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수학에서, 뾰족한 공간이나 기반 공간은 구별되는 점, 즉 기준점이 있는 위상학적 공간이다.구분점은 단순히 하나의 특정 지점에 불과하며, 공간으로부터 선택되고, 그 이후의$$ 논의에서도 ${\displaystyle {변하지\mathrm{}}_{}}$ 않고, 모든 작업 중에 추적되는 $x{\displaystyle {}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle x_{0}$과 같은 이름이 주어진다.

뾰족한 공간(기반 지도)의 지도는 기준점을 보존하는 연속 $지도$로서, 즉, ${\displaystyle {기준점\mathrm{}}_{}}$ x 0$${\$displaystyle$x_${0$}인$$ 점 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle$ $X$$} 사이$의 지도$$ f ${\$$displaystyle$ y$}$와 기준점$$ y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$인 점 공간 $Y{\displaystyle }$ ${\}$이 c인 경우 기본 지도이다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및 $Y$ ${\displaystyle Y}$의 토폴로지와 관련하여, $f{\displaystyle ({x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle$ f$\f\(x_{0}\right)=y_{0}.}}$$$ 이것은 보통 표시된다.

${\displaystyle f:\왼쪽(X,x_{0}\right)\왼쪽(Y,y_{0}\right)으로.}$

지적 공간은 대수적 위상, 특히 근본 그룹과 같은 많은 구성물이 기준점 선택에 의존하는 호모토피 이론에서 중요하다.

뾰족한 세트 개념은 덜 중요하다; 어쨌든 그것은 뾰족한 이산 공간의 경우다.

뾰족 공간은 종종 상대적 위상의 특별한 경우로 여겨지는데, 여기서 서브셋은 단일 점이다.그러므로 호모토피 이론의 많은 부분은 보통 뾰족한 공간에서 개발되었다가 대수 위상에서는 상대 위상으로 옮겨진다.

뾰족 공간 범주

모든 뾰족한 공간의 클래스는 연속 지도를 형태론으로 보존하는 기준점과 함께 Top_{${\displaystyle \bullet }$} 카테고리를 형성한다.이 범주에 대해 생각할 수 있는 또 다른 방법은 쉼표 범주({${\displaystyle \bullet }$ ${\displaystyle \}}$ {\$displaystyle \{\bullet \}\downarrow$ } 상단$)$로$,{\displaystyle }$ { ${\displaystyle \bullet }$ ∙${\displaystyle }$} ${\displaystyle \{\bullet$\}}}은 1점 공간이고$$, 상단 공간은 위상위 공간 범주다.(이것은${\displaystyle }${${\displaystyle }$∙ ${\displaystyle \}}$/ ${\$Top으로 표시된 코슬라이스 범주라고도 한다.)Objects in this category are continuous maps ${\displaystyle \{\bullet \}\to X.}$ Such maps can be thought of as picking out a basepoint in ${\displaystyle X.}$ Morphisms in (${\displaystyle \{\bullet \}\downarrow }$ Top) are morphisms in Top for which the following diagram commutes:

도표의 동일성이 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 기준점을 보존하는$$ 조건과 동일하다는 것을 쉽게 알 수 있다.

뾰족한 공간으로서 {${\displaystyle \bullet }$} ${\displaystyle$\{\$bullet$\}}}은(는) Top에_{${\displaystyle \{\bullet \}}$} 0개 객체인 반면$$ Top에는 단자 객체일 뿐이다.

건망증이 심한 Functor Top_{${\displaystyle \{\bullet \}}$}${\displaystyle }$→ {\$displaystyle \to$}Top이 있는데, 어떤 점이 기준점인지 "잊어버린다"는 것이다$.$$이{\displaystyle }$ 펑터에는 X ${\displaystyle X}$의 분리 결합을 각 위상학적 $공간{\displaystyle }$ X ${\displaystyle X}$에 할당하는 왼쪽 부선이 있으며, 단일$$ 요소가 기준점이 되는 원점 공간${\displaystyle }${ ${\displaystyle \bullet \}}$ ${\displaystyle \{\bullet \}}$에 할당된다.

뾰족한 공간에 대한 작업

• 지정 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 하위 공간은 ${\displaystyle \mathrm{위상학적}}$ 하위 공간 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subseteq }$ X ${\$$displaystyle A$$\subseteq X$$}$이며, 포함 맵이 기본 포인트를 보존하도록$$ 기준점을 $공유$한다$.$
• 어떤 동등성 관계에서든$$ $X{\displaystyle }${\$displaystyle$X}의 지수를 구성할 수 있다.지수의 기준점은 지수의 지도 아래$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 기준점 이미지다.
• One can form the product of two pointed spaces ${\displaystyle \left(X,x_{0}\right),}$ ${\displaystyle \left(Y,y_{0}\right)}$ as the topological product ${\displaystyle X\times Y}$ with ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$serving as the basepoint.
• 뾰족한 공간의 범주에 있는 콤프로덕트는 쐐기 합으로, 공간의 '원 포인트 결합'이라고 생각할 수 있다.
• 두 개의 뾰족한 공간의 스매시 제품은 본질적으로 직접 제품과 쐐기 합계의 몫이다.우리는 스매시 제품이 뾰족한 공간의 범주를 단위 객체로 하여 대칭적인 단면체 범주로 변화시킨다고 말하고 싶지만, 이것은 일반 공간의 경우 거짓이다: 연관성 조건이 실패할 수 있다.그러나 압축적으로 생성된 후스도르프 공간과 같이 제한된 공간의 일부 범주에 대해서는 사실이다.
• 축소된 서스펜션 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle X}$의 뾰족한 공간 X ${\$displaystyle $\Sigma$ X$}$은(는)$$X {\$displaystyle X}$의 스매시 제품이며$$$$, 뾰족한 원 ${\displaystyle {S\mathrm{}}^{}}$1$$. {\$displaysty$ S$^{1}.}.}}$
• 줄어든 현수막은 뾰족한 공간의 범주에서 그 자체로 이어지는 펑터다.이 functor는 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Oomega}$과(와$)$ 짝을 이루며$$, $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 루프 공간 ${\displaystyle \Omega }$ X ${\displaystyle \Oomega$ X$}$에 위치시킨다$.$

참고 항목

• 그룹 카테고리
• 미터법 공간 범주
• 세트 카테고리
• 위상학적 공간의 범주
• 위상 벡터 공간의 범주 – 위상 범주

참조

• Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist (1999) [1983]. Introduction to Topology (second ed.). Dover Publications. ISBN 0-486-40680-6.
• Mac Lane, Saunders (September 1998). Categories for the Working Mathematician (second ed.). Springer. ISBN 0-387-98403-8.

• 몇 가지 기준점과 그룹오이드에 대한 수학 오버플로 토론