포인트 클래스

기술 집합 이론의 수학적 분야에서 점 클래스는 점 집합의 집합체인데, 여기서 점은 일반적으로 어떤 완벽한 폴란드 공간의 요소로 이해된다.실제로 포인트 클래스는 일반적으로 어떤 종류의 확정 가능한 속성으로 특징지어진다. 예를 들어, 폴란드 공간의 일부 고정된 컬렉션에서 모든 오픈 세트의 컬렉션이 포인트 클래스다.(개방형 집합은 순전히 임의의 점 집합일 수 없기 때문에 어떤 의미에서는 정의 가능한 것으로 보일 수 있다. 집합의 어떤 점에 대해서도 해당 점에 충분히 가까운 모든 점들은 집합에 있어야 한다.)null

포인트 클래스는 세트 이론과 실제 분석으로부터 많은 중요한 원리들과 이론들을 형성하는데 응용을 찾는다.강력한 설정-이론적 원칙은 다양한 포인트 클래스의 결정성 측면에서 명시될 수 있으며, 이는 다시 그러한 포인트 클래스의 집합(또는 때로는 더 큰 집합)이 르베그 측정성(그리고 실제로 보편적 측정성), 바이어의 속성 및 완벽한 설정 속성과 같은 규칙성 특성을 가지고 있음을 의미한다.null

기본 틀

실제로 기술 집합 이론가들은 종종 베이어 공간이나 칸토어 공간과 같은 고정된 폴란드 공간에서 일함으로써 문제를 단순화하는데, 이 공간은 각각 0차원이라는 이점이 있고, 실제로 유한하거나 셀 수 있는 힘에 대한 동형성이기 때문에 차원성에 대한 고려는 결코 일어나지 않는다.이안니스 모쇼바키스는 모든 자연계의 집합, 모든 실물의 집합, 바이어 공간, 칸토르 공간을 포함한 모든 기초 폴란드 공간의 집합에 대해 한 번 그리고 모든 기초적인 폴란드 공간의 집합에 대해 고치고, 그렇지 않으면 독자들이 원하는 완벽한 폴란드 공간을 던질 수 있게 함으로써 더 큰 일반성을 제공한다.그런 다음 그는 제품 공간을 이러한 기초 공간의 유한한 데카르트 산물이라고 정의한다.그 다음, 예를 들어, 모든 오픈$$ 세트의 포인트 클래스 { ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$0 {\$displaystyle${\$boldsymbol$ {\$Sigmbol {\}}{1}^{0}}}}$은 이러한 제품 공간 중 하나의 오픈 서브셋의 컬렉션을 의미한다.This approach prevents ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$ from being a proper class, while avoiding excessive specificity as to the particular Polish spaces being considered (given that the focus is on the fact that ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$ is the collection of open sets, 공간 자체에는 없음).null

볼드페이스 포인트 클래스

The pointclasses in the Borel hierarchy, and in the more complex projective hierarchy, are represented by sub- and super-scripted Greek letters in boldface fonts; for example, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{0}}$ is the pointclass of all closed sets, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{0}}$is the pointclass of all F_σ sets, ${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{2}^{0}}$ is the collection of all sets that are simultaneously F_σ and G_δ, and ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ is the pointclass of all analytic sets.null

이러한 포인트 클래스의 세트는 포인트까지만 "정의 가능"해야 한다.예를 들어 폴란드어 공간에 설정된 모든 싱글톤이 닫히고 따라서 $\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$따라서 모든 $\pi {\displaystyle {\mathbf{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 집합이$$ 폴란드 공간의 임의 요소(예: 임의의 실수 또는 임의의 자연수의 계산 가능한 순서)보다 "더 정의할 수 있어야 한다.그러나 볼드페이스 포인트 클래스는 클래스의 집합을 Oracle로 간주하는 실제 숫자에 대해 정의할 수 있어야 한다(일반적으로 그렇다).그런 의미에서 볼드페이스 포인트 클래스의 멤버십은 절대적 정의가능성은 아니지만, 정의 불가능한 실제 숫자에 관한 정의가능성만을 지닌다.null

볼드페이스 포인트 클래스 또는 적어도 일반적으로 고려되는 포인트 클래스는 웨지 환원성 하에서 닫힌다. 즉, 포인트 클래스에 세트가 주어지면 연속함수(제품 공간부터 주어진 세트가 부분 집합인 공간에 이르기까지) 아래의 역 이미지 또한 주어진 포인트 클래스에 있다.따라서 과감한 포인트 클래스는 와지 도(Wadge diages)의 하향 닫힌 결합이다.null

라이트페이스 포인트 클래스

보렐과 투영적 계층 구조는 더 이상 정의 가능성 속성이 오라클에 상대화되지 않고 절대적으로 만들어진 효과적인 서술적 집합 이론에서 유사점을 가지고 있다.For example, if one fixes some collection of basic open neighborhoods (say, in Baire space, the collection of sets of the form {x∈ω^ω s is an initial segment of x} for each fixed finite sequence s of natural numbers), then the open, or ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{0}}$, sets may be characterized as all (arbitrary)개방된 기본 지역 조합Lightface$Ⅱ{\displaystyle \mathrm{}}$${\$$displaystyle \Sigma$ $_{1}^{0$$}}$와 유사한 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {11\mathrm{}}_{}^{}}${1}^{0$}$ 세트는$$ 더 이상 그러한 동네의 임의 조합이 아니라 계산 가능한 조합이다$.$즉, 집합은 라이트페이스 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 0$(\$이라고도 하며$,$ 주어진 집합이 집합의 결합인 것처럼 유한한 순서의 계산 가능한 집합 S가 있는 경우, 집합은 S에서 s의 초기 세그먼트인 경우^ω x}이다.

$\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ $0{\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ {\displaystyle $\Pi _{1}^{0}$ σ 1 ${\$의 보어인 경우$$ 세트는 라이트페이스 \ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ \sigma _{1}^{0}}}이다.따라서 각 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 집합에는$$ 적어도 하나의 인덱스가 있는데, 이 인덱스는 구성된 기본 오픈 세트를 열거한 계산 가능한 함수를 기술한다. 사실 그러한 인덱스는 무한히 많을 것이다.마찬가지로, ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 집합 B에 대한 인덱스는 B의 보완에 있는 기본 오픈 세트를 열거한 계산 가능한 함수를 설명한다.null

A set A is lightface ${\displaystyle \Sigma _{2}^{0}}$ if it is a union of a computable sequence of ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ sets (that is, there is a computable enumeration of indices of ${\displaystyle \Pi _{1}^{0}}$ sets such that A is the union of these sets).라이트페이스 세트와 그 지수들 사이의 이러한 관계는 재귀 서수들을 통해 라이트페이스 보렐 계층구조를 트랜스파이널로 확장하는데 사용된다.이것은 보렐 계층의 라이트페이스 아날로그인 초산술 계층 구조를 생성한다. (초산술 계층의 유한 수준은 산술 계층 구조로 알려져 있다.)null

유사한 처우를 투영적 위계에 적용할 수 있다.그것의 라이트페이스 아날로그는 분석 계층 구조로 알려져 있다.null

요약

각 학급은 적어도 그 위의 학급만큼 크다.null

라이트페이스		볼드체
σ0 0 = π0 0 = Δ0 0(때로는 Δ와0 1 같음)		σ0 0 = π0 0 = Δ0 0(정의된 경우)
Δ0 1 = 재귀		Δ0 1 = clopen
σ0 1 = 재귀 열거형	π0 1 = 공동 반복 열거	σ0 1 = G = 개방	π0 1 = F = 닫힘
Δ0 2		Δ0 2
Σ0 2	Π0 2	σ0 2σ = F	π0 2δ = G
Δ0 3		Δ0 3
Σ0 3	Π0 3	σ0 3δσ = G	π0 3σδ = F
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σ0 <ω = π0 <ω = Δ0 <ω = σ1 0 = σ1 0 = Δ = Δ1 0 = 산술적		σ0 <ω = π0 <ω = Δ0 <ω = σ1 0 = δ1 0 = Δ = Δ1 0 = 굵은 얼굴 산술적
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Δ0 α(α 재귀)		Δ0 α (α 카운트 가능)
Σ0 α	Π0 α	Σ0 α	Π0 α
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σ0 ωCK 1 = π0 ωCK 1 = Δ0 ωCK 1 = Δ = Δ1 1 = 초산술		σ0 ω1 = π0 ω1 = Δ0 ω1 = Δ1 1 = B = 보렐
σ1 1 = 라이트페이스 분석법	π1 1 = 경량형 코아날리틱	σ1 1 = A = 분석적	π1 1 = CA = 공분석
Δ1 2		Δ1 2
Σ1 2	Π1 2	σ1 2 = PCA	π1 2 = CPCA
Δ1 3		Δ1 3
Σ1 3	Π1 3	σ1 3 = PCPCA	π1 3 = CPCPCA
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σ1 <ω = π1 <ω = Δ1 <ω = Δ2 0 = σ = Δ2 0 = Δ2 0 = 분석적		σ1 <ω = Δ1 <ω = Δ1 <ω = σ2 0 = σ2 0 = Δ2 0 = P = 투영적
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참조

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0.