 대한 추가 통찰력으로 이어지며 ^{[14]: 251} 섭동 이론에 대한 정교한 기술로 발전할 수 있습니다.^{[14]: 284} 이러한 주제의 폭이 넓기 때문에 여기서 논의는 뉴턴의 운동 법칙을 어떻게 재구성하는지에 대한 간결한 처리에 국한될 것입니다.

라그랑지안

라그랑주 역학은 뉴턴의 공식과 달리 한 순간에 한 물체의 운동을 예측하는 것이 아니라 전체 궤적을 한 번에 고려하는 것입니다.^{[14]: 109} 위치는 $q$ ${\displaystyle q}$로 표시하고 $속도$는$q$˙ {\$displaystyle$ $\{\backslash$dot {q}}로 표시하는 것이 라그랑지 역학의 전통적인 방법입니다. 가장 간단한 예는 라그랑지안으로 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지의 차이로 표현할 수 있는 거대한 점입자입니다.

운동 에너지가 있는 곳에서 위치의 일부 함수인 $V{\displaystyle (q)}$ ${\displaystyle V(q)}$의 퍼텐셜 에너지입니다$.$ 입자가 초기점 ${\displaystyle {qi}_{}}$ ${\$와 최종점 ${\displaystyle {qf}_{}}$ ${\$ 사이를 취할 물리적 경로는$$ 라그랑지안의 적분이 "정지 상태"인 경로입니다. 즉, 물리적 경로는 작은 섭동이 라그랑지안의 적분을 변화시키지 않는 첫 번째 근사치를 갖는 성질을 가지고 있습니다. 변분 미적분학은 이 경로를 찾는 수학적 도구를 제공합니다.^{[35]: 485} 경로를 찾는 작업에 변동 미적분학을 적용하면 입자에 대한 오일러-라그랑주 방정식이 생성됩니다. 라그랑지안의 편미분 평가 뉴턴의 제2법칙을 재표명한 것입니다. 좌변은 운동량의 시간 도함수이고, 우변은 위치 에너지로 표현되는 힘입니다.^{[8]: 737}

란다우와 리프쉬츠는 라그랑주 공식이 뉴턴의 법칙에서 출발하는 것보다 고전역학의 개념적 내용을 더 명확하게 만든다고 주장합니다.^[20] 라그랑주 역학은 대칭과 보존 법칙을 연관시키는 노에테르의 정리를 증명하는 편리한 틀을 제공합니다.^[60] 운동량 보존은 다입자계에 대한 라그랑지안에 노에테르의 정리를 적용하여 유도할 수 있으므로 뉴턴의 제3법칙은 가정이라기보다는 정리입니다.^{[14]: 124}

해밀토니안

해밀토니안 역학에서 계의 동역학은 해밀토니안이라는 함수로 표현되는데, 많은 경우에 관심이 있는 계의 총 에너지와 같습니다.^{[8]: 742} 해밀토니안은 계를 구성하는 모든 물체의 위치와 운동량의 함수이며, 시간에 따라 명시적으로 좌우될 수도 있습니다. 위치 및 운동량 변수의 시간 도함수는 해밀턴 방정식을 통해 해밀턴의 부분 도함수에 의해 제공됩니다.^{[14]: 203} 가장 간단한 예로는 점 질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이 전위의 영향을 받아 직선으로 이동하도록 제한된$$ 경우입니다. 위치 좌표에 대해$$ $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$을(를) 쓰고 바디의 운동량에 대해$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 쓰면 해밀턴 연산자는

이 예에서 해밀턴 방정식은 그리고. 이 편미분들을 계산해보면, 전자의 방정식은 이것은 물체의 운동량이 질량과 속도의 곱이라는 친숙한 진술을 재현합니다. 운동량의 시간 도함수는 힘으로 퍼텐셜의 음의 도함수를 확인할 때, 그것은 뉴턴의 제2법칙일 뿐입니다.^{[51][8]: 742}

라그랑주 공식에서와 마찬가지로 해밀턴 역학에서 운동량 보존은 노에테르의 정리를 사용하여 유도될 수 있으며, 이로써 뉴턴의 제3법칙은 가정되기보다는 추론되는 개념이 되었습니다.^{[14]: 251}

표준 입문-물리학 교육과정을 개혁하기 위한 제안들 중에는 힘의 개념 이전에 에너지의 개념을 가르치는 것, 본질적으로 "해밀턴 역학 입문"이 있습니다.^[61][62]

해밀턴 야코비

해밀턴-자코비 방정식은 수학적으로 파동 광학과 유사한 고전 역학의 또 다른 공식을 제공합니다.^{[14]: 284 [63]} 이 공식은 해밀턴 함수를 사용하기도 하지만 위에서 설명한 공식과는 다른 방식으로 사용됩니다. $바디$ 또는 ${\displaystyle \mathrm{바디}}$ 모음이 취한 경로는 위치 $q$ → ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\vec {q}_{$$1$ ${\vec {$q$}_{2},\ldots,t$}}의 $함수$ $S({\vec {q$}_${\displaystyle \{}$1},{\vec {q}_${2$},\$ldots,t)}$에서 추론됩니다$.$ 해밀턴 방정식은 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $S$$}$에 대한 미분 방정식인 해밀턴-야코비 방정식에 포함됩니다$.$ 물체는 광선이 파면에 수직인 방향으로 전파되는 것과$$유사하게 궤적이 상수 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ S$}$의 표면에 수직인 방식으로 시간이 지남에 따라 이동합니다. 이는 $S$ ${\displaystyle$ S$}$가 함수 $S{\displaystyle (q}$ →${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle t)}$ {\$displaystyle$ $S({\vec {q}}, t)}$이고$,$ 점 질량은$S$ {\displaystyle $S}$가 가장 가파르게 변하는 방향으로 이동하는 단일 점 질량의 경우에 대해 가장 쉽게 표현할 수 있습니다. 즉, 점 질량의 운동량은 S ${\displaystyle S}$의 기울기입니다$.$

점 질량에 대한 해밀턴-야코비 방정식은 뉴턴 법칙과의 관계는 시간에 독립적인 퍼텐셜 $V$(${\displaystyle q}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ V$({\vec {q}}}$에서 움직이는 점 질량을 고려하면 알 수 있으며$,$ 이 경우 해밀턴-야코비 방정식은 양변의 기울기를 취하면, 이것은 좌변의 편미분의 순서를 바꾸어 놓고, 우변의 첫 번째 항에 대한 거듭제곱과 연쇄법칙을 이용하여, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 기울기에 의존하는 항들을 모으면$,$ 이것은 뉴턴의 제2법칙을 다시 표현한 것입니다.^[64] 괄호 안의 표현은 위에서 언급한 바와 ^[65]같이 전체 또는 물질적 도함수이며, 첫 번째 항은 주어진 위치에서 시간에 따라 미분되는 함수가 어떻게 변하는지를 나타내고, 두 번째 항은 움직이는 입자가 이 곳에서 저 곳으로 이동할 때 해당 함수의 다른 값을 어떻게 볼 것인지를 포착합니다.

다른 물리 이론과의 관계

열역학과 통계물리학

통계물리학에서 기체의 운동이론은 뉴턴의 운동법칙을 많은 수의 입자에 적용합니다. 예를 들어, 운동 이론은 기체가 용기에 가하는 압력을 설명할 수 있으며, 각각은 작은 양의 운동량을 부여하는 원자의 많은 충격의 집합체입니다.^{[59]: 62}

랑게빈 방정식은 뉴턴 제2법칙의 특별한 경우로, 더 작은 물체가 확률적으로 폭격하는 작은 물체를 설명하는 경우에 적합합니다.^{[66]: 235} 쓸 수 있습니다.

여기서$$γ ${\displaystyle$\ gamma }은 $드래그$ 계수이고 ξ → {\displaystyle {\vec {\xi }}은 순간에서 순간으로 무작위로 변하는 힘으로 주변 입자와의 충돌의 순효과를 나타냅니다. 브라운 모션 모델링에 사용됩니다.^[67]

전자기학

전기와 자기가 관련된 현상에는 뉴턴의 세 가지 법칙이 적용될 수 있지만, 미묘함과 주의사항이 존재합니다.

