뉴턴-코츠 공식

수치해석학에서 뉴턴-코츠 공식은 등간격의 점에서 적분을 평가하는 것에 기초한 수치적 적분(quadrature라고도 함)을 위한 공식 그룹입니다. 그들의 이름은 아이작 뉴턴과 로저 코츠의 이름을 따서 지어졌습니다.

동일한 간격의 점에서 적분값이 주어지면 뉴턴-코츠 공식이 유용할 수 있습니다. 적분을 평가하는 점을 변경할 수 있다면 가우시안 직교와 Censshaw-Curtis 직교와 같은 다른 방법이 더 적합할 것입니다.

묘사

$[{\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b]}$ ${\displaystyle [a, b]}$에 정의된 함수 f의 값은 $n{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$ n$+1}$ 등간격의 점 < < ⋯ < n ≤ $b$ ${\displaystyle a\leq x_{$0} < $x_${1} <\$dots$ < $x_{n$leq b}에서 알 수 있다고 가정합니다. 뉴턴-코츠 직교에는 x ${\displaystyle 0_{}}$ = $a$ {\displaystyle x_{0}=a} 및 x n = b {\displaystyle x_{n}=b}, 즉 간격 끝점에서 함수 값을 사용하고 x 0 > a {\displaystyle x_{0}> a} 및 x n < {\displaystyle x_{n}<b}, 즉 "열림"이라는 두 가지 클래스가 있습니다. 엔드포인트에서 함수 값을 사용하지 않습니다. $뉴턴{\displaystyle }$ – n${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n+1}$개의$$ 점을 사용하는 공식은 (두 클래스에 대해) 다음과^[1] 같이 정의할 수 있습니다.

어디에

• 닫힌 공식의 경우$,$ $h$ = b - a $displaystyle$ x_{i}= a+ih}이며$,$ h = b - a {\displaystyle h = {\frac {b-a}{n}},
• 열린 공식의 경우, $x$ ${\displaystyle i_{}}$ = a$$+ (i${\displaystyle \frac{}{}}$+ 1) h {\displaystyle x_{i} = a + (i+1) h}이며, h = b - n + 2 {\displaystyle h = {\frac {b-a} {n+2}}입니다.

수 h를 계단 크기라고 하며, ${\$인 경우 가중치라고 합니다$$.

가중치는 라그랑주 기저 다항식의 적분으로 계산할 수 있습니다. ${\displaystyle {이들}_{}}$은$xi$ {\$displaystyle x_{$i}}에만 의존하고$$ 함수 f에는 의존하지 않습니다.

${\displaystyle L}$ (x${\displaystyle }$) $displaystyle$ L$(x))을$주어진$$ 데이터 점 (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle ),}$(${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ f ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle )),}$ …${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x_{}}$ n )${\displaystyle$ ($x_{0}, f$ ($x_{0})),$ ($x_{1}, f (x_{1),\ldots,$ ($x_{n}, f (x_{n$})}에 대한 라그랑주 형식의 보간 다항식이라고 하자$.$

고도의 불안정성

어떤 차수의 뉴턴-코츠 공식도 만들 수 있습니다. 그러나 큰 n에 대해 뉴턴-코츠 규칙은 때때로 큰 n에 대해 오차가 기하급수적으로 증가하는 재앙적인 룽지 현상으로^[2] 고통받을 수 있습니다. 균일한 간격의 점(적분 간격의 끝점에 모여 있음)이 있는 가우스 직교 및 클렌쇼-커티스 직교와 같은 방법은 안정적이고 훨씬 더 정확하며 일반적으로 뉴턴-코츠보다 선호됩니다. 이러한 방법을 사용할 수 없는 경우, 적분값은 고정 등분산 그리드에서만 주어지기 때문에 아래에 설명된 바와 같이 합성 규칙을 사용하여 룬지 현상을 피할 수 있습니다.

또는 보간 대신 최소 제곱 근사를 사용하여 안정적인 뉴턴-코츠 공식을 구성할 수 있습니다. 이를 통해 높은 학위에서도 수치적으로 안정적인 공식을 구축할 수 있습니다.^[3][4]

닫힌 뉴턴-코츠 공식

이 표는 닫힌 유형의 뉴턴-코츠 공식의 일부를 나열합니다. For ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, let ${\displaystyle x_{i}=a+ih}$ where ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$, and ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$.

