정규행렬

수학에서 복잡한 정사각형 행렬 $A$ 는 결합 전치 $A$ 와^* 통하면 정상이다.

$A{\text{normal}\quad \iff \quad A^{*}A=AA^{*}}$

정규 행렬의 개념은 무한 치수 규범 공간의 정상 연산자와 C*-알게브라의 정상 원소로 확장될 수 있다. 매트릭스 사례에서와 같이, 정규성은 가능한 범위까지 비확정적 환경에서 공통성을 보존한다는 것을 의미한다. 따라서 일반 연산자와 C*-알게브라의 일반 요소는 분석에 더 익숙해진다.

스펙트럼 정리는 만약 매트릭스가 대각 행렬과 단위적으로 유사할 경우에만 $정상$ 이며^* 따라서 $AA *$ = AA 등식을 만족하는 $매트릭스$ A는 대각선이 가능하다고 명시한다.

그것은 일상적인 매트릭스의 특이한 값 분해 한= UΣ V∗{\displaystyle \mathbf{A}=\mathbf{U}{\boldsymbol{\Sigma}를 보러}{V}^{*}\mathbf}U)V{\displaystyle \mathbf{U}=\mathbf{V}}, A⁎A의 이후 V(right-singular 벡터)의 열은 값 및 U의 기둥( 떠났다 쉽습니다.-단수 벡터)는 $AA$ 의^⁎ 고유 벡터다.

특례

복잡한 행렬 중에서는 모든 단일 행렬, 에르미티아 행렬, 스큐-헤르미티아 행렬이 정상이다. 마찬가지로 실제 행렬 중에서 모든 직교, 대칭 및 스큐 대칭 행렬은 정상이다. 그러나 모든 일반 행렬이 단일 행렬이거나 (skew-)인 경우는 아니다.에르미트어 예를 들어,

A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1\1\1&0&1\end{bmatrix}}

단일민족도 아니고, 은둔자도 아니고, 스큐-헤르미티아인도 아니다. 그러나 그것은 정상이다.

AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1\\1&1\1&1\1&2\end{bmatrix}=A^{*}A.

결과들

제안: 일반적인 삼각 행렬은 대각선이다.

증거:

A

를 일반적인 상위 삼각 행렬로 두십시오. 이후

(A^{*}A)_{i}=(AA^{*})_{ii}}

첨자 표기법을 사용하여

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

단위 벡터(

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

{\hat {\mathbf {e} }}_{i}

i

{\

를 대신 사용하여 iH 행과

iH

열을 선택할 수 있다.

{\hat {\mathbf {e}}}}}{{i}^{\intercal }\왼쪽(A^{*}A\right){\hat {\mathbf{e}}}}={\hat {\mathbf {e}}}}}}^{{i}^{\intercal }\왼쪽(AA^{*}\오른쪽){\hat {\mathbf{e}}}_{i}.

그 표현

\왼쪽(A{\hat {\mathbf {e} }}}}}{i}\오른쪽)^{*}\왼쪽(A{\hatt {e}}}}}}{i}\right)=\좌측(A^{*}{\hattbf {}}{}}}}{\mathbf {}}\오른쪽)^{*}\왼쪽(A^{*}{\hat {\mathbf {e}}}}}}}

등가, 등가, 등가.

\left\A{\hatsbf {e}}}}}}}{}_{i}\right\ ^{2}=\{2}=\ref\A^{*}{\hat {\mathbf{e}}}}{\mathbf{}}}}}

이는 ith 행이 ith 열과 동일한 규범을 가져야 함을 보여준다.

i

=

1

을 고려하십시오. 1열과 1열의 첫 번째 항목은 동일하며, 나머지 1열은 0(삼각형 때문에)이다. 이는 항목 2부터

n

까지의 첫 번째 행이 0이어야 함을 의미한다. 행-열 쌍 2 ~

n

에 대해 이 인수를 계속하면

A

가 대각선임을 알 수 있다.◻

정규성의 개념은 정규 행렬이 정확히 스펙트럼 정리가 적용되는 행렬이기 때문에 중요하다.

제안.

행렬

A

는 대각

행렬

u

과^* A = U matrixU와 같은 단일 행렬

U

가 존재하는 경우에만 정상이다.

$λ$ 의 대각선 입력은 $A$ 의 고유값이며, $U$ 의 열은 $A$ 의 고유 벡터다. $λ$ 에서 일치하는 고유값은 고유 벡터가 $U$ 의 열로 정렬된 것과 동일한 순서로 나타난다.