고정된 전기로 대전된 두 물체 사이의 전기력에 대한 쿨롱의 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 거의 같은 수학적 형태를 가지고 있습니다: 힘은 전하의 곱에 비례하고, 그들 사이의 거리의 제곱에 반비례하며, 그들 사이의 직선을 따라 향합니다. 전하 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$이 전하 $q{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}}$에 가하는$$ 쿨롱 힘은 ${\displaystyle {q\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle q_${2$}$가 q 1 {\$displaystyle q_{1}$에 가하는$$ 힘과 크기가 같으며$$$,$ 이는 정확히 반대 방향을 가리킵니다. 따라서 쿨롱의 법칙은 뉴턴의 제3법칙과 일치합니다.^[68]

전자기학은 전하에 작용하는 장에 의해 생성된 힘을 취급합니다. 로렌츠 힘 법칙은 대전된 물체에 작용하는 힘을 뉴턴의 제2법칙에 연결하여 가속도를 계산할 수 있는 표현을 제공합니다.^{[69]: 85} 로렌츠 힘 법칙에 따르면, 전기장에서 대전된 물체는 전기장 방향으로 힘을 경험하는데, 이 힘은 전하$q{\displaystyle }$ {\$displaystyle q}$에 비례하고 전기장의$$ 세기에 비례합니다. 또한 자기장 속에서 움직이는 대전체는 자기장과 물체의 운동 방향 모두에 수직인 방향으로 전하량에 비례하는 힘을 경험합니다. 벡터 교차 곱을 사용하면,

전기장이 사라지면($$ → ${\displaystyle 0}$ {\$displaystyle$ ${\vec {$E}}=$0})$ 위에서 연구한 균일한 원운동의 경우와 마찬가지로 힘은 전하의 운동에 수직이 됩니다. 전하는 사이클로트론 주파수 ω ${\displaystyle }$= q$$B / m {\displaystyle \omega = qB/m}의 자기장 선 주위를 돌게 됩니다. 질량 분석법은 움직이는 전하에 전기장이나 자기장을 인가하고 그로 인한 가속도를 측정함으로써 작동합니다. 로런츠 힘 법칙에 의해 질량 대 전하 비율이 산출됩니다.^[70]

전하를 띤 물체들의 집합이 항상 뉴턴의 제3법칙을 따르는 것은 아닙니다. 다른 물체의 운동량에 보상적인 변화가 없이도 한 물체의 운동량에 변화가 있을 수 있다는 것입니다. 불일치는 전자기장 자체가 운반하는 운동량에 의해 설명됩니다. 전자기장의 단위 부피당 운동량은 포인팅 벡터에 비례합니다.^{[71]: 184 [72]}

전자기력과 뉴턴의 제1법칙 사이에는 미묘한 개념적 충돌이 있습니다. 맥스웰의 전자기력 이론은 전자파가 일정하고 일정한 속도로 빈 공간을 이동할 것이라고 예측합니다. 따라서 일부 관성 관측자들은 다른 관측자들, 즉 빛의 속도를 측정하고 맥스웰 방정식에 의해 예측된 값으로 밝혀진 사람들에 비해 특권적인 지위를 가지고 있는 것으로 보입니다. 즉, 빛은 속도에 대한 절대적인 기준을 제공하지만, 관성의 원리는 그런 기준이 없어야 한다는 것입니다. 특수 상대성 이론에서 이 긴장은 모든 관성 관측자가 진공에서 빛의 속도에 동의하는 방식으로 공간과 시간의 개념을 수정하는 것으로 해결됩니다.^{[note 14]}

