결정성

결정성은 게임의 한 쪽 또는 다른 쪽 플레이어가 승리 전략을 가지고 있는 조건과 그러한 전략의 존재에 따른 결과를 검토하는 수학의 한 분야인 세트 이론의 하위 분야다. 대안으로 그리고 비슷하게, "결정력"은 그러한 전략이 존재하는 게임의 속성이다.

세트 이론으로 연구되는 게임들은 보통 게일-스튜어트 게임이다. 완벽한 정보의 2인용 게임으로 플레이어가 무한히 움직이며 무승부가 없는 게임이다. 게임 이론 분야는 틱택토, 체스, 무한 체스와 같은 무승부가 있는 게임이나 포커와 같은 불완전한 정보를 가진 게임을 포함하여 더 일반적인 종류의 게임을 연구한다.

기본 개념

게임.

우리가 고려해야 할 첫 번째 종류의 게임은 길이가 Ω인 완벽한 정보를 가진 2인용 게임이다. 이 게임에서 선수들은 자연적인 숫자를 연주한다. 이 게임들은 종종 게일-스튜어트 게임이라고 불린다.^[1]

이런 종류의 게임에는 종종 I과 II라는 이름을 가진 두 명의 선수가 있는데, 그들은 교대로 자연 숫자를 치는데 내가 먼저 간다. 그들은 "영원히"를 연주한다. 즉, 그들의 연극은 자연수에 의해 색인화된다. 그들이 끝났을 때, 미리 정해진 조건이 어떤 선수가 우승할지를 결정한다. 이 조건은 정의 가능한 규칙에 의해 명시될 필요는 없으며, 단순히 누가 특정 순서의 플레이를 이겼는지 말하는 임의의 (무한히 긴) 조회 테이블일 수 있다.

좀 더 공식적으로, Baire 공간의 부분 집합 A를 고려하라; 후자는 자연수의 모든 Ω-시퀀스로 구성된다는 것을 기억하라. 그 다음_A G 게임에서 자연수 a를₀ 하고, 그 다음에 II가 a를₁ 하고, 그 다음에 a를₂ 하는 등등을 한다. 그렇다면 나는 반드시 승리할 것이다.

${\displaystyle \langle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots \angle \in A}$

그렇지 않으면 II가 승리한다. 그 후 A를 G의_A 보수 집합이라고 한다.

각 선수는 자신의 움직임 하나하나에 앞서 움직이는 모든 움직임을 볼 수 있고, 승리 조건도 알 수 있을 것으로 추정된다.

전략들

비공식적으로, 선수를 위한 전략은 앞서 말한 플레이에 의해 그의 플레이가 전적으로 결정되는 플레이 방식이다. 다시 말하지만, 그러한 "방향"은 어떤 설명 가능한 "규칙"에 의해 포착될 수 있을 필요는 없지만, 단순히 조회 테이블일 수도 있다.

좀 더 형식적으로 플레이어 I에 대한 전략(앞 항을 의미하는 게임에 대한 전략)은 길이가 짝수인 자연수의 어떠한 유한한 시퀀스라도 주장으로 받아들이고 자연수를 반환하는 함수다. 만약 σ이 그런 전략이고 <a₀,...,a_2n-1>가 일련의 플레이라면, 전략 σ을 따르고 있다면, >(<<,...,a_02n-1>)은 내가 다음 플레이를 하게 될 것이다. II에 대한 전략은 "이상한"을 "짝짝짝"으로 대체하는 것과 똑같다.

전략이 어떤 식으로든 좋은지 여부에 대해서는 아직 아무 말도 하지 않았다는 점에 유의하십시오. 전략은 플레이어가 공격적으로 나쁜 행동을 하도록 지시할 수 있으며, 그것은 여전히 전략일 것이다. 사실, 게임의 승리 조건도, 게임을 위해 어떤 전략이 존재하는지 알 필요가 없다.

승리전략

상대가 어떤 플레이를 하든 반드시 따라가야 한다면 전략이 이기는 것이다. 예를 들어 σ이 I에 대한 전략이라면, σ은 G게임에서_A I에게 승전 전략으로서, ii이 어떤 순서의 자연수를 Ⅱ가 재생할 때, 즉 σ이 생산한 플레이의 순서₁ <a₃,a₅,a,...>라고 말한다.

