피터-바일 정리

수학에서 피터-와일 정리는 조화 분석 이론의 기본 결과로, 콤팩트하지만 반드시 아벨리안은 아닌 위상군에 적용됩니다. 헤르만 바일이 그의 제자 프리츠 피터와 함께 콤팩트 위상군 G(피터 & 바일 1927)의 설정에서 처음으로 증명했습니다. 이 정리는 페르디난드 게오르크 프로베니우스와 이사이 슈어가 발견한 유한군의 정규 표현 분해에 대한 중요한 사실을 일반화한 결과 모음입니다.

G를 콤팩트 군이라 하자. 그 정리는 세 부분으로 되어 있습니다. 첫 번째 부분은 G의 축소 불가능한 표현의 행렬 계수가 G 위의 연속 복소수 함수의 공간 C(G)에서 밀도가 높고, 따라서 제곱 적분 가능 함수의 공간² L(G)에서도 밀도가 높다고 말합니다. 두 번째 부분은 G의 단일 표현의 완전한 축소성을 주장합니다. 그런 다음 세 번째 부분은 L²(G)에 대한 G의 정규 표현이 모든 축소 불가능한 단일 표현의 직접적인 합으로 분해된다고 주장합니다. 또한, 환원 불가능한 단일 표현의 행렬 계수는 L²(G)의 정규 기저를 형성합니다. G가 단위 복소수의 집합인 경우, 이 마지막 결과는 푸리에 급수의 표준 결과일 뿐입니다.

행렬계수

그룹 G의 행렬 계수는 G 위의 복소수 함수$$φ${\$displaystyle$$\varphi}입니다.

${\displaystyle \varphi = L\circ \pi}$

여기서, π : G → GL(V)는 G의 유한 차원(continu) 그룹 표현이고, L은 열린 부분 집합으로 GL(V)을 포함하는 V(예: 트레이스)의 내형성 벡터 공간에 대한 선형 함수입니다. 행렬 계수는 연속적인데, 이는 표현이 정의상 연속적이고, 유한 차원 공간의 선형 함수도 연속적이기 때문입니다.

Peter-Weyl 정리의 첫 번째 부분은 다음과 같이 주장합니다(범프 2004, §4.1; Knapp 1986, 정리 1.12).

피터-웨일 정리(제1부). G의 행렬 계수 집합은 균일한 표준을 갖춘 G의 연속 복소 함수 C(G)의 공간에서 조밀합니다.

이 첫 번째 결과는 모든 연속 함수의 공간에서 함수 집합의 밀도를 나타낸다는 점에서 스톤-위어스트라스 정리와 유사하며, 오직 대수적 특성만을 나타냅니다. 실제로, 두 행렬 계수의 곱은 텐서 곱 표현의 행렬 계수이고, 복소 결합은 이중 표현의 행렬 계수이기 때문에 행렬 계수는 복소 결합 하에서 단위 대수 불변을 형성합니다. 따라서 행렬 계수가 점을 분리하는 경우 이 정리는 스톤-위어스트라스 정리에서 직접 따르며, 이는 G가 행렬 그룹이면 분명합니다(Knapp 1986, 페이지 17). 반대로, 임의의 콤팩트 리 군은 행렬 군과 동형이라는 정리의 결과입니다(Knapp 1986, 정리 1.15).

이 결과의 결과는 G의 행렬 계수가 L²(G)에서 조밀하다는 것입니다.

유니터리 표현의 분해

정리의 두 번째 부분은 G의 단일 표현을 유한 차원 표현으로 분해하는 것의 존재를 제공합니다. 이제 직관적으로 군들은 기하학적 대상 위의 회전으로 생각되었기 때문에, 본질적으로 힐베르트 공간 위의 연속적인 작용에서 발생하는 표현을 연구하는 것은 당연합니다. (원군에 대한 연속 동형화인 문자로 구성된 이중 군에 처음 도입된 사람들의 경우, 이 접근법은 원군이 주어진 힐베르트 공간에서 (궁극적으로) 단일 연산자의 군으로 일반화된다는 점을 제외하고는 유사합니다.)

G를 위상군, 하 복소 힐베르트 공간이라 하자.

연속 작업 ∗: G × H → H는 다음과 같이 정의된 연속 맵 ρ: G → H(강력한 토폴로지를 가진 H에서 H로의 함수) ρ(g)(g,v). 이 지도는 분명히 G에서 H의 동형^{[clarification needed]} 오토모피즘인 GL(H)로 동형화된 것입니다. 반대로, 이러한 지도가 주어지면, 우리는 명백한 방법으로 고유하게 동작을 복구할 수 있습니다.

