슈윙거 함수

양자장 이론에서, 와이트만 분포는 일치점이 없는 유클리드 공간의 순서형 점 집합으로 제한된 도메인을 가진 유클리드 공간의 분석 기능을 분석적으로 계속할 수 있다.^[1]이러한 함수는 슈윙거 함수(줄리안 슈윙거의 이름을 따서 명명)라고 불리며, 실제 분석적이며, 주장(페르미온장에 대한 대칭), 유클리드 공변량(유클리드 공변량)의 순열하 대칭이며, 반사 긍정으로 알려진 속성을 만족시킨다.슈윙거 함수의 속성은 오스터왈더-슈레이더 공리(콘라드 오스터왈더와 로버트 슈레이더의 이름을 따서 명명)^[2]로 알려져 있다.슈윙거 함수는 유클리드 상관 함수라고도 한다.

오스터왈더-슈레이더 공리

Here we describe Osterwalder–Schrader (OS) axioms for a Euclidean quantum field theory of a Hermitean scalar field ${\displaystyle \phi (x)}$, ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{d}}$. Note that a typical quantum field theory will contain infinitely many local operators, including also composite operators, and their상관관계자는 또한 아래에 설명된 것과 유사한 OS 공리를 만족시켜야 한다.

$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$의 Schwinger 기능은 다음과 같이 표시된다$$.

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})\ique \langle \phi(x_{1})\landots \phi(x_{n})\landots \phi(x_{n}})\quad x_{k}\in \mathb {R}} ^{{{d}.}$

의 OS 공리는 (E0)-(E4) 번호로 매겨지며 다음 의미를 갖는다.

• (E0) 담금질
• (E1) 유클리드 공분산
• (E2) 긍정의
• (E3) 대칭
• (E4) 클러스터 속성

담금질

강화도 공리(E0)는 슈윙거 함수가 일치점으로부터 떨어진 강화 분포라고 말한다.이는 두 개 이상의 지점이 일치하는 구성에서 모든 파생상품과 소멸되는 슈워츠 시험 기능에 대해 통합될 수 있다는 것을 의미한다.슈윙거 기능이 사실상 동시점으로부터 떨어진 실제 분석이라는 것은 이 공리와 다른 OS 공리(선형 성장조건은 아님)에서 알 수 있다.

유클리드 공분산

유클리드 공분산 공리학(E1)은 슈윙거 함수가 회전과 번역에서 공변량 변환을 한다고 말한다. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots,x_{n})=S_{n}(Rx_{1}+b,\ldots ,Rx_{n}+b)}$

임의 회전 행렬 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle O}$( d${\displaystyle }$) ${\displaystyle R\in SO(d)}$ 및$$ 임의 변환 $벡터{\displaystyle }$ b ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$d {\$displaystyle b\in \mathb{R} ^d}}$에 대해 OS 공리는 회전 그룹의 임의 표현에서 변환하는 필드의 Schwinger 기능에 대해 공식화될 수 있다$.$^[2][3]

대칭

대칭 공리(E3)는 슈윙거 함수가 점의 순열에서 불변한다고 말한다.

${\displaystyle S_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$$=S_{n}(x_{\pi(1)},\ldots ,x_{\pi (n$

여기서 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi}$은$({\displaystyle }$는) {${\displaystyle 1,}$,${\displaystyle n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots,n\}$의 임의 순열이다$.$ 대신 페르미오닉 장의 슈윙거 함수는 대칭성이므로 이 방정식은 순열의 서명과 동일한 ± 기호를 가질 수 있다.

클러스터 속성

클러스터 속성(E4)에 따르면 다음과 같이 큰 상수번역에 의해 점의 두 그룹이 서로 분리되는 경우$$ Schwinger 함수 S $p{\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle q_{}}$ ${\$$displaystyle S_{p}S_{$q$}}}$이 제품 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ S p ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle q_{}}$ ${\$p}{p$}S_${$q}}}}}$로 감소한다.

${\displaystyle \lim _{b\to \infty }S_{p+q}(x_{1},\ldots ,x_{p},x_{p+1}+b,\ldots ,x_{p+q}+b)$$=S_{p}(x_{1},\ldots ,x_{p})$$S_{q}(x_{p+1},\ldots,x_{p+q$

한계는 분포의 의미로 이해된다.또한 두 점 그룹이 x ${\displaystyle 0{}^{}}$= 0 ${\displaystyle$ x$^{0}=0}$ 하이퍼플레인의$$ 양쪽에 있는 반면 벡터 $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$은(는) 그것과 평행하다는$$ 기술적 가정도 있다.