${\displaystyle \langle \langle \langle \langle }a_{1},\langle \langle \langle \langle },a_{3},\ldots \rangle }}$

A의 요소다.

결정 게임

게임의 모든 인스턴스에 대해 한 선수(각 인스턴스마다 반드시 동일한 선수가 아님)의 승리 전략이 있는 경우 A(클래스) 게임이 결정된다.^[2] 같은 경기에서는 두 선수의 승리 전략이 있을 수 없다는 점에 유의하십시오. 만약 있다면 두 가지 전략이 서로 맞설 수 있기 때문이다. 그 결과 결과는 가설에 의하면 두 선수 모두에게 승리가 될 것이며, 이것은 불가능하다.^[3]

기본 고려사항의 결정성

추첨이 발생하지 않는 완벽한 정보의 모든 유한한 게임이 결정된다.

틱택토, 체스, 무한 체스와 같은 완벽한 정보의 실제 게임은 항상 제한된 수의 움직임으로 끝난다(체스 게임에서는 50 무브 규칙이 적용되는 것으로 가정한다). 그런 경기가 무승부라고 불렸을 어떤 조건에서도 특정 선수가 이기도록 수정된다면 그것은 항상 결정된다.^[3] 유한한 수의 움직임으로 게임이 항상 끝난다는 조건(즉, 유한한 포지션의 가능한 모든 확장이 동일한 플레이어의 승리를 초래한다)은 Baire 공간의 토폴로지에서 G에게_A 승리 조건을 주는 세트 A가 열린다는 위상학적 조건에 해당한다.

예를 들어, 체스의 규칙을 수정하여 블랙이 그린 게임을 승리로 만드는 것은 체스를 확고한 게임으로 만든다.^[4] 공교롭게도 체스는 포지션 수가 한정되어 있고 추첨별 규칙도 있기 때문에 이러한 변형된 규칙으로 화이트가 승리하지 않고 플레이가 충분히 오래 계속된다면 블랙은 결국 승리를 강요할 수 있다(추첨의 수정으로 인해 블랙은 흑의 경우 승리).

그러한 게임이 결정된다는 증거는 다소 간단하다. 내가 단순히 지지 않기 위해 플레이하는 플레이어, 즉 내가 이동한 후에 II 플레이어가 승리 전략을 갖지 않도록 하기 위해 플레이하는 플레이어. 만약 내가 이것을 할 수 없다면, 그것은 II선수가 처음부터 승리 전략을 가지고 있었다는 것을 의미한다. 반면에 내가 이런 식으로 플레이할 수 있다면, 내가 이겨야 하는데, 왜냐하면 게임은 유한한 몇 번의 움직임 후에 끝날 것이기 때문이다. 그리고 그 시점에서 내가 질 수 없었을 선수였다.

이 증거는 실제로 게임이 항상 제한된 수의 움직임으로 끝나도록 요구하는 것이 아니라, II가 승리할 때마다 제한된 수의 움직임으로 끝나게 할 뿐이다. 그 조건은, 토폴로지로는, A세트가 닫혀 있다는 것이다. 모든 폐쇄된 게임이 결정된다는 이 사실을 게일-스튜어트 정리라고 한다. 대칭에 의해 모든 오픈 게임도 결정된다는 점에 유의한다. (제한된 수의 동작으로 이겨야만 이길 수 있는 게임이라면 오픈 게임이다.

ZFC의 결정성

데이비드 게일과 F. M. 스튜어트는 오픈과 클로즈드 게임이 결정된다는 것을 증명했다. 보렐 위계 게임의 2단계 결정성은 1955년 울프가 보여주었다. 이후 20년 동안, 보렐 계층의 3단계와 4단계 수준이 결정된다는 더욱 복잡한 주장을 사용한 추가 연구가 확립되었다.^[specify]

1975년, 도널드 A. 마틴은 모든 보렐 게임이 결정된다는 것을 증명했다. 즉, A가 바이어 공간의 보렐 부분집합이라면 G는_A 결정된다. 보렐 결정성으로 알려진 이 결과는 다음으로 높은 Wadge 등급의 결정성은 ZFC에서 증명할 수 없다는 점에서 ZFC에서 증명할 수 있는 최선의 결정성 결과다.