따라서 우리는 힐베르트 공간 H 위의 G의 표현을 H 위의 G의 연속적인 작용에서 발생하는 그룹 동형화, ρ로 정의합니다. ${\displaystyle \mathrm{만약}}$ ρ(g)가$$모든 ${\displaystyle \mathrm{g개}}$의${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle G}$,${\displaystyle }$즉 ⟨ ρ${\displaystyle }$($g$) v, ρ (g) w ⟨ = ⟩ v, w lang {\displaystyle \rho(g)v,\rho(g)w\rangle =\lang v,w\rangle }에 대해 모든 v, w ∈ H에 대해 단일 연산자라면 표현 ρ은 단일 연산자라고 합니다(즉, ρ: G → U(H)이면 단일 연산자입니다). 이것이 U(C)가 단지 원군인 1차원 힐베르트 공간의 특수한 경우를 어떻게 일반화하는지 주목하십시오.

이러한 정의가 주어지면, 우리는 Peter-Weyl 정리의 두 번째 부분(Knapp 1986, 정리 1.12)을 다음과 같이 말할 수 있습니다.

피터-와일 정리 (제2부). 복소 힐베르트 공간 H 위의 콤팩트 군 G를 ρ라고 하자. 그런 다음 H는 G의 축소 불가능한 유한 차원 단위 표현의 직교 직접 합으로 분할됩니다.

제곱적분함수의 분해

정리의 세 번째이자 마지막 부분을 설명하자면, G 위에는 정사각형 적분 가능 함수로 구성된 자연스러운 힐베르트 공간 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$이 있습니다$.$ 이는 Haar 측도가 G 위에 존재하기 때문에 의미가 있습니다. 그룹 G는${\displaystyle }$L2$$(G) ${\displaystyle$L^{2}(G)}에 대한 유니터리 ${\displaystyle {표현}^{}}$ ρ를 갖습니다.

${\displaystyle \rho (h)f(g)=f(h^{-1}g).}$

피터-와일 정리(Knapp 1986, 정리 1.12)의 마지막 문장은 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G)}$의 명시적인 정규 기저를 제공합니다$.$ 대략적으로 G에 대한 행렬 계수가 적절히 재정규화되어 L²(G)의 정규 기저라고 주장합니다. 특히, ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$($G$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G)}$는 각 축소 불가능한 표현의 다중성이 그 정도(즉, 표현의 기본 공간의 차원)와 동일한 모든 축소 불가능한 단일 표현의 직교 직접 합으로 분해됩니다$$. 따라서,

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma}{\widehat {\bigopplus}}}E_{\pi}^{\opplus \dim E_{\pi}}}$

여기서 σ은 G의 (동형화 클래스) 축소 불가능한 단일 표현의 집합을 나타내고, 합계는 표현 π의 전체 공간 E의 직접적인 합의 폐쇄를 나타냅니다.

$또한{\displaystyle {}^{}}$ L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$를 $직접{\displaystyle }$ 곱군 G × G {\$displaystyle G\times G}$의 표현으로$$ 간주할 수 있으며$,$ 두 인자는 각각 왼쪽과 오른쪽에서 번역에 의해 작용합니다. $G$displaystyle G}의 표현${\displaystyle {}_{}}$π를 들어$,$ E π) {\displaystyle$(\$pi$,${\$pi$})}을 고정합니다. 표현에 대한 행렬 계수의 공간은 E π {\displaystyle E_{\pi}의$선형 맵 공간$인 End$$⁡$(E$ π$)$\operatorname {E_{\pi}}로${\displaystyle {}_{}}$할 수 있습니다. 행렬 계수에서 $G{\displaystyle }$× ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times$ G$}$의 자연스러운 좌우 동작은${\displaystyle {다음}_{}}$과 같이 주어진 종료 ⁡(E$$π$)$ {\$displaystyle \operatorname${End}(E_{\pi})}에 대한 동작과 일치합니다.

${\displaystyle (g,h)\cdot A=\pi (g)A\pi (h)^{-1}.}$

그러면 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G)}$를 $G{\displaystyle }$× G ${\displaystyle$ G$\times G}$의 형태로 단일 표현으로 분해할 수 있습니다.