닫힌 뉴턴-코츠 공식

n	step size h	통칭	공식	오류항
1	${\displaystyle b-a}$	사다리꼴 규칙	${\displaystyle {\frac {1}{2}}h(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
2	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}$	심슨의 법칙	${\displaystyle {\frac {1}{3}}h(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
3	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}$	심슨의 3/8 법칙	${\displaystyle {\frac {3}{8}}h(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
4	${\displaystyle {\frac {b-a}{4}}$	부울의 법칙	${\displaystyle {\frac {2}{45}}h(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi )}$

초기 참고서인 Abramowitz와 Stegun의 타이핑 오류가 전파된 결과 부울의 법칙은 때때로 Bode의 법칙으로 잘못 불리기도 합니다.^[5]

오차항에서 계단 크기 h의 지수는 근사 오차가 감소하는 비율을 제공합니다. 오차항에서 도함수 off의 차수는 더 이상 이 규칙과 정확하게 적분할 수 없는 다항식의 가장 낮은 차수를 제공합니다(즉, 오차가 0인 경우). 숫자$$ξ {\displaystyle$$\xi}는 간격 (a,b)에서 가져와야 하므로 오류 경계는f ( ξ) = max ( f ( x ), a < x < b {\displaystyle f (\xi ) =\max (f(x)), a < x < b }일때 오류 과 동일합니다.

뉴턴-코츠 공식 열기

이 표는 열린 유형의 뉴턴-코츠 공식 중 일부를 나열합니다. For ${\displaystyle 0\leq i\leq n}$, let ${\displaystyle x_{i}=a+(i+1)h}$ where ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n+2}}}$, and ${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$.

뉴턴-코츠 공식 열기

n	step size h	통칭	공식	오류항
0	${\displaystyle {\frac {b-a}{2}}$	직사각형 규칙 또는 중점 법칙	${\displaystyle 2hf_{0}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
1	${\displaystyle {\frac {b-a}{3}}$		${\displaystyle {\frac {3}{2}}h(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle {\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi )}$
2	${\displaystyle {\frac {b-a}{4}}$	밀른의 법칙	${\displaystyle {\frac {4}{3}}h(2f_{0}-f_{1}+2f_{2})}$	${\displaystyle {\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$
3	${\displaystyle {\frac {b-a}{5}}$		${\displaystyle {\frac {5}{24}}h(11f_{0}+f_{1}+f_{2}+11f_{3})}$	${\displaystyle {\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi )}$

합성규칙

Newton-Cotes 규칙이 정확하려면 스텝 크기 h가 작아야 합니다. 즉, 적분${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a,b]}$의 간격 자체가$$ 작아야 합니다. 이는 대부분의 경우 사실이 아닙니다. 이러한 이유로 일반적으로${\displaystyle }$[${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [a, b]$를 작은 부분 구간으로$$ 분할하고 각 부분 구간에 대해 뉴턴-코츠 규칙을 적용한 후 결과를 합산하여 수치 적분을 수행합니다. 이것을 합성 규칙이라고 합니다. 수치적분을 참조하십시오.

참고 항목

• 직교(수학)
• 보간
• 스플라인 보간

참고문헌

• M. 아브라모위츠와 I.A. 스테건, 에드. 공식, 그래프 및 수학 표가 포함된 수학 함수 핸드북. 뉴욕: 도버, 1972. (제25.4절 참조)
• 조지 E. 포사이트, 마이클 A. 말콤, 그리고 Cleve B. 몰러. 수학적 계산을 위한 컴퓨터 방법. 뉴저지주 잉글우드 절벽: 프렌티스홀, 1977. (섹션 5.1 참조)
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 4.1. Classical Formulas for Equally Spaced Abscissas", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
• 요제프 스토어와 롤랑 벌러쉬. 수치해석학 입문. 뉴욕: Springer-Verlag, 1980. (섹션 3.1 참조)

외부 링크

• "Newton–Cotes quadrature formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• www.math-linux.com 의 뉴턴 코츠 공식
• Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
• 뉴턴-코츠 통합, numericalmathematics.com