뉴턴-페피스 문제

뉴턴-페피스 문제는 일정한 수의 주사위에서 6개를 던질 확률에 관한 확률 문제입니다.^[1]

1693년에 Samuel Pepys와 Isaac Newton은 John Smith라는 학교 선생님에 의해 Pepys에게 제기된 문제에 대해 서신을 주고 받았습니다.^[2] 문제는 다음과 같습니다.

다음 세 가지 명제 중 가장 성공 가능성이 큰 것은?
A. 공정한 주사위 6개를 독립적으로 던져서 적어도 하나의 "6"이 나타납니다.

B. 12개의 공정한 주사위를 독립적으로 던져서 적어도 2개의 "6"이 나타납니다.

C. 18개의 공정한 주사위를 독립적으로 던져서 적어도 3개의 "6"이 나타납니다.^[3]

페피스는 처음에 결과 C가 가장 높은 확률을 가지고 있다고 생각했지만 뉴턴은 결과 A가 실제로 가장 높은 확률을 가지고 있다고 올바르게 결론지었습니다.

해

결과 A, B 및 C의 확률은 다음과 같습니다.^[1]

P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,

P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left ({\frac {1}{6}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,

P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left ({\frac {1}{6}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.

이러한 결과는 이항 분포를 적용하여 얻을 수 있습니다(Newton이 첫 번째 원칙에서 얻은 결과임에도 불구하고). 일반적으로 P(n)이 6n개의 주사위로 적어도 9개를 던질 확률이라면 다음과 같습니다.

P(n)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.

n이 증가함에 따라 P(n)은 점근 한계 1/2을 향해 단조적으로 감소합니다.

R의 예제

위에서 설명한 솔루션은 다음과 같이 R로 구현할 수 있습니다.

위해서 (s 안에 1:3) {          # s = 1, 2 또는 3 6을 찾습니다.   n = 6*s                 # ... n = 6, 12 또는 18 주사위에서   q = pbinom(s-1, n, 1/6) # q = Prob (<6개의 since in nedice)   고양이("적어도 될 확률", s, "식스 인", n, "멋진 주사위:", 1-q, "\n") }

뉴턴의 설명

뉴턴은 각 내기의 확률을 정확하게 계산했지만, 그는 페피스에게 별도의 직관적인 설명을 제공했습니다. 그는 B와 C가 6인 1조로 주사위를 던지는 것을 상상했고, A는 한 번만 던지면 6이 필요하기 때문에 가장 유리하다고 말했고, B와 C는 한 번씩 던지면 6이 필요했습니다. 이 설명은 한 집단이 하나 이상의 6을 생산하지 않기 때문에 실제로는 원래 문제와 일치하지 않는다고 가정합니다.^[3]

일반화

문제의 자연스러운 일반화는 던져질 때 각 주사위가 6개의 면을 선택할 확률이 p인 불필요한 공정한 주사위를 고려하는 것입니다(실제 주사위의 면 수와 선택해야 할 면은 무관함에 유의하십시오). r이 6면을 선택한 주사위의 총 개수라면, P $P(r\geq k;n,p)$ r ≥ $P(r\geq k;n,p)$ n, $p$ ) ${\displaystyle P(r\geq$ k; n, p)}는 정확히 n개의 주사위를 던졌을 때 최소 k개의 정확한 선택을 할 확률입니다. 그렇다면 원래의 뉴턴-페피스 문제는 다음과 같이 일반화될 수 있습니다.

ν $,$ ν 2 ${\$ displaystyle \n을 지정합니다. $u_{1},\n$ $u_{2}}:$ 자연 양수 s.t. $\nu _{1}\leq \nu _{2}$ $ν$ $\nu _{1}\leq \nu _{2}$ 1 ≤ $ν$ 2 {\displaystyle \n $u_{1}\leq \n$ $u_{2$ 그렇다면 $P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)$ $≥ ν$ 1 $P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)$ ; $ν$ 1 n, p) ${\displaystyle$ P(r\geq \n $u_{1}k;\n$ $u_{1}n,p)}$ $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ 보다 $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ ( $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ $≥ ν$ $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ ; $ν$ 2n, $displaystyle$ $u_{2}k;\n$ $u _{2}n,p)}$ for all n, p, k?

이 표기법을 사용하면 원래 뉴턴-페피스 문제는 $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ 과 같이 $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ ( $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ ≥ $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ 1; $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ 1/ $6$ ≥ P $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ ≥ 2; $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ , 1/6 $)$ ≥ $P(r$ ≥ 3; $18$ , 1 $/6)$ {\ $displaystyle P$ (r\ $geq 1; 6,$ 1/6 $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$ geq P(r\geq 2; 12, 1/6)\geq P(r\geq 3; 18, 1/6)}?

Rubin and Evans(1961)에서 알 수 있듯이, 일반화된 뉴턴-페피스 문제에 대한 답은 k, n, p에 따라 달라지기 때문에 균일한 답이 없습니다. 그럼에도 불구하고 이전 질문들의 몇 가지 변형은 일률적인 답변을 허용합니다.

(Chaundy and Bullard (1960)로부터):^[4]

If $k_{1},k_{2},n$ are positive natural numbers, and $k_{1}<k_{2}$ , then $P(r\geq k_{1};k_{1}n,{\frac {1}{n}})>P(r\geq k_{2};k_{2}n,{\frac {1}{n}})$ .

If $k,n_{1},n_{2}$ are positive natural numbers, and $n_{1}<n_{2}$ , then $P(r\geq k;kn_{1},{\frac {1}{n_{1}}})>P(r\geq k;kn_{2},{\frac {1}{n_{2}}})$ .

(바라뇰로, 필로네토, 스케나토(2013)에서):^[5]

ν $1$ ν 2, n, k ${\displaystyle$ \n $u_{1},\n$ $u_{2},n,k}$ 는 양의 자연수이고 $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ $ν$ $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ 1 ≤ $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ $ν$ $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ 2, $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ k ≤ $,$ p $∈$ [0, 1] {\displaystyle \n $u_{1}\leq \n$ $u_{2},k\leqn,p\in [0,1]}$ 그런 $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ P $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ $=$ $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ $ν$ $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ 1 k; $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ $ν$ 1 n,p) $≥$ P(r $=$ $ν$ 2 k; $ν$ 2 n,p) {\displaystyle P(r $=$ \n) $u_{1}k;\n$ $u_{1}n,$ $p)\geq P(r=\n)$ $u_{2}k;\n$ $u_{2}n,p$

참고문헌

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Newton-Pepys Problem". MathWorld.
^ 1960년, T.W., 불라드, J.E., Chaundy. "존 스미스의 문제." 수학보 44, 253-260.
^ ^a ^b Stigler, Stephen M (2006). "Isaac Newton as a Probabilist". Statistical Science. 21 (3): 400. arXiv:math/0701089. doi:10.1214/088342306000000312. S2CID 17471221.
^ 1960년, T.W., 불라드, J.E., Chaundy. "존 스미스의 문제." 수학보 44, 253-260.
^ D. Varagnolo, L. Schenato, G. Pillonetto, 2013. "뉴턴-페피스 문제의 변형과 크기 추정 문제와의 연관성" 통계 및 확률 편지 83(5), 1472-1478

[wolfram-1] Weisstein, Eric W. "Newton-Pepys Problem". MathWorld.

[2] 1960년, T.W., 불라드, J.E., Chaundy. "존 스미스의 문제." 수학보 44, 253-260.

[Stigler-3] Stigler, Stephen M (2006). "Isaac Newton as a Probabilist". Statistical Science. 21 (3): 400. arXiv:math/0701089. doi:10.1214/088342306000000312. S2CID 17471221.

[4] 1960년, T.W., 불라드, J.E., Chaundy. "존 스미스의 문제." 수학보 44, 253-260.

[5] D. Varagnolo, L. Schenato, G. Pillonetto, 2013. "뉴턴-페피스 문제의 변형과 크기 추정 문제와의 연관성" 통계 및 확률 편지 83(5), 1472-1478

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v t 아이작 뉴턴 경
출판물	플럭스(1671) De Motu (1684) 프린시피아 (1687) 옵틱스(1704) 조회(1704) 산술(1707) De Analysis(1711)
기타글	질문 (1661–1665) "거인들의 어깨 위에 서있다" (1675) 유대 신전에 관한 노트 (1680년경) "General Scholium" (1713년; "비핑고 가설") 고대 왕국 수정 (1728) 경전의 타락 (1754)
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