뉴턴-울러 방정식
Newton–Euler equations| 시리즈의 일부 |
| 고전역학 |
|---|
고전역학에서 뉴턴 방정식은 강체의 병진 및 회전 역학을 설명합니다.[1][2]
전통적으로 뉴턴-유러 방정식은 강체에 대한 오일러의 두 운동 법칙을 열 벡터와 행렬을 사용하여 6개 성분의 단일 방정식으로 묶는 것입니다. 이 법칙들은 강체의 무게 중심 운동을 강체에 작용하는 힘과 토크의 합(또는 동의어 모멘트)과 연관시킵니다.
질량중심틀
τ(토크)에 대한 인체의 질량 중심과 원점이 일치하는 좌표 프레임과 F(힘)에 대한 관성 기준 프레임에 대해 행렬 형태로 표현할 수 있습니다.
어디에
- F = 질량중심에 작용하는 총력
- m = 신체의 질량
- I = 3×3 항등 행렬
- a = 질량 중심의 가속도
- v = 질량 중심의 속도
- τ = 질량 중심에 대해 작용하는 총 토크
- I = 질량 중심에 대한 관성 모멘트
- ω =체의 각속도
- α = 신체 각가속도
임의의 기준틀
물체에 고정되어 있고 질량 중심과 일치하지 않는 점 P에 위치한 좌표 프레임과 관련하여 방정식은 더 복잡한 형태를 가정합니다.
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/567cf49319502eaae7ae434408d3674c3bffbdd6)
여기서 c는 차체 고정 프레임에 표현된 질량 중심의 위치이며,
![[\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/982b7fcda4970bd5ad646d59044c3cb2c6ba3038)
스큐 symmetric 교차 곱 행렬을 나타냅니다.
외력의 합과 P에 대한 외력의 합을 포함하는 방정식의 왼쪽은 공간 렌치를 설명합니다. 나사 이론을 참조하십시오.
관성항은 공간 관성 행렬에 포함됩니다.
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f92d8453c00659bb35e9c07511eb9282de33f01d)
![{\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64b63994d85159297cd5093df4a39ad5c43abbf)
질량 중심이 좌표 프레임과 일치하지 않을 때(즉, c가 0이 아닐 때), 병진 및 각 가속도(a 및 α)가 결합되어 각각 힘 및 토크 성분과 연관됩니다.
적용들
뉴턴-유러 방정식은 관절 및 기타 제약 조건으로 연결된 강체의 시스템 역학을 설명하는 보다 복잡한 "다체" 공식(스크류 이론)의 기초로 사용됩니다. 다체 문제는 다양한 수치 알고리즘으로 해결할 수 있습니다.[2][6][7]
참고 항목
참고문헌
- ^ Hubert Hahn (2002). Rigid Body Dynamics of Mechanisms. Springer. p. 143. ISBN 3-540-42373-7.
- ^ a b Ahmed A. Shabana (2001). Computational Dynamics. Wiley-Interscience. p. 379. ISBN 978-0-471-37144-1.
- ^ Haruhiko Asada, Jean-Jacques E. Slotine (1986). Robot Analysis and Control. Wiley/IEEE. pp. §5.1.1, p. 94. ISBN 0-471-83029-1.
- ^ Robert H. Bishop (2007). Mechatronic Systems, Sensors, and Actuators: Fundamentals and Modeling. CRC Press. pp. §7.4.1, §7.4.2. ISBN 978-0-8493-9258-0.
- ^ Miguel A. Otaduy, Ming C. Lin (2006). High Fidelity Haptic Rendering. Morgan and Claypool Publishers. p. 24. ISBN 1-59829-114-9.
- ^ a b Roy Featherstone (2008). Rigid Body Dynamics Algorithms. Springer. ISBN 978-0-387-74314-1.
- ^ Constantinos A. Balafoutis, Rajnikant V. Patel (1991). Dynamic Analysis of Robot Manipulators: A Cartesian Tensor Approach. Springer. Chapter 5. ISBN 0-7923-9145-4.
