실내 대수

추상대수학에서 내부대수는 집합의 위상학적 내면의 사상을 암호화하는 어떤 형태의 대수학적 구조다.내부 알헤브라는 위상과 모달로직 S4가 이론과 평범한 명제논리를 설정하기 위한 것이다.인테리어 알헤브라는 다양한 모달 알헤브라를 형성한다.

정의

실내 대수학(Internal 대수학)은 서명이 있는 대수학 구조물이다.

⟨S, ·, +, ′, 0, 1, ^I⟩

어디에

⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩

부울 대수학 및 포스트픽스는 단항 연산자, 즉 내부 연산자를 지정하여 ID를 만족한다.

1. x^I x x
2. x^II = x^I
3. (xy)^I = x^Iy^I
4. 1^I = 1

x는^I x의 내부라고 불린다.

내부 작동자의 이중은 x^C = (x′)′^I로 정의되는 폐쇄 작동자 이다.x는^C x의 폐쇄라고 불린다. 이중성의 원칙에 의해, 폐쇄 운영자는 다음과 같은 정체성을 만족한다.

1. x^C x x
2. x^CC = x^C
3. (x + y)^C = x^C + y^C
4. 0^C = 0

폐쇄 연산자를 원시적인 것으로 간주하는 경우, 내부 연산자를 x^I = (x()′로 정의할 수 있다.^C따라서 내부 알헤브라의 이론은 내부 운영자 대신 폐쇄 운영자를 사용하여 공식화될 수 있으며, 이 경우 ⟨S, · +, ′, 0, 1, ⟩ 형식의 폐쇄 알헤브라를 고려하는데, 여기서 sS, · · +, ,, 0, 1⟩는 다시 부울 대수학이며 폐쇄 운영자에 대해 위의 정체성을 만족한다.폐쇄와 내부 알헤브라는 이중 쌍을 이루고 있으며, "운영자가 있는 부울 알헤브라스"의 패러다임 사례다.이 주제에 대한 초기 문헌(주로 폴란드 토폴로지)은 폐쇄 운영자들을 호출했지만, 결국 내부 운영자 제형이 빔 블로크의 작업에 이어 표준이 되었다.

개방 및 폐쇄 요소

x^I = x 조건을 만족하는 내부 대수학의 원소를 open이라고 한다.열린 요소의 보완을 닫힘이라고 하며 x^C = x 조건의 특징을 가지고 있다. 요소의 내부는 항상 열려 있고 요소의 닫힘은 항상 닫혀 있다.닫힌 원소의 내부는 규칙적인 개방이라고 하고, 열린 원소의 폐쇄는 규칙적인 폐쇄라고 한다.열린 원소와 닫힌 원소를 모두 clopen이라고 한다. 0과 1은 clopen이다.

실내 대수학은 모든 요소가 열려 있으면 부울이라고 불린다.부울 내부 알헤브라는 내부 및 폐쇄 운영자가 의미 있는 추가 구조를 제공하지 않기 때문에 일반 부울 알헤브라와 동일시할 수 있다.특별한 경우는 0 = 1의 정체성을 특징으로 하는 단일 요소인 사소한 내부 알헤브라의 등급이다.

내부 알헤브라의 형태론

동형성

내부 알헤브라는 대수학적 구조로 인해 동형성을 가지고 있다.지도 f:A → B는 두 개의 내부 알헤브라를 볼 때, f가 A와 B의 기저 부울 알헤브라의 동형일 경우에만 내부 대수 동형성으로, 내부와 폐쇄도 보존한다.따라서 다음과 같다.

• f(x^I) = f(x)^I;
• f(x^C) = f(x)^C.

위상동형성

토포모르프리즘은 또 다른 중요하고 더 일반적인 내부 알헤브라스 사이의 형태론이다.지도 f : A → B는 f가 A와 B의 기초가 되는 부울 알헤브라의 동형인 경우에만 토포모르프로서 A의 개방적 요소와 폐쇄적 요소도 보존한다.따라서 다음과 같다.

• x가 A에서 열리면 f(x)가 B에서 열림;
• x가 A에서 닫히면 f(x)는 B에서 닫힌다.

