도데카곤

기하학에서 도데각형 또는 12곤은 12면 다각형이다.

정규 도데카곤

일반 도데각형은 길이가 같은 면과 크기가 같은 내부 각도를 가진 형상이다. 12행의 반사대칭과 12행의 회전대칭이 있다. 일반 도데카곤은 Schléfli 기호 {12}로 표시되며 잘린 육각형, t{6} 또는 두 번 잘린 삼각형 tt{3}로 구성할 수 있다. 일반 도데카곤의 각 꼭지점에서의 내부 각도는 150°이다.

면적

측면 길이 a의 정규 도표 영역은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}A&=3\cot \left({\frac {}\pi }{12}\오른쪽)a^{2}=3\left(2+{\sqrt{3}\right)a^{2}\\\\simeq 11.19615242\,a^{2}\nd{liged}}}}}}}}}}}}}$

그리고 apothem r (기각된 그림 참조)의 관점에서 그 면적은 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}A&=12\tan \left({\frac {}{\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt{3}\right)r^{2}\\\\simeq 3.2153903\,r^{2}\ed}}}}}}}}}}}$

회음부 R의 관점에서, 면적은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle A=6\sin \왼쪽({\frac {\pi }{6}}\오른쪽)R^{2}=3R^{2}}$

도데카곤의 스팬 S는 두 평행한 면 사이의 거리로, 아포템의 두 배와 같다. 면적에 대한 간단한 공식(측면 길이 및 범위 지정)은 다음과 같다.

$(\displaystyle A=3aS}$

이는 삼각관계로 확인할 수 있다.

${\displaystyle S=a(1+2\cos{30^{\circle }}}}}}*+2\cos{60^{\circle }}}$

둘레

회음부 측면에서 일반 도표형의 둘레는 다음과 같다.^[2]

${\displaystyle{\begin}p&=24R\tan \left({\frac {}\pi }{12}\오른쪽)=12R{\sqrt{2-{\sqrt{3}}\&\simeq 6.21165708246\,R\ended}}}}}}}$

아포템의 측면에서 경계는 다음과 같다.

${\displaystyle {\regated}p&=24r\tan \left\frac\{\pi }{12}\pi }}}=24r(2-{\sqrt{3}})\&\simeq 6.108061835\,r\r\end}}}$

이 계수는 면적에 대한 아포템 방정식에서 발견된 계수의 두 배가 된다.^[3]

도데카곤 건설

12 = 2² × 3과 같이, 일반 도데카곤은 나침반과 직선 구조를 사용하여 구성할 수 있다.

해부

Coxeter는 모든 조노헤드론(상대방이 평행하고 길이가 같은 2m-곤)을 m(m-1)/2 평행그램으로 해부할 수 있다고 말한다.^[4] 특히 면적이 고르게 많은 일반 다각형의 경우, 이 경우 평행사변형은 모두 rhombi이다. 일반 도데카곤의 경우 m=6이며, 15:3제곱, 6폭 30° 롬, 6폭 15° 롬으로 나눌 수 있다. 이 분해는 페트리 폴리곤의 6-큐브 투영을 기반으로 하며, 240개의 면 중 15개가 있다. OEIS 시퀀스 A006245는 최대 12배의 회전과 반사되는 치랄 형태를 포함하여 908개의 솔루션으로 정의한다.

수학적 조작 패턴 블록이 사용되는 방법 중 하나는 많은 다른 도데카곤을 만드는 것이다.^[5] 이들은 롬비 전파와 관련이 있는데, 3 60° 롬비가 육각형, 반헥사곤 사다리꼴로 합쳐지거나 2개의 등각형 삼각형으로 나뉜다.

대칭

일반 도데카곤은 Dih₁₂ 대칭, 순서 24이다. 15개의 구별되는 부분군 분리와 순환 대칭이 있다. 각 부분군 대칭은 불규칙한 형태에 대해 하나 이상의 자유도를 허용한다. g12 부분군만 자유도는 없지만 지시된 가장자리로 볼 수 있다.

발생

타일링

일반 도데각형은 평면 꼭지점을 다른 일반 다각형으로 4가지 방법으로 채울 수 있다.

