사각 타일링 벌집

사각 타일링 벌집

유형	쌍곡선 정규 벌집 파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	{4,4,3} r{4,4,4} {4^1,1,1}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	{4,4}
얼굴	정사각형 {4}
에지 피겨	삼각형 {3}
정점수	큐브, {4,3}
이중	순서-4 팔면 벌집
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3] ${\overline {N}}_{3}$ 3 ${\$ [4³] ${\overline {M}}_{3}$ 3 ${\$ [4^1,1,1]
특성.	정규

쌍곡선 3공간의 기하학에서 사각 타일링 벌집합은 11개의 파라콤팩트 일반 벌집중 하나이다.무한한 세포를 가지고 있기 때문에 파라콤팩트라고 불리는데, 그 정점들은 호로스피어 위에 존재하며 무한의 단일 이상점으로 수렴된다.슐래플리 기호 {4,4,3}이(가) 주어지며, 각 가장자리 둘레에 {4,4}의 3제곱 기울기 및 각 꼭지점 둘레에 6제곱 기울기(입방 {4,3}정점)가 있다.^[1]

기하학적 벌집이란 다면체나 고차원적 세포의 공간을 채워서 틈이 생기지 않도록 하는 것이다.그것은 어떤 차원에서도 보다 일반적인 수학적 타일링 또는 테셀레이션의 예다.

허니컴은 보통 볼록한 균일한 허니컴과 같은 일반적인 유클리드("평평평한") 공간에서 만들어진다.그것들은 쌍곡선 균일 벌집과 같은 비유클리드 공간에도 건설될 수 있다.어떤 유한 균일 폴리토프는 구면 공간에 균일한 벌집을 형성하기 위해 그것의 원주에 투영될 수 있다.

수정 순서-4제곱 타일링

수정 순서-4 제곱 타일링 벌집, r{4,4,4:

{4,4,4}	r{4,4} = {4,4,3}
	=

대칭

정사각형 타일링 벌집에는 세 가지 반사 대칭 구조물이 있다: 일반 벌집형, 반 대칭 구조 £, 마지막으로 체크무늬 사각형 틸링 £의 세 가지 유형(색상)이 있다.

또한 지표 6 부분군[4,4,3^*] £[4^1,1,1]과 지표 48의 방사형 부분군[4,3]^*을 포함하고 있으며, 우측 이음각 팔각형 기본 영역과 4쌍의 초경량 미러를 포함하고 있다.

이 벌집에는 파라콤팩트 순서-3 a페이로겐 타일링과 유사한 2-하이퍼사이클 표면이 포함되어 있다.

관련 폴리탑 및 허니컴

네모난 타일링 벌집은 3공간에 있는 보통의 쌍곡 벌집이다.그것은 11개의 일반적인 파라콤팩트 꿀콤 중 하나이다.

11개의 파라콤팩트 일반 꿀벌집
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

[4,4,3] Coxeter 그룹 계열에는 15개의 균일한 벌집이 있는데, 여기에는 이 정규 형태와 그 이중인 오더-4 옥타헤드 벌집, {3,4,4}이(가) 포함되어 있다.

[4,4,3]가족꿀컴
{4,4,3}	r{4,4,3}	t{4,4,3}	rr{4,4,3}	t_0,3{4,4,3}	tr{4,4,3}	t_0,1,3{4,4,3}	t_0,1,2,3{4,4,3}


{3,4,4}	r{3,4,4}	t{3,4,4}	rr{3,4,4}	2t{3,4,4}	tr{3,4,4}	t_0,1,3{3,4,4}	t_0,1,2,3{3,4,4}

사각 타일링 벌집합은 오더-4 사각 타일링 벌집합 계열의 일부로서, 수정한 오더-4 사각 타일링 벌집합으로 볼 수 있다.

[4,4,4]가족꿀컴
{4,4,4}	r{4,4,4}	t{4,4,4}	rr{4,4,4}	t_0,3{4,4,4}	2t{4,4,4}	tr{4,4,4}	t_0,1,3{4,4,4}	t_0,1,2,3{4,4,4}

24셀, {3,4,3}과 관련이 있는데, 정점 역시 입방형이다.그것은 또한 사각 타일링 세포를 가진 꿀콤의 순서의 일부분이다.

