생산 매트릭스

이 글은 고아로, 다른 어떤 기사도 그것에 연결되지 않는다.관련 기사에서 이 페이지에 대한 링크를 소개하고, 제안사항을 보려면 링크 찾기 도구를 사용해 보십시오. (2015년 3월)

선형 대수학에서 n ${\displaystyle n}$ $순서$의 사각$$ 비음성 행렬 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 생산성이 있거나 Leontief 행렬이라고 하며, $P{\displaystyle }$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P-AP}$과 같은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ 1 ${\displaystystyle$ n$\1}$ 비음성$$ 열 $행렬{\displaystyle }$ P ${\\p}$이 있으면 양성 행렬이다.

역사

생산 매트릭스의 개념은 경제학의 여러 분야들 간의 관계를 모형화하고 분석하기 위해 경제학자 와실리 레온티프 (1973년 노벨 경제학상)에 의해 개발되었다.^[1]후자간의 상호의존성 연계는 경험적 데이터와 함께 입출력 모델에 의해 조사될 수 있다.

명시적 정의

The matrix ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$ is productive if and only if ${\displaystyle A\geqslant 0}$ and ${\displaystyle \exists P\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),P>0}$ such as ${\displaystyle P-AP>0}$.

여기서 $M{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle c\mathbb{}{}_{}}$( R${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {M} _{r,c}(\mathb {R} )$은 실수의 r×c 행렬 집합을 나타내는 반면$$ > ${\displaystyle >0}$과 $⩾{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \geqslant 0}$은 각각 양의 행렬과 음의 행렬을 나타낸다$$.

특성.

교과서(Michel 1984)에서는 다음과 같은 속성이 입증된다.^[2]

특성화

Theorem A nonnegative matrix ${\displaystyle A\in \mathrm {M} _{n,n}(\mathbb {R} )}$ is productive if and only if ${\displaystyle I_{n}-A}$ is invertible with a nonnegative inverse, where ${\displaystyle I_{n}}$ denotes the ${\displaystyle n\times n}$ identity matrix.

증명

"If" :

Let $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{n}-A}$은(는) 음이 아닌 역과 함께 반전될 수 있다$$.

$U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle 1\mathbb{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$R${\displaystyle }$) ${\displaystyle U\in \mathrm {M}$_{n$,$1}(\mathb ${R} )}$을(를)U > {\$displaystyle U>0$}을(를) 가진 임의 열 행렬이$$ 되게 하라

그러면 매트릭스 $P{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle P=(I_{n}-A)^{-1U}$는 음이 아닌 두 매트릭스의 산물이기 때문에 음이 아니다$$.

Moreover, ${\displaystyle P-AP=(I_{n}-A)P=(I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U>0}$.

$따라서{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$은(는) 생산적이다$$.

"만일":

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 생산적으로 하고$$ = - P> ${\displaystyle P>0}$을(를) 0으로 한다

그 증거는 터무니없는 환원법으로 진행된다.

첫째, 모순 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle {}_{}A}$ ${\displaystyle I_{n}-A}$이(가) 단수라고 가정한다.

$I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ -${\displaystyle {}_{}A}$ ${\displaystyle I_{n}-A}$과(와) 표준적으로 연관된 내형성은 행렬의 특이성에 의해 주입될 수 없다$$.

따라서 0이 아닌 일부 열 행렬 Z ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$n ,${\displaystyle 1_{}}$(${\displaystyle {}_{}R\mathbb{}}$ ) $displaystyle Z\in \mathrm {M}$_{n$,$1}(\$mathb$ {R} )이$($가) ${\displaystyle \mathrm{존재}}$하므로 (${\displaystyle I}{\displaystyle }$n${\displaystyle {}_{}}$- A${\displaystyle }$) ${\displaystyle Z}$= 0 ${\displaystystyle (I_{n}-A)Z=0$

매트릭스${\displaystyle }$- ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle -Z}$은(는) $Z{\displaystyle }$ ${\displaystyle Z}$과(와) 동일한 속성을 가지므로$$ $적어도{\displaystyle }$ 하나의 양의 항목이 있는 커널의$$ 요소로 Z ${\displaystyle Z}$을(를) 선택할 수 있다$.$

따라서 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{supp}}$ i${\displaystyle \underset{}{\in }}$[ ${\displaystyle \underset{}{1}}$,${\displaystyle \underset{}{}}$n ] ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}$p {\$displaystyle$c=\$supp_{i\in$[ 1,n $]{n ]{n$}{$p_{i}}}}}}$은(는) 음수가 아니며 최소 하나의 값 $k{\displaystyle }$ k${\displaystyle }$[${\displaystyle 1\mathrm{}}$,$$ ${\displaystyle ]}$ {\$displaystystyle k\in [$1$,n ]$으로 도달한다$.$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$과($)$ Z {\$displaystyle$ Z}의 정의에 따라 다음 사항을 유추할 수 있다$.$

