오더-6 육각형 타일링 벌집

오더-6 육각형 타일링 벌집
투시 투영 뷰 푸앵카레 디스크 모델의 중심에서.
유형	쌍곡선 정규 벌집 파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	{6,3,6} {6,3^[3]}
콕시터 다이어그램	↔ ↔
세포	{6,3}
얼굴	육각형 {6}
에지 피겨	육각형 {6}
정점수	{3,6} 또는 {3^[3]}
이중	셀프듀얼
콕시터군	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정규, 준정형

쌍곡 기하학 분야에서 순서 6 육각형 타일링 벌집은 3차원 쌍곡선 공간에 있는 11개의 정규 파라콤팩트 벌집 중 하나이다.무한한 수의 얼굴을 가진 세포를 가지고 있기 때문에 파라콤팩트다.각 세포는 정점이 호르스피어에 놓여 있는 육각형 타일링으로, 무한대의 단일 이상점에 접근하는 쌍곡선 공간의 평평한 평면이다.

육각형 타일링 벌집의 슐래플리 기호는 {6,3,6}이다.평면의 육각 타일링이 {6,3}이므로 이 벌집에는 각 가장자리에서 만나는 육각 틸링이 6개 있다.삼각형 타일링의 슐레플리 기호가 {3,6}이므로 이 벌집의 꼭지점은 삼각 타일링이다.따라서 무한히 많은 육각형 기울기가 이 벌집의 각 꼭지점에서 만난다.^[1]

기하학적 벌집이란 다면체나 고차원적 세포의 공간을 채워서 틈이 생기지 않도록 하는 것이다.그것은 어떤 차원에서도 보다 일반적인 수학적 타일링 또는 테셀레이션의 예다.

허니컴은 보통 볼록한 균일한 허니컴과 같은 일반적인 유클리드("평평평한") 공간에서 만들어진다.그것들은 쌍곡선 균일 벌집과 같은 비유클리드 공간에도 건설될 수 있다.어떤 유한 균일 폴리토프는 구면 공간에 균일한 벌집을 형성하기 위해 그것의 원주에 투영될 수 있다.

대칭

부분군 관계:

↔

order-6 육각형 타일링 벌집형에는 다음과 같은 반대칭 구조물이 있다.

또한 지수-6 하위 그룹[6,3^*,6]을 가지고 있으며, 단순하지 않은 기본 도메인을 가지고 있다.이 부분군은 삼각형 프리즘 모양의 6개의 순서-3가지와 3개의 무한 순서 가지가 있는 Coxeter 다이어그램에 해당한다.

관련 폴리탑 및 허니컴

오더-6 육각형 타일링 벌집은 3공간의 일반 쌍곡 벌집이며, 3공간의 파라콤팩트 벌집 11개 중 하나이다.

11개의 파라콤팩트 일반 꿀벌집
{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{4,4,3}	{4,4,4}
{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{3,6,3}	{3,4,4}

[6,3,6] 콕시터 그룹 계열에는 이 정규 형태를 포함한 9개의 균일한 꿀벌이 있다.

[6,3,6]가족꿀컴
{6,3,6}	r{6,3,6}	t{6,3,6}	rr{6,3,6}	t_0,3{6,3,6}	2t{6,3,6}	tr{6,3,6}	t_0,1,3{6,3,6}	t_0,1,2,3{6,3,6}

이 벌집에는 삼각형 타일링 벌집과 관련된 교대형 벌집이 있지만 대칭은 더 낮다.

order-6 육각형 타일링 벌집은 삼각 타일링 정점 그림이 있는 일련의 정규 폴리초라와 벌집이다.

쌍곡선 균일 벌집: {p,3,6}

형태	파라콤팩트				비컴팩트
이름	{3,3,6}	{4,3,6}	{5,3,6}	{6,3,6}	{7,3,6}	{8,3,6}	... {∞,3,6}
이미지
세포	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}

그것은 또한 육각형 타일링 셀을 가진 일반 폴리초라와 허니콤의 순서의 일부분이다.

허니컴 {6,3,p}개 v t
공간	H³
형태	파라콤팩트				비컴팩트
이름	{6,3,3}	{6,3,4}	{6,3,5}	{6,3,6}	{6,3,7}	{6,3,8}	... {6,3,∞}
콕시터
이미지
꼭지점 형상을 나타내다 {3,p}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

그것은 또한 규칙적인 삼각 정점 형상을 가진 규칙적인 폴리초라와 허니콤의 시퀀스의 일부분이다.