허니컴 {4,4,p}개 v t
공간	E³	H³
형태	아핀	파라콤팩트		비컴팩트
이름	{4,4,2}	{4,4,3}	{4,4,4}	{4,4,5}	{4,4,6}	...{4,4,∞}
콕시터
이미지
꼭지점 형상을 나타내다	{4,2}	{4,3}	{4,4}	{4,5}	{4,6}	{4,∞}

정류된 사각 타일링 벌집

정류된 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집 반정형 벌집
슐레플리 기호	r{4,4,3} 또는 t₁{4,4,3} 2r{3,4^1,1} r{4^1,1,1}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔
세포	{4,3} r{4,4}
얼굴	정사각형 {4}
정점수	삼각 프리즘
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3] ${\overline {O}}_{3}$ 3 ${\$ [3,4^1,1] ${\overline {M}}_{3}$ 3 ${\$ [4^1,1,1]
특성.	정점 변환, 에지 변환

정류된 사각형 타일링 벌집₁ t{4,4,3}은 삼각형 프리즘 정점 모양을 가진 정사각형 타일링 면과 정사각형 타일링 면을 가지고 있다.

삼각형 및 아페이로겐 면의 2D 쌍곡선 3각형 타일링, r{{196,3}과 유사하다.

잘린 사각 타일링 벌집

잘린 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t{4,4,3} 또는 t_0,1{4,4,3}
콕시터 도표	↔ ↔
세포	{4,3} t{4,4}
얼굴	정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	삼각 피라미드
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3] ${\overline {N}}_{3}$ 3 ${\$ [4³] ${\overline {M}}_{3}$ 3 ${\$ [4^1,1,1]
특성.	정점 변환

잘린 사각형 타일링 벌집 t{4,4,3}은(는) 입방체와 잘린 사각 타일링 면에 삼각형 피라미드 정점 모양을 하고 있다.캔티트런치 오더-4제곱 타일링 벌집, tr{4,4,4}과 동일하다.

비트런드 사각 타일링 벌집

비트런드 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	2t{4,4,3} 또는 t_1,2{4,4,3}
콕시터 다이어그램
세포	t{4,3} t{4,4}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	디지탈 디스페노이드
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

2t{4,4,3}의 중첩된 사각형 타일링 벌집 모양은 입방체가 잘리고 정사각형 타일링 면이 잘려 있으며, 분해 정점 모양이 있다.

캔터링 스퀘어 타일링 벌집

캔터링 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	rr{4,4,3} 또는 t_0,2{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포	r{4,3} rr{4,4} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	등각 삼각 프리즘
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

칸막이가 있는 사각형 타일링 벌집, rr{4,4,3}은 큐옥타헤드론, 사각타일링, 삼각 프리즘 면에 이소체 삼각 프리즘 꼭지점 형상을 가지고 있다.

캔티트런치 사각 타일링 벌집

캔티트런치 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	tr{4,4,3} 또는 t_0,1,2{4,4,3}
콕시터 다이어그램
세포	t{4,3} tr{4,4} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	이등변 삼각형 피라미드
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

칸티트룬으로 잘린 사각형 타일링 벌집, tr{4,4,3}은(는) 입방체, 잘린 사각 타일링, 삼각 프리즘 면에 이등변 삼각형 피라미드 꼭지점 형상을 가지고 있다.

런케이티드 스퀘어 타일링 벌집

런케이티드 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,3{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포	{3,4} {4,4} {}x{4} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	불규칙한 삼각 항정신병
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

런케이티드_0,3 사각 타일링 벌집 t{4,4,3}은 팔면체, 삼각 프리즘, 입방체, 사각 타일링 면에 불규칙한 삼각 항정신병 정점 형상을 가지고 있다.

런시트드 스퀘어 타일링 벌집

런시트드 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,3{4,4,3} s_2,3{3,4,4}
콕시터 도표
세포	rr{4,3} t{4,4} {}x{3} {}x{8}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	이소체-트라페지오이드의 피라미드를 짓다
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

런시트가 잘린 사각형 타일링 벌집, t_0,1,3{4,4,3}은(는) 롬비쿠보옥타헤드론, 팔각 프리즘, 삼각 프리즘 및 잘린 사각 타일링 면에 이소체-트라페조이드 피라미드 정점 형상을 가지고 있다.

런시칸텔링스퀘어 타일링 벌집

런시컨텔링된 사각형 타일링 벌집합은 런시커티드 순서 4옥타헤드럴 벌집합과 동일하다.

옴니트런 각형 타일링 벌집

옴니트런 각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,2,3{4,4,3}
콕시터 다이어그램
세포	tr{4,4} {}x{6} {}x{8} tr{4,3}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 팔각형 {8}
정점수	불규칙 사면체
콕시터 그룹	${\overline {R}}_{3}$ 3 ${\$ [4,4,3]
특성.	정점 변환

잡동사니 모양의 정사각형 타일링 벌집, t_0,1,2,3{4,4,3}은 사각 타일링, 잘린 사각 사각형 사각형, 육각형 프리즘, 팔각형 프리즘 면에 불규칙한 사면체 정점 모양을 하고 있다.

옴니스너브 스퀘어 타일링 벌집

옴니스너브 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h(t_0,1,2,3{4,4,3})
콕시터 다이어그램
세포	sr{4,4} sr{2,3} sr{2,4} sr{4,3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	불규칙 사면체
콕시터군	[4,4,3]⁺
특성.	불균일, 정점-변환

대체된 전분해 사각형 타일링 벌집(또는 옴니스너브 사각형 타일링 벌집), h_0,1,2,3(t{4,4,3})은 사각 타일링, 스너브 큐브, 삼각 항정신병, 사각 항정신병, 사면체 세포를 가지고 있으며, 사면체 정점 형상이 불규칙하다.

교대 사각 타일링 벌집

교대 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집 반정형 벌집
슐레플리 기호	h{4,4,3} hr{4,4,4} {(4,3,3,4)} h{4^1,1,1}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
세포	{4,4} {4,3}
얼굴	정사각형 {4}
정점수	큐옥타헤드론
콕시터 그룹	${\overline {O}}_{3}$ 3 ${\$ [3,4^1,1] [4,1⁺,4,4] ↔ [∞,4,4,∞] ${\widehat {BR}}_{3}$ ${\widehat {BR}}_{3}$ 3 ${\$ { $BR}_{3}},$ [(4 ${\widehat {BR}}_{3}$ 4,3,3)] [1⁺,4^1,1,1] ↔ [∞^[6]]
특성.	정점 변환, 에지 변환, 정점 변환

교대된 사각형 타일링 벌집, h{4,4,3}은 쌍곡선 3공간에 있는 quasiregular paracompact 균일한 벌집이다.그것은 정점 모양에 정사각형 모양의 정사각형 면과 정사각형의 타일링 면을 가지고 있다.

통조림 사각 타일링 벌집

통조림 사각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₂{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포	t{4,4} r{4,3} t{4,3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 팔각형 {8}
정점수	직사각형의 피라미드를 짓다
콕시터 그룹	${\overline {O}}_{3}$ 3 ${\$ [3,4^1,1]
특성.	정점 변환

통조림 사각형 타일링 벌집, h₂{4,4,3}는 쌍곡선 3공간에 있는 파라콤팩트 균일한 벌집이다.잘린 사각형 타일링, 잘린 정육면체, 큐폭타헤드론 면에 직사각형의 피라미드 정점 모양을 하고 있다.

런치 스퀘어 타일링 벌집

런치 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₃{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포	{4,4} r{4,3} {3,4}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4}
정점수	정사각형의 좌절시키다
콕시터 그룹	${\overline {O}}_{3}$ 3 ${\$ [3,4^1,1]
특성.	정점 변환

runcic square tiling honeycomb₃, h{4,4,3}는 쌍곡선 3공간에 있는 파라콤팩트 균일한 벌집이다.정사각형 좌골 정점 모양에 사각 타일링, 롬비큐옥타헤드론, 팔각형 정점이 있다.

런시칸틱 스퀘어 타일링 벌집

런시칸틱 스퀘어 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h_2,3{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포	t{4,4} tr{4,3} t{3,4}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 팔각형 {8}
정점수	거울에 비친 스페노이드
콕시터 그룹	${\overline {O}}_{3}$ 3 ${\$ [3,4^1,1]
특성.	정점 변환

runcicantic square tiling honeycomb, h_2,3{4,4,3},파운드는 쌍곡선 3공간의 파라콤팩트 균일한 벌집이다.그것은 거울처럼 생긴 정사각형 테일링, 잘린 큐옥타헤드론, 잘린 팔각형 면들을 가지고 있다.

교대로 정류된 사각형 타일링 벌집

교대로 정류된 사각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	hr{4,4,3}
콕시터 도표	↔
세포
얼굴
정점수	삼각 프리즘
콕시터 그룹	[4,1⁺,4,3] = [∞,3,3,∞]
특성.	비강제적, 정점-변환성

교대로 수정한 사각형 타일링 벌집합은 쌍곡선 3공간에 있는 파라콤팩트 균일한 벌집합이다.

참고 항목

참조

^ 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III

Coxeter, 일반 폴리토페즈, 3번째, Dover Publishments, 1973. ISBN0-486-61480-8. (테이블 I 및 II: 일반 폴리탑 및 허니컴, 페이지 294–296)
기하학의 아름다움: 12개의 에세이(1999), 도버 출판물, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (10장, 쌍곡 공간의 일반 허니컴) 표 III
제프리 R. Weeks The Shape of Space, 제2판 ISBN 0-8247-0709-5 (16-17장: 3-manifolds I,II)
노먼 존슨유니폼 폴리토페스, 원고
- N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
- N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) 13장: 쌍곡선 콕시터 그룹
- Norman W. Johnson과 Asia Ivic Weiss Quadratic Integers and Coxeter Groups PDF Can.J. 수학.제51권(6), 1999 페이지 1307–1336

[1] 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III

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