마틴이 증거를 얻기 전인 1971년, 하비 프리드먼은 보렐 결정성의 어떤 증거도 파워셋 공리를 완전히 자주 반복하기 위해서는 반드시 본질적인 방법으로 교체의 공리를 사용해야 한다는 것을 보여주었다. 프리드먼의 연구는 보렐 계급의 각 수준에서 결정성을 보장하기 위해 파워셋 공리의 반복이 얼마나 필요한지를 단계별로 상세히 기술한 결과를 제공한다.

For every integer n, ZFC\P proves determinacy in the nth level of the difference hierarchy of ${\displaystyle \mathbf {\Pi } _{3}^{0}}$ sets, but ZFC\P does not prove that for every integer n nth level of the difference hierarchy of ${\displaystyle \Pi _{3}^{0}}$ sets is determined. 2차 산술의 결정성과 하위 시스템 사이의 다른 관계는 역수학을 참조하십시오.

결정성과 대형 추기경

결정력과 큰 추기경 사이에는 친밀한 관계가 있다. 일반적으로 더 강한 큰 추기경 공리는 더 큰 점수 클래스의 결정성을 증명하고, 와지 계층 구조에서 더 높은 점수 클래스의 결정성을 증명하며, 그러한 점 클래스의 결정성은 애초에 점 클래스의 결정성을 증명하기 위해 사용된 것보다 약간 약한 대형 추기경 공리의 내부 모델의 존재를 증명한다.

측정 가능한 추기경

모든 분석적 게임(또는¹₁ π)이 결정되거나 동등하게 모든 분석적 게임(또는 π¹₁)이 결정되는 것은 측정 가능한 추기경의 존재에서 비롯된다. (정의는 투영 계층을 참조하십시오.)

사실 측정할 수 있는 추기경은 충분하다. 더^# 약한 원리 - 0의 존재는 공분석적 결정성을 입증하기에 충분하며, 조금 더 많은: 정확한 결과는 0의^# 존재는 Ω² 수준 이하의 차이 계층의 모든 수준의 결정력, 즉 $매{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n$}에 대한 Ω·n-N¹₁ π 결정력과 동등하다는 것이다$.$

측정 가능한 추기경으로부터 우리는 이것을 Ω-Ω²¹₁ 결정으로 아주 약간 개선할 수 있다. 더 측정 가능한 추기경의 존재로부터, Ⅱ에¹₁ 대한 더 많은 수준의 차이 서열체계의 결정성을 증명할 수 있다.

날카로움으로 인한 결정성의 증명

모든 실수 ${\displaystyle r}$에 대해 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( r${\displaystyle }$) ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ 결정성은$$ r의^# 존재와 동등하다. 추기경들이 얼마나 큰 결정성으로 이어지는가를 설명하기 위해, 여기에^# ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( r $)[\displaystyle \Sigma _{1}^{1}^{$}($r)}$ 결정성의$$ 증거가 있다.

A를 Baire 공간의 $\sigma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle r}$) ${\displaystyle \Sigma _{1}^{1}(r)}$ 부분$$ 집합으로 두십시오. A = p[T] for some tree T (constructible from r) on (ω, ω). (That is x∈A iff from some y, ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...)}$ is a path through T.)

부분적인 재생 ${\displaystyle s_{}}$가 주어지면, T $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 max(y₀,y₁,...,y_len(s)-1)의 영향을 받는 s와 일치하는 T의 하위 트리가 되도록$$ 한다. ${\displaystyle {추가}_{}}$ 조건은 T $s{\displaystyle {}_{}}$ ${\$가 유한함을$$ 보장한다. Consistency means that every path through ${\displaystyle T_{s}}$ is of the form ${\displaystyle ((x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),...,(x_{i},y_{i}))}$ where ${\displaystyle (x_{0},x_{1},...,x_{i})}$ is an s의 초기 세그먼트

A가 결정되었음을 입증하려면 다음과 같이 보조 게임을 정의하십시오.
플레이어 2는 일반적인 움직임 외에도 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\$를 서수(충분히 큰 서수 κ 이하)로$$ 매핑하여 플레이해야 한다.

