클라인 구성

Klein configuration

기하학에서 클라인(1870년)이 연구한 클라인 구성은 쿠머 표면과 관련된 기하학적 구성으로, 각 지점이 15개의 평면에 놓여 있고 각 평면이 15개의 지점을 통과하는 60개의 평면에 걸쳐 있다.그 구성은 15쌍의 선을 사용한다. 12. 13. 14. 16. 16. 23. 24. 24. 26. 34. 35. 36. 45. 46. 56. 그리고 그 반전을 사용한다.60점은 이상 순열을 형성하는 세 개의 동시선이다.60개의 평면은 고른 순열을 형성하는 3개의 동일 평면 선으로, 점의 마지막 두 자리를 반대로 하여 얻는다.어떤 점이나 평면의 경우, 다른 세트에 그러한 3개의 선을 포함하는 15개의 멤버가 있다.[후드슨, 1905년]

12-34-65 12-43-56 21-34-56 21-43-65 12-35-46 12-53-64
21-35-64 21-53-46 12-36-54 12-63-45 21-36-45 21-63-54
13-24-56 13-42-65 31-24-65 31-42-56 13-25-64 13-52-46
31-25-46 31-52-64 13-26-45 13-62-54 31-26-54 31-62-45
14-23-65 14-32-56 41-23-56 41-32-65 14-25-36 14-52-63
41-25-63 41-52-36 14-26-53 14-62-35 41-26-35 41-62-53
15-23-46 15-32-64 51-23-64 51-32-46 15-24-63 15-42-36
51-24-36 51-42-63 15-26-34 15-62-43 51-26-43 51-62-34
16-23-54 16-32-45 61-23-45 61-32-54 16-24-35 16-42-53
61-24-53 61-42-35 16-25-43 16-52-34 61-25-34 61-52-43

점 및 평면의 좌표

점(평면에 대해서도!)에 대해 가능한 좌표 집합은 다음과 같다.

P1=[0:0:1:1] P11=[0:1:1:1:0] P21=[1:1:0:0:0] P31=[1:1:1:1:1:1:1] P41=[1:1:i:i] P51=[1:- i:1:i]
P2=[0:0:1:i] P12=[0:1:- i:0] P22=[1:i:0:0] P32=[1:1:1:1:1:-1:-1] P42=[1:1:i:-- i] P52=[1:- i:-1:- i]
P3=[0:0:1:-1] P13=[1:0:0:0:1] P23=[1:1:0:0] P33=[1:1:1:1:1] P43=[1:1:- i:i] P53=[1:i:i:i:1]
P4=[0:0:1:- i] P14=[1:0:0:i] P24=[1:- i:0:0] P34=[1:1:1:1:-1] P44=[1:1:- i:- i:- i] P54=[1:i:- i:1]
P5=[0:1:0:1:1:1] P15=[1:0:0:0:-1] P25=[1:0:0:0:0] P35=[1:-1:-1:1:1] P45=[1:i:1:i] P55=[1:- i:i:1]
P6=[0:1:0:i] P16=[1:0:0:0:-- i] P26=[0:1:0:0:0] P36=[1:-1:-1:-1:-1] P46=[1:i:1:- i] P56=[1:- i:- i:- i:1]
P7=[0:1:0:0:-1] P17=[1:0:1:0] P27=[0:0:1:0] P37=[1:1:i:i] P47=[1:- i:1:i] P57=[1:i:i:i:-1]
P8=[0:1:0:0:0:-- i] P18=[1:0:i:0] P28=[0:0:0:0:1] P38=[1:1:-- i:i] P48=[1:- i:1:- i] P58=[1:i:- i:-1]
P9=[0:1:1:1:0] P19=[1:0:-1:0] P29=[1:1:1:1:1:1] P39=[1:1:i:-- i] P49=[1:i:-1:i] P59=[1:-- i:i:-1]
P10=[0:1:i:0] P20=[1:0:- i:0] P30=[1:1:1:1:1:-1] P40=[1:1:-- i:-- i] P50=[1:i:-1:-- i] P60=[1:- i:- i:- i:-1]

참조

  • Hudson, R. W. H. T. (1990) [1905], "§25. Klein's 6015 configuration", Kummer's quartic surface, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, pp. 42–44, ISBN 978-0-521-39790-2, MR 1097176
  • Klein, Felix (1870), "Zur Theorie der Liniencomplexe des ersten und zweiten Grades", Mathematische Annalen, Springer Berlin / Heidelberg, 2 (2): 198–226, doi:10.1007/BF01444020, ISSN 0025-5831, S2CID 121706710
  • Pokora, Piotr; Szemberg, Tomasz; Szpond, Justyna (2020). "Unexpected properties of the Klein configuration of 60 points in P3". arXiv:2010.08863 [math.AG]. 그러나 원본에서 P43 좌표는 부정확하다.