폐쇄 연산자

In mathematics, a closure operator on a set S is a function ${\displaystyle \operatorname {cl} :{\mathcal {P}}(S)\rightarrow {\mathcal {P}}(S)}$ from the power set of S to itself that satisfies the following conditions for all sets ${\displaystyle X,Y\subseteq S}$

${\displaystyle X\subseteq \operatorname {cl}(X)}$	(cl은 광범위함),
${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow \operatorname {cl}(X)\subseteq \operatorname {cl}(Y)}$	(cl is monotone),
${\displaystyle \operatorname {cl}(\operatorname {cl}(X))=\operatorname {cl}(X)}$	(cl은 idempotent).null

폐쇄 연산자는 집합 X의 폐쇄 cl(X)이 X를 포함하는 가장 작은 폐쇄형 집합이기 때문에 폐쇄형 집합, 즉 형식 cl(X)에 의해 결정된다.그러한 "폐쇄 세트"의 가족을 일반 분석의 형태로 소개하면서 폐쇄 연산자를 연구한 E. H. Moore를 기리기 위해 때로는 폐쇄 시스템 또는 "무어 패밀리"라고 부르기도 하는데 반해, 부분집합의 폐쇄의 개념은 위상적 공간과 관련하여 프리지예스 리에스의 작업에서 비롯되었다.^[1]당시에는 공식화되지 않았지만, 폐쇄의 발상은 19세기 후반 에른스트 슈뢰더, 리처드 드데킨드, 게오르크 칸토르의 현저한 공헌으로 시작되었다.^[2]null

폐업 연산자는 토폴로지에서 연구된 「폐쇄 연산자」와의 혼동을 방지하는 「hull 연산자」라고도 한다.폐쇄 연산자와 함께 설정된 것을 폐쇄공간이라고 부르기도 한다.null

적용들

폐쇄 운영자는 다음과 같은 많은 응용 프로그램을 가지고 있다.

토폴로지에서 폐쇄 연산자는 위상학적 폐쇄 연산자로, 이를 충족시켜야 한다.

${\displaystyle \operatorname {cl}(X_{1}\cup \dots \cup X_{n}=\operatorname {cl}\cl}컵 \dots \cup \operatorname {cl}(X_{n})$

$모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\$에 대해($$참고:${\displaystyle }n{\displaystyle }$ = ${\displaystyle 0}${\$displaystyle n=0}$의 경우 ${\displaystyle \mathrm{cl}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$∅${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaysty \operatorname {cl}(\varnoth$) $=\varnothing}).$null

대수학 및 논리학에서, 많은 폐쇄 연산자는 미세 폐쇄 연산자, 즉 그들은 만족한다.

${\displaystyle \operatorname {cl}(X)=\빅컵 \left\{\operatorname {cl}(Y):Y\subseteq X{\text{} 및 }Y{\text{ limited}}\right\}.}$

이론 컴퓨터 과학에서 중요한 부분 순서 집합 이론에서, 폐쇄 운영자는 ⊆${\$디스플레이 $스타일 \subseteq }$을(를) $\le {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\leq$$}$로 대체하는 보다 일반적인 정의를 가지고 있다(부분 순서 집합의 § 폐쇄 운영자 참조).null

토폴로지의 폐쇄 연산자

위상학적 공간의 부분 집합 X의 위상학적 폐쇄는 공간의 모든 y 지점으로 구성되며, y의 모든 인접 지점이 X 점을 포함한다.모든 부분집합 X의 폐쇄를 연결하는 기능은 위상학적 폐쇄 연산자다.반대로, 한 세트의 모든 위상학적 폐쇄 운영자는 닫힌 세트가 정확히 닫힌 세트의 위상학적 공간을 제공한다.null

대수학에서의 폐쇄 연산자

미세 폐쇄 연산자는 보편적 대수학에서 비교적 두드러진 역할을 하며, 이러한 맥락에서 전통적으로 대수적 폐쇄 연산자로 불린다.대수학의 모든 부분집합은 세트가 포함된 가장 작은 부분집합인 하위집합체를 생성한다.이것은 최종 폐쇄 운영자를 발생시킨다.null

아마도 이것에 대해 가장 잘 알려진 예는 주어진 벡터 공간의 모든 부분 집합에 그것의 선형 스팬을 연결하는 함수일 것이다.이와 유사하게, 주어진 그룹의 모든 하위 집합에 연결된 함수로서, 그에 의해 생성된 하위 집합과 필드 및 다른 모든 유형의 대수 구조에 대해서도 유사하다.null