스펙트럼 정리를 설명하는 또 다른 방법은 정규 행렬이 정확하게 $C$ 의ⁿ 적절하게 선택된 정사각형 기준과 관련하여 대각 행렬로 표현될 수 있는 행렬이라고 말하는 것이다. 다르게 표현됨: 매트릭스의 아이겐스페이스가 $C$ 에ⁿ 걸쳐 있고 $C$ 의ⁿ 표준 내측 제품에 대해 쌍방향으로 직교하는 경우에만 정상이다.

정상 행렬에 대한 스펙트럼 정리는 모든 사각 행렬에 대해 유지되는 보다 일반적인 슈르 분해의 특별한 경우다. $A$ 를 정사각형 행렬이 되게 하라. 그리고 슈르 분해에 의해 그것은 상위 삼각형 행렬, 예를 들어 $B$ 와 유사하게 단일하다. $A$ 가 정상이라면 $B$ 도 정상이다. 그러나 그 다음 $B$ 는 대각선이어야 한다. 위에서 설명한 것처럼, 일반적인 3각 행렬은 대각선이다.

스펙트럼 정리는 스펙트럼 측면에서 정상 행렬의 분류를 허용한다. 예를 들면 다음과 같다.

제안. 일반 행렬은 모든 고유값(스펙트럼)이 복합 평면의 단위 원 위에 있는 경우에만 단일 행렬이다.

제안. 정상 행렬은 스펙트럼이

\mathbb {R}

{\

에 포함된 경우에만 자가 적응한다

\mathbb {R}

즉, 정상 행렬은 모든 고유값이 실제인 경우에만 에르미타인이다.

일반적으로 두 정규 행렬의 합계나 산출물이 정규일 필요는 없다. 그러나 다음과 같은 조건이 유지된다.

제안.

AB

=

BA

로 A와

B

가 정상이면

AB

와

A + B

도 정상이다. 또한

UAU

와^*

UBU

가^* 대각 행렬인 단일 행렬

U

가 존재한다. 다시

말해서

A

와 B는 동시에 대각선이 가능하다.

이 특별한 경우에 $U$ 의^* 열은 $A$ 와 $B$ 모두의 고유 벡터로서 $C$ 에서ⁿ 정사각형 기초를 형성한다. 이는 대수적으로 폐쇄된 분야에 걸쳐 통근 행렬이 동시에 삼각형 처리되고 정상 행렬이 대각선으로 처리된다는 이론들을 결합함으로써 추가되는 결과는 이 두 가지가 동시에 수행될 수 있다는 것이다.

등가정의

정규 행렬의 등가 정의의 상당히 긴 목록을 제공할 수 있다. $A$ 를 $n$ × n $복합$ 행렬이 되게 하라. 그 후 다음과 같다.

$A$ 은 정상이다
$A$ 는 단일 행렬에 의해 대각선이 가능하다.
$A$ 의 고유 벡터 세트가 존재하며, 이 벡터는 $C$ 의ⁿ 정형화된 기초를 형성한다.
$\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ = $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ x $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ \ \ \ $displaystyle \left\A\mathbf {x} \right\=\reft\A^{*}\mathbf {x} \right\$ } $x$ 마다 $\left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|$ \right\ }
$A$ 의 프로베니우스 규범은 $A$ : ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ( ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ) ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ = ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$ ${\$ }\ $right{$ 2 ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
그 헤르미 이트 부분 .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px sOlid}.mw-parser-output .sr-onlyᆫ1(A+A*)과 출퇴근 시간skew-Hermitian 부분 1(A− A*).
$A$ 는^* A에서 다항식( $도 -$ n - $1$ )이다.^[a]
$A *$ = 일부 단일 행렬 $U$ 의 경우 $AU$ .^[1]
$U$ 와 $P$ 의 통근, $단수질$ $매트릭스$ U와 일부 양성 세미데핀 매트릭스 $P$ 가 있는 극 분해 A = $UP$ 가 있다.
$A$ 는 고유값이 뚜렷한 일부 정규 행렬 $N$ 과 통근한다.
$σ i$ = $1 i$ i $n$ n 모두에 대해 $λ i$ . 여기서 $A$ 는 단수 값 $σ 1$ and ⋯ ≥ $σ n$ σ 및 $고유 1 n$ 값 .^[2] . ..

위와 같은 일부지만 모두 힐버트 공간의 일반 운영자들에게 일반화된다. 예를 들어, (9) 만족하는 경계 연산자는 퀘이노멀일 뿐이다.

유추

다른 종류의 일반 행렬의 관계를 다른 종류의 복잡한 숫자 사이의 관계와 유사하다고 생각하는 것은 때때로 유용하다(그러나 때로는 오해의 소지가 있다).

반전 행렬은 0이 아닌 복잡한 숫자와 유사하다.
공극 트랜스포즈는 복합 공극과 유사하다.
단일 행렬은 단위 원의 복잡한 숫자와 유사하다.
은둔자 행렬은 실제 숫자와 유사하다.
은둔자 양성확정 행렬은 양성실수와 유사하다.
스큐 은둔자 행렬은 순전히 가상의 숫자와 유사하다.

특별한 경우로서, 복잡한 숫자는 매핑에 의해 일반 2×2 실제 행렬에 포함될 수 있다.

a+bi\mapsto {\bmatrix}a&b\-b&a\end{bmatrix}a\nd{bmatrix}a\a\end{bmatrix}a\nd}a\a\nd{bmatrix}+b\,{bmatrix},nd}}}}}}}}, {bmatrix.

덧셈과 곱셈을 보존한다. 이 임베딩이 위의 모든 유사점을 존중하는지 쉽게 확인할 수 있다.

참고 항목

메모들

^ Proof. When $A$ is normal, use Lagrange's interpolation formula to construct a polynomial $P$ such that ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , where $\lambda _{j}$ are the eigenvalues of $A$ $A$ .

인용구

^ 혼앤존슨(1985), 페이지 109
^ 혼&존슨(1991), 페이지 157

원천

Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.
Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1991). Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-30587-7.

[1] Proof. When $A$ is normal, use Lagrange's interpolation formula to construct a polynomial $P$ such that ${\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})$ , where $\lambda _{j}$ are the eigenvalues of $A$ $A$ .

[2] 혼앤존슨(1985), 페이지 109

[3] 혼&존슨(1991), 페이지 157

[a]

[1]

[2]

v t 매트릭스 클래스
명시적으로 제한된 항목	교번트 반대각형 반헤르미티아누스 반대칭 화살촉 밴드 비다이각형 이대칭 블록 대각선 블록 블록삼각형 부울 카우치 중심대칭 회의 콤플렉스 하다마드 코포시티브 대각선 우세 대각선 이산 푸리에 변환 초급 등가 프로베니우스 일반화 순열 하다마드 행클 에르미트어 헤센베르크 할로우 정수 논리적인 매트릭스 단위 메츨러 무어 비음성 펜타디각형 순열 당칭 다항식 쿼터니온어 서명 스큐헤르미티안 스큐 대칭 스카이라인 스파스 실베스터 대칭 토플리츠 삼각형 삼두각형 유니타리 반데르몽드 월시 Z
상수	교환 힐베르트 아이덴티티 레머 1개 중 파스칼 파울리 레데퍼 시프트 영
고유값 또는 고유벡터 조건	동반자 수렴성 결함이 있는 대각선 가능 후르비츠 포지티브-확정성 슈틸트제스
제품 또는 역에 대한 만족도 조건	컨그루엔트 Idempotent 또는 Projection 되돌릴 수 없는 비자발적 닐포텐트 정상 직교 단모듈라 전지전능 완전히 단변성 체중 측정
특정 애플리케이션 사용	애드주게이트 교대 부호 증강됨 베주트 칼레만 카르탄 서큘런트 공동 인자 정류 혼란 콕시터 거리 중복 및 제거 유클리드 거리 기본(선형 미분 방정식) 제너레이터 그램 헤시안 세대주 야코비안 모멘트 모두 다 갚다, 청산하다 뽑다 무작위 회전 세이퍼트 전단 유사성 심플렉틱 완전히 긍정적이다. 변환
통계에 사용됨	센터링 상관 관계 공분산 디자인 이중 확률적 피셔 정보 모자 정밀도 스토카스틱 전이
그래프 이론에 사용됨	인접 바이애드제이컨시 정도 에드먼즈 발생 라플라시안 사이델 인접 투테
이공계에 사용됨	카비보-코바야시-마사와 밀도 기본(컴퓨터 비전) 퍼지 연관성 감마 겔만 해밀턴어 불규칙한 겹치다 S 국가전환 대체 Z(화학)
관련 용어	요르단 정상 형태 선형독립 행렬 지수 원뿔 단면의 행렬 표현 퍼펙트 매트릭스 사이비인버스 행 에슐론 양식 룬스키안
행렬 목록 범주:행렬

Search

정규행렬

네임스페이스

더

목차

특례

결과들

등가정의

유추

참고 항목

메모들

인용구

원천