• 각각의 새로운 움직임은 이전 매핑을 확장하고
• 서수의 순서는 T ${\displaystyle s_{}}$ ${\$에 있는 Kleene-Brower 주문과 일치한다$.$

클레인-브라우어 질서는 s가 적절하게 t를 확장한 경우 s를 제외하고 사전적 질서와 같다는 것을 기억하라. 나무의 근거가 충분하다면 그것은 질서 정연한 것이다.

보조게임이 열려 있다. 증명: 만일 플레이어 2가 유한한 단계에서 지지 않는다면, ${\displaystyle {모든}_{}}$ $T{\displaystyle {}_{}}$s {\$displaystyle$T_${s$}}($$극에 해당하는 나무)의 합이 근거가 충분하므로, 비보조 플레이의 결과는 A에 있지 않다.

그래서 보조게임이 결정된다. 증명: 트랜스피니트 유도에 의해, 각 서수 α에 대해, 플레이어 1이 α 스텝으로 승리를 강요할 수 있는 위치 집합을 계산한다. 여기서 플레이어 2가 움직일 수 있는 위치는 α 스텝에서 (플레이어 2)가 움직일 때마다 결과 위치가 α 스텝 미만으로 손실된다. 선수 1의 한 가지 전략은 각 포지션과 함께 α를 줄이는 것(가장 적은 α를 선택하고 가장 적은 움직임을 선택하여 동점을 깨는 것)이며, 선수 2의 한 가지 전략은 α가 할당된 포지션으로 이어지지 않는 최소(실제로 어떤 동작도 가능) 동작을 선택하는 것이다. L(r)에는 위에 제시된 승리 전략뿐만 아니라 승리하는 포지션 집합도 포함되어 있다는 점에 유의하십시오.

원래 게임에서 2번 선수의 승리 전략은 보조 게임에서의 승리 전략으로 이어진다. 우승 전략에 해당하는 T의 하위 트리는 근거가 충분하기 때문에 2번 플레이어는 나무의 클레인-브루어 순서에 따라 서수를 선택할 수 있다. 또한, 사소한 것은 보조 게임에서 2번 선수의 승리 전략이 원래의 게임에서 2번 선수의 승리 전략을 제공한다는 것이다.

위에서 언급한 보조게임의 1번 선수에 대한 승리전략이 원래의^# 게임에서 승리전략으로 전환될 수 있다는 것을 보여줘야 한다. r은^# (L), (R), (R) 불분명한 서수들의 적절한 클래스 I를 부여한다. 불분명한 것에 의해, 보조 응답의 in과 서수가 I에 있다면, 플레이어 1의 동작은 보조 동작(또는 κ)에 의존하지 않기 때문에, 그 전략은 원래의 게임에 대한 전략으로 전환될 수 있다(플레이어 2는 한정된 수의 스텝에 대해 불분명한 것을 가지고 버틸 수 있기 때문이다). 원래 게임에서 1 선수가 졌다고 가정해 보자. 그렇다면 연극에 해당하는 나무는 근거가 충분하다. 따라서, 2번 선수는 1번 선수가 보조 게임을 이기는 것과 모순되는 (주문 유형이 나무의 클레인-브루어 순서를 초과하기 때문에) 불분명한 것에 기초한 보조 동작을 사용함으로써 보조 게임을 이길 수 있다.

우딘 추기경

만약 그 위에 측정이 가능한 추기경이 있는 우딘 추기경이 있다면, Ⅱ의¹₂ 결정력은 유지된다. 보다 일반적으로, 그 위에 측정 가능한 추기경을 가진 우딘 추기경이 n명 있다면, Ⅱ¹_n+1 결정권은 유지된다. Ⅱ¹_n+1 결정성에서 보면 우딘 추기경 n명을 포함하는 전이적 내측 모델이 있는 것으로 보인다.