특수 상대성 이론

특수 상대성 이론에서 윌체크가 "뉴턴의 0법칙"이라고 불렀던 법칙은 붕괴됩니다: 복합 물체의 질량은 단순히 개별 조각의 질량의 합이 아닙니다.^{[75]: 33} 뉴턴의 제1법칙인 관성운동은 여전히 유효합니다. 뉴턴의 제2법칙, 즉 힘은 운동량의 변화율이고, 운동량의 보존도 마찬가지입니다. 그러나 운동량의 정의는 수정됩니다. 이로 인한 결과 중에는 몸이 빨리 움직일수록 가속이 어려워져 아무리 힘을 가해도 빛의 속도로 몸을 가속시킬 수 없다는 사실이 있습니다. 당면한 문제에 따라 특수 상대성 이론의 운동량은 3차원 벡터 $p$ →${\displaystyle }$m γ v → {\$displaystyle${\vec {p}}= m\gamma {\vec {v}}로 표현될 수 있습니다. 여기서 m {\displaystyle m}은 물체의 정지 질량이고 γ {\displaystyle \gamma }은 로렌츠 인자입니다. 몸의 속도에 달려 있습니다. 또는 운동량과 힘을 4벡터로 표현할 수도 있습니다.^{[76]: 107}

특수 상대성 이론에서 뉴턴의 제3법칙은 수정되어야 합니다. 제3법칙은 동시에 두 물체 사이의 힘을 말하며, 특수상대성의 핵심적인 특징은 동시성이 상대적이라는 것입니다. 한 관측자에 대해 동시에 발생하는 사건은 다른 관측자에 대해 다른 시간에 발생할 수 있습니다. 따라서 주어진 관측자의 기준 틀에서 작용과 반응은 정확히 반대가 아닐 수 있으며 상호 작용하는 물체들의 총 운동량이 보존되지 않을 수 있습니다. 물체들의 상호작용을 설명하는 장에 저장된 운동량을 포함시키면 운동량 보존이 회복됩니다.^[77][78]

뉴턴 역학은 관련된 속도가 빛의 속도에 비해 작을 때 특수 상대성 이론에 대한 좋은 근사치입니다.^{[79]: 131}

일반 상대성 이론

일반 상대성 이론은 뉴턴의 이론을 뛰어넘는 중력 이론입니다. 일반 상대성 이론에서 중력은 시공간의 곡률로 다시 상상됩니다. 궤도와 같은 곡선 경로는 이상적인 직선 경로에서 물체를 편향시키는 힘의 결과가 아니라 다른 질량의 존재에 의해 휘어진 배경을 통해 물체가 자유롭게 떨어지려고 시도하는 것입니다. 물리학자들 사이에서 유명해진 존 아치볼드 휠러의 한 발언은 이 이론을 요약합니다: "공간은 물질이 어떻게 움직이는지를 알려주고, 물질은 시공간이 어떻게 곡선을 그리는지를 알려줍니다."^[80][81] 휠러 자신은 이 호혜적 관계를 뉴턴의 제3법칙의 현대적이고 일반화된 형태로 생각했습니다.^[80] 물질 분포와 시공간 곡률 사이의 관계는 텐서 미적분학으로 표현해야 하는 아인슈타인 장방정식에 의해 주어집니다.^{[75]: 43 [82]}

뉴턴의 중력 이론은 중력 효과가 약하고 물체가 빛의 속도에 비해 느리게 이동할 때 일반 상대성 이론의 예측에 대한 좋은 근사치입니다.^{[73]: 327 [83]}

양자역학

양자역학은 원래 분자, 원자 또는 아원자 입자의 규모로 행동하는 미시적 현상을 이해하기 위해 개발된 물리학 이론입니다. 일반적으로 그리고 느슨하게 말하면, 시스템이 작을수록 더 적절한 수학적 모델은 양자 효과를 이해해야 합니다. 양자물리학의 개념적 토대는 고전물리학의 그것과는 매우 다릅니다. 위치, 운동량, 에너지 등의 양을 물체가 가지고 있는 성질로 생각하는 것이 아니라, 선택한 종류의 측정을 할 때 어떤 결과가 나타날지 생각합니다. 양자역학을 통해 물리학자는 선택한 측정이 특정 결과를 이끌어낼 확률을 계산할 수 있습니다.^[84][85] 측정에 대한 기대 값은 발생 확률로 가중된 발생 가능한 결과의 평균입니다.^[86]