${\displaystyle x_{1}^{0},\ldots,x_{p}^{0}}0,\dots x_{p+1}^{0},\dots,x_{p+q}^{0}}}<0,\displaysty b^{0}=0}=0.}$

반사긍정성

긍정의 공리(E2)는 (오스터왈더-슈레이더) 반영 긍정이라는 다음의 속성을 주장한다.임의 좌표 coordinate을 선택하고 N 점을 인수로 하여 검정 함수 f를_N 선택한다.f가_N 0 < τ₁ < ... τ_N>의 N 포인트의 "시간 순서가 지정된" 부분 집합에서 지지를 받고 있다고 가정한다. 각 양의 N에 대해 F가 일부 정수 M보다 큰 모든 N에 대해 0인 것과 같은_N f를 선택한다$.$ x $x$가 주어진 경우 $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\theta }^{}}$ ${\$ $x$$^{\ta}}}}}}}}}$를 τ = 0 하이퍼 평면에 대해 반영하도록$$ 한다.그러면

${\displaystyle \sum _{m,n}\int d^{d}x_{1}\cdots d^{d}x_{m}\,d^{d}y_{1}\cdots d^{d}y_{n}S_{m+n}(x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n})f_{m}(x_{1}^{\theta },\dots ,x_{m}^{\theta })^{*}f_{n}(y_{1},\dots ,y_{n})\geq 0}$

여기서 *는 복잡한 결합을 나타낸다.

때때로 이론 물리학 문헌에서 τ${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \tau =0}$ 하이퍼플레인에$$ 대해 대칭적으로 포인트를 삽입할 경우 임의의 짝수 순서의 슈윙거 함수가 음수가 되어야 한다는 요구조건으로 언급된다.

${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$,${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{2n}(x_{1},\dots ,x_{n}^{n}^{}}}}\tots ,x_{1}^{\ta$ }\ta $}\geq$ 0$\}$ .

이 재산은 실제로 반성의 긍정으로 따르게 되지만 완전한 반성의 긍정으로 따르게 되는 것보다 약하다.

직관적 이해

위와 같은 특성을 만족시키는 슈윙거 함수를 (공식적으로) 구성하는 한 가지 방법은 유클리드 경로 적분을 통해서이다.특히 유클리드 경로 통합(형식적으로)은 반영 긍정을 만족시킨다.F는 coordinates 좌표가 음수가 아닌 점 x에 대해서만 x(x)의 값에 의존하는 필드 φ의 어떤 다항식 기능이다.그러면

${\displaystyle \int {\mathcal {D}\phi F[\phi(x)]F[\phi (x^{\theta })]^{*}e^{-S[\phi ]}=\int {\mathcal {D}}\phi _{0}\int _{\phi _{+}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{+}F[\phi _{+}]e^{-S_{+}[\phi _{+}]}\int _{\phi _{-}(\tau =0)=\phi _{0}}{\mathcal {D}}\phi _{-}F[(\phi _{-})^{\theta }]^{*}e^{-S_{-}[\phi _{-}]}.}$

Since the action S is real and can be split into ${\displaystyle S_{+}}$, which only depends on φ on the positive half-space (${\displaystyle \phi _{+}}$), and ${\displaystyle S_{-}}$ which only depends upon φ on the negative half-space (${\displaystyle \phi _{-}}$), and if S also happens to be 반사 작용과 모든 분야를 결합하는 복합 작용에 따른 불변성, 즉 이전 수량은 음이 아닌 것이어야 한다.

오스터발더-슈레이더 정리

오스터왈더-슈레이더 정리는^[4] 위의 공리(E0)-(E4)를 만족시키는 유클리드 슈윙거 기능과 선형 성장 조건이라고 하는 부가적 속성(E0')을 만족시키는 로렌츠 와이트만 분포까지 분석적으로 이어져서 양자장 이론을 정의할 수 있다고 기술하고 있다.

선형성장조건

에서 (E0')라고 불리는 이 조건은 순서 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$의 슈윙거 함수가 임의의 슈워츠 시험 $함수{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$와 쌍을 이룰$$ 때 다음과 같은 한계가 있다고 주장한다.^[4]

${\displaystyle S_{n}(f) \leq \sigma _{n}f _{C\cdot n}}}$

여기서 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$ ${\displaystyle$ $C\in \mathb {N}}$은(는) 정수이고, ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle n_{}}$ ${\$f $_$${$$\cdotn}$ $순서$의 슈워츠-공간 ${\displaystyle \mathrm{세미놈}}$이다$.$

${\displaystyle f _{N}=\sup _{\ 알파 \leq N,x\in \mathb {R}^{d}}{{N+ x )^{{N}D^{\alpha }f(x) ,}}$

및 ${\displaystyle {\sigma n}_{}}$ ${\$ 요인 성장의 상수, 즉 ${\displaystyle \mathrm{\sigma n}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ A${\displaystyle (n{}^{}}$ ${\displaystyle B^{}}$ ${\$ A$(n!)$의 시퀀스$$$^{B}}$ 일부 $상수{\displaystyle }$A, ${\displaystyle B}$ ${\디스플레이 스타일$ A$,B}$ 포함$$$.$

모든 슈윙거 기능에 대해 동시에 만족해야 하기 때문에 선형 성장 조건은 미묘하다.또한 Wightman 공리에서 파생되지 않아 OS 공리(E0)-(E4)와 선형 성장 조건(E0')의 시스템이 Wightman 공리보다 더 강한 것처럼 보인다.

역사

처음에 오스터왈더와 슈레이더는 공리(E0)-(E4)자체가 와이트만 공리를 암시한다는 더 강력한 정리를 주장했지만, 그들의 증명에는 추가적인 가정을 추가하지 않고는 수정할 수 없는 오류가 포함되어 있었다.2년 후 그들은 선형 성장 조건을 가정으로 추가했고, 정확한 증거를 제시하면서 새로운 정리를 발표했다.인의 증명은 복잡한 귀납적 주장(에서 Vladimir Glaser가 제안하기도 함)에 근거하여 슈윙거 함수의 분석적 영역이 민코프스키 공간을 향해 점진적으로 확장되고, 와이트만 분포는 한계로 회복된다.선형 성장 조건(E0')은 한계가 존재하며 강화 분포라는 것을 보여주는 데 결정적으로 사용된다.

참고문헌에는 (${\displaystyle \stackrel{}{\text{E0)}}}$ ${\$라는 또 다른 가정에 의해 대체되는 다른 정리(E0')도 포함되어 있다$.$$({\displaystyle \stackrel{\text{)}}{E0}}$ $\{\$실제로 체크하기 어렵기$$ 때문에 이 다른 정리는 거의 사용되지 않는다.이러한 사실에 대한 검토는 예를 참조하십시오.

Schwinger 함수에 대한 기타 공리

글림과 자페의 공리

유클리드 상호관계자의 공리화에 대한 대안적 접근법은 글림과 자페에 의해 그들의 저서에서 설명된다.^[6]이 접근방식에서 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle {}^{}}$ d${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \phi \in D'(\mathb {R} ^{d}})$ 분포 공간에 대해$$ 측정 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaysty d\mu}$이(가) 주어지는 것으로 가정하고, 생성 기능을 고려한다$.$

${\displaystyle S(f)=\int e^{\pi(f)}d\mu,\quad f\in D(\mathb {R}^{d})}$

속성 OS0-OS4를 충족하는 것으로 가정한다.

• (OS0) 분석성.라고 단언하고 있다.

${\displaystyle z=(z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto S\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i_{i}f_{i}\오른쪽)}$

is an entire-analytic function of ${\displaystyle z\in \mathbb {R} ^{n}}$ for any collection of ${\displaystyle n}$ compactly supported test functions ${\displaystyle f_{i}\in D(\mathbb {R} ^{d})}$. Intuitively, this means that the measure ${\displaystyle d\mu }$ decays faster th임의의 지수

• (OS1) 규칙성.This demands a growth bound for ${\displaystyle S(f)}$ in terms of ${\displaystyle f}$, such as${\displaystyle S(f) \leq \exp \left(C\int d^{d}x f(x) \right)}$. See ^[6] for the precise condition.
• (OS2) 유클리드 불변성.이것은 $기능{\displaystyle }$ S${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$) ${\displaystyle S(f)}$이(${\displaystyle 가}$) $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle R}$ x${\displaystyle }$+ b${\displaystyle }$) ${\displaystyle f(x)\mapsto f(Rx+b)}$에 따라 불변성이라는 것을 나타낸다$.$
• (OS3) 반성의 긍정.나는 D(Rd){\displaystyle f_{나는}\in D(\mathbb{R}^{d})}모든 상부 half-space 즉의 9x0을에서 지원하는 ∈다면;0}일 경우. Denoteθ f에 의해 나는()))나는{\displaystyle\theta f_{나는}())=f_ᆱ(\theta))(θ))f}이 θ{\display 시험 기능은 유한 수열 0{\displaystyle x^{0}&gt세요.스타일$\theta }$은(는) 위에서 정의된 반영 작업이다$$.이 공리는 ${\displaystyle {\mathrm{Mi}}_{}}$ j =${\displaystyle {}_{}S}$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$+ ${\displaystyle \theta }$ f ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystyle M_{ij}=S(f_{i}+\theta f_{j}}}}}$ 행렬이 양의 세미데마인이어야 한다고$$ 말한다.
• (OS4) 인간성.시간 변환 세미그룹(Time ${\displaystyle {}^{}}$semigroup)은 측정 공간$({\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$acts (R d ) ,${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (D'(\mathb {R}^{d}), d\mu )}$에 대해 인체공학적으로 작용한다$.$ 정확한 조건은 을 참조한다.

오스터발더-슈레이더 공리와의 관계

위의 공리는 오스터왈더와 슈레이더를 기리기 위해 글림과 자페(OS0)-(OS4)가 지명한 것이지만, 오스터왈더-슈레이더 공리에는 해당하지 않는다.

주어진 (OS0)-(OS4) $\varphi {\displaystyle }${\$displaystyle d\mu$ $\}$의 슈윙거 함수를 ${\displaystyle \mathrm{d\mu s}}$의 순간으로$$ 정의할 수 있으며, 이러한 순간들이 오스터왈더-슈레이더 공리(E0)-(E4)와 선형 성장 조건(E0')을 만족한다는 것을 보여줄 수 있다.그러면 오스터왈더-슈레이더 정리에 호소하여 와이트만 함수가 강화 분포라는 것을 보여줄 수 있다.대신, 훨씬 더 쉽게 Wightman 공리를 (OS0)-(OS4)에서 직접 도출할 수 있다.^[6]

그러나 전체 양자장 이론에는 $\varphi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$\varphi {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$ ${\$과$($$와{\displaystyle }$)$display$ {\displaystyle \pi $}$ 및 그 파생상품으로 구축된 기타 복합 연산자와 같은 $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystate \$$pi$ $}$ 이외의 다른 지역 연산자가 무한히 많이 포함될 것이라는 점에 유의하십시오.측정 d μ {\$displaystyle d\mu }$에서 이러한 슈윙거 함수를 추출하여$$ OS 공리를 만족시키는 것을 보여주기는 쉽지 않다.

요약하자면, 글림과 자페가 (OS0)-(OS4)라고 부르는 공리는 필드 ϕ ${\displaystyle \pi }$의 상관자에 관한$$ 한 OS 공리보다 강하지만, 복합 사업자의 상관자에 대해서는 별로 말하지 않기 때문에 OS 공리의 전체 집합에 비해 약하다.

넬슨의 공리

이 공리들은 에드워드 넬슨에 의해 제안되었다.^[7]배리 사이먼의 책에서도 그들의 설명을 보라.^[8]Like in the above axioms by Glimm and Jaffe, one assumes that the field ${\displaystyle \phi \in D'(\mathbb {R} ^{d})}$ is a random distribution with a measure ${\displaystyle d\mu }$. This measure is sufficiently regular so that the field ${\displaystyle \phi }$ has regularity of a Sobolev space of음의 파생 질서이러한 공리의 중요한 특징은 표면으로 제한된 분야를 고려하는 것이다.공리 중 하나가 마르코프 속성인데, 이것은 닫힌 표면 내부의 필드의 상태가 표면의 필드의 상태에 따라서만 결정된다는 직관적인 개념을 공식화한다.

참고 항목

• 윅 회전
• 자명 양자장 이론
• 와이트먼 공리

참조