튼튼한 이중공간

수학의 기능적 분석과 관련 영역에서 위상 벡터 공간(TV) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 강한 이중 공간 X$′{\$$displaystyle X}$의 연속 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{}}$ $′{\prime$}이며$,$ 강한 (dual) 위상 또는 경계 부분 집합에 대한 균일한 수렴 위상이 탑재되어 있다$$$.$${\displaystyle }$$X{\displaystyle }$${\displaystyle }$, ${\displaystyle X,}$ 여기서$$ 이 위상은 b${\displaystyle }$($X$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$, X${\displaystyle }$) ${\$X^{\$prime }},$ ${\displaystyle X}$$\right)$ $또는$ β${\displaystyle (X{}^{\mathrm{}}}$ ,${\displaystyle }$X ${\displaystyle ).}${\$displaysty \beta \left(X^{}\primeft)$로 표시$).$${}$ 가장 심한 극지 위상은 약한 위상이라고 한다.강한 이중공간은 현대 기능분석에서 이처럼 중요한 역할을 하므로, 달리 지시되지 않는 한 연속적인 이중공간은 대개 강한 이중위상을 갖는 것으로 가정한다.연속적인 이중공간 $X{\displaystyle {}^{}}$to , ${\displaystyle$ X$^{\prime}}$을(를) 강조하기 위해 X ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 또는$$ X ${\displaystyle {\beta }_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$을($으{\displaystyle {}_{}^{}}$)을(으)로 쓸 수 있다$$.

강력한 이중 위상

전체적으로 모든 벡터 공간은 실제 $번호{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$$displaystyle \mathb$${R}$의 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ F {\$displaystyle \mathb$ ${F} }$ 또는 $복잡한$ 번호 C$.$ {\$displaysty \mathb {C}$에 걸쳐 있는 것으로 가정한다$.$

이중 시스템의 정의

Let ${\displaystyle (X,Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ be a dual pair of vector spaces over the field ${\displaystyle \mathbb {F} }$ of real numbers ${\displaystyle \mathbb {R} }$ or complex numbers ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ For any ${\displaystyle B\subseteq X}$ and$임의$의 y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle y\in$ Y$,}$ 정의$$

둘 다 X{X\displaystyle}도 Y{Y\displaystyle} 그렇게 하위 집합 B⊆ X{\displaystyle B\subseteq X}만약 yB<>∞{\displaystyle는 y_{B}< 하위 집합 C⊆ Y{\displaystyle C\subseteq Y}을 경계로 하고 있는 것으로 전해지고 있으며 모든 y에 \infty}∈ C.{C\displaystyle y\in}그래서 하위 집합은 위상을 가지고 있다. B⊆${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\subseteq X}$은(는) 다음의 경우에만 경계라고 함

$이$는 X ${\displaystyle X}$이(가) $Y{\displaystyle }$, ${\displaystyle Y}$에 의해 유도된 약한 위상(위상)이 주어질$$ 때 일반적으로 경계 하위 집합의 개념에 해당한다.

Let ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ denote the family of all subsets ${\displaystyle B\subseteq X}$ bounded by elements of ${\displaystyle Y}$; that is, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is the set of all subsets ${\displaystyle B\subseteq X}$ such that for every ${\displaystyle y$$\in Y,}$

Then the strong topology${\displaystyle \beta (Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ on ${\displaystyle Y,}$ also denoted by ${\displaystyle b(Y,X,\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ or simply ${\displaystyle \beta (Y,X)}$ or ${\displaystyle b(Y,X)$$\}{\displaystyle }$ pairing${\displaystyle }$,${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle \backslash }$ \ $\$\\$displaystyle$ \$langle \cdot$,\$cdot \angle }}$ 쌍을 이해하면$$$$ 양식의 세미노름에 의해 생성된$$ $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 로컬 볼록 위상(local volfx topology)으로 정의된다.