${\displaystyle {\mathrm{\Delta }}_{}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$조명체) 결정성은 우딘 추기경과 동일하다. 만약Δ 2대 1{\displaystyle \Delta_{2}^{1}}확정성을 가지고 있다면, x(그 충분히 높은 튜링 정도의 모든 실제 x을 위한 것이다)의 튜링 콘을, L[)], HODL[)]에 ω 2L[)]{\displaystyle \omega_{2}^{나는 경우인데 OD-determinacy(게임의 길이 ω의 정수 및ordinal-definable 보상에 그것은 확정성)을 충족뻗는다}${}$은(는) 우딘 추기경이다$$.

투영 결정성

만약 무한히 많은 우딘 추기경들이 있다면, 투사적인 결정력이 유지된다. 즉, 우승 조건이 투사적인 세트인 모든 경기가 결정된다. 투영적 결정력으로부터, 모든 자연수 n에 대해, 우딘 추기경이 n명 있다는 것을 만족하는 타동적 내적 모델이 있다는 것을 따른다.

결정성의 공리

결정력, 즉 AD의 공리는 선수들이 네이투랄을 하는 길이 Ω의 완벽한 정보의 모든 2인용 게임이 결정된다고 주장한다.

AD는 ZFC로부터 분명히 거짓이다. 선택의 공리를 사용하면 결정되지 않은 게임의 존재를 증명할 수 있다. 그러나 그 위에 측정이 가능한 우딘 추기경들이 무한히 많다면 L(R)은 AD를 만족시키는 ZF의 모델이다.

결정성의 결과

실제 집합에 대한 정규성 속성

A를 위한 바나흐-마주르 게임이 결정되는 바이어 공간의 일부분이라면, II는 승전 전략을 가지고 있는데, 이 경우 A는 미미한 것이고, 나는 승전 전략을 가지고 있는데, 이 경우 A는 어떤 열린 동네에서^[1] 오는 것이다.

이는 A가 Baire의 재산을 가지고 있다는 것을 의미하는 것은 아니지만, 다음과 같이 근접하게 된다. 간단한 주장의 수정은 γ의 모든 게임이 결정되는 적절한 포인트 클래스인 경우, real의 모든 레알은 Baire의 속성을 가지고 있다는 것을 보여준다.

사실, 이 결과는 최적의 것은 아니다; 펼쳐지는 바나흐-마주르 게임을 고려함으로써 우리는 γ (충분한 폐쇄 속성을 가진 γ에 대해)의 결정성은 γ에서 한 세트의 투영인 모든 리얼들이 바이어의 속성을 가지고 있다는 것을 암시한다는 것을 보여줄 수 있다. 따라서 예를 들어 측정할 수 있는 추기경의 존재는 Ⅱ¹₁ 결정성을 내포하고, 이는 다시 모든 Ⅱ¹₂ 실세 집합이 바이얼의 속성을 가지고 있음을 암시한다.

다른 게임을 고려함으로써, Ⅱ¹_n 결정성은 모든 Ⅱ실제¹_n+1 집합이 바이얼의 속성을 가지고 있고, 르베그(사실상 보편적으로 측정할 수 있으며)가 측정할 수 있으며, 완벽한 세트 속성을 가지고 있다는 것을 함축하고 있음을 알 수 있다.

주기성 이론

• 첫 번째 주기성 정리는 모든 자연수 n에 대해 Δ¹_2n+1 결정성이 유지된다면 Δ와¹_2n+1 Ⅱ는¹_2n+2 사전 웰딩 특성을 갖는다(그리고 Ⅱ와¹_2n+1 Ⅱ는¹_2n+2 사전 웰딩 특성을 가지지 않고 오히려 분리 특성을 갖는다).
• 두 번째 주기성 정리는 모든 자연수 n에 대해 Δ¹_2n+1 결정성이 유지된다면 Δ와¹_2n+1 σ는¹_2n 척도 특성을 갖는다는 것을 의미한다.^[5] 특히, 투사적 결정성이 유지된다면, 모든 투사적 관계는 투사적 통일성을 갖는다.
• 세 번째 주기적 정리는 게임이 확실한 승리 전략을 가질 수 있는 충분한 조건을 제공한다.