벡터 공간의 선형 범위와 필드의 유사한 대수적 폐쇄 모두 교환 특성을 만족시킨다: x가 A와 {y}의 결합에 있지만 A의 결합에 있지 않으면 y는 A와 {x}의 결합에 있다.이 성질을 가진 최종 폐쇄 연산자를 모토로이드라고 한다.벡터 공간의 치수, 또는 필드의 초월도(원점 필드 위에)는 정확하게 해당 매트로이드의 순위다.null

주어진 영역의 모든 부분집합을 대수적 폐쇄에 매핑하는 기능도 미세 폐쇄 연산자로, 일반적으로 앞에서 언급한 연산자와는 다르다.이 두 연산자를 일반화하는 미세 폐쇄 연산자는 모델 이론에서 dcl(확정 가능한 폐쇄의 경우)과 acl(대수학적 폐쇄의 경우)으로 연구된다.null

n차원 유클리드 공간의 볼록한 선체는 미세폐쇄 작업자의 또 다른 예다.그것은 반교환 특성을 만족시킨다:x가 {y}과 A의 결합에 있지만 {y}의 결합에 있지 않고 A의 결합에 있지 않다면, y는 {x}과 A의 결합에 있지 않다.이 성질을 가진 폐업자는 항우울제를 발생시킨다.null

대수학에서 사용되는 폐쇄 연산자의 또 다른 예로서, 만약 어떤 대수학에서 우주 A와 X가 A의 한 쌍의 집합이라면, X를 포함하는 가장 작은 합치를 X에 할당하는 연산자는 A x A의 미세 폐쇄 연산자다.^[3]

논리상의 폐쇄 연산자

주어진 규칙에서 새로운 공식을 도출할 수 있는 특정한 규칙을 포함하는 논리적인 형식주의가 있다고 가정합시다.가능한 모든 공식에 대해 설정된 F를 고려하고, P를 ⊆에 의해 명령된 F의 파워 세트로 한다.공식의 X 집합의 경우, cl(X)을 X에서 파생될 수 있는 모든 공식 집합으로 한다.그리고 cl은 P의 폐쇄 연산자다.보다 정확하게는 cl을 다음과 같이 얻을 수 있다.모든 지시된 클래스 T에 대해 연산자 J를 "연속"으로 호출한다.

J(lim T)=im J(T).

이 연속성 조건은 J에 대한 고정점 정리에 기초한다. 단조로운 논리의 1단계 연산자 J를 고려한다.이 연산자는 논리 공리이거나 X의 공식에서 추론 규칙에 의해 얻어진 공식의 집합 J(X)와 공식의 집합 X를 연관시키는 연산자다.그러면 그러한 연산자는 연속적이고 우리는 cl(X)을 X보다 크거나 같은 J에 대한 최소 고정점으로 정의할 수 있다.그러한 관점에 따라 타르스키, 브라운, 수스코 등 저자들은 폐쇄 연산자 이론에 근거한 논리에 대한 일반적인 접근법을 제안했다.또한 그러한 생각은 프로그래밍 논리(Lloyd 1987 참조)와 퍼지 논리(Gerla 2000 참조)에서 제안된다.null

결과 연산자

1930년경 알프레드 타르스키는 논리적 칼쿨리의 일부 특성을 모델로 하는 논리적 추론의 추상적인 이론을 개발했다.수학적으로 그가 묘사한 것은 집합(문장 집합)에 관한 미세 폐쇄 연산자에 불과하다.추상 대수 논리학에서는 여전히 타르스키가 만든 결과 연산자라는 이름 아래 마무리 연산자를 연구한다.집합 S는 문장의 집합, S a 이론의 부분집합 T를 나타내며, cl(T)은 이론으로부터 따르는 모든 문장의 집합이다.오늘날 이 용어는 미세할 필요가 없는 폐쇄 연산자를 지칭할 수 있다. 단, 폐쇄 연산자를 유한 결과 연산자로 부르기도 한다.null