에렌페스트 정리는 양자 기대값과 뉴턴의 제2법칙 사이의 연결을 제공하는데, 양자물리학은 고전물리학과 근본적으로 다르기 때문에 반드시 부정확한 연결입니다. 양자물리학에서 위치와 운동량은 에르미트 연산자로 알려진 수학적 실체로 표현되며, Born 규칙은 위치 측정 또는 운동량 측정의 기대값을 계산하는 데 사용됩니다. 이러한 기대 값은 일반적으로 시간이 지남에 따라 변경됩니다. 즉, 위치 측정을 수행하는 시간에 따라 다양한 가능한 결과에 대한 확률이 달라집니다. 에렌페스트 정리는 대략적으로 이 기대값들이 시간에 따라 어떻게 변하는지를 설명하는 방정식들이 뉴턴의 제2법칙을 연상시키는 형태를 가지고 있다고 말합니다. 그러나 주어진 상황에서 양자적 효과가 뚜렷할수록 이러한 유사성에서 의미 있는 결론을 도출하기가 어렵습니다.^{[note 15]}

역사

뉴턴의 운동 법칙에서 언급된 질량, 속도, 운동량, 힘 등의 개념은 이전의 연구에서 선행되었고, 뉴턴 물리학의 내용은 뉴턴 시대 이후에 더욱 발전되었습니다. 뉴턴은 천체 운동에 대한 지식을 지구의 사건에 대한 연구와 결합하고 역학의 한 이론이 두 가지를 모두 포함할 수 있다는 것을 보여주었습니다.^{[note 16]}

고대와 중세 배경

물리학의 주제는 종종 아리스토텔레스까지 거슬러 올라가지만, 관련된 개념들의 역사는 여러 요인들에 의해 가려집니다. 아리스토텔레스는 우리가 속도와 힘이라고 부르는 것을 명확하게 구분하지 않았고, 밀도와 점성에 대해 같은 용어를 사용했으며, 공간이 아닌 매개체를 통해 항상 운동을 구상했습니다. 게다가, 종종 "아리스토텔리안"이라고 불리는 몇몇 개념들은 그의 추종자들과 그에 대한 논평가들에게 더 잘 귀속될 수 있습니다.^[91] 이 논평가들은 아리스토텔레스 물리학이 발사체 운동을 설명하는 데 어려움을 겪는다는 것을 발견했습니다.^{[note 17]} 아리스토텔레스는 운동을 "자연적인"과 "폭력적인" 두 가지 유형으로 나누었습니다. 지상 고체 물질의 "자연적인" 운동은 아래로 떨어지는 반면, "폭력적인" 운동은 몸을 옆으로 밀 수 있습니다. 게다가, 아리스토텔레스 물리학에서, "폭력적인" 운동은 그것의 "폭력적인" 운동의 원인과는 별개로, 신체는 "자연적인" 행동으로 되돌아갈 것입니다. 하지만 창은 던지는 사람의 손을 떠난 후에도 계속 움직입니다. 아리스토텔레스는 창 주위의 공기가 창을 앞으로 움직일 수 있는 능력을 주어야 한다고 결론지었습니다. 6세기에 활동한 비잔틴 그리스 사상가 존 필로포누스는 이 황당한 사실을 발견했습니다. 같은 매개체인 공기는 운동을 유지하고 운동을 방해하는 데 어느 정도 책임이 있다는 것입니다. 필로포누스는 아리스토텔레스의 생각이 사실이라면 군대는 풀무로 무기를 발사할 것이라고 말했습니다. 필로포누스는 몸을 움직임으로 만드는 것은 신체 자체에 포함되는 특성, 추진력을 부여한다고 주장했습니다. 자극이 지속되는 한 몸은 계속 움직일 것입니다.^{[93]: 47} 그 후 몇 세기 동안, 추동 이론의 버전은 Nurad-Din al-Bitruji, Avicenna, Abu'l-Barakāt al-Baghdad ī, John Buridan, 그리고 Albert of Saxon을 포함한 사람들에 의해 발전되었습니다. 돌이켜 보면, 추진력의 개념은 현대적인 추진력 개념의 선구자라고 볼 수 있습니다.^{[note 18]} 물체가 어떤 종류의 추진력에 따라 움직인다는 직관은 많은 일반물리학 학생들에게 지속됩니다.^[95]