(이러한 형태론을 안정적 동형성, 폐쇄대수 반동형성이라고도 한다.)모든 내부대수동형주의는 토포모르프주의지만, 모든 토포모르프주의가 내부대수동형주의인 것은 아니다.

부울 동형성

초기 연구에서는 흔히 내부 알헤브라의 기초가 되는 부울 알헤브라의 동형상이지만 내부나 폐쇄 운영자를 반드시 보존하지는 않는 내부 알헤브라의 매핑을 고려했다.그러한 매핑을 부울동형(Boolean homomorphism)이라고 불렀다.(폐쇄동형(closure) 또는 위상동형(topological)동형(homorphism)이라는 용어는 이것들이 보존된 경우에 사용되었지만, 현재 보편대수학에서 동형성의 표준 정의는 모든 연산을 보존할 것을 요구하므로 이 용어는 중복된다.)셀 수 없이 완전한 내부 알헤브라스(countable meet and joins, ,-complete라고도 함)를 포함하는 애플리케이션은 일반적으로 부울 σ-호모폴리스라고도 하는 계산 가능한 완전한 부울 호모피즘을 사용하였다 - 이러한 보존 가능한 만남과 결합.

연속 형태론

내부 알헤브라에 대한 연속성의 초기 일반화는 연속 지도의 역 이미지 맵에 기초한 시코르스키의 것이었다.이것은 부울 동형상이며, 시퀀스의 결합을 보존하며, 폐쇄의 역영상에 역영상의 폐쇄를 포함한다.따라서 시코르스키는 f(x)^C ≤ f(x^C)와 같은 두 σ완전한 내부 알헤브라의 부울 σ-호모폴리스 f로 연속적인 동형성을 정의했다.이 정의에는 다음과 같은 몇 가지 어려움이 있었다.그 공사는 일반화보다는 연속 지도의 이중화를 역행적으로 제작한다.한편 σ-완전성은 역 영상 맵을 특성화하기에는 너무 약하며(완전성이 필요함) 한편 일반화하기에는 너무 제한적이다.(Sikorski는 비-완전 동형성 사용에 대해 언급했지만, 그의 폐쇄 알헤브라의 공리에 σ-완전성을 포함시켰다.)이후 J. Schmid는 f(x^C) ≤ f(x)를 만족하는 두 내부 알헤브라 사이의 부울 동형성 f로서 내부 알헤브라에 대한 연속적인 동형성 또는 연속적인 형태주의를 정의했다.^C이것은 연속 지도의 전진 이미지 맵을 일반화한다 - 폐쇄 이미지는 이미지 폐쇄에 포함된다.이 구조는 공변성이지만 범주의 이론적 용도에 적합하지 않은데, 이는 편차의 경우 연속적인 지도에서 연속적인 형태론만 만들 수 있기 때문이다.(C. 나투르만은 위에서 정의한 위상동형을 생성하기 위해 com-완전성을 떨어뜨리면서 시코르스키의 접근법으로 돌아왔다.이 용어에서 시코르스키의 원래 "연속적인 동형상"은 σ-완전한 내부 알헤브라스 사이의 σ-완전한 토포형상이다.)

수학의 다른 영역과의 관계

위상

위상학적 공간 X = ⟨X를 감안할 때 T one 1은 X의 파워 세트 부울 대수학(Power set Boolean 대수학)을 형성할 수 있다.

⟨P(X), ∩, ∪, ø, ø, ø, X⟩

그리고 그것을 실내 대수학으로 확장시킨다.

A(X) = ⟨P(X), ∩, ∪, ø, ø, ø, X, ⟩,

일반적인 위상학적 내부 운영자는 어디에 있는가?모든 S ⊆ X에 대해 다음과 같이 정의된다.

S^I = ∪ {O : O ⊆ S와 O는 X}에서 열림

모든 S ⊆ X에 대해 해당 폐쇄 연산자는 다음과 같이 주어진다.

S^C = ∩ {C : S ⊆ C와 C는 X}에서 닫힘

S는^I S의 가장 큰 열린 부분집합이고 S는^C X에서 S의 가장 작은 닫힌 부분집합이다.내부 대수학 A(X)의 개방, 폐쇄, 정기 개방, 폐쇄 및 폐쇄형, 폐쇄형, 폐쇄형, 폐쇄형, 폐쇄형 소자는 통상적인 위상학적 의미에서 각각 X의 개방형, 폐쇄형 소그룹일 뿐이다.