다음은 정점 구성에 의해 정의된 정기적인 도데카곤을 사용하는 3가지 주기적 평면 기울기 예시:

스큐 도데카곤

스큐 도데카곤은 12개의 정점과 가장자리가 있지만 동일한 평면에 존재하지 않는 스큐 폴리곤이다. 그러한 십이각형의 내부는 일반적으로 정의되어 있지 않다. 꼬치 지그재그 도데카곤은 두 평면이 번갈아 가며 정점을 가지고 있다.

일반 스큐 도데카곤은 가장자리 길이가 같은 정점 변환이다. 3차원에서는 지그재그 스큐 도데카곤이 될 것이며, 동일한_5d D, [2⁺,10] 대칭, 순서 20을 가진 육각형 항정신병증의 정점과 측면 가장자리에서 볼 수 있다. 도치형 항정신병, s{2,24/5} 및 도치형 교차 항정신병, s{2,24/7}도 정규 스큐 도데카곤을 가지고 있다.

페트리 폴리곤

일반 도데카곤은 콕시터 평면에서 직교 투영으로 보이는 많은 고차원 다면체의 페트리 폴리곤이다. 4차원의 예로는 24셀, 스너브 24셀, 6-6 듀오프라미드, 6-6 듀오프라미드가 있다. 6차원 6-큐브, 6-정맥, 2₂₁₂₂, 1 그것은 또한 웅장한 120 셀과 훌륭한 용접된 120 셀을 위한 Petrie 폴리곤이다.

관련숫자

도데카그램은 기호 {12/n}로 표현되는 12면 별 다각형이다. 정점을 사용하지만 5번째 지점마다 연결하는 정점을 사용하여 {12/5}의 정규 항성 다각형이 하나 있다. 또한 세 가지 화합물이 있는데, {12/2}은(는) 두 개의 육각형으로 2{6}로, {12/3}은(는) 세 칸으로 3{4}로, {12/4}은(는) 4개의 삼각형으로 4{3}로, {12/6}은(는) 6개의 퇴화 디곤으로 6{2}로 감소한다.

일반 도데카곤과 도데카그램의 더 깊은 절단은 같은 간격의 정점과 두 개의 가장자리 길이를 가진 등각(Vertex-transitive) 중간 항성 폴리곤 형태를 생성할 수 있다. 잘린 육각형은 도데각형, t{6}={12}. {6/5}(으)로 반전된 quasitrunculated 육각형은 dodecagram: t{6/5}={12/5}.^[7]

사용 중인 예

블록 대문자에서는 E, H, X(및 슬래브 세리프 글꼴의 I) 문자의 윤곽이 도십각형이다. 크로스는 쉐보레 자동차부문의 로고처럼 도데카곤이다.

그 규칙적인 십팔각형은 많은 건물에서 두드러지게 나타난다. 토레 델 오로(Torre del Oro)는 알모하드 왕조가 건설한 스페인 남부 세빌의 도십각형 군사 감시탑이다. 스페인 세고비아에 있는 13세기 초 베라 크루즈 교회는 도십팔각형이다. 또 다른 예는 이탈리아 스펠로(Crhelo)에 있는 포르타 디 베네르(Venus's Gate)인데, BC 1세기에 지어진 두 개의 십각형 탑이 있는데, 이 탑은 "Propertius's Tower"라고 불린다.

일반 도각형 동전은 다음을 포함한다.

• 영국인들은 1937년부터 1971년까지 3페니짜리 지폐가 합법적인 입찰이 중단되었던 시기였다.
• 2017년 선보인 브리티시 원파운드 코인.
• 오스트레일리아 50센트 동전
• 피지안 50센트
• 1974년 이후 통안 50세니티
• 솔로몬 제도 50센트
• 크로아티아 25 쿠나
• 루마니아 5000 레이, 2001-2005
• 캐나다 페니, 1982-1996년
• 남베트남 20 , 1968ng, 1968–1975
• 잠비아 50ngwee, 1969-1992
• 말라위 50탐발라, 1986-1995
• 멕시코 20센타보, 1992-2009

참고 항목

• 도십각수
• 도데카헤드론 – 12개의 오각형 얼굴을 가진 일반 다면체.
• 도데카그램

메모들

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Dodecagon". MathWorld.
• 쿠르샤크의 기와 정리
• 대화형 애니메이션을 사용한 doDecagon의 정의 및 속성
• 패턴 블록을 사용한 교실의 일반 문서 목록