${\displaystyle L^{2}(G)={\underset {\pi \in \Sigma} {\widehat {\bigopplus}}}E_{\pi}\otimes E_{\pi }^{*}$

마지막으로, 다음과$$ 같이 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle G)}${\$displaystyle L^{2}(G)}$에 대한 정규 기저를 형성할 수 있습니다. 축소 불가능한 단일 표현의 각 동형 클래스에 대해 대표 π이 선택되었다고 가정하고, 이러한 모든 π의 집합을 σ로 나타냅니다. ${\displaystyle {\mathrm{ui}}_{}^{}}$ j${\displaystyle {}_{}^{}}$($$π) ${\displaystyle \scriptstyle {$u_{$ij}^{(\$pi )}}를 정규분포에서의 π의 행렬계수라고 하자, 즉

${\displaystyle u_{ij}^{(\pi )}(g)=\langle \pi (g)e_{j},e_{i}\rangle .}$

각 g ∈ G에 대하여 마지막으로 표현 π의 정도라고 합니다. 이 정리는 이제 함수의 집합을 다음과 같이 주장합니다.

${\displaystyle \left\{\sqrt {d^{(\pi))}}u_{ij}^{(\pi)}\mid \,\pi \in \Sigma,\,\,1\leq i,j\leq d^{(\pi)}\right\}에서$

는 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}G)}$의 직교 기저입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G).}$

클래스 기능에 대한 제한

G의 모든 g $displaystyle$ $g$$}$ 및 h {\displaystyle h}에 $대하여$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle h}$ g ${\displaystyle h}$ h${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$) = f${\displaystyle }$( ${\displaystyle g}$) {\$displaystyle$ f (h gh^{-1}) = f(g)}이면 G의 $함수$ f ${\displaystyle$ f$}$를 클래스 함수라고 합니다. 제곱 적분 가능한 클래스 함수의 공간은 ${\displaystyle {L\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle G)}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(G)}$의 닫힌 부분 공간을 형성하며$,$ 따라서 그 자신의 오른쪽에 힐베르트 공간을 형성합니다. 고정 표현$$π {\displaystyle $\$pi}의 ${\displaystyle {행렬}_{}}$ 계수 공간 내에는 $\{\backslash$displaystyle$$\$chi\_${\$pi$} π의 문자$$χ π ${\$displaystyle \chi_${\$pi}}가 있으며, 다음으로 정의됩니다.

${\displaystyle \chi_{\pi}(g)=\operatorname {trace}(\pi(g)}$

위의 표기법에서 문자는 대각선 행렬 계수의 합입니다.

${\displaystyle \chi_{\pi} =\sum _{i=1}^{d^{(\pi )}}u_{ii}^{(\pi )}$

앞선 결과의 중요한 결과는 다음과 같습니다.

정리: G의 축소 불가능한 표현의 문자들은 G 위의 제곱 적분 가능한 클래스 함수의 공간에 대한 힐베르트 기저를 형성합니다.

이 결과는 연결된 콤팩트 리 그룹의 표현을 Weyl이 분류하는 데 중요한 역할을 합니다.^[1]

예제: U(1)

간단하지만 유용한 예는 크기 1의 복소수 $군인$ G = ${\displaystyle 1^{}}${\displaystyle G = S^{1}의 경우입니다. 이 경우 축소 불가능한 표현은 1차원이며 다음에 의해 주어집니다.

${\displaystyle \pi _{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

그런 다음 각 표현, 함수에 대한 단일 행렬 계수가 있습니다.

${\displaystyle u_{n}(e^{i\theta })=e^{in\theta }.}$

그런 다음 피터-와일 정리의 마지막 부분은 이 함수들이 ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$ 1${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$ L$^{2}(S^{1})}$에 대한 정규적인 기초를 형성한다고 주장합니다$.$ 이 경우 정리는 단순히 푸리에 급수 이론의 표준 결과입니다.

임의의 콤팩트 그룹 G에 대해 행렬 계수 측면에서$$ ${\displaystyle {L2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}G)}$ ${\displaystyle L^{2}(G)}$의 분해를 푸리에 급수 이론의 일반화로 간주할 수 있습니다. 실제로 이러한 분해를 종종 푸리에 급수라고 합니다.

예: SU(2)

그룹 SU(2)의 표준 표현을 다음과 같이 사용합니다.