모든 완전한 원자 내부 대수학은 어떤 위상학적 공간 X에 대해 A형식(X)의 내부 대수학과는 이형이다.게다가, 모든 내부 대수학은 위상학적으로 집합의 영역으로서 내부 대수학의 표현을 제공하는 그러한 내부 대수학에 내장될 수 있다.구조 A(X)의 성질은 내부 알헤브라의 정의에 바로 동기가 된다.위상과의 긴밀한 연관성 때문에 내부 알헤브라는 토포 부울 알헤브라스 또는 토폴로지 부울 알헤브라스라고도 불린다.

두 위상학적 공간 사이에 연속 지도가 지정됨

f : X → Y

우리는 완전한 토폴로피즘을 정의할 수 있다.

A(f) : A(Y) → A(X)

에 의해

A(f) = f⁻¹[S]

Y의 모든 하위 집합에 대해두 개의 완전한 원자 내부 알헤브라스 사이의 모든 완전한 토폴로피즘은 이런 방식으로 도출될 수 있다.Top이 위상적 공간과 연속적 지도의 범주, Cit가 완전한 원자 내부 알헤브라와 완전한 위상동형성의 범주라면 Top과 Cit는 다변적 이소동형이고 A : Top → Cit는 범주의 이중 이소동형인 반동형 펑터다.A(f)는 f가 연속적으로 열린 지도인 경우에만 동형이다.

이러한 범주의 이중 이형성 하에서 많은 자연적 위상학적 특성은 대수적 특성에 대응하며, 특히 연결성 특성은 불가역성 특성에 대응한다.

• A(X)가 사소한 경우에만 X가 비어 있음
• X는 A(X)가 단순한 경우에만 불분명한 것이다.
• A(X)가 부울인 경우에만 X가 이산형입니다.
• A(X)가 semisimize인 경우에만 X가 거의 이산형입니다.
• X는 A(X)가 연산자 완료인 경우에만 미세하게 생성된다(알렉산드로프). 즉, 내부 및 폐쇄 연산자가 각각 임의의 만남과 결합을 통해 분배된다.
• A(X)가 직접 강제추행 가능한 경우에만 X가 연결됨
• X는 A(X)가 미세하게 직접 분해할 수 없는 경우에만 초음파 연결된다.
• X는 A(X)가 직접 복구할 수 없는 경우에만 소형 초연결됨

일반화 위상

오픈 서브셋의 토폴로지 측면에서 위상학적 공간의 현대적 공식화는 내부 알헤브라의 대체 공식화에 동기를 부여한다.일반화된 위상학적 공간은 형태의 대수적 구조다.

⟨B, ·, +, ′, 0, 1, T⟩

여기서 ⟨B, ·, +, +, ′, 0, 1⟩는 평소와 같이 부울대수이며, T는 다음과 같은 B(B의 서브셋)에 대한 단항관계다.

1. 0.1㎛ T
2. 임의 조인에 의해 T가 닫힌다(즉, 임의의 T 부분 집합의 조인이 존재하는 경우 T는 T로 된다).
3. T는 유한한 만남에서 닫힌다.
4. B의 모든 요소 B에 대해, {{a tT : ≤ b} 결합이 존재한다.

T는 부울대수에서 일반화된 위상이라고 한다.

내부 대수학에서 그것의 열린 요소들은 일반화된 위상들을 형성한다.반대로 일반화된 위상학적 공간은

⟨B, ·, +, ′, 0, 1, T⟩

B에^I 대해 b = σ{a ∈T : ≤ b}로 내부 연산자를 정의할 수 있으며, 따라서 개방 요소가 정밀하게 T인 내부 대수학을 생성할 수 있다.따라서 일반화된 위상학적 공간은 내부 알헤브라와 동등하다.

내부 알헤브라가 위상학적 공간을 일반화하도록 고려했을 때, 토포모르피즘은 관계가 추가된 부울 알헤브라의 표준 동형성이기 때문에 보편적 대수학의 표준 결과가 적용된다.

