순서-4 사각 타일링 벌집

순서-4 사각 타일링 벌집
유형	쌍곡선 정규 벌집 파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	{4,4,4} h{4,4,4}파운드 {4,41,1} {4[4]}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
세포	{4,4}
얼굴	정사각형 {4}
에지 피겨	정사각형 {4}
정점수	사각 타일링, {4,4}
이중	셀프듀얼
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}M}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [41,1,1] ${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [4[4]]
특성.	정규, 준정형

쌍곡선 3공간의 기하학에서 순서 4 사각형 타일링 벌집합은 11개의 파라콤팩트 일반 벌집중 하나이다.무한 세포와 꼭지점 형상을 가지고 있기 때문에 파라콤팩트(paracompact)이며, 모든 정점을 무한에서 이상적인 점으로 가지고 있다.슐래플리 기호 {4,4,4}이(가) 주어지며, 각 가장자리 둘레에는 네 개의 사각형 기울기가 있고, 각 꼭지점 둘레에는 네 개의 무한 사각 기울기가 정사각형 타일링 정점 도형으로 되어 있다.^[1]

기하학적 벌집이란 다면체나 고차원적 세포의 공간을 채워서 틈이 생기지 않도록 하는 것이다.그것은 어떤 차원에서도 보다 일반적인 수학적 타일링 또는 테셀레이션의 예다.

허니컴은 보통 볼록한 균일한 허니컴과 같은 일반적인 유클리드("평평평한") 공간에서 만들어진다.그것들은 쌍곡선 균일 벌집과 같은 비유클리드 공간에도 건설될 수 있다.어떤 유한 균일 폴리토프는 구면 공간에 균일한 벌집을 형성하기 위해 그것의 원주에 투영될 수 있다.

대칭

order-4 square tiling honeycomb는 많은 반사 대칭 구조를 가지고 있다: 일반 벌집형으로서, £는 정사각형 틸팅의 교대형(색상)과 2:1:1의 비율로 정사각형 틸팅의 3종류(색상)이다.

피라미드 영역을 가진 두 개의 더 반쪽 대칭 구조물은 [4,4,1⁺,4] 대칭을 가지고 있다: 파운드, 파운드.

지수 8의 두 개의 높은 지수 하위 그룹이 있는데, 두 하위 그룹은 모두 지수 8의 [4,4^*,4,4,4,4,4,4,1⁺], 피라미드 기본 영역: [(4,4,4),4,4] 또는; 그리고 [4^*,4],4],4],8면 기본 영역에 4개의 직교 세트가 있다.

이미지들

order-4 square tiling honeycomb는 2D 쌍곡선 무한궤도 a peirogonal tiling, {feiorgonal tiling, {feiorgonal tiling}과 유사하며, 이상적인 표면에 모든 정점이 있다.

그것은 이러한 파라콤팩트 순서-4 apirogonal 틸팅과 유사한 2-하이퍼사이클 표면을 포함하고 있다.

관련 폴리탑 및 허니컴

order-4 square tiling honeycomb는 3-space에 있는 보통의 쌍곡 벌집이다.그것은 11개의 일반적인 파라콤팩트 꿀콤 중 하나이다.

11개의 파라콤팩트 일반 꿀벌집
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

[4,4,4] 콕시터 그룹 계열에는 이 정규 형태를 포함한 9개의 균일한 꿀벌이 있다.

[4,4,4]가족꿀컴
{4,4,4}	r{4,4,4}	t{4,4,4}	rr{4,4,4}	t0,3{4,4,4}	2t{4,4,4}	tr{4,4,4}	t0,1,3{4,4,4}	t0,1,2,3{4,4,4}

이것은 정사각형 타일링 꼭지점을 가진 꿀콤의 순서의 일부분이다.

허니컴 {p,4,4}개 v t
공간	E3	H3
형태	아핀	파라콤팩트		비컴팩트
이름	{2,4,4}	{3,4,4}	{4,4,4}	{5,4,4}	{6,4,4}	..{∞,4,4}
콕시터
이미지
세포	{2,4}	{3,4}	{4,4}	{5,4}	{6,4}	{∞,4}

이것은 사각형 타일링 셀이 있는 꿀콤의 일부분이다.

허니컴 {4,4,p}개 v t
공간	E3	H3
형태	아핀	파라콤팩트		비컴팩트
이름	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
콕시터
이미지
꼭지점 형상을 나타내다	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

이것은 quasiregular polychora와 honeycombs의 순서의 일부다.

Quasiregular polychora 및 honeycombs: h{4,p,q}
공간	유한한	아핀	작은	파라콤팩트
슐레플리 심볼	h{4,3,3}	h{4,3,4}	h{4,3,5}	h{4,3,6}	h{4,4,3}	h{4,4,4}
	${\displaystyle \왼쪽\{3,{3\op 3}\오른쪽\}}}$	${\displaystyle \왼쪽\{3,{4\atop 3}\오른쪽\}}}$	${\displaystyle \왼쪽\{3,{5\atop 3}\오른쪽\}}}$	${\displaystyle \왼쪽\{3,{6\atop 3}\오른쪽\}}}$	${\displaystyle \좌측\{4,{4 \atop 3}\우측\}}}$	${\displaystyle \왼쪽\{4,{4\op 4}\오른쪽\}}}$
콕시터 도표를 만들다	↔	↔	↔	↔	↔	↔
	↔					↔
이미지
꼭지점 형상을 나타내다 r{p,3}

수정 주문-4제곱 타일링 벌집

수정 주문-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	r{4,4} 또는 t1{4,4,4}
콕시터 도표	↔
세포	{4,4} r{4,4}
얼굴	정사각형 {4}
정점수	정육면체
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}M}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [41,1,1]
특성.	대칭에 따라 4차 또는 정규 분포

정류된 순서-4 육각 타일링 벌집 t₁{4,4,4}은 사각 타일링 면에 정점 형상을 가지고 있다.정사각형 타일링 벌집, {4,4,3}과 같다.

잘린 순서-4제곱 타일링 벌집

잘린 순서-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t{4,4} 또는 t0,1{4,4,4}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	{4,4} t{4,4}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	사각 피라미드
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}M}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [41,1,1]
특성.	정점 변환

잘린 순서-4제곱 타일링 벌집, t_0,1{4,4,4}}은 사각 타일링 및 잘린 사각 타일링 면과 사각 피라미드 정점 모양을 가지고 있다.

비트런드 오더-4제곱 타일링 벌집

비트런드 오더-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	2t{4,4} 또는 t1,2{4,4,4}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	t{4,4}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	사방형 분산형
콕시터 그룹	${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\times }}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ 2$\time {\overline{N}_{3$ [4,4,4]] ${\displaystyle {\stackrel{}{}M}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [41,1,1] ${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [4[4]]
특성.	정점 변환, 에지 변환, 셀 변환

잘린 순서-4제곱 타일링 벌집, t_1,2{4,4,4}}은 사각 타일링 면과 4각형 분산 정점 형상을 가지고 있다.

알 수 있는 주문-4제곱 타일링 벌집

알 수 있는 주문-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	rr{4,4} 또는 t0,2{4,4,4}
콕시터 도표
세포	{}x{4} r{4,4} rr{4,4}
얼굴	정사각형 {4}
정점수	삼각 프리즘
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}R}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [3,4,4]
특성.	정점 변환, 에지 변환

order-4 square tiling honeycomb는 수정한 사각형 타일링 벌집과 같은 것으로, 큐브와 사각 타일링 면에 삼각형 프리즘 꼭지점 모양을 하고 있다.

캔트런커트 순서-4제곱 타일링 벌집

캔트런커트 순서-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	tr{4,4} 또는 t0,1,2{4,4,4}
콕시터 도표	↔
세포	{}x{4} tr{4,4} t{4,4}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	거울에 비친 스페노이드
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}R}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [3,4,4] ${\displaystyle {\stackrel{}{}M}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [41,1,1]
특성.	정점 변환

칸티트런으로 잘린 순서의 4제곱 타일링 벌집과 동일하며, 정육면체 및 잘린 사각 타일링 면에 미러링된 스페노이드 정점이 있다.

잘린 사각형 타일링 벌집과 같다.

런케이티드 오더-4 제곱 타일링 벌집

런케이티드 오더-4 제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t0,3{4,4,4}
콕시터 도표	↔ ↔
세포	{4,4} {}x{4}
얼굴	정사각형 {4}
정점수	사각 반감
콕시터 그룹	${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\times }}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ 2$\time {\overline{N}_{3$ [4,4,4]]
특성.	정점 변환, 에지 변환

런케이트 처리된 순서-4 제곱 타일링 벌집, t{4,4,4}은_0,3 사각 타일링 및 큐브 면을 가지며, 사각 항정신병 정점 형상이 있다.

런시민경사순서-4제곱 타일링 벌집

런시민경사순서-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t0,1,3{4,4,4}
콕시터 도표	↔
세포	t{4,4} rr{4,4} {}x{4} {8}x{}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	사각 피라미드
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{}N}_{\mathrm{}}}$ 3 ${\$ [4,4,4]
특성.	정점 변환

런시트가 잘린 순서-4제곱 타일링 벌집, t_0,1,3{4,4,4}은 사각 타일링, 잘린 사각 타일링, 입방체 및 팔각 프리즘 면을 가지고 있으며, 사각 피라미드 꼭지점 모양을 하고 있다.

런시컨텔링 오더-4제곱 타일링 벌집합은 런시커티드 오더-4제곱 타일링 벌집합과 동일하다.

잡동사니 처리 순서-4제곱 타일링 벌집

잡동사니 처리 순서-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t0,1,2,3{4,4,4}
콕시터 도표
세포	tr{4,4} {8}x{}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	디지탈 디스페노이드
콕시터 그룹	${\displaystyle 2}$× ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{\times }}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ 2$\time {\overline{N}_{3$ [4,4,4]]
특성.	정점 변환

잡동사니 처리 순서-4제곱 타일링 벌집, t_0,1,2,3{4,4,4}}은 사각 타일링과 팔각 프리즘 면을 가지각색 분산 정점 형상으로 하고 있다.

교번주문-4제곱 타일링 벌집

order-4 square tiling honeycomb는 order-4 square tiling honeycomb 자체의 낮은 대칭 구조다.

캔틱 주문-4제곱제 타일링 벌집

캔틱 오더-4 제곱 타일링 벌집은 잘린 오더-4 제곱 타일링 벌집의 저대칭 구조물이다.

런치 오더-4 제곱 타일링 벌집

런치 order-4 square tiling honeycomb는 order-3 square tiling honeycomb의 저대칭 구조다.

런시코틱 오더-4제곱 타일링 벌집

런사이코틱 오더-4 제곱 타일링 벌집합은 비트롤링 오더-4 제곱 타일링 벌집의 저대칭 구조다.

쿼터 순서-4제곱 타일링 벌집

쿼터 순서-4제곱 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	q{4,4,4}
콕시터 도표
세포	t{4,4} {4,4}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	사각 반감
콕시터 그룹	${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{R}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle 3_{\mathrm{}}}$ ${\$ [4[4]]
특성.	정점 변환, 에지 변환

쿼터 순서-4 사각형 타일링 벌집, q{4,4,4}, 또는 는 사각형 타일링 및 사각 타일링 면에 정사각형 반격 정점 형상을 가지고 있다.

참고 항목

• 쌍곡선 공간의 볼록 균일 벌집
• 쌍곡선 3공간의 정기 테셀레이션
• 파라콤팩트 균일 벌집

참조

• Coxeter, 일반 폴리토페즈, 3번째, Dover Publishments, 1973. ISBN0-486-61480-8. (테이블 I 및 II: 일반 폴리탑 및 허니컴, 페이지 294–296)
• 기하학의 아름다움: 12개의 에세이(1999), 도버 출판물, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (10장, 쌍곡 공간의 일반 허니컴) 표 III
• 제프리 R. Weeks The Shape of Space, 제2판 ISBN 0-8247-0709-5 (16-17장: 3-manifolds I,II)
• 노먼 존슨유니폼 폴리토페스, 원고
  • N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
  • N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) 13장: 쌍곡선 콕시터 그룹
  • Norman W. Johnson과 Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups PDF Can.J. 수학.제51권(6), 1999 페이지 1307–1336