일반 벌꿀컴 {p,3,p}개
공간	S³	유클리드³ E	H³
형태	유한한	아핀	작은	파라콤팩트	비컴팩트
이름	{3,3,3}	{4,3,4}	{5,3,5}	{6,3,6}	{7,3,7}	{8,3,8}	...{∞,3,∞}
이미지
세포	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}
꼭지점 형상을 나타내다	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,∞}

수정 순서-6 육각 타일링 벌집

수정 순서-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	r{6,3,6} 또는 t₁{6,3,6}
콕시터 도표	↔ ↔ ↔ ↔
세포	{3,6} r{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 육각형 {6}
정점수	육각 프리즘
콕시터 그룹	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]] ${\overline {PP}}_{3}$ ${\overline {PP}}_{3}$ 3 ${\$ [3^[3,3]]
특성.	정점 변환, 에지 변환

정류된 순서-6 육각 타일링 벌집 t₁{6,3,6}은 삼각 타일링 및 삼각 타일링 면에 육각 프리즘 정점 형상을 가지고 있다.

그것은 또한 1/4 순서-6 육각형 타일링 벌집, q{6,3,6}, 파운드라고 볼 수 있다.

그것은 2D 쌍곡선 주문-4 apirogonal tiling, r{{no, }과 유사하며, 무한의 apirogonal 면과 이상적인 표면에 모든 정점을 가지고 있다.

잘린 순서-6 육각 타일링 벌집

잘린 순서-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t{6,3,6} 또는 t_0,1{6,3,6}
콕시터 다이어그램	↔
세포	{3,6} t{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 도데카곤 {12}
정점수	육각형 피라미드
콕시터 그룹	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환

잘린 순서-6 육각 타일링 벌집 t_0,1{6,3,6}은 삼각 타일링과 잘린 육각 타일링 면에 육각 피라미드 정점 형상을 가지고 있다.^[2]

비트런드 오더-6 육각 타일링 벌집

비트런드 오더-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	bt{6,3,6} 또는 t_1,2{6,3,6}
콕시터 다이어그램	↔
세포	t{3,6}
얼굴	육각형 {6}
정점수	사면체
콕시터 그룹	$2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]] ${\overline {V}}_{3}$ ${\overline {V}}_{3}$ ${\$ [3,3,6]
특성.	정규

비트런드 오더-6 육각 타일링 벌집은 일반 육각 타일링 벌집의 하부 대칭 구조로 £. 육각 타일링 면에 사면 정점 형상을 하고 있다.

캔터링 오더-6 육각형 타일링 벌집

캔터링 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	rr{6,3,6} 또는 t_0,2{6,3,6}
콕시터 다이어그램	↔
세포	r{3,6} rr{6,3} {}x{6}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	쐐기를 박다
콕시터 그룹	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환

쐐기정점수형 6각형 타일링 벌집, t_0,2{6,3,6}은 3각 타일링, Rhombitrihexangle 타일링, 육각 프리즘 셀을 가지고 있다.

캔트런커트 오더-6 육각형 타일링 벌집

캔트런커트 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	tr{6,3,6} 또는 t_0,1,2{6,3,6}
콕시터 다이어그램	↔
세포	tr{3,6} t{3,6} {}x{6}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {12}
정점수	거울에 비친 스페노이드
콕시터 그룹	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6] ${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환

캔티트런으로 칼집을 낸 순서-6 육각형 타일링 벌집, t_0,1,2{6,3,6}은 육각 타일링, 잘린 삼각형 타일링, 육각 프리즘 셀을 가지고 있으며, 미러링된 스페노이드 정점 형상을 가지고 있다.

런케이티드 오더-6 육각 타일링 벌집

런케이티드 오더-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,3{6,3,6}
콕시터 다이어그램	↔
세포	{6,3} {}×{6}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	삼각 항정신병
콕시터 그룹	$2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6]
특성.	정점 변환, 에지 변환

런케이트 오더-6 육각 타일링 벌집 t_0,3{6,3,6}은 육각 타일링과 육각 프리즘 셀을 가지고 있으며, 삼각형 항정신병 정점 모양을 하고 있다.

이는 사각형 및 육각형 면을 가진 2D 쌍곡선 Rhombihexahexangular tiling, rr{6,6}과 유사하다.

런시티런티드 오더-6 육각 타일링 벌집

런시티런티드 오더-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,3{6,3,6}
콕시터 다이어그램
세포	t{6,3} rr{6,3} {}x{6} {}x{12}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {12}
정점수	이소체-트라페지오이드의 피라미드를 짓다
콕시터 그룹	${\overline {Z}}_{3}$ ${\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6]
특성.	정점 변환

런시트가 달린 순서-6 육각형 타일링 벌집, t_0,1,3{6,3,6}은(는) 육각형 타일링, 롬브릭스각형 타일링, 육각 프리즘 및 도십각형 프리즘 셀을 가지며, 이소체-트라페조이드 피라미드 꼭지 형상을 가지고 있다.

