정량화된 상태 시스템 방법

정량화된 국가 시스템(QSS) 방법은 국가 정량화 사상에 근거한 수치 통합 해결사 계열로, 전통적인 시간 소멸 사상에 이중적이다.연속적인 각 시간 단계에서 다음 (실제 가치) 상태의 시간 소산 및 해결로 문제에 접근하는 기존의 수치해결 방식과 달리 QSS 방법은 연속적인 실체로서 시간을 유지하고 대신 시스템의 상태를 정량화하며, 대신 국가가 정량화된 값에서 벗어나는 시간을 정량화한다.m.

또한 고전 알고리즘에 비해 많은 장점을 가질 수 있다.^[1]그들은 본질적으로 이산 사건 특성과 비동기적 특성으로 인해 시스템의 불연속성을 모델링할 수 있다.그들은 또한 명시적 알고리즘을 사용한 명확한 뿌리 찾기 및 제로 크로싱 탐지를 허용하여 반복의 필요성을 회피한다---이것은 특히 뻣뻣한 시스템의 경우에 중요한 사실로서, 전통적인 타임 스테이핑 방법은 다음 시스템 상태에 대해 암묵적으로 해결해야 하는 요건으로 인해 무거운 계산상의 벌칙을 필요로 한다.마지막으로 QSS 방법은 아래에 기술된 바와 같이 놀랄만한 세계적인 안정성과 오차범위를 충족시키지만 고전적인 솔루션 기법으로는 충족되지 않는다.

따라서 QSS 방법은 본질적으로 연속 시간 시스템의 이산 시간 모델을 형성하는 전통적인 방법과 대조적으로 이산 사건 연산 모델인 DEVS 형식주의에 의해 깔끔하게 모델링된다.따라서 그것들은 그러한 이산 이벤트 시스템을 위한 시뮬레이션 엔진인 [PowerDEVS]에서 구현되었다.

이론적 특성

2001년, 에르네스토 코프만은 정량화된 국가 시스템 시뮬레이션 방법의 주목할 만한 속성을^[2] 증명했다. 즉, 기술을 사용하여 안정적인 선형 시간 변이성(LTI) 시스템을 해결할 때, 지구적 오차는 양자에는 비례하지만 시뮬레이션 기간과는 무관한 상수에 의해 제한된다는 것이다.구체적으로는 상태-변환 $매트릭스{\displaystyle }$ A$${\$displaystyle A}$ 및 입력 $매트릭스{\displaystyle }$ B$${\$displaystyle B}$을(를) 가진 안정적인 다차원 LTI 시스템의 경우$,$ 절대 오차 $벡터{\displaystyle \stackrel{}{}}$e →${\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystystyle {\vec{e}($t)가 위에 경계되어 있음을$$ [C06]에 나타냈다.

${\displaystyle \left {\vec {e}}(t)\right \leq \left V\right \ \left \Re \left(\Lambda \right)^{-1}\Lambda \right \ \left V^{-1}\right \ \Delta {\vec {Q}}+\left V\right \ \left \Re \left(\Lambda \right)^{-1}V^{-1}B\right \ \Delta {\vec {u}}}$

where ${\displaystyle \Delta {\vec {Q}}}$ is the vector of state quanta, ${\displaystyle \Delta {\vec {u}}}$ is the vector with quanta adopted in the input signals, ${\displaystyle V\Lambda V^{-1}=A}$ is the eigendecomposition or Jordan canonical form of ${\displaystyle A}$, and $$${\displaystyle \cdot }$ $displaystyle \left \,\cdot \,\right }$은(결정요인이나 규범과 혼동되지 않음) 원소 절대값 연산자를 나타낸다.

이 주목할 만한 오차 한계가 가격에 나온다는 것은 주목할 필요가 있다: 안정적 LTI 시스템을 위한 글로벌 오류 역시 어떤 의미에서 양자 자체에 의해, 적어도 1차 QSS1 방법의 경우 아래에 경계를 두고 있다.이는 근사치가 정확한 값(거의 확실히 일어나지 않을 사건)과 정확히 일치하지 않는 한, 상태가 평형 바깥의 정확히 하나의 양자(양자)에 의해 항상 (정의적으로) 변화하도록 보장되어 있기 때문에 평형을 중심으로 계속 진동할 뿐이기 때문이다.이러한 조건을 피하려면 기존의 이산 시간 시뮬레이션 알고리즘에서 적응 단계화 방법과 유사한 방식으로 양자량을 동적으로 낮추는 신뢰할 수 있는 기법을 찾아야 한다.