특정 2차 이론의 결정성을 위한 응용 프로그램

1969년, 마이클 O. 라빈은 n 후계자의 2차 이론이 디커피블이 가능하다는 것을 증명했다.^[6] 입증의 핵심 구성요소는 보렐 서열 3단계에 있는 패리티 게임의 결정성을 보여줄 필요가 있다.

와지 결정성

이 구간은 확장이 필요하다. 덧셈으로 도와줘도 된다(2016년 5월)

Wadge 결정성은 Baire 공간의 모든 쌍 A, B에 대해 Wadge 게임 G(A,B)가 결정된다는 진술이다. 포인트 클래스 Ⅱ, Ⅱ 와지 결정성은 Ⅱ의 모든 세트 A, B에 대해 와지 게임 G(A, B)가 결정된다는 진술이다.

와지 결정성은 와지 주문에 대한 반선형 순서 원칙을 내포하고 있다. Wadge 결정성의 또 다른 결과는 완벽한 집합 특성이다.

일반적으로 γ 와지 결정성은 γ에서 세트의 부울 조합 결정성의 결과물이다. 투영적 계층 구조에서 π¹₁ 와지 결정성은 레오 해링턴에 의해 증명된 π¹₁ 결정성과 동등하다. 이 결과는 Hjorth에 의해 확장되어 Ⅱ¹₂ Wadge 결정성(사실상 Ⅱ에¹₂ 대한 반선형 순서 원리)이 Ⅱ¹₂ 결정성을 이미 내포하고 있음을 증명했다.

더 많은 일반 게임

물체가 노는 게임은 자연수가 아니다.

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서수 정의 가능한 지급액과 길이 Ω을 사용한 서수형 게임의 결정성은 모든 정규 추기경 κ>Ω에 대해 공 마침표 Ω의 서수로 만들어진 κ의 서수형 정의 가능한 분리형 고정 부분 집합이 없음을 의미한다. 결정성 가설의 일관성 강도는 알 수 없지만 매우 높을 것으로 예상된다.

나무 위에서 하는 게임

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롱 게임

Ω₁ 우딘 추기경의 존재는 모든 계수 가능한 서수 α에 대해 길이 α의 정수 및 투영적 보수가 결정된다는 것을 의미한다. 대략 α 우딘 추기경들은 길이 α(단순 보상 세트 포함)의 실물에 대한 게임의 결정성에 해당한다. o(κ)=κ과⁺⁺ Ω의 우딘 추기경들로 κ의 한도를 가정하면 경기가 길어지는 즉시 경기 라인과 투영적 보상으로 끝나는 가변 카운트 가능 길이의 게임이 결정된다. 특정 반복성 추측이 입증 가능하다고 가정할 때, 측정 가능한 우딘 추기경의 존재는 길이 Ω의₁ 오픈 게임과 투영적인 보상의 결정성을 암시한다. (이 경기에서는 카운트 가능한 단계에서 첫 번째 선수의 승리 조건이 트리거되므로, 보수는 리얼 세트로 코딩될 수 있다.)

우딘 추기경들의 우딘 한계와 그 위에서 측정할 수 있는 한계에 대해, 길이 Ω과₁ 순서형 정의 가능한 보상의 모든 경기가 결정된다는 것은 일치한다. 결정성 가설은 우딘 추기경의 우딘 한계와 동일하다고 추측된다. Ω은₁ 길이 Ω₁+Ω의 정수 및 순서형 정의 가능한 보수가 결정되지 않은 게임이 있다는 점에서 최대값이다.