인접함수 및 인접함수

이웃의 위상학적 개념은 내부 알헤브라에 일반화될 수 있다.내부 대수의 원소 y는 원소 x인 경우^I 원소 x의 인접 지역이라고 한다.x의 이웃집 세트는 N(x)으로 표시되며 필터를 형성한다.이것은 내부 알헤브라의 또 다른 공식화로 이어진다.

부울 대수의 인접 함수는 기본 집합 B에서 필터 집합으로 N을 매핑하는 것으로 다음과 같다.

1. 모든 x ∈ B에 대해 max{y ∈ B : x ∈ N(y)}이(가) 있음
2. 모든 x,y ∈ B, x ∈ N(y)에 대하여, 만약 그리고 y ≤ z ≤ x 및 z ∈ N(z)과 같은 z ∈ B가 있는 경우에만.

내부 대수 요소의 N을 인접 지역 필터에 매핑하는 것은 내부 대수학의 기본 부울 대수에서 이웃 함수다.더욱이, 기본 집합 B와 함께 부울 대수에 대한 인접함수 N을 주어진다면, 우리는 내부 연산자를^I x = 최대 {y b B : x n N(y)}로 정의하여 내부 대수학 을 얻을 수 있다. 그러면 N(x)은 이 내부 대수학에서 정확히 x의 인접성의 필터가 될 것이다.따라서 내부 알헤브라는 특정 인접함수를 가진 부울 알헤브라와 동등하다.

인접함수의 관점에서, 오픈 요소는 정확히 x ∈ N(x)과 같은 x 원소들이다.열린 원소 x n N(y)의 관점에서, y z z x x와 같은 열린 원소 z가 있는 경우에만.

인접 함수는 인접(semi) 지연으로 알려진 구조를 생성하는 (만난)-semattic에서 더 일반적으로 정의될 수 있다.따라서 내부 알헤브라는 정확히 부울 인접 격자, 즉 반밀라티스가 부울 대수를 형성하는 인접 격자로 볼 수 있다.

모달 논리학

모달 논리 S4에서 이론(정식 문장의 집합) M을 주어, 우리는 그것의 린덴바움-을 형성할 수 있다.타르스키 대수:

L(M) = ⟨M / ~, ∧, ∨, □, F, T, □⟩

여기서 ~는 p와 q가 M에서 논리적으로 동등한 경우에만 p ~ q로 주어진 M 문장의 동등성 관계이고, M / ~는 이 관계에 따른 동등성 등급의 집합이다.그렇다면 L(M)은 실내 대수학이다.이 경우 내부 운영자는 모달 운영자 □(필요하게)에 해당하고, 폐쇄 운영자는 ◊(가급적으로)에 해당한다.이 구조는 모달알헤브라와 모달로직의 보다 일반적인 결과의 특별한 경우다.

L(M)의 열린 요소는 반드시 참일 경우에만 참인 문장에 해당하고, 닫힌 요소는 반드시 거짓일 경우에만 거짓인 문장에 해당한다.

S4와의 관계 때문에 내부 알헤브라는 논리학자 C의 이름을 따서 S4 알헤브라스 또는 루이스 알헤브라스라고 부르기도 한다. 모달로직 S4와 S5를 처음 제안한 I. 루이스.

예약주문

내부 알헤브라는 (정상) 부울 알헤브라가 연산자와 함께 있기 때문에, 적절한 관계형 구조의 세트장들로 나타낼 수 있다.특히 모달알헤브라가므로 모달 프레임이라고 하는 단일 이항 관계를 가진 집합의 집합의 필드로 나타낼 수 있다.내부 알헤브라에 해당하는 모달 프레임은 정확히 사전 정렬된 세트다.사전 정렬된 세트(S4-프레임이라고도 함)는 모달 로직 S4의 Kripke 의미론을 제공하며, 내부 알헤브라와 사전 주문 사이의 연결은 모달 로직과의 연결과 깊은 관련이 있다.

사전 정렬된 집합 X = ⟨X, «⟩에 따라 내부 대수학을 구성할 수 있다.

B(X) = ⟨P(X), ∩, ∪, ø, ø, ø, X, ⟩

X의 동력 집합 부울 대수로부터, 내부 연산자는 다음과 같이 주어진다.