${\displaystyle \operatorname {SU}(2)=\left\{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\\beta &{\overline {\alpha}}\end{pmatrix}}:\\alpha,\beta \in \mathbb {C},\, \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1\right\}~,}$

따라서 SU(2)는 $C$ ${\displaystyle {}^{}}$ = R ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \mathbb${C}$^{$2} =\mathbb {R} ^{4} 안에 있는 3구 ${\displaystyle S^{}}$ 3 ${\displaystyle$ S$^{3}}$로 표시됩니다. 한편, SU(2)의 축소 불가능한 표현은 음이 아닌 정수 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$으로 레이블이 지정되며$$ 두 개의 복잡한 변수에서 차수$$ m ${\displaystyle$ m$}$의 균질 다항식 공간에 대한 SU(2)의 자연스러운 작용으로 실현될 수 있습니다.^[2] $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ m$}$번째$$ 표현의 행렬 계수는 $차수{\displaystyle }$ m$${\$displaystyle$ m$}$의 초구 조화입니다$.$ 즉, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta}$에서 m ${\displaystyle$ m$} 정도$의 균일한 고조파 다항식의$$ $S{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 대한 제한$.$ 이 주장을 확인하는 핵심은 임의의 두 복소수 $z{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및 $z$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$에 대해$$함수를 계산하는 것입니다.

${\displaystyle (\alpha,\beta)\mapsto (z_{1}\alpha +z_{2}\beta)^{m}$

${\displaystyle (}$α${\displaystyle ,}$ β) beta C 2 = R 4 {\displaystyle(\alpha,\∈)\에서 \${\displaystyle \mathrm{mathbb}}$ {${\displaystyle {}^{}}$} ^{$2}$ =\mathbb {R} ^{4}의 함수로 고조파입니다.

${\displaystyle {}^{}}$ 경우${\displaystyle {}^{}}$ $L$ 2 (${\displaystyle \mathrm{SU}}$⁡ (2)${\displaystyle {}^{}}$=${\displaystyle L^{}}$ 2 $(S$ 3) ${\displaystyle$ L^{2} $(\operator name${SU} (2))에 대한 정규 기저를 찾습니다.$행렬$ 계수로 구성된 $=$L^{$2}(S^{3})}$는 구면에 대한 분석에서 표준 구성인 초구 조화로 구성된 정규 기저를 찾는 것과 같습니다.

결과들

연결된 콤팩트 리 군의 표현 이론

Peter-Weyl 정리는 특히 문자들이 제곱 적분 가능한 클래스 함수의 공간에 대해 정규적인 기초를 형성한다는 주장으로 연결된 콤팩트 리 군의 축소 불가능한 표현의 분류에 핵심적인 역할을 합니다.^[3] 인수는 (클래스 함수에 대한) Weyl 적분 공식과 Weyl 문자 공식에도 의존합니다.

논쟁의 개요는 여기에서 찾을 수 있습니다.

콤팩트 리 군의 선형성

피터-와일 정리의 중요한 결과는 다음과 같습니다.^[4]

정리: 모든 콤팩트 리 군은 충실한 유한 차원 표현을 가지므로$$일부 n${\display$ n$\}$에 대해 ${\displaystyle GL}$⁡${\displaystyle (}$n$;$ C) ${\displaystyle \operatorname${GL}($n;\mathbb$ {C})}의 닫힌 부분군과 동형입니다.

콤팩트 위상군의 구조

Peter-Weyl 정리로부터 중요한 일반 구조 정리를 추론할 수 있습니다. G를 하우스도르프라고 가정하는 콤팩트 위상군이라 하자. G가 왼쪽에서 작용하는 L²(G)의 임의의 유한 차원 G-불변 부분 공간 V에 대하여, 우리는 GL(V)의 G의 이미지를 고려합니다. G는 콤팩트하고, 리 군 GL(V)의 부분군이므로 닫혀 있습니다. 엘리 카르탕의 정리에 의해 G의 상도 역시 리 군이라는 것이 밝혀집니다.

이제 모든 공간 V에 대한 (범주론의 의미에서) 극한을 취하면 G에 대한 결과를 얻을 수 있습니다. G는 L²(G)에 대해 충실하게 작용하기 때문에 G는 Lie 군의 역 극한입니다. 물론 그 자체가 거짓말 그룹은 아닐 수도 있습니다. 예를 들어, 그것은 이익이 많은 그룹일 수도 있습니다.

참고 항목

• 폰트랴긴 이중성

참고문헌

• Peter, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ann., 97: 737–755, doi:10.1007/BF01447892.

• Bump, Daniel (2004), Lie groups, Springer, ISBN 0-387-21154-3.
• Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• "Peter-Weyl theorem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Knapp, Anthony (1986), Representation theory of semisimple groups, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0.
• Knapp, Anthony W. (2002), Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140 (2nd ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.
• Mostow, George D. (1961), "Cohomology of topological groups and solvmanifolds", Annals of Mathematics, Princeton University Press, 73 (1): 20–48, doi:10.2307/1970281, JSTOR 1970281
• Palais, Richard S.; Stewart, T. E. (1961), "The cohomology of differentiable transformation groups", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 83 (4): 623–644, doi:10.2307/2372901, JSTOR 2372901.

특정한