구성(지오메트리)

수학, 구체적으로는 투영 기하학에서 평면의 구성은 점의 유한 집합과 선들의 유한한 배열로 구성되는데, 따라서 각 점은 같은 수의 선에 입사하고 각 선은 동일한 수의 점에 입사한다.^[1]

특정한 특정한 구성이 일찍이 연구되었음에도 불구하고(예: 1849년 토마스 커크맨에 의해), 구성에 대한 공식적인 연구는 데사게스의 정리 논의의 맥락에서 1876년 테오도르 레이예에 의해 처음 소개되었다. 에른스트 슈타인리츠는 1894년 이 주제에 대한 논문을 썼으며, 힐베르트와 콘보센의 1932년 저서 안스콜리체 기하학리(Anschaulice Geometrie)에 의해 대중화되었고, 영어로 다시 인쇄되었다(Hilbert & Cohn-Vossen 1952).

구성은 유클리드 또는 투영 평면과 같은 특정 기하학에서 점 및 선의 콘크리트 집합 또는 추상 입사 기하학의 한 유형으로 연구될 수 있다. 후자의 경우, 그들은 정기적인 하이퍼그래프 및 2차적 초당적 그래프와 밀접하게 관련되어 있지만, 일부 추가적인 제약이 있다: 발생 구조의 모든 두 지점은 최대 한 줄과 연관될 수 있고, 두 줄마다 최대 한 점과 연관될 수 있다. 즉, 해당 초당적 그래프(구성상의 리바이 그래프)의 둘레는 최소 6이어야 한다.

표기법

평면의 구성은 (p_γ ℓ_π)로 표시되며, 여기서 p는 점의 수, ℓ 선수의 수, ℓ 점당 선수의 수, π 선당 점의 수 등으로 표시된다. 이 숫자들은 반드시 방정식을 만족시킨다.

$\displaystyle p\pi =\ell \pi \,}$

이 제품은 점선 발생 횟수(점수)이기 때문에.

(p_γ ℓ_π)와 같은 기호를 가진 구성은 발생 구조와 같은 이형성을 가질 필요가 없다. 예를 들어 파푸스 구성과 눈에 덜 띄는 구성의 세 가지 다른(99₃₃) 구성이 있다.

일부 구성에서는 p = ℓ, 결과적으로 γ = π. 이를 대칭 또는 균형(Grünbaum 2009) 구성이라고 하며, 반복을 피하기 위해 표기법을 축약하는 경우가 많다. 예를 들어, (99₃₃)는₃ (9)로 축소된다.

예

주목할 만한 프로젝트 구성에는 다음이 포함된다.

• (1₁) 선에 대한 점 인시던트로 구성되는 가장 간단한 구성. 종종 사소한 것으로 제외된다.
• (3₂) 삼각형. 그것의 3면 각각은 그것의 3개의 꼭지점 중 2개를 만난다. 그리고 그 반대도 마찬가지다. 일반적으로 n 변의 모든 다각형이 유형(n₂)의 구성을 형성함
• (4₃ 6₂) 및 (6₂ 4₃) 각각 완전한 사각형 및 완전한 사각형.
• (7₃) Fano 비행기. 이 구성은 추상 발생 기하학으로 존재하지만 유클리드 평면에서 구성할 수 없다.
• (8₃) Möbius-Kantor 구성. 이 구성은 동시에 서로 새겨지고 제한되는 2개의 4차측측정을 설명한다. 그것은 유클리드 평면 기하학에서 구성될 수 없지만 그것을 정의하는 방정식은 복잡한 숫자의 비경쟁적 해답을 가지고 있다.
• (9₃) Pappus 구성.
• (9₄ 12₃), 복잡한 투영 평면에서 입방 곡선의 9개 변곡점과 이들 점의 쌍으로 결정된 12개의 선에 대한 헤세 구성. 이 구성은 Fano 평면과 그 지점을 통과하는 모든 라인을 포함하는 속성을 공유한다. 이 속성을 가진 구성은 실베스터-갈라이 정리로 인해 실베스터-갈라이 구성으로 알려져 있으며, 실베스터-갈라이 구성으로 인해 실베스터-갈라이 좌표를 지정할 수 없다(Kely 1986).
• (10₃), Descarges 구성.
• (12₄ 16₃), Reye 구성.
• (12₅ 30₂), 슐래플리 이중 6은 입방면 27개 라인 중 12개로 형성된다.
• (15₃), Cremona-Richmond 구성, 이중 6을 보완하는 15개 라인과 이들의 15개 접선 면에 의해 형성됨
• (16₆), Kummer 구성.
• (21₄) Grünbaum-Rigby 구성.
• (27₃), 회색 구성
• (35₄), 댄저의 구성.그룬바움(2008), 보벤, 게베이 & 피산스키(2015)
• (60₁₅), 클라인 구성.

구성의 이중성

구성의_γ 투영적 이중(p ℓ_π)은 "포인트"와 "라인"의 역할이 교환되는 (ℓ_π) 구성이다_γ. 따라서 구성 유형은 이중 결과를 이형성 구성으로 취할 때를 제외하고 이중 쌍으로 제공된다. 이러한 예외를 자체 이중 구성이라고 하며, 이 경우 p = ℓ.^[2]

(n₃) 구성 수

n = 7에서 시작하는 (n₃) 유형의 비이형성 구성의 수는 시퀀스에 의해 주어진다.

1, 1, 3, 10, 31, 229, 2036, 21399, 245342, ...(OEIS의 경우 시퀀스 A001403)

이 숫자는 실현 가능성에 관계없이 구성을 추상적인 발생 구조로 간주한다(Betten, Blinkmann & Pisanski 2000). 그로프(1997)가 논하는 바와 같이, 10개(10) 구성₃ 중 9개 구성과₃ (11) 및 (12₃) 모든 구성은 유클리드 평면에서 실현 가능하지만, 각 n 16 16에 대해 적어도 하나의 실현 불가능한 (n₃) 구성이 있다. 그로프는 또 이 순서에서 오래 지속되는 오류를 지적한다: 1895년 논문이 모든 (12₃) 구성을 나열하려고 시도했고, 그 중 228개를 발견했지만, 229번째 구성은 1988년에야 발견되었다.

대칭 구성

일반적으로 알려진 구성에서 시작하여 구성을 구성하는 몇 가지 기법이 있다. 이러한 기법 중 가장 간단한 것은 대칭(p_γ) 구성을 구성한다.

순서 n의 모든 유한 투영면은 (n² + n + 1) 구성이다._{n + 1} Ⅱ를 순서의 투영면이 되게 한다. 점 P와 점 P를 통과하는 (의 모든 선(P를 제외한 선에 놓여 있는 선은 제외)을 π에서 제거하고, P를 통과하지 않는 선 ℓ과 선 ℓ에 있는 모든 점을 제거한다. 결과는 유형(n² – 1)의 구성이다._n 이 시공에서, 만약 line선이 P를 통과하는 선으로 선택된다면, 공사는 유형 (n²)_n의 구성을 얻게 된다. 투영 평면이 모든 주문에 대해 존재하는 것으로 알려져 있기 때문에, 이러한 구조는 대칭 구성의 무한 패밀리를 제공한다.

예를 들어 a(43) 구성이₇ 존재하지 않는 등 모든 구성을 실현할 수 있는 것은 아니다.^[3] 그러나 Gropp(1990)는 k ≥ 3의 경우 p ≥ 2 ℓ_k + 1 모두에 대해 a (p_k) 구성이 존재한다는 것을 보여주는 구성을 제공했는데, 여기서 ℓ은_k 순서 k의 최적 골롬 지배자의 길이인 것이다.

일반적이지 않은 구성

상위 치수

구성의 개념은 예를 들어, 공간 내 지점과 선 또는 평면에 대해 더 높은 차원 Gévay(2014년)로 일반화될 수 있다. 이 경우 두 점이 한 줄 이상에 속하지 않는다는 제한이 완화될 수 있는데, 이는 두 점이 한 면 이상에 속할 수 있기 때문이다.

주목할 만한 3차원 구성은 뫼비우스 구성으로, 상호 새겨진 2개의 사트라헤드라, 12개의 면으로 구성되며, 면당 6개, 면당 6개, 27개의 3×3×3 격자, 그리고 이를 통해 27개의 직교선으로 구성된 그레이 구성이다. 슐래플리 더블 6은 30점, 12개 선, 2개 선, 5개 선으로 구성된 구성이다.

위상학적 구성

점과 가성으로 실현되는 투영 평면의 구성을 위상학적 구성 그룬바움(2009년)이라고 한다. 예를 들어, 점선(19₄) 구성은 존재하지 않는다고 알려져 있지만, 이러한 매개변수를 가진 위상학적 구성은 존재한다.

점 및 원의 구성

구성 개념의 또 다른 일반화는 포인트와 원의 구성에 관한 것인데, 주목할 만한 예는 (8₃₄ 6) Miquel 구성 Grünbaum(2009)이다.

참고 항목

• 모든 것이 서로 동일한 수의 발생을 가지지 않는 9개의 점 및 9개의 선으로 구성된 퍼즐 구성

메모들

참조

• Berman, Leah W., "Movable (n₄) configurations", The Electronic Journal of Combinatorics, 13 (1): R104.
• Betten, A; Brinkmann, G.; Pisanski, T. (2000), "Counting symmetric configurations", Discrete Applied Mathematics, 99 (1–3): 331–338, doi:10.1016/S0166-218X(99)00143-2.
• Boben, Marko; Gévay, Gábor; Pisanski, T. (2015), "Danzer's configuration revisited", Advances in Geometry, 15 (4): 393–408.
• Coxeter, H.S.M. (1999), "Self-dual configurations and regular graphs", The Beauty of Geometry, Dover, ISBN 0-486-40919-8
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
• Gévay, Gábor (2014), "Constructions for large point-line (n_k) configurations", Ars Mathematica Contemporanea, 7: 175-199.
• Gropp, Harald (1990), "On the existence and non-existence of configurations n_k", Journal of Combinatorics and Information System Science, 15: 34–48
• Gropp, Harald (1997), "Configurations and their realization", Discrete Mathematics, 174 (1–3): 137–151, doi:10.1016/S0012-365X(96)00327-5.
• Grünbaum, Branko (2006), "Configurations of points and lines", in Davis, Chandler; Ellers, Erich W. (eds.), The Coxeter Legacy: Reflections and Projections, American Mathematical Society, pp. 179–225.
• Grünbaum, Branko (2008), "Musing on an example of Danzer's", European Journal of Combinatorics, 29: 1910-1918.
• Grünbaum, Branko (2009), Configurations of Points and Lines, Graduate Studies in Mathematics, vol. 103, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4308-6.
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd ed.), Chelsea, pp. 94–170, ISBN 0-8284-1087-9.
• Kelly, L. M. (1986), "A resolution of the Sylvester–Gallai problem of J. P. Serre", Discrete and Computational Geometry, 1 (1): 101–104, doi:10.1007/BF02187687.
• Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013), Configurations from a Graphical Viewpoint, Springer, ISBN 9780817683641.

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Configuration", MathWorld