S^I = {x ∈ X : 모든 y ∈ X에 대해, x « y는 모든 S ⊆ X에 대한 y ∈ S}을 의미한다.

해당 폐쇄 연산자는

S^C = {x ∈ X : 모든 S ⊆ X에 대해 x « y}을(를) 갖는 y ∈ S가 있다.

S는^I S 밖의 세계로부터 접근할 수 없는 모든 세계의 집합이며, S는^C S의 일부 세계로부터 접근할 수 있는 모든 세계의 집합이다.모든 내부 대수학은 위에서 언급한 세트 필드(예약 필드)로서 표기를 제공하는 어떤 사전 정렬된 집합 X에 대해 B(X) 형식의 내부 대수학에 내장될 수 있다.

이러한 구성과 표현 정리는 모달 알헤브라와 모달 프레임에 대한 보다 일반적인 결과의 특별한 경우다.이런 점에서 인테리어 알헤브라는 토폴로지와의 연관성 때문에 특히 흥미롭다.이 구조는 사전 순서가 지정된 세트 X에 위상, 알렉산드로프 위상(Alexandrov)을 제공하여 오픈 세트가 다음과 같은 위상학적 공간 T(X)를 생성한다.

{O ⊆ X : 모든 x ∈ O와 모든 y ∈ X에 대해, x « y는 y ∈ O}을 의미한다.

해당 폐쇄형 세트는 다음과 같다.

{C ⊆ X : 모든 x ∈ C와 모든 y ∈ X에 대해 y « X는 y ∈ C}을 의미한다.

즉, 오픈세트는 외부로부터 접속이 불가능한 세트(상향세트)이며, 클로즈드세트는 모든 외부세계가 내부로부터 접속이 불가능한 세트(하향세트)이다.더욱이 B(X) = A(T(X))이다.

모나치 부울 알헤브라스

모든 모나치 부울 대수는 내부 연산자가 보편적 정량자이고 폐쇄 연산자는 실존적 정량자인 내부 대수라고 볼 수 있다.모나디드 부울 알헤브라는 정확히 그 정체성을^ICI 만족시키는 다양한 내부 알헤브라가 된다. 즉, 그것들은 정확히 모든 열린 원소가 닫히거나 동등하게 닫힌 내부 알헤브라가 된다.게다가, 그러한 내부 알헤브라는 정확히 반시 구현된 내부 알헤브라스다.또한 모달 논리 S5에 해당하는 내부 알헤브라가 되어 S5 알헤브라스라고도 불렸다.

사전 정렬된 집합과 내부 알헤브라의 관계에서 그들은 사전 정렬된 집합이 S5에 대한 Kripke 의미론을 제공한다는 사실을 반영하여, 사전 정렬된 집합이 동등성 관계인 경우에 대응한다.이는 또한 단색 계량 논리(단색 부울 알헤브라가 대수적 설명을 제공하는 것)와 모달 연산자 □(필요하게) 및 ◊(가급적)을 각각 단색적 보편적 계량화와 실존적 계량화를 사용하여 Kripke 의미론에서 해석할 수 있는 S5 사이의 관계를 반영한다.접근성 관계

헤잉 알헤브라스

내부 대수학의 개방 원소는 헤이팅 대수학을 형성하고 폐쇄 원소는 이중 헤이팅 대수학을 형성한다.규칙적인 개방 요소와 규칙적인 폐쇄 요소는 각각 이들 알헤브라의 의사완성 원소와 이중의 의사완성 원소에 대응하여 부울 알헤브라를 형성한다.클로닝 원소는 보완된 원소에 대응하며 내부 대수 자체뿐만 아니라 이들 부울 알헤브라의 공통 하위 원소를 형성한다.모든 헤이팅 대수학은 내부 대수학의 개방적 요소로 표현될 수 있고 후자는 그것의 개방적 요소에 의해 생성된 내부 대수학으로 선택될 수 있다 - 그러한 내부 알제브라는 후자의 자유 부울 확장인 헤잉 알제브라와 1 대 1로 대응된다.