닫힘 세트 및 유사 닫힘 세트

S의 폐쇄 작동자에 대한 폐쇄 세트는 전원 세트 P(S)의 서브셋 C를 형성한다.C에서 세트의 모든 교차점은 다시 C에 있다.즉, C는 P(S)의 완전한 만남-하위유인 것이다.반대로 C ⊆ P(S)가 임의의 교차로에 의해 폐쇄되는 경우, X y Y가 폐쇄 연산자처럼 가장 작은 집합 Y ∈ C의 모든 부분 집합 X에 연결되는 함수.null

주어진 폐쇄 연산자의 모든 폐쇄 세트를 생성하기 위한 간단하고 빠른 알고리즘이 있다.^[4]null

집합의 폐쇄 연산자는 집합이 유한 조합에 따라 폐쇄된 경우에만 위상학적이다. 즉, C는 P(S)의 완전 충족 하위 부속물이다.비토폴로지 폐업 사업자의 경우에도 C는 격자 구조를 가지고 있다고 볼 수 있다.(두 세트의 조인 X,Y ) P(S)는 cl(X $\cup {\displaystyle }$ ${\displaystyle \cup }$)임)그러나 C는 격자 P(S)의 하위 격자가 아니다.null

집합에 대한 최종 폐쇄 연산자가 주어진 경우, 유한 집합의 폐쇄는 정확히 폐쇄 집합의 집합 C의 콤팩트한 요소들이다.그것은 C가 대수적 위치라는 것을 따른다.C도 격자이기 때문에 이런 맥락에서 대수 격자라고도 한다.반대로 C가 대수적 위치라면 폐쇄 연산자는 미세하다.null

유한 집합 S의 각 폐쇄 연산자는 의사-폐쇄 집합의 영상에 의해 고유하게 결정된다.^[5]이것들은 재귀적으로 정의된다.세트가 닫히지 않은 경우 유사 닫힘 집합이 되며 유사 닫힌 각 하위 집합의 닫힘이 들어 있다.형식: P ⊆ S는 만약의 경우에 한하여 의사-폐쇄된다.

• P ≠ cl(P) 및
• Q ⊂ P가 의사-폐쇄된 경우, cl(Q) ⊆ P.

부분적으로 정렬된 세트의 폐쇄 연산자

부분순서 집합(poset)은 부분순서 together과 함께 집합하는 것으로, 반사적(a ≤ a), 전이적(a ≤ b ≤ c) 및 대칭적(a ≤ b ≤ a = b)을 의미한다.모든 동력 세트 P(S)와 포함 ⊆은 부분적으로 주문한 세트다.null

함수 cl: P → P 부분 순서 P에서 그 자체로, 모든 원소 x, y in P에 대해 다음과 같은 공리를 만족하면 폐쇄 연산자라 한다.

x ≤ cl(x)	(cl은 광범위함)
x ≤ y는 cl(x) ≤ cl(y)을 의미한다.	(cl이 증가하고 있음)
cl(cl(x)) = cl(x)	(cl은 idempotent임)

보다 간결한 대안이 제공된다: 위의 정의는 단일 공리와 동일하다.

x cl cl(y) if and if cl(x) ≤ cl(y)인 경우에만

모든 x에 대해 y in P.

poset 간의 함수에 대한 점 순서를 사용하여 확장 속성을 id_P ≤ cl로 대신 쓸 수 있으며, 여기서 id는 ID 함수다.증가 및 공차이지만 확장성 속성의 이중성을 만족시키는 셀프맵 k, 즉 k ≤ ID를_P 커널 오퍼레이터,^[6][7] 인테리어 오퍼레이터 또는 이중 클로즈업이라고 한다.^[8]예를 들어, A가 세트 B의 부분 집합인 경우_A, μ(X) = A x X로 주어진 B의 파워셋에 대한 자기 지도는 폐쇄 연산자인 반면, λ_A(X) = A ∩ X는 커널 연산자다.실수에서 실수에 이르는 상한 기능은 모든 실수 x에 x보다 작지 않은 가장 작은 정수를 할당하는 또 다른 폐쇄 연산자의 예다.null

함수 cl의 고정점, 즉 cl(c) = c를 만족하는 P의 요소 c를 닫힌 요소라고 한다.부분적으로 주문한 세트의 폐쇄 작업자는 닫힌 요소에 의해 결정된다.c가 닫힌 요소인 경우 x c c와 cl(x) ≤ c는 등가 조건이다.null