관성과 제1법칙

프랑스 철학자 르네 데카르트는 1629년에서 33년 사이에 쓰여진 그의 "자연의 법칙"을 통해 관성의 개념을 소개했습니다. 그러나, The World는 태양중심적인 세계관을 주장했고, 1633년에 이 관점은 갈릴레오 갈릴레이와 로마 가톨릭 종교재판 사이에 큰 갈등을 일으켰습니다. 데카르트는 이 논쟁에 대해 알고 있었고 관여하기를 원하지 않았습니다. 세상은 그가 죽은 지 10년이 지난 1664년까지 출판되지 않았습니다.^[96]

현대의 관성 개념은 갈릴레오 덕분입니다. 갈릴레오는 그의 실험을 바탕으로 움직이는 물체의 "자연스러운" 행동은 다른 것이 그것을 방해할 때까지 계속 움직이는 것이라고 결론지었습니다. 갈릴레오는 두 개의 새로운 과학에서 다음과 같이 썼습니다.^[97][98]

수평면을 따라 마찰 없이 투영된 입자를 상상해 보세요. 그러면 앞의 페이지에서 더 충분히 설명한 바에 따르면, 우리는 이 입자가 평면에 제한이 없다면 균일하고 영구적인 운동으로 이 평면을 따라 움직일 것이라는 것을 알고 있습니다.

갈릴레오는 발사체 운동에서 지구의 중력이 수직 운동에는 영향을 미치지만 수평 운동에는 영향을 미치지 않는다는 것을 인식했습니다.^[99] 그러나 갈릴레오의 관성 개념은 뉴턴의 제1법칙으로 성문화될 정확한 개념은 아니었습니다. 갈릴레오는 관성적으로 먼 거리를 움직이는 물체는 지구의 곡선을 따라 움직일 것이라고 생각했습니다. 이 생각은 관성 운동은 직선 운동이어야 한다는 것을 인식한 아이작 비크만, 데카르트, 피에르 가센디에 의해 수정되었습니다.^[100] 데카르트는 1644년 철학 원리(Principia Philosophiae)에 이 수정과 함께 그의 자연 법칙(운동 법칙)을 발표했고, 태양 중심 부분은 톤 다운되었습니다.^[101][96]

자연의 제1법칙: 자기 자신에게 맡겨질 때 각각의 것은 같은 상태로 계속됩니다. 그래서 움직이는 물체는 무엇인가가 그것을 멈출 때까지 계속 움직입니다.

자연의 제2법칙: 자신에게 맡겨도 각각의 움직이는 물체는 직선으로 움직입니다. 따라서 원을 따라 움직이는 물체는 항상 원의 중심에서 멀어집니다.

미국의 철학자 리차드 J. 블랙웰에 따르면, 네덜란드의 과학자 크리스티안 하위헌스는 1656년에 그만의 간결한 법칙을 개발했습니다.^[102] 그가 죽은 지 8년이 지난 1703년이 되어서야 De Motu Corporum ex Percussione의 첫 단락에 실렸습니다.

가설 1: 이미 움직이는 물체는 방해받지 않는 한 같은 속도로 직선으로 계속해서 움직일 것입니다.

호이겐스에 따르면, 이 법칙은 갈릴레오와 데카르트 등에 의해 이미 알려져 있었다고 합니다.^[102]

힘과 제2법칙

크리스티안 하위헌스(Christian Huygens)는 그의 호롤기움 발진기(Horologium Oscillatorium, 1673)에서 "중력의 작용에 의해, 그 근원이 무엇이든 간에, 물체는 한 방향 또는 다른 방향으로의 균일한 운동과 중력에 의해 아래로 향하는 운동 둘 다로 구성된 운동에 의해 움직이게 된다"는 가설을 제시했습니다. 뉴턴의 제2법칙은 이 가설을 중력에서 모든 힘으로 일반화시켰습니다.^[103]