헤잉 알헤브라는 내부 알헤브라가 모달 논리 S4를 위해, 부울 알헤브라가 명제 논리학을 위해 하는 직관적 논리에도 같은 역할을 한다.헤잉 알헤브라와 내부 알헤브라의 관계는 직관론적 논리와 S4의 관계를 반영하고 있는데, 이 관계를 통해 직관론적 논리 이론을 필요에 따라 닫힌 S4 이론으로 해석할 수 있다.헤잉 알헤브라와 그들의 열린 요소에 의해 생성된 내부 알헤브라의 일대일 대응은 직관적 논리의 확장과 모달 논리 S4.Grz의 정상적인 확장 사이의 일치성을 반영한다.

파생 알헤브라스

내부 대수 A를 주어진 경우, 폐쇄 연산자는 파생 연산자의 공리를 준수한다. 따라서 우리는 폐쇄 연산자를 파생 연산자로 사용함으로써 A와 동일한 기초 부울 대수 A를 갖는 파생 대수 D(A)를 형성할 수 있다.

그러므로 내부 알헤브라는 파생 알헤브라스다.이러한 관점에서 볼 때, 그것들은 정확히 정체성^D x ≥ x를 만족하는 다양한 파생 알헤브라의 종류다. 파생 알헤브라는 모달 논리 WK4에 적절한 대수적 의미를 제공한다.따라서 파생 알헤브라는 위상학적 파생 집합에 해당하며, WK4는 내부/폐쇄 알헤브라는 위상학적 내부/폐쇄 및 S4에 해당한다.

파생 연산자와 함께 파생 대수 V를 주어, 우리는 각각 x = x/x x과^I x = x + x로^CD 정의되는 내부 및 폐쇄 연산자로 V와 동일한 기초 부울 대수 I(V)를 형성할 수 있다.따라서 모든 파생 대수학은 내부 대수학으로 간주될 수 있다.더욱이 내부 대수 A를 주어, 우리는 I(D(A) = A를 가지고 있다. 그러나 D(I(V) = V가 모든 파생 대수 V를 반드시 보유하는 것은 아니다.

내부 알헤브라를 위한 석재 이중성과 표현

스톤 이중성은 부울 알헤브라와 부울 공간이라고 알려진 위상학적 공간의 종류 사이에 범주의 이론적 이중성을 제공한다.관계 의미론(크립케에 의해 공식화됨)의 초기 아이디어와 R. S. 피어스, 존손, 타르스키, G의 결과물을 기반으로 한다.한소울은 파워 세트 구조를 통해 부울 공간을 운영자에 해당하는 관계와 함께 배치함으로써 스톤 이중성을 운영자와 부울 알헤브라스까지 확장했다.내부 알헤브라의 경우 내부(또는 폐쇄) 운영자는 부울 공간의 사전 주문에 해당한다.내부 알헤브라스 사이의 동형체는 짧은 기간 동안 의사-epimorism 또는 p-morphism으로 알려진 부울 공간 사이의 연속적인 지도의 종류에 해당한다.이 스톤 이중성을 조손-타르스키 대표성을 바탕으로 내부 알헤브라에 일반화한 것은 레오 에사키아의 조사로 S4-알제브라스(내부 알헤브라스)의 경우 에스아키아의 이중성으로도 알려져 있으며 헤잉 알헤브라의 경우 에스아키아의 이중성과 밀접한 관련이 있다.

스톤 이중성의 Jonsson-Tarski 일반화는 일반적으로 운영자와 부울 알헤브라에 적용되는 반면, 내부 알헤브라와 위상 사이의 연결은 내부 알헤브라에 고유한 스톤 이중성을 일반화하는 또 다른 방법을 허용한다.스톤 이중성 개발의 중간 단계는 세트 분야로서 부울 대수를 나타내는 스톤 표현 정리다.그런 다음 세트의 필드를 위상학적 기준으로 사용하여 해당 부울 공간의 스톤 토폴로지를 생성한다.루이스의 모달논리를 위해 탕차오-첸이 도입한 위상학적 의미론에 기초하여, 맥킨지와 타르스키가 공개한 원소에 대응하는 콤플렉스만을 기초로 하는 위상 생성으로, 내부 대수학의 표현은 토폴로지 세트의 위상학 분야인 세트 세트의 한 분야로서 얻어진다.내부 또는 폐쇄와 관련하여 닫힌 공간.세트의 위상학적 필드를 필드 맵 C라고 알려진 적절한 형태와 동일시함으로써.Naturman은 이 접근법이 부울알헤브라의 일반적인 스톤 이중성이 중복된 내부 알헤브라의 경우(부울 내부 알헤브라스)에 해당하는 범주 이론적 스톤 이중성으로 공식화될 수 있음을 보여주었다.