잡동사니 처리 순서-6 육각 타일링 벌집

잡동사니 처리 순서-6 육각 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	t_0,1,2,3{6,3,6}
콕시터 다이어그램
세포	tr{6,3} {}x{12}
얼굴	정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {12}
정점수	식물성 분산체
콕시터 그룹	$2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ $2\times {\overline {Z}}_{3}$ ${\$ [6,3,6]
특성.	정점 변환

전위차순서-6 육각형 타일링 벌집, t_0,1,2,3{6,3,6}은 삼각형 타일링과 도십각형 프리즘 셀이 잘려 있으며, 식물성 분산형 꼭지점 형상이 있다.

교대 오더-6 육각형 타일링 벌집

교대 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h{6,3,6}
콕시터 도표	↔
세포	{3,6} {3^[3]}
얼굴	삼각형 {3}
정점수	육각 타일링
콕시터 그룹	${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정규, 준정형

대체 오더-6 육각형 타일링 벌집(tiling honeycomb)은 일반 삼각형 타일링 벌집(tiling honeycomb)의 저대칭 구조로, 6각형 타일링 정점에 삼각 타일링 면(tiling facets)이 들어 있다.

캔틱 오더-6 육각형 타일링 벌집

캔틱 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₂{6,3,6}
콕시터 도표	↔
세포	t{3,6} r{6,3} h₂{6,3}
얼굴	삼각형 {3} 육각형 {6}
정점수	삼각 프리즘
콕시터 그룹	${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환, 에지 변환

캔틱 오더-6 육각 타일링 벌집모형은 삼각 프리즘 정점에 3헥각 타일링과 육각 타일링 면을 가진 수정 삼각 타일링 벌집, 파운드 를 저대칭으로 시공한 것이다.

런치 오더-6 육각형 타일링 벌집

런치 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h₃{6,3,6}
콕시터 도표	↔
세포	rr{3,6} {6,3} {3^[3]} {3}x{}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6}
정점수	삼각 큐폴라
콕시터 그룹	${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환

런치 육각형 타일링 벌집, h₃{6,3,6}, 또는 는 육각형 타일링, Rhombitrihexangular 타일링, 삼각형 타일링, 삼각형 프리즘 면을 가지고 있으며, 삼각형 큐폴라 정점 형상을 가지고 있다.

런니코틱 오더-6 육각 타일링 벌집

런시칸틱 오더-6 육각형 타일링 벌집
유형	파라콤팩트 균일 벌집
슐레플리 기호	h_2,3{6,3,6}
콕시터 도표	↔
세포	tr{6,3} t{6,3} h₂{6,3} {}x{3}
얼굴	삼각형 {3} 정사각형 {4} 육각형 {6} 도데카곤 {12}
정점수	직사각형 피라미드
콕시터 그룹	${\overline {VP}}_{3}$ ${\overline {VP}}_{3}$ } ${\overline {VP}}_{3}$ ${\$ [6,3^[3]]
특성.	정점 변환

런시칸틱 순서-6 육각형 타일링 벌집, h_2,3{6,3,6}, 또는 는 잘린 삼각형 타일링, 잘린 육각 타일링, 삼각형 타일링 및 삼각 프리즘 면을 포함하며, 직사각형 피라미드 정점 형상을 가지고 있다.

참고 항목

참조

^ 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III
^ Twitter Rotation around 3축

Coxeter, 일반 폴리토페즈, 3번째, Dover Publishments, 1973. ISBN0-486-61480-8. (테이블 I 및 II: 일반 폴리탑 및 허니컴, 페이지 294–296)
기하학의 아름다움: 12개의 에세이(1999), 도버 출판물, LCCN 99-35678, ISBN 0-486-40919-8 (10장, 쌍곡 공간의 일반 허니컴) 표 III
제프리 R. Weeks The Shape of Space, 제2판 ISBN 0-8247-0709-5 (16-17장: 3-manifolds I,II)
노먼 존슨유니폼 폴리토페스, 원고
- N.W. 존슨:균일다각체와 허니컴의 이론, 박사학위.1966년 토론토 대학교의 논문
- N.W. 존슨: 기하학과 변환, (2018) 13장: 쌍곡선 콕시터 그룹

[1] 콕시터 기하학의 아름다움, 1999, 10장 표 III

[2] Twitter Rotation around 3축

[1]

[2]

유클리드/하이퍼볼릭(paracompact/비컴팩트) 쿼터 허니콤 q{p,3,q}
p \ q	4	6	8	... ∞
4	q{4,3,4} ↔ ↔	q{4,3,6} ↔ ↔	q{4,3,8} ↔	q{4,3,163} ↔
6	q{6,3,4} ↔ ↔	q{6,3,6} ↔	q{6,3,8} ↔	q{6,3,196} ↔
8	q{8,3,4} ↔	q{8,3,6} ↔	q{8,3,8} ↔	q{8,3,198} ↔
... ∞	q{{195,4} ↔	q{{1903,6} ↔	q{{195,8} ↔	q{{195,3} ↔

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