강한 듀얼 토폴로지의 정의는 이제 TVS의 경우와 같이 진행된다.Note that if ${\displaystyle X}$ is a TVS whose continuous dual space separates point on ${\displaystyle X,}$ then ${\displaystyle X}$ is part of a canonical dual system ${\displaystyle \left(X,X^{\prime },\langle \cdot ,\cdot \rangle \right)}$ where ${\displaystyle ⟨x,x^{\mathrm{\prime }}⟩:=x^{\mathrm{\prime }}}$${\displaystyle \left\langle x,x^{\premy }\right\angle :=x^{\premy }(x)$$}$ In the special case when ${\displaystyle X}$ is a locally convex space, the strong topology on the (continuous) dual space ${\displaystyle X^{\prime }}$ (that is, on the space of all continuous linear functionals ${\displaystyle f:X\to \mathbb {F} }$) is defined as the strong topology ${\displaystyle \beta (X^{\mathrm{\prime }},}$${\displaystyle X}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle \beta \left(X^{\prime }}, 그리고$ X , ${\$$displaystyle$ X$,}$의 경계 집합에 대한 균일한 수렴의 토폴로지(즉, 폼의$$ 세미노름에 의해 생성된$$ $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$${\displaystyle \prime }$ ${\$와 일치한다.

where ${\displaystyle B}$ runs over the family of all bounded sets in ${\displaystyle X.}$ The space ${\displaystyle X^{\prime }}$ with this topology is called strong dual space of the space ${\displaystyle X}$ and is denoted by ${\displaystyle X_{\beta }^{\prime }.}$

TVS 정의

Suppose that ${\displaystyle X}$ is a topological vector space (TVS) over the field ${\displaystyle \mathbb {F} .}$ Let ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ be any fundamental system of bounded sets of ${\displaystyle X}$; that is, ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a family of bounded subsets of $$${\displaystyle X}$ such that every bounded subset of ${\displaystyle X}$ is a subset of some ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$; the set of all bounded subsets of ${\displaystyle X}$ forms a fundamental system of bounded sets of ${\displaystyle X.}$ A basis of closed neighborhoods of the origin$′{\$은(는) 폴러가 다음을$$ 제시한다.

$B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 범위가$$ $$$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 걸쳐 있음$이것$은 X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{\prime$ $\}\}$ : ${\displaystyle {x{}^{}}_{}}$b B ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ x${\displaystyle \underset{}{x}}$ ${\displaystyle x\underset{}{}{}^{}}$ x ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}x}$) $displaystyle \왼쪽$ x$^{\prime }\right _{B:}$의 세미놈 집합에 의해 주어지는 국소 볼록 위상이다.$=\sup _{x\in$ B$}\왼쪽 x^{\premium }(x)\오른쪽 }$이(가) $B{\displaystyle \mathcal{}.}$ ${\displaystyle B}$에 걸쳐$$ 있다.$}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 정규화 가능하다면 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ b${\displaystyle {\mathrm{}}_b^{}}$ ${\$b}^{\$prime }},$ $X$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$도 사실 바나흐 공간이 될 것이다$$.If ${\displaystyle X}$ is a normed space with norm ${\displaystyle \ \cdot \ }$ then ${\displaystyle X^{\prime }}$ has a canonical norm (the operator norm) given by ${\displaystyle \left\ x^{\prime }\right\ :=\sup _{\ x\ \leq 1}\left x^{\prime }(x)\rig$$ht }$; 이 규범이 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$ X$^{\prime }}$에 유도하는 위상은 강한 이중 위상과 동일하다$$.

비듀얼

TVS $X{\displaystyle }$, ${\displaystyle X}$의 입찰 또는 두 번째 듀얼은 $종종$ X ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}{\mathrm{\prime }}^{}}$ , ${\displaystyle$ X$^{\prime$\prime \$prime }}$에 의해 표시되며, $이$는 X ${\displaysty$ X$}$의 강력한 이중의 강력한 이중이다$.$

여기서 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ $′{\$$prime$ $}}}}$는 강력한 이중 토폴로지 $(X x$, X${\displaystyle }$)를$$ ${\displaystyle \mathrm{부여받은}}$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaystyle$ X$^{\prime }}}}$을 의미한다$.$$}}$ 별다른 표시가 없는 한$$ 벡터 $공간{\displaystyle {}^{}}$ X$′{\$ X$^{\prime }}}$는 대개 $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$, ${\displaysty X_{b}^{premy }}}}$에 의해 유도된 강한 이중 위상이 부여된 것으로 가정되며$$$$, 이 $경우{\displaystyle }$ X$${\$displaysty X$의 강력한 입찰이라고 불린다.여기서 벡터 $스페이스{\displaystyle {}^{}}$ X$′{\$ X$^{\$$premy$$\prime$$}}}}$은(는) $강력$한 이중 토폴로지 $X ′$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle b_{\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$)를 부여받는다$$$.$$}$

특성.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 로컬 볼록한 TVS로 설정하십시오$$.

