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맥키-아렌스 정리

Mackey–Arens theorem

맥키-아렌스 정리는 기능 분석에서 중요한 정리로서, 일정하게 주어진 선형 함수 공간을 가진 국소적으로 볼록한 벡터 위상들을 연속적인 이중 공간으로 특징짓는 것이다.나리치(2011년)에 따르면, 이 심오한 결과는 이중성 이론의 중심이다; "위상학적 벡터 공간의 현대 이론의 중심"^[1]인 이론이다.

전제조건

$X$ 를 벡터공간으로 하고 $Y$ 를 $X$ 의 점을 구분하는 $X$ 의 대수학적 이중의 벡터 서브공간으로 한다.만약 $𝜏$ 이 $X$ 의 다른 국소적으로 볼록한 Hausdorff 위상 벡터 공간 위상이라면, $우리$ 는 $X$ 가 X와 $Y$ 사이의 이중성과 양립할 수 있다고 말하는데, X가 $with$ 을 장착했을 때 Y를 연속적인 이중공간으로 $가지고$ 있다.If we give $X$ the weak topology $𝜎(X, Y)$ then $X 𝜎(X, Y)$ is a Hausdorff locally convex topological vector space (TVS) and $𝜎(X, Y)$ is compatible with duality between $X$ and $Y$ (i.e. $X_{\sigma (X,Y)}^{\prime }=\left(X_{\sigma (X,Y)}\right)^{\prime }=Y$ ).X와 $Y$ 의 $이중성$ 과 호환되는 X에 $배치$ 할 수 있는 로컬 볼록 Hausdorff TV 토폴로지는 모두 무엇인가?이 질문에 대한 답을 맥키-아렌스 정리라고 한다.

맥키-아렌스 정리

맥키-아렌스 정리^[2][/ref] — X를 벡터 공간이 되게 하고 Ⅱ를 X의 국소적으로 볼록한 하우스도르프 위상 벡터 공간 위상이 되게 한다.Let $X'$ 는 X의 연속 이중 공간을 나타내며 X $X_{\mathcal {T}}$ ${\$ 는 위상 topology과 함께 X를 나타내도록 $X_{\mathcal {T}}$ 한다.그 후 다음과 같다.

𝒯은 X의 $′{\$ 토폴로지 ${\mathcal {G}}^{\prime }$ ( $Topology$ )와 동일하며, 여기서 ${\mathcal {G}}^{\prime }$ ′{\ $mathcal{G}^{\prime}}}$ 은 볼록하고 균형 잡힌 $σ(X,$ X $)-$ compact 집합으로 구성된 커버물이다 ${\mathcal {G}}^{\prime }$ $.$
1. If $G_{1}^{\prime },G_{2}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ then there exists a $G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ such that ${\displaystyle G_{1}^{\prime }\cup G_{2}^{\prime }\subseteq G^{\p$ $rime$ $G_{1}^{\prime }\cup G_{2}^{\prime }\subseteq G^{\prime }$ 그리고
2. If $G_{1}^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ and $\lambda$ is a scalar then there exists a $G^{\prime }\in {\mathcal {G}}^{\prime }$ such that ${\displaystyle \lambda G_{1}^{\prime }\subseteq G^{\prim$ $e$
$X_{\mathcal {T}}$ $X_{\mathcal {T}}$ ${\$ 의 연속 듀얼은 $X'$ 와 동일하다 $X_{\mathcal {T}}$ .

게다가

위상 𝒯은 $ε(X,$ $X')$ 위상, 즉 $X$ '의 등가 부분 집합에 대한 정합성에 대한 균일한 위상과 동일하다 $.$
Mackey $토폴로지 x (X,$ X')은 $X_{\mathcal {T}}^{\prime }$ 와 X T $\{\$ T}^{\ $prime$ 사이의 이중성과 호환되는 X에서 가장 우수한 로컬 볼록 Hausdorff TVS 토폴로지 입니다.
약한 위상 $σ(X,$ $X')$ 은 X와 X $X_{\mathcal {T}}^{\prime }$ conve{\displaystyle X_ ${\mathcal{T}^{\prime}}}}$ 의 이중성과 호환되는 X에서 가장 국소적으로 볼록한 Hausdorff TVS 위상이다 $X_{\mathcal {T}}^{\prime }$

참고 항목

참조

^ 셰퍼 & 월프 1999, 페이지 122.
^ 2006, 196, 368–370 페이지.

원천

Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

v t 선형 지도의 이중성과 공간
기본개념	이중공간 이중 시스템 이중 위상 이중성 연산자 위상 폴라 세트 극 위상 선형 지도 공간의 토폴로지
토폴로지	노르말 위상 이중규범 울트라위크/위크-* 약한 극성의 운영자 힐베르트의 공간에. 맥키 스트롱 듀얼 극지 위상 운영자 울트라스트롱
주요 결과	바나흐알라오글루 맥키아렌스
지도	선형 지도의 전치
하위 집합	포화가족 총 집합
기타개념	이오르토곤계

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