1차 QSS 방법 – QSS1

초기값 문제는 다음과 같이 명시한다.

${\dottyle {\x}(t)=f(x(t)),t),\display x(t_{0}=x_{0}.}$

QSS1로 알려진 1차 QSS 방법은 다음과 같은 방법으로 위 시스템에 근사치를 제공한다.

${\dot스타일 {\x}(t)=f(q(t),t),\display q(t_{0}=x_{0}.}$

여기서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및 $q{\displaystyle }$ ${\displaystyle q}$은(는) 이력 양자화 함수에 의해 관련된다.

${\displaystyle q(t)={\begin}x(t)&{\text}}}}}}\왼쪽 x-q(t^{-})\오른쪽 \geq \delta Q\q(t^{-})&\text{otherwise}}\case{case}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \Delta Q}$을 퀀텀이라고 한다.이 정량화 함수는 메모리가 있기 때문에 이력($hysteretic$)이라는 점에 유의하십시오. 이 함수의 출력은 현재 $상태{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ x$($t$)}$의 함수일 뿐만 아니라 이전 값인 $q{\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle q(t^{-})$에 따라 달라진다$.$

따라서 이 공식은 ${\displaystyle q}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle q(t)}$에 의해 상태를 근사하게 되며, 이 함수는 상태가 이 근사치에서 한 퀀텀으로 벗어나는 즉시 값을 업데이트한다$.$

이 시스템의 다차원적 공식은 위의 단차원 공식과 거의 같다: k ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$ k$^{\text{th}}}$${\displaystyle \mathrm{정량화}}$된 상태 ${\displaystyle q_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle q_{k}(t)}}$는 해당$$ 상태의 함수, x ${\displaystyle k_{}}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystystyle x_{k}(t$ $상태{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 벡터 x → → →${\displaystyle \stackrel{}{}}$playback)${\displaystyle (}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\vec{x}(t)}$은(는) 전체 정량화된 상태 벡터, $q{\displaystyle \stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle {\vec}(t$ :

${\displaystyle {\vec{x}(t)=ff\vec {q}(t),t)}$

고차 QSS 방법 – QSS2 및 QSS3

2차 QSS 방법인 QSS2는 $q{\displaystyle }$(${\displaystyle t}$ ) ${\displaystyle q(t)}$을 퀀텀 하나 차이로 궤적을 서로 다른 순간 궤적을 업데이트하는$$ 궤적 $x{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle x (t)}$의 조각적 선형 근사치로$$ 정의한다는 점을 제외하면 QSS1과 동일한 원리를 따른다.이 패턴은 계량화된 상태 $q{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle q(t)}$을 시스템 상태의 연속적으로 고차 다항식 근사치로 정의하는 고차$$ 근사치에 대해 계속된다.

원칙적으로 임의 질서의 QSS 방법을 사용하여 연속 시간 시스템을 모델링할 수 있지만, 아벨-루피니 정리가 다음 정량화 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyt t}$을$($를) 대수에 대해 명시적으로 해결할 수 없다는 것을 의미하기 때문에 4보다 높은 질서의 방법을 사용하는 것은 거의 바람직하지 않다는 점에 유의해야 한다.다항식 근사치가 4보다 크므로 근사치(root-finding algorithm)를 사용하여 반복적으로 근사치해야 한다.실제로 QSS2 또는 QSS3는 많은 문제에 대해 충분하다는 것을 입증하며, 고차방식의 사용은 추가적인 효익이 거의 없다.

후진 QSS 방법 – BQSS

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다. (2013년 5월)

선형 암묵적 QSS 방법 – LIQSS

이 구간은 비어 있다.추가하면 도움이 된다. (2013년 5월)

소프트웨어 구현

QSS 방법은 이산 이벤트 시스템으로 구현될 수 있으며 모든 DEVS 시뮬레이터에서 시뮬레이션할 수 있다.

QSS 방법은 PowerDEVS[BK011] 소프트웨어의 주요 숫자 해결사를 구성한다.그것들은 또한 독립형 버전으로 구현되었다.

참조

• [CK06] Francois E. Cellier & Ernesto Kofman (2006). Continuous System Simulation (first ed.). Springer. ISBN 978-0-387-26102-7.
• [BK11] Bergero, Federico & Kofman, Ernesto (2011). "PowerDEVS: a tool for hybrid system modeling and real-time simulation" (first ed.). Society for Computer Simulation International,San Diego.

외부 링크

• QSS 메소드의 독립 실행형 구현
• SourceForge의 PowerDEVS