뉴턴 물리학의 한 가지 중요한 특징은 힘이 물리적인 접촉을 필요로 하지 않고 멀리서도 작용할 수 있다는 것입니다.^{[note 19]} 예를 들어, 태양과 지구는 수백만 킬로미터 떨어져 있음에도 불구하고 중력으로 서로를 끌어당깁니다. 이는 데카르트가 주장한 태양의 중력이 행성들을 투명한 물질인 에테르의 소용돌이 속에서 소용돌이치게 함으로써 행성들을 궤도에 고정시킨다는 생각과 대조됩니다.^[110] 뉴턴은 힘에 대한 이론적 설명을 고려했지만 결국 거부했습니다.^[108] 윌리엄 길버트 등의 자기에 대한 연구는 비물질적인 힘을 생각하는 선례를 만들었고,^[108] 그의 중력 법칙을 미학적 모델 측면에서 정량적으로 만족할 만한 설명을 찾을 수 없었다고 뉴턴은 결국 다음과 같이 선언했습니다. "아무런 가설도 없는 것 같다": 데카르트의 소용돌이와 같은 모형이 프린시피아의 운동과 중력 이론의 기초가 되는 것으로 밝혀질 수 있는지 없는지에 대한 판단의 첫 번째 근거는 그들이 한 성공적인 예측일 것입니다.^[111] 그리고 실제로 뉴턴의 시대 이후 그러한 모델에 대한 모든 시도는 실패했습니다.

운동량보존과 제3법칙

요하네스 케플러는 중력의 인력이 상호적이라고 제안했습니다. 예를 들어, 달은 지구를 끌어당기는 반면 지구는 달을 끌어당기는 것입니다. 그러나 그는 그러한 쌍이 동등하고 반대라고 주장하지 않았습니다.^[112] 데카르트는 그의 철학 원리 (1644)에서 물체들 사이의 충돌 동안 "운동량"은 변하지 않는다는 생각을 소개했습니다. 데카르트는 각 몸체의 속도와 "크기"의 곱을 더함으로써 이 양을 다소 부정확하게 정의했습니다. 여기서 그를 위한 "크기"는 부피와 표면적을 모두 포함했습니다.^[113] 게다가 데카르트는 우주를 하나의 기둥, 즉 물질로 가득 찬 것으로 생각했기 때문에 모든 운동은 매질이 움직일 때 그것을 변위할 수 있는 몸을 필요로 했습니다.

1650년대 동안, Huygens는 단단한 구들 사이의 충돌을 연구했고, 현재 운동량 보존으로 확인되는 원리를 추론했습니다.^[114][115] Christopher Wren은 나중에 Huygens가 가졌던 것과 같은 탄성 충돌에 대한 규칙을 추론할 것이고, John Wallis는 비탄성 충돌을 연구하기 위해 운동량 보존을 적용할 것입니다. 뉴턴은 자신의 제3법칙의 타당성을 뒷받침하기 위해 하위헌스, 렌, 왈리스의 연구를 인용했습니다.^[116]

뉴턴은 점진적으로 그의 세 가지 법칙에 도달했습니다. 1684년 호이겐스에게 쓴 원고에서 그는 관성의 원리, 힘에 의한 운동의 변화, 오늘날 갈릴레이 불변성이라고 불릴 상대 운동에 관한 진술, 그리고 물체들 사이의 상호작용이 그들의 질량 중심의 운동을 바꾸지 않는다는 법칙 등 네 가지 법칙을 열거했습니다. 뉴턴은 이후의 원고에서 이 법칙과 질량 중심에 관한 법칙이 서로를 암시한다고 말하면서 작용과 반작용의 법칙을 추가했습니다. 뉴턴은 아마도 1685년 동안 세 가지 기본 법칙과 다른 진술을 상관 관계로 축소하여 프린시피아에서 발표를 결정했을 것입니다.^[117]

프린키피아 이후

뉴턴은 물체에 작용하는 힘은 물체의 운동 변화, 즉 운동량에 비례한다고 말하면서 그의 제2법칙을 표현했습니다. 그가 프린키피아를 쓸 무렵, 그는 이미 미적분학을 발전시켰지만, 아마도 유클리드의 전통에서 기하학적 주장이 더 엄격하다고 믿었기 때문에 프린키피아에서는 그것을 명시적으로 사용하지 않았습니다.^{[119]: 15 [120]} 따라서 Principia는 가속도를 위치의 2차 도함수로 표현하지 않으며, $따라서$ 두 번째 ${\displaystyle \mathrm{법칙}}$을 ${\displaystyle F}$ =$$ma {\display F = ma}로 표시하지 않습니다. 제2법칙의 이러한 형태는 적어도 1716년에 야코프 헤르만에 의해 작성되었으며, 레온하르트 오일러는 1740년대에 그것을 기본 전제로 사용했습니다.^[121] 오일러는 강체에^[122] 대한 연구를 개척하고 유체 역학의 기본 이론을 확립했습니다.^[123] 피에르시몽 라플라스의 5권 Traité de mécanique céleeste(1798-1825)는 숙 기하학을 위한 것으로 순수하게 대수적 표현을 통해 역학을 발전시키는 한편, 프린키피아가 열어두었던 문제들을 조류의 완전한 이론처럼 해결했습니다.^[124]

에너지의 개념은 포스트 뉴튼 시대에 뉴턴 역학의 핵심 부분이 되었습니다. 하드 구의 충돌에 대한 하위헌스의 해결책은 그 경우 운동량이 보존될 뿐만 아니라 운동 에너지도 보존된다는 것을 보여주었습니다(혹은 오히려 돌이켜보면 우리가 전체 운동 에너지의 1/2로 식별할 수 있는 양). 비탄성 충돌과 마찰에 의해 느려지는 운동 등 다른 모든 과정에서 무엇이 보존되는지에 대한 문제는 19세기에 이르러서야 해결되었습니다. 이 주제에 대한 논쟁은 뉴턴과 라이프니츠의 형이상학적 견해 사이의 철학적 논쟁과 겹쳤고, "힘"이라는 용어의 변형은 때때로 우리가 에너지 유형이라고 부르는 것을 나타내기 위해 사용되었습니다. 예를 들어, 1742년, 에밀리 뒤 샤틀레는 "죽은 힘은 단순한 움직임의 경향으로 구성됩니다: 휴식을 취할 준비가 된 용수철의 힘; 살아있는 힘은 실제 움직임에 있을 때 몸이 가지고 있는 힘입니다"라고 썼습니다. 현대 용어로 '죽은 힘'과 '살아있는 힘'은 각각 위치 에너지와 운동 에너지에 해당합니다.^[125] 기계적인 일의 에너지가 열로 발산될 수 있다는 것이 이해되기 전까지는 에너지의 보존이 보편적인 원리로 확립되지 않았습니다.^[126][127] 견고한 기초가 제공되는 에너지의 개념으로 뉴턴의 법칙은 위에서 설명한 라그랑지안과 해밀턴 공식처럼 에너지를 최우선으로 하는 고전 역학 공식 내에서 유도될 수 있습니다.

뉴턴의 법칙에 대한 현대적인 표현은 벡터의 수학을 사용하는데, 이는 19세기 말과 20세기 초까지 개발되지 않은 주제입니다. Josiah Willard Gibbs와 Oliver Heaviside가 개척한 벡터 대수학은 William Rowan Hamilton에 의해 발명된 초기의 4원수 체계에서 유래하고 크게 대체되었습니다.^[128][129]

참고 항목

• 고전역학의 역사
• 동음이의 법칙 목록
• 고전역학의 방정식 목록
• 사람의 이름을 딴 과학 법칙 목록
• 고전역학과 양자역학에 관한 교과서 목록
• 노튼 돔

메모들

참고문헌

더보기

• Chakrabarty, Deepto; Dourmashkin, Peter; Tomasik, Michelle; Frebel, Anna; Vuletic, Vladan (2016). "Classical Mechanics". MIT OpenCourseWare. Retrieved 17 January 2022.
• Thomson, W.; Tait, P. G. (1867). "242, Newton's laws of motion". Treatise on natural philosophy. Vol. 1.