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}a_{ki}p_{i}}=cp_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}}}}}}}}}}.$

${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle z_{}}$k =${\displaystyle \underset{i}{\overset{}{}}}$i = ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{ki}}_{}}$ ${\displaystyle z_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\$을(를) $사용$하여 해당 Z${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Z}${\$displaystystyle Z=$$AZ}$은(는$$)

Thus ${\displaystyle cv_{k}=\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(z_{i}-cp_{i})\leq \ 0}$, using that ${\displaystyle z_{i}\leq cp_{i}}$ by definition of ${\displaystyle c}$.

는 c> ${\displaystyle c>0}$과( v > 0 {\$displaystyle$ v_${k}}>0}$과와) 모순되므로 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I_{n}-A}$은(는) 반드시 되돌릴 수 없다.

둘째, 모순 $I{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A}${\$displaystyle I_{n}-A}$이(가) 반전될 수 있지만 그 역에 적어도 하나의 음의 입력이 있다고 가정한다.

Hence ${\displaystyle \exists X\in \mathrm {M} _{n,1}(\mathbb {R} ),X\geqslant 0}$ such that there is at least one negative entry in ${\displaystyle Y=(I_{n}-A)^{-1}X}$.

그런 $다음{\displaystyle }$c = ${\displaystyle \underset{}{sup}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}\underset{}{[}}$ [${\displaystyle \underset{}{1\mathrm{}}}$, ${\displaystyle \underset{}{n}}$ - ${\displaystyle \frac{{}_{}}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \frac{i_{}}{}}${\$displaystyle c=\supp_{i\in [1$$,$n ]-{n $]-{n_{p_{i}}}}}}$이 양수이고$$ 최소 하나의 값 $k{\displaystyle \in }$[${\displaystyle 1\mathrm{}}$,${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle k\in [$1$,$n$]$으로 도달한다$.$

$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$ 및$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 정의에 따라 다음 사항을 유추할 수 있다$.$

${\displaystyle cv_{k}=c(p_{k}-\sum _{i=1}a_{n1}a_{ki}p_{i}}=-y_{k}-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}cp_{i}}}}}}}}}}}}}.$

${\displaystyle {}_{}\underset{}{\overset{}{x}}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle y_{}}$ k -${\displaystyle {}_{}\underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {ii}_{}}$ ${\$ 해당 $X{\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle I_{}}$- ${\displaystyle A)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystystyle$ X$=(I_{n}-A$)-A$)$$공사별Y$$}$

${\displaystyle cv_{k}+x_{k}=-\sum _{i=1}^{n}a_{ki}(cp_{i}+y_{i})\geqslant 0}$ using that ${\displaystyle -y_{i}\leqslant cp_{i}}$ by definition of ${\displaystyle c}$.

따라서 - c < ${\displaystyle x_{k}\leq -cv_{k}<0$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⩾}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X\geqslant 0}$과(와) 모순된다$.$

따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$는 반드시 음성이 아니다.

전치

제안 생산적 매트릭스의 전이가 생산적이다.

증명

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle n\mathbb{}{}_{}}$( ${\displaystyle R_{}}$) ${\displaystyle A\in \mathrm$ {$M} _{n,n}(\mathb {R})}$을(를) 생산 행렬로 두십시오.

그러면${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$이 존재하며$$ 음이 아니다.

아직${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ -${\displaystyle {}^{}A}$ )${\displaystyle {}^{}{}^{}{T}^{}{}^{}}$) -${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$=${\displaystyle }$( ( ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ -${\displaystyle {}^{}A{}^{}}$) -${\displaystyle {}^{}{}^{}{1}^{}}$ ) ${\displaystyle T^{}}${\$displaystyle (I_{n}-A^{$n)$T}^{-1}=((I_{n}-A)^{$$T}^{-1}=((I_{n}-A)^{-1}^{{$$1}}^{$$T}$

따라서${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$- ${\displaystyle A^{}}$ T${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle (I_{n}-A^{$$T}}$은(는) 음이 아닌 역이 있는 변환불능이다$$.

따라서 ${\displaystyle A^{}}$ $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ A$^{$$T}}$은(는) 생산적이다.

적용

입력-출력 모델의 매트릭스 접근방식으로, 소비 매트릭스는 경제성이 있고 후자와 수요 벡터가 음성이 아닌 경우에 생산적이다.

참조