모든 Galois 연결(또는 잔여 매핑)은 폐쇄 운영자를 발생시킨다(해당 기사에 설명되어 있음).실제로 모든 폐쇄 운영자는 적절한 갈루아 연결에서 이러한 방식으로 발생한다.^[9]Galois 연결은 폐쇄 운영자가 고유하게 결정하지 않는다.폐쇄 연산자 cl을 발생시키는 하나의 갈루아 연결은 다음과 같이 설명할 수 있다: A가 cl에 관해서 닫힌 요소들의 집합인 경우, cl: P → A는 P와 A 사이의 갈루아 연결의 하부 연결점이며, 상부 연결점은 A를 P에 내장하는 것이다.더욱이 일부 부분집합물을 P에 내장하는 모든 하위집합은 폐쇄 연산자다."폐쇄 운영자는 임베딩의 하위 조정자임."그러나 모든 임베딩이 하위 조정자를 갖는 것은 아니라는 점에 유의하십시오.null

부분적으로 순서가 정해진 P는 범주로 볼 수 있으며, x ≤ y인 경우에만 x에서 y까지의 단일 형태론을 가질 수 있다.부분적으로 주문한 세트 P의 폐쇄 운영자는 범주 P의 모노드에 불과하다.이와 동등하게, 폐쇄 연산자는 추가 공증특성과 광범위한 특성을 갖는 부분 순서의 집합 범주에 대한 엔드오분ctor로 볼 수 있다.null

P가 완전한 격자일 경우, A가 P의 무어 계열인 경우에만, 즉 P의 가장 큰 요소가 A에 있고, A의 비어 있지 않은 서브셋의 최소(미트)가 다시 A에 있는 경우 P의 일부 폐쇄 연산자에 대해 P의 서브셋 A가 닫힌 요소의 집합이다.그러한 집합 A는 그 자체로 P로부터 물려받은 순서가 있는 완전한 격자(그러나 최상(조인) 조작은 P의 그것과 다를 수 있다.P가 집합 X의 파워셋 부울 대수일 때, P에 있는 무어 가문은 X에 대한 폐쇄계라고 불린다.

P의 폐쇄 연산자는 스스로 완전한 격자를 형성한다. 폐쇄 연산자에 대한 순서는 P의 모든 x에 대해 cl iff₁₂ cl₁(x) ) cl₂(x)로 정의된다.

참고 항목

• 체치 폐쇄 연산자
• 마감(토폴로지)
• 갈루아 접속부
• 실내 대수
• 내부(토폴로지) – 일부 세트 중 가장 큰 개방형 서브셋
• 쿠라토프스키 폐쇄 공리
• 압류 연산자

메모들

참조

• 개럿 비르호프 1967년(1940년)격자 이론, 제3판.미국 수학 협회
• 버리스, 스탠리 N, 그리고 H.P. 산카파나바르(1981) 유니버설 대수 스프링어-베를라그 강좌.null ISBN3-540-90578-2Free 온라인판.
• 브라운, D.J.와 수스코, R.(1973) "추상 로직스", 논문 Mathematicae 102-9-42
• 카스텔리니, G. (2003) 범주형 폐쇄 연산자.보스턴 MA: 버크하우저.
• 에델만, 폴 H. (1980) 미트-분배 래티스와 반환폐쇄, 대수유니버설 10: 290-299.
• 간터, 베른하르트, 오비드코프, 세르게이(2016) 개념탐사.스프링거, ISBN 978-3-662-49290-1
• Gerla, G. (2000) 퍼지 논리: 근사 추론을 위한 수학 도구.클루워어 학술 출판사.
• 로이드, J.W. (1987) 로직 프로그래밍의 기초.스프링거-베를라크.
• 타르스키, 알프레드 (1983) 로직, 의미론, 메타매틱스에서의 연역학 방법론의 기본 개념들.해켓(1956년 에드, 옥스퍼드 대학 출판부).
• 알프레드 타르스키(1956) 논리학, 의미론, 변태학.옥스퍼드 대학 출판부
• 워드, 모건 (1942) "창문의 폐쇄 운영자," 수학 연보 43: 191-96.
• G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. M. Mislove, D. S. Scott: Continuous Lattice and Domains, Cambridge University Press, 2003
• T.S. Blyth, Lattice and Ordered 대수 구조, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5.
• M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125.다양한 파일 형식으로 온라인 제공: PS.GZ PS

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전: 라몬 얀사나의 "알제브라식 제안 논리"