Jonsson-Tarski 접근방식에서 얻은 사전 순서는 S4 이론에 대한 Kripke 의미론에서의 접근성 관계에 해당하는 반면, 세트의 중간 장은 Lindenbaum–의 표현에 해당한다.타르스키 대수학은 이론의 문장이 있는 크립케 의미론에서 가능한 세계의 집합을 이용한 이론이다.세트 필드에서 부울 공간으로 이동하면 이 연결이 다소 난독해진다.사전 주문의 세트 필드를 그 자체로 범주로 처리함으로써 이 깊은 연결은 위상 없이 스톤 표현을 일반화하는 범주 이론적 이중성으로 공식화할 수 있다.R. Goldblatt는 그러한 이중성이 임의의 모달 알헤브라와 모달 프레임에 대해 형성될 수 있는 적절한 동형성에 대한 제약이 있다는 것을 보여주었다.Naturman은 내부 알헤브라의 경우 이러한 이중성이 보다 일반적인 토폴로피즘에 적용되며, 위상학적 세트의 이중성을 통해 범주 이론적 펑터를 통해 고려될 수 있다는 것을 보여주었다.후자는 린덴바움-을 대표한다.위상적 의미론에서 S4 이론의 문장을 만족시키는 점 집합을 이용한 타르스키 대수학.사전 주문은 McKinsey-Tarski 토폴로지의 전문화 사전 주문으로 얻을 수 있다.에사키아의 이중성은 세트 필드를 그것이 생성하는 부울 공간으로 대체하는 functor를 통해 복구할 수 있다.대신 사전 순서를 해당 알렉산드로프 위상으로 대체하는 functor를 통해, 위상이 맥킨지 타르스키 위상의 알렉산드로프 비코 반사인 세트 분야로서 내부 대수학의 대체 표현을 얻는다.욘손-타르스키 접근법의 스톤 위상과 사전 주문의 알렉산드로프 위상 모두를 사용하여 내부 알헤브라의 위상학적 이중성을 형성하여 생물 위상 공간을 형성하는 접근법은 G. 베자니쉬빌리, R.에 의해 조사되었다.지뢰와 P.J.모란디.내부 대수학의 맥킨지와 타르스키 위상은 이전 두 위상의 교차점이다.

변성학

그르제고르치크는 폐쇄 알헤브라의 기본적인 이론을 해독할 수 없는 것으로 증명했다.^[1][2]Naturman은 그 이론이 유전적으로 불독불독이라는 것을 증명했고(그 이론의 모든 하위 이론은 불독불독이다) 유전적으로 불독불독이론을 가진 초등 알헤브라의 무한한 체인을 보여주었다.

메모들

참조

• 1976년 W.A.의 블록, 다양한 인테리어 알헤브라스, 박사 논문, 암스테르담 대학교.
• Esakia, L, 2004, "위상을 통한 직설적 논리와 양식," 순수 및 응용 논리 127: 155-70.
• 맥킨지, J.C., 알프레드 타르스키, 1944년 "위상의 대수", 수학 연보 45장 141-91절.
• 1991년 C.A.의 Naturman, Internal Algebras and Topology, 박사 논문, 케이프 타운 수학과
• 베자니쉬빌리, G, 마인즈, R, 모란디, P.J., 2008, 폐쇄 알헤브라와 헤이팅 알헤브라의 탑코캐논적 보완, 대수유니버설 58: 1-34.
• 슈미드, J, 1973. 폐쇄 알헤브라의 압축에 관하여, 푼다멘타 수학자 79: 33-48
• 시코르스키 R, 1955년 폐쇄 동형식과 내부 매핑, 푼다멘타 수학자 41: 12-20