불완전한 정보의 게임

불완전한 정보가 있는 어떤 재미있는 게임에서, 승리 전략은 혼합된 전략이 될 것이다: 즉, 그것은 같은 상황에 대해 서로 다른 반응을 보일 가능성을 줄 것이다. 만약 두 선수의 최적 전략이 혼합된 전략이라면, 게임의 결과는 확실히 결정 요인이 될 수 없다(순수 전략의 경우 결정론적이기 때문에 가능함). 그러나 반대되는 혼합 전략에 대한 결과의 확률 분포를 계산할 수 있다. 혼합된 전략이 필요한 게임은 주어진 값을 초과하는 최소 기대치(가능한 카운터 전략 이상)를 산출하는 전략이 존재하는지 여부를 결정하는 것으로 정의된다. 이 정의에 반하여, 모든 유한한 2인용 제로섬 게임은 명확하게 결정된다. 그러나 불완전한 정보의 무한 게임(블랙웰 게임)의 결정성은 명확하지 않다.^[7]

1969년 데이비드 블랙웰은 일부 "불완전한 정보가 있는 무한 게임"(현재 "블랙웰 게임"으로 불림)이 결정된다는 것을 증명했고, 1998년 도널드 A. 마틴은 과감한 포인트 클래스에 대한 일반적인 (완벽한 정보 게임) 결정성이 포인트 클래스에 대한 블랙웰 결정성을 내포하고 있음을 증명했다. 이는 마틴의 보렐 결정성 정리(Borel crystacy organization)와 결합하여 보렐 지불 기능을 가진 모든 블랙웰 게임이 결정됨을 암시한다.^[8] [9]마틴은 그 무한의 게임을 위해 평범한 확정성과 블랙웰 결정성 강한 의미에서(즉 다시에 볼드체 pointclass에 블랙웰 확정성 그pointclass에 평범한 확정성을 내포한다.),지만 2010년을 기준으로, 블랙웰 확정성을 의미하perfect-information-game determ 증명되지 않과 동등하다는 추측했다.에서통통 ^[10]튀김의

Quasistrategies 및 Quasideterminacy

이 구간은 비어 있다. 추가하면 도움이 된다. (2015년 4월)

참고 항목

• Ω-autom톤
• 해결된 게임
• 엄격하게 결정된 게임
• 위상 게임

각주

1. ^ 이것은 내가 이웃들의 교차점을 A의 요소인 싱글톤으로 만들려고 한다고 가정한다. 일부 저자들은 선수 II에 대한 목표를 대신 설정한다; 그러한 용법은 위의 논평을 적절히 수정해야 한다.

참조

• Gale, David and Stewart, F. M. (1953). Kuhn, H. W.; Tucker, A. W. (eds.). Infinite games with perfect information. Contributions to the Theory of Games, Volume II. Annals of Mathematics Studies 28. Princeton University Press. pp. 245–266. ISBN 9780691079356.CS1 maint: 여러 이름: 작성자 목록(링크)
• Harrington, Leo (Jan 1978). "Analytic determinacy and 0#". The Journal of Symbolic Logic. 43 (4): 685–693. doi:10.2307/2273508. JSTOR 2273508.
• Hjorth, Greg (Jan 1996). "Π¹₂ Wadge degrees". Annals of Pure and Applied Logic. 77: 53–74. doi:10.1016/0168-0072(95)00011-9.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 978-3-540-44085-7.
• Martin, Donald A. (1975). "Borel determinacy". Annals of Mathematics. Second Series. 102 (2): 363–371. doi:10.2307/1971035. JSTOR 1971035.
• Martin, Donald A. and John R. Steel (Jan 1989). "A Proof of Projective Determinacy". Journal of the American Mathematical Society. 2 (1): 71–125. doi:10.2307/1990913. JSTOR 1990913.
• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 978-0-444-70199-2.
• Woodin, W. Hugh (1988). "Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 85 (18): 6587–6591. Bibcode:1988PNAS...85.6587W. doi:10.1073/pnas.85.18.6587. PMC 282022. PMID 16593979.
• Martin, Donald A. (2003). "A simple proof that determinacy implies Lebesgue measurability". Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 61 (4): 393–399. (PDF)
• Wolfe, P. (1955). "The strict determinateness of certain infinite games". Pacific J. Math. 5 (5): Supplement I:841–847. doi:10.2140/pjm.1955.5.841.

외부 링크

• 스탠포드 철학 백과사전의 "대 추기경들과 결정력"