Grünbaum–Rigby 구성

기하학에서 Grünbaum-Rigby 구성은 21개의 점과 21개의 선으로 구성된 대칭적인 구성이며 각 선에 4개의 점과 각 점을 통과하는 4개의 선이 있습니다. 원래 복잡한 사영평면에서 펠릭스 클라인에 의해 클라인 사영평면과 관련하여 연구되었지만, 그것은 브랑코 그 in바움과 존 F에 의해 유클리드 평면에서 처음으로 실현되었습니다. 리그비.

역사와 표기법

그ü바움-리비 구성은 펠릭스 클라인, 윌리엄 번사이드, H.S. M. 콕서터에게 알려져 있었습니다. 1879년 클라인에 의해 최초로 기술된 것은 수학 문헌에 처음으로 등장한 것으로, 한 선당 4개의 점과 한 점당 4개의 선으로 이루어진 점과 선의 체계입니다.^[2] 클라인의 설명에서 이 점들과 선들은 유클리드 평면의 실수 좌표가 아닌 복소수인 공간인 복소 사영 평면에 속합니다.

세 개의 규칙적인 7각도를 겹쳐놓은 유클리드 평면에서 점과 선으로 이 구성의 기하학적 실현은 훨씬 나중에 Branko Grünbum과 J. F. Rigby(1990)에 의해 확립되었습니다. 그들의 논문은 Grünbaum의 구성에 관한 일련의 작업 중 첫 번째가 되었으며, 4-구성에 대한 최초의 그래픽 묘사를 포함하고 있습니다.^[3]

구성의 표기에서는 21개의 점, 21개의 선, 1개의 선당 4개의 점, 1개의 점당 4개의 선으로 구성을 표시합니다(21₄). 그러나 표기법은 구성 자체를 지정하지 않고 구성 유형(점, 선 및 점의 수)만 지정합니다. 또한 구성이 순수하게 조합적(선과 점의 추상적인 발생 패턴)인지 또는 구성의 점과 선이 유클리드 평면 또는 다른 표준 기하학에서 실현 가능한지 여부도 지정하지 않습니다. 유형(21₄)은 매우 모호합니다: 알려지지 않았지만 많은 수의 이러한 유형의 (조합적) 구성이 있으며, 그 중 200개가 DiPaola & Gropp(1989)에 의해 나열되었습니다.^[4]

시공

Grünbaum-Rigby 구성은 일반 7각형의 7개 점과 14개의 내부 대각선으로 구성할 수 있습니다. 구성의 21개의 점과 선을 완성하려면 14개의 점과 7개의 선을 더 늘려야 합니다. 구성의 나머지 14개 점은 7각형의 길이가 같은 대각선 쌍이 서로 교차하는 점입니다. 이들은 두 개의 대각선 길이 각각에 대해 하나씩 두 개의 더 작은 칠각형을 형성합니다; 이 더 작은 칠각형의 측면은 바깥쪽 칠각형의 대각선입니다. 두 개의 작은 칠각형은 각각 14개의 대각선을 가지고 있으며, 그 중 7개는 다른 작은 칠각형과 공유됩니다. 7개의 공유 대각선은 구성의 나머지 7개 라인입니다.^[5]

클라인에 의한 그ü바움-리그비 구성의 원래 구성은 그 점들과 선들을 유클리드 평면이 아닌 복소 사영 평면에 속하는 것으로 보았습니다. 이 공간에서 점들과 선들은 클라인 사중주의 원근 변환의 원근 중심과 축을 형성합니다.^[6] 이들은 유클리드 버전의 구성과 동일한 패턴의 점선 교차점을 갖습니다.

유한 투영면 ${\displaystyle \mathrm{PG}}$(${\displaystyle 2,}$ 7${\displaystyle )}$ ${\displaystyle PG(2,$ 7$)}$는 57개의 점과 57개의 선을 가지며$$, 정수 모듈로 7을 기준으로 좌표를 부여할 수 있습니다. 이 공간에서 모든 $원뿔형{\displaystyle }$ C ${\displaystyle$ C$}($2변수 이차방정식 모듈로 7에 대한 해들의 집합)는 점들의 쌍을 통해 28개의 초선, 단일 점을 통해 8개의 $,$ 그리고 C {\displaystyle $C}$와 서로소인 21개의 비초선을 갖습니다$.$ 두 개의 쌍, 접선 쌍이 만나는 점은 28개, $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle C}$의 점은 8개$,$ 접선에 속하지 않는 내부 점은 21개입니다. 21개의 불연속 선과 21개의 내부 점은 Grünbaum-Rigby 구성의 인스턴스를 구성하며, 이 점들과 선들이 다시 동일한 패턴의 교차점을 갖는다는 것을 의미합니다.^[7]

특성.

이 구성의 투영 이중화, 구성의 모든 라인에 점이 있고 모든 라인에 점이 있으며 동일한 점-라인 인시스턴스를 갖는 점과 라인의 시스템은 동일한 구성입니다. 구성의 대칭 그룹에는 점과 선의 임의의 입사 쌍을 다른 입사 쌍으로 취하는 대칭이 포함됩니다.^[8] Grünbaum-Rigby 구성은 점이나 선의 각 궤도가 동일한 수의 원소를 갖는 다환 구성, 즉 순환 대칭을 갖는 구성의 한 예입니다.^[9]

메모들

참고문헌

• Boben, Marko; Pisanski, Tomaž (2003), "Polycyclic configurations", European Journal of Combinatorics, 24 (4): 431–457, doi:10.1016/S0195-6698(03)00031-3, ISSN 0195-6698, MR 1975946
• Burnside, W. (1907), "On the Hessian configuration and its connection with the group of 360 plane collineations", Proceedings of the London Mathematical Society, Second Series, 4: 54–71, doi:10.1112/plms/s2-4.1.54, MR 1576105
• Coxeter, H. S. M. (1983), "My graph", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 46 (1): 117–136, doi:10.1112/plms/s3-46.1.117, MR 0684825
• Di Paola, Jane W.; Gropp, Harald (1989), "Hyperbolic graphs from hyperbolic planes", Congressus Numerantium, 68: 23–43, MR 0995852Grünbaum(2009)이 인용한 Di Paola, Jane W.; Gropp, Harald (1989), "Hyperbolic graphs from hyperbolic planes", Congressus Numerantium, 68: 23–43, MR 0995852바와 같이.
• Grünbaum, Branko (2009), Configurations of points and lines, Graduate Studies in Mathematics, vol. 103, Providence, R.I.: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/103, ISBN 978-0-8218-4308-6, MR 2510707
• Grünbaum, Branko; Rigby, J. F. (1990), "The real configuration (21₄)", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 41 (2): 336–346, doi:10.1112/jlms/s2-41.2.336, MR 1067273
• Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen", Mathematische Annalen, 14 (3): 428–471, doi:10.1007/BF01677143, S2CID 121407539Silvio Levy에 의해 Klein, Felix (1879), "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen", Mathematische Annalen, 14 (3): 428–471, doi:10.1007/BF01677143, S2CID 121407539영어로 번역됨: