뉴턴 역학

물리학에서 뉴턴의 운동 법칙에 따르면 뉴턴의 역학은 입자 또는 작은 물체의 역학으로 이해된다.

수학적 일반화

일반적으로 뉴턴 역학은 평탄한 3차원 유클리드 공간에서 발생한다.그러나 수학에서 뉴턴의 운동 법칙은 다차원 및 곡선 공간으로 일반화될 수 있다.종종 뉴턴 역학이라는 용어는 뉴턴의 $\displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F}$ $\displaystyle m\,\mathbf {a} =\mathbf {F}$ a $=$ \ $displaystyle m,\mathbf {a}$ =\ $mathbf {F}$ 로 좁혀진다.

다차원 공간에서의 뉴턴의 제2법칙

일반 3차원 유클리드 공간에서 $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ 이 m1 $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ $(\$ 1},\ $ldots,m_{$ N $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ })인 $\displaystyle N$ N $(\$ displaystyle m_{N}) 입자를 $\displaystyle N$ 합니다. $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ 1, $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ {\ $displaystyle \displaystyle$ \ $mathbf {$ r $} _{$ 1},\ $ldots,\mathbf {$ r $} _{$ N $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ }}을 관성 좌표계에서 반지름 벡터로 $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ .그리고 이들 입자의 운동은 각각에 적용되는 뉴턴의 제2법칙에 의해 지배된다.

({displaystyle {d\mathbf {r} _{i} {dt}}=\mathbf {v} _{i},\qquad {d\mathbf {v} _{dt}})=parc {mathbf {F} _{i} _{i},\ldots} {mathbf} _{f})}

(1)

3차원 반지름 $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ 1, $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {r} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {r} _{N}$ {\ $displaystyle \displaystyle$ \ $mathbf {r} _{1},\ldots,\mathbf {r} _{N}}$ 은 $\displaystyle {\mathbf r}_{1},\,\ldots ,\,{\mathbf r}_{N}$ $\displaystyle n=3N$ n $\displaystyle n=3N$ $(\$ n $=3N}$ -차원 $\displaystyle n=3N$ 반지름 변환)으로 만들 수 있습니다.마찬가지로 3차원 속도 $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ v $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ , $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ ${\$ \ $displaystyle \mathbf$ {v} _ ${1$ },\ldots,\mathbf ${v} _{N}$ 는 $\displaystyle {\mathbf v}_{1},\,\ldots ,\,{\mathbf v}_{N}$ 단일 $\displaystyle n=3N$ $\displaystyle n=3N$ { $displaystyle \displaystyle$ $\displaystyle \mathbf {v} _{1},\,\ldots ,\,\mathbf {v} _{N}$ n $=3N}$ -차원 속도 $\displaystyle n=3N$ 벡터로 만들 수 있습니다.

\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1} \\vdots \\\mathbf {r} _{N} \end {Vmatrix} ,\qquad \mathbf {v} =mathbegin {Vmatrix} \d {r}

(2)

다차원 벡터 (2)의 관점에서 방정식 (1)은 다음과 같이 기술된다.

{\displaystyle {d\mathbf {r} {dt}}=\mathbf {v},\qquad {frac {d\mathbf {v}}=\mathbf {F}(\mathbf {r},\mathbf {v},t})

(3)

즉, 단위 $\displaystyle m=1$ m $\displaystyle m=1$ {\ $displaystyle \displaystyle$ m $=1$ 인 단일 입자에 적용되는 뉴턴의 제2법칙의 형태를 취합니다.

정의.평탄한 다차원 유클리드 공간에서의 뉴턴 역학계의 방정식(3)을 이 시스템의 구성 공간이라고 합니다.포인트는 radius-vector r $\$ $\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ 로 표시됩니다.포인트가 벡터 쌍 $\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ , v $)(\$ (\ $mathbf {r}$ ,\ $mathbf {v}$ )으로 $\displaystyle (\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$ 표시되는 공간을 동적 시스템의 위상 공간이라고 합니다(3).

유클리드 구조

동적 시스템(3)의 구성 공간과 위상 공간은 모두 유클리드 공간이다. 즉, 이들은 유클리드 구조를 갖추고 있다. $\displaystyle m=1$ 구조는 단위 $\displaystyle m=1$ m $\displaystyle m=1$ 1 ${\displaystyle$ \ $displaystyle$ m $=$ 1 $\displaystyle m=1$ }인 단일 다차원 입자의 운동 에너지가 $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ 1, $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ N ${\$ displaystyle $m_$ {1},\ $ldots}$ 인 3차원 입자의 운동 에너지의 합과 같도록 정의된다. $m_{N$

T

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

i

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

v

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

2

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

2

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

（

displaystyle

T

= vert

\

mathbf

{ v

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

} \

Vert ^{2

}} = \

sum

_ { i

T={\frac {\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}}{2}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\,{\frac {\Vert \mathbf {v} _{i}\Vert ^{2}}{2}}

=

1

}{

N

}

m

_ {

i

、 { \

frac

}

_

Vert {

v

}

(4)

구속조건 및 내부좌표

$\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ 이 $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ $(\$ 인 $\displaystyle m_{1},\,\ldots ,\,m_{N}$ 입자의 움직임이 제한될 수 있습니다.일반적인 제약조건은 형식의 스칼라 방정식처럼 보입니다.

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

(

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

1,

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

N )

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

, i

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

K

( \

displaystyle

\

varphi _

{ i } ( \

mathbf { r } _

{ { n } ) =

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

0 , \

quad i

= 1, \

ldots

,

K

}

(5)

(5) 형태의 제약은 홀로노믹과 경화라고 불린다.뉴턴 동적 시스템(3)의 반지름 벡터 $\displaystyle \mathbf {r}$ { $r}$ 의 $\displaystyle {\mathbf r}$ 관점에서 다음과 같이 쓴다.

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

(

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

r )

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

,

K

\

displaystyle

\

varphi

_ { i } ( \

mathbf

{

r

} ) =

\displaystyle \varphi _{i}(\mathbf {r} )=0,\quad i=1,\,\ldots ,\,K

0 , \

displaystyle i

= 1, , \

ldots

, , , ,

K

} 。

(6)

이러한 제약은 각각 뉴턴 역학계의 자유도를 1씩 감소시킨다(3).따라서 구속된 시스템은 n $\displaystyle n=3\,N-K$ $\displaystyle n=3\,N-K$ N - $\displaystyle n=3\,N-K$ (\ $displaystyle \displaystyle$ n $=3,N-K)$ 의 $\displaystyle n=3\,N-K$ 자유도를 $\displaystyle n=3\,N-K$ .

정의.구속조건 방정식(6)은 뉴턴 동적 시스템(3)의 구성 공간 $\displaystyle n$ 에 n ${$ $displaystyle$ $\displaystyle$ n $}$ 차원 $\displaystyle n$ $\displaystyle M$ $\displaystyle M$ M ${$ displaystyle $\displaystyle$ M $}$ 이 $\displaystyle M$ M(\ $displaystyle \displaystyle$ M $)$ 을 $\displaystyle M$ 구속된 시스템의 구성 공간이라고 합니다.접선 $\displaystyle TM$ $(\$ TM $)$ 은 $\displaystyle TM$ 구속된 시스템의 위상 공간이라고 불립니다.

$\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ 1, $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ n \ $displaystyle$ $q^{1},\ldots,q^{n}$ 을 $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ $\displaystyle M$ M $점$ 의 내부 좌표로 $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ $.이러한$ 방법은 Lagrangian 메커니즘에서 일반적으로 사용됩니다.radius-vector $\displaystyle \mathbf {r}$ {\ $displaystyle$ \ $mathbf$ {r $}$ $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ , $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ …, $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ n { $displaystyle$ \ $displaystyle q^{1},\ldots$ ,, $q^{n$ 의 몇 가지 확실한 함수로 표현됩니다.

\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})

=

(

\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})

1,

\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})

,

\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (q^{1},\,\ldots ,\,q^{n})

n

){

displaystyle \mathbf {r}

=\

mathbf {r}(q^{1},\ldots

,,

q^{n

입니다.

(7)

벡터 함수(7)는 (7)를 (6)로 치환하면 (6)의 방정식이 $\displaystyle q^{1},\,\ldots ,\,q^{n}$ $(\$ q $^{1},\ldots,q^{n$ 에서 동일하게 충족된다는 점에서 제약식(6)을 해결합니다.

속도 벡터의 내부 프레젠테이션

구속된 뉴턴 역학계의 속도 벡터는 벡터 함수(7)의 편도함수로 표현된다.

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

\

displaystyle

\

mathbf

{

v

} = \

sum

_ { i

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

=

1

}^{

n

} { \

frac {

\

flac

\

mathbf { r

}

}

, { \

dot

{

q}^

i

}

}

\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,{\dot {q}}^{i}

。

(8)

q $\displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}$ 1, $\displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}$ $\displaystyle {\dot {q}}^{1},\,\ldots ,\,{\dot {q}}^{n}$ n \ $displaystyle$ \ $displaystyle$ { $dot$ { $q$ }^{ $1},\ldots ,{\dot {q}^n}$ 은 $\displaystyle {\dot q}^{1},\,\ldots ,\,{\dot q}^{n}$ 속도 벡터의 내부 성분이라고 불립니다.때로는 별도의 기호를 사용하여 표시되기도 합니다.

\displaystyle \displaystyle {dot {q}^{i}=w^{i},\qquad i=1,\ldots,,n}

(9)

독립 변수로 취급됩니다.수량

\displaystyle q^{1},\ldots,,q^{n},w^{1},\ldots,,w^{n}

(10)

구속된 뉴턴 동적 시스템의 위상 $\displaystyle TM$ $\displaystyle TM$ M $(\$ TM $)$ 점의 $\displaystyle TM$ 내부 좌표로 사용됩니다.

임베딩 및 유도 리만 메트릭

기하학적으로 벡터 함수(7)는 구속된 뉴턴 동적계의 구성 $\displaystyle M$ M $(\displaystyle\displaystyle$ 3,N $)$ 을 $\displaystyle M$ 구속되지 않은 뉴턴 동적계의 $(\$ 3,N) $\displaystyle 3\,N$ 평면 구성 공간에 삽입한다.이러한 주변 공간의 유클리드 구조 때문에 다지관 $\displaystyle M$ 에 $\displaystyle M$ 리만 $메트릭$ 을 유도한다 $\displaystyle M$ 이 유도 $메트릭$ 의 메트릭 텐서의 구성요소는 공식에 의해 주어진다.

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

i

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

(

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

r

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

r ∂ )

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

) {

displaystyle

\

displaystyle g

_ {

ij

} = \

leftf\ frac

{ \ flac \

mathbf

{

r }

} { \

frac

} { \

flac

\

frac q } }

}

\displaystyle g_{ij}=\left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}},{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}\right)

(11)

$\displaystyle (\ ,\ )$ , $\displaystyle (\ ,\ )$ ) $\displaystyle (\ ,\ )$ { $displaystyle$ \ $displaystyle$ ( \ , \ $\displaystyle (\ ,\ )$ )는 $\displaystyle (\ ,\ )$ 유클리드 구조(4)와 관련된 스칼라 곱입니다.

구속된 뉴턴 역학계의 운동 에너지

N $(\$ N $)$ $\displaystyle N$ 의 $\displaystyle N$ 비구속 시스템의 유클리드 구조는 운동 에너지를 통해 도입되므로 구속 시스템의 구성 $\displaystyle N$ N(\ $displaystyle \displaystyle$ N $)$ 에서 $\displaystyle N$ 유도된 리만 구조는 운동 에너지와 다음과 같은 관계를 유지합니다.

T

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

i

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

n

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

j

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

g

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

w

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

{

display

T =

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

1 n

frac

{

}

{ } \

sum _

{

i

=

1

}^{

n

}

g

_ {

ij

} ,

w^{j}

T={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}\,w^{i}\,w^{j}

(12)

(8)을 (4)로 대체하고 (11)을 고려하여 식 (12)을 도출한다.

구속력

구속된 뉴턴 동적 시스템의 경우, (6) 공식에 의해 기술된 구속조건은 보통 몇 가지 기계적 프레임워크에 의해 구현된다.이 프레임워크는 구성 $\displaystyle M$ M 내에서 시스템을 유지하는 힘을 포함한 보조력을 발생시킵니다. 이러한 유지력은 M ${\$ M $\displaystyle M$ 에 수직이며, 이를 정규력이라고 합니다.(6)의 힘 $(\$ 는 $\displaystyle {\mathbf F}$ 두 가지 요소로 세분됩니다.

\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }

\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }

\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }

\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }

+

\mathbf {F} =\mathbf {F} _{\parallel }+\mathbf {F} _{\perp }

⊥

{

displaystyle

\

mathbf { F

} = \

mathbf { F

}

+

\

mathbf

{

F

}

_

{ \

perp }

} 。

(13)

(13)의 첫 번째 컴포넌트는 구성 $\displaystyle M$ M(\ $displaystyle \displaystyle$ M $\displaystyle M$ 에 접해 있습니다.두 번째 컴포넌트는 M $(\$ M $\displaystyle M$ 에 $\displaystyle \mathbf {N}$ 입니다.일반력 $\displaystyle \mathbf {N}$ N(\ $displaystyle \displaystyle \mathbf {N$ 과 일치합니다.
속도 벡터(8)와 마찬가지로 탄젠트 힘 F ${\$ {\ $displaystyle \displaystyle \mathbf {F} _{\parallel$ }}는 $\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }$ 내부 표현력을 가진다.

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

r

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\,F^{i}

\

{\

frac \frac

\

mathbf {r} }, F^{i

(14)

(14)의 F $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ , $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ n {\ $displaystyle$ F $^{1},\ldots,F^{n}$ 의 $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ 을 힘 벡터의 내부 성분이라고 합니다.

곡면 공간에서의 뉴턴의 제2법칙

구속 방정식(6)에 의해 구성 $\displaystyle M$ M(\ $displaystyle \displaystyle$ M $)$ 에 $\displaystyle M$ 구속된 뉴턴 동적 시스템(3)은 미분 방정식으로 설명됩니다.

d

F^{s},\qquad

s

=1,,\ldots,,n

(15)

여기서 $\Gamma _{ij}^{s}$ $\Gamma _{ij}^{s}$ $\Gamma _{ij}^{s}$ s $\Gamma _{ij}^{s}$ \ $Displaystyle \Gamma$ _ ${ij}^{s}$ 는 $\Gamma _{{ij}}^{s}$ 리만 메트릭(11)에 의해 생성된 메트릭 연결의 크리스토펠 기호입니다.

라그랑주 방정식과의 관계

구속조건이 있는 기계적 시스템은 일반적으로 라그랑주 방정식으로 설명됩니다.

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

t

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

(

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

∂

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

w s

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

) -

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

s

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

s

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

Q

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{

displaystyle

{

dq

^ { s } =

w^

{

s

} , \

qquad

{

frac

{

d

} { d

{\frac {dq^{s}}{dt}}=w^{s},\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial w^{s}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q^{s}}}=Q_{s},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

} } \

frac

{ d } \

frac

{ d } \ frac { d } \

frac

{ d } \ frac { d } \

frac

{ t } \ frac { t } \ frash { t} \

f

(16)

$T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ 서 T $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ ( $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ 1, $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ n, $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ 1, $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ ) $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ { $displaystyle$ T $=T(q^{1},\ldots,q^{n},w^{1},\ldots,w^{n}}$ 는 $T=T(q^{1},\ldots ,q^{n},w^{1},\ldots ,w^{n})$ (12) 공식에 의해 주어진 운동 에너지이다.(16)의 $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ , $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ n {\ $displaystyle Q_{1},\ldots,,Q_{n}$ 의 $Q_{1},\,\ldots ,\,Q_{n}$ 양은 접선력 $\mathbf {F} _{\parallel }$ F ${\$ {\ $displaystyle \mathbf {F} _{\parallel }}$ 의 내부 공변 성분입니다((13) 및 (14) 참조).이들은 벡터 ${\$ {\ $displaystyle \mathbf {F} _{\parallel$ }}의 $\mathbf {F} _{\parallel }$ 내부 반변 $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ ${\$ F $^{1},\ldots,F^{n}}$ 에서 $F^{1},\,\ldots ,\,F^{n}$ 메트릭(11)을 사용한 표준 지수 하강 절차를 통해 생성됩니다.

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

s

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

r

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

… ,

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

{

display

Q

_

{ s }

=

\

sum

_ { r }

g

_ {

sr

} ,

F^

{

r

, \

qquad

s =

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

1

,

, \

ldots

, n

Q_{s}=\sum _{r=1}^{n}g_{sr}\,F^{r},\qquad s=1,\,\ldots ,\,n

,

(17)

방정식(16)은 방정식(15)과 같다.단, 구성 $M$ 의 $\displaystyle M$ 메트릭(11) 및 기타 $기하학적$ 특징은 (16 $)$ 에 명시되어 있지 않다.미터법(11)은 운동 $\displaystyle T$ T $(\$ T $)$ 에서 $\displaystyle T$ 다음 공식을 사용하여 복구할 수 있습니다.

g

T}{\partial

w

^{i},\partial

w

^{j

(18)

「」를 참조해 주세요.

수정 뉴턴 역학

v t 아이작 뉴턴 경
출판물	플럭스(1671) De Motu (1684년) 프린키피아(1687; writing) Opticks(1704) 쿼리(1704) 산술 (1707) 분석 분석(1711)
기타 글	퀘이스티온스 (1661–1665) '거인의 어깨 위에 서 있다'(1675년) 유대 신전에 관한 메모 (1680년경) 일반 스콜륨 (1713; "hypotes non fingo") 고대 왕국 수정(1728년) 성경의 타락 (1754년)
투고	미적분학. 플럭스 충격 깊이 관성 뉴턴 원반 뉴턴 다각형 뉴턴-오쿤코프 체 뉴턴 반사경 뉴턴 망원경 뉴턴 척도 뉴턴의 금속 스펙트럼 구조 착색
뉴턴주의	버킷 인수 뉴턴 부등식 뉴턴의 냉각 법칙 뉴턴의 만유인력의 법칙 뉴턴 이후의 팽창 파라미터화된 중력 상수 뉴턴-카르탄 이론 슈뢰딩거-뉴턴 방정식 뉴턴의 운동 법칙 케플러의 법칙 뉴턴 역학 뉴턴의 최적화 방법 아폴로니우스 문제 잘린 뉴턴법 가우스-뉴턴 알고리즘 뉴턴 고리 난형에 관한 뉴턴의 정리 뉴턴-페피 문제 뉴턴 퍼텐셜 뉴턴 유체 고전 역학 빛의 입자 이론 라이프니츠뉴턴 미적분 논쟁 뉴턴 표기법 회전구 뉴턴의 대포알 뉴턴-코츠 공식 뉴턴의 방법 일반화 가우스-뉴턴법 뉴턴 프랙탈 뉴턴의 항등식 뉴턴 다항식 뉴턴의 공전 궤도 정리 뉴턴-울러 방정식 뉴턴 수 키스 번호 문제 뉴턴 지수 힘의 평행사변형 뉴턴-푸이즈 정리 절대적인 공간과 시간 발광 에테르 뉴턴 급수 테이블
사생활	울스트호프 장원(생가) Cranbury Park(집) 초기 생활 만년 종교적 견해 오컬트 과학 혁명 코페르니쿠스 혁명
관계	캐서린 바튼(여동생) 존 컨짓(사돈) 아이작 바로(교수) 윌리엄 클라크(멘토) 벤자민 풀린(튜터) 존 킬(단독) 윌리엄 스터클리(친구) 윌리엄 존스(친구) 아브라함 드 모이브르 (친구)
묘사	Newton by Blake(모노타이프) 파올로지의 뉴턴 (조각)
동명인	뉴턴(단위) 뉴턴의 요람 아이작 뉴턴 연구소 아이작 뉴턴 메달 아이작 뉴턴 망원경 아이작 뉴턴 망원경군 아이작 뉴턴 6학년 스태털 고등교육연구소 아이작 뉴턴 뉴턴 국제 펠로우십
분류	아이작 뉴턴

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목차

수학적 일반화

다차원 공간에서의 뉴턴의 제2법칙

유클리드 구조

구속조건 및 내부좌표

속도 벡터의 내부 프레젠테이션

임베딩 및 유도 리만 메트릭

구속된 뉴턴 역학계의 운동 에너지

구속력

곡면 공간에서의 뉴턴의 제2법칙

라그랑주 방정식과의 관계

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