• $X{\displaystyle {}^{}}$ balanced${\$$displaystyle X^{\prime}}$의 볼록 밸런스 약한 소형 부분집합은 ${\displaystyle X_{}^{}}$ b${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ {\$displaystyle X_{b}^{\prime }}}$로 경계한다$$.
• $′{\$의 모든 약하게 경계된 부분집합은 강하게 경계된다$$.^[2]
• $X{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $X}$이(가) 막대형 공간인 경우 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의$$토폴로지는 $강력$한 이중 토폴로지 b${\displaystyle (X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$) ${\$ X$^{\premium }\right)$ 및$$ $X$의 Mackey 토폴로지와 동일하다$.$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 메트리징 가능한 로컬 볼록 공간이라면$$X {\$displaystyle$ X$}$의 강한 이중은 기괴한 공간인 경우 및 바레링된 공간인 경우에만 탄생한 공간이다.^[3]
• If ${\displaystyle X}$ is Hausdorff locally convex TVS then ${\displaystyle \left(X,b\left(X,X^{\prime }\right)\right)}$ is metrizable if and only if there exists a countable set ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ of bounded subsets of ${\displaystyle X}$ such that every bounded subs$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 et는 $B{\displaystyle \mathcal{}}$. ${\displaystyle {\mathcal {B}$의 일부 요소에 포함되어 있다$$.$}$^[4]
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 로컬 볼록한 경우$$, 이 위상은 $X{\displaystyle }$ .${\displaystyle$ X}의 하위 집합인$$$G{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle$ X$^{\G}$만 고려할 때$$ $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\$displaystyle $X$$}$의 다른 $모든{\displaystyle \mathcal{}}$ G ${\$$displaystycal$${\}$ 위상보다 미세하다$.$
• $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 선천적 공간(예: 메트리저블 또는 LF-공간)인 경우, $X{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {b({}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{\prime \mathrm{}}^{}}_{}^{}}$,${\displaystyle X_{}^{}}$ ) ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}${\$displaystyle X_{b(X^{\primium }}}}^{\premium }}}}}}}}}$완료.

If ${\displaystyle X}$ is a barrelled space, then its topology coincides with the strong topology ${\displaystyle \beta \left(X,X^{\prime }\right)}$ on ${\displaystyle X}$ and with the Mackey topology on generated by the pairing ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\right).$$}$

예

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $X$$}$이(가) 정규화된 벡터 공간인$$ 경우 위상이 강한$$ (연속) 이중 $공간{\displaystyle {}^{}}$ X${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$′ ${\$ $X$$^{\prime$ $\}\}\}$과 Banach 이중 공간 $X{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\$$displaysty$ X$^{\premium }$과 일치하며$$, 즉 공간 $X{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$operator ${\$prig${\primpreased$ the properator$.$ norm. 이와 반대로${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$) . ${\displaystyle \left(X,X^{\prime }\오른쪽).$$}$ ${\displaystyle X}$의 -topology는$$ $X{\displaystyle }$. ${\displaystyle X}$의 표준에 의해 유도된 토폴로지와 동일함$$

참고 항목

• 이중 위상
• 이중 시스템
• 토폴로지 목록 - 콘크리트 토폴로지 및 토폴로지 공간 목록
• 극지 위상 – 경계 하위 집합의 일부 하위 집합에서 균일한 수렴의 이중 공간 위상
• 반사공간
• 반반복성 공간
• 강한 위상
• 선형 지도 공간의 토폴로지

참조

참고 문헌 목록

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wong (1979). Schwartz spaces, nuclear spaces, and tensor products. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.