타우 함수(통합형 시스템)

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 10월) (이 템플릿 메시지 제거 방법 및 시기 학습)

타우 함수는 현대 통합형 시스템 이론의 중요한 요소로서, 다양한 다른 영역에 수많은 응용 프로그램을 가지고 있다.그것들은 원래 료고 히로타에 의해 솔리톤 방정식에 대한 직접적인 방법 접근법에 의해 도입되었는데, 등가 이선형식으로 표현하였다.타우 함수($Tau{\displaystyle }$ function, $style$ {\$displaystyle \$tau$$ $}$ -function)라는 용어는 카돔체프-페트비아쉬빌리(또는 KP) 방정식의 구체적인 맥락에서 사토^[2] 미키오와 그의 제자들에 의해 처음으로 체계적으로 사용되었고, 관련 통합 가능한 계층 구조로 사용되었다.그것은 용해 이론의 중심 성분이다.타우 함수는 랜덤 매트릭스의 스펙트럼 이론에서도 매트릭스 모델 파티션 함수로 나타나며, 특히 리만 표면의 모듈리 공간과 관련된 조합 및 열거형 기하학적 의미에서의 생성 함수, 그리고 브랜딩 커버링의 열거, 또는 소위 허위츠 수치로도 기능할 수 있다.

▼ ${\displaystyle \tau }$ - 기능$$ 정의

사토 학파에 의해 소개된 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ -functions의$$ 개념은 두 가지다.첫 번째는 이소모노드로믹 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ - 기능의 그것이다.^[5]두 번째는 KP 계층 구조와 같이 통합 가능한 계층 구조를 위한 Sato-Segal-Wilson 유형의 τ ${\displaystyle \tau$} - 기능이며, Lax 타입의 등경변형 방정식을 만족하는 선형 연산자에 의해 파라메트릭된다.

이등분석의 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$ -기능은$$ 이등분석의 진화를 겪는 선형 연산자를 고유하게 재구성할 수 있는 히로타 이등분 방정식의 해법이다.그 Sato[2]과 Segal-Wilson[6]의미에서 프레드 홀름 통합 사업자 기원으로 적절하게 정의된(무한 차원)그라스만 다양체의 요소의 직교 돌출부를 것으로 해석했던, 최대abelian subgro의 선형 기하 급수적인 작용으로 그 요소가 진화하는 결정 요인의 Geometrically을 값입니다.의일반 선형 그룹그것은 일반적으로 기초 측정이 선형 지수 변형을 겪기 때문에 통계역학이라는 의미에서, 다체 양자역학이나 양자장 이론의 관점에서 분할 함수로 발생한다.

KP τ-기능에 대한 히로타 이선 잔여 관계

A KP (Kadomtsev–Petviashvili) ${\displaystyle \tau }$-function ${\displaystyle \tau (\mathbf {t} )}$ is a function of an infinite number of KP flow variables ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ that satisfies the following bilinear formal residue equation

${\displaystyle \mathrm {res} _{z=0}\left(e^{\sum _{i=1}^{\infty }(\delta t_{i})z^{i}}\tau ({\bf {t}}-[z^{-1}])\tau ({\bf {s}}+[z^{-1}])\right)dz\equiv 0,}$

(1)

$\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$$displaystyle \delta t_{j}$ 변수와$$ 동일하게, $여기$서 ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ e =${\displaystyle 0_{}}$ ${\$은 정식 Laurent 확장의${\displaystyle {}^{}}$z - 1$${\$displaysty z}$에서 Laurent 시리즈로 모든 요인을 확장함에 따른 z$$ - ${\displaystyle 1^{}}$의 $계수$임$.$

${\displaystyle {\bf{t}:={\bf{t}+(\bf t_{1},\cdots ),\cdn[z^{-1}]:=(z^{-1},{\tfrac{-2}},\tfr}{-j}},cd\ots.}$

카돔체프-페트비아슈빌리 방정식

τ${\displaystyle ({t\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle \tau(t_{1},t_{2},t_{3},\dots \tau$})가 KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$인 경우, 우리는 처음 3개의 흐름 변수를 다음과 같이 식별한다.

${\displaystyle t_{1}=x,\display t_{2}=y,\display t_{3}=t,}$

그 뒤에 함수가 있다.

${\displaystyle u(x,y,t):=2{\frac {\frac ^{1}{2}}:\log \left(x,y,t,t_{4}\message )\right}$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2+1$}차원$$ 비선형 부분 미분 방정식을 만족함

${\displaystyle 3u_{yy}=\left(4u_{t}-6u_{x}-u_{xx}\오른쪽)_{x}}}$

(2)

플라즈마 물리학과 얕은 수해파에서 중요한 역할을 하는 KP(Kadomtsev-Petviashvili) 방정식으로 알려져 있다.

$\tau {\displaystyle }$(${\displaystyle {t\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$t ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$)의 추가 로그파생상품을 취하면,$$\$displaystyle \tau(t_{1},t_{2},t_{3},\dots \dots$) 각각 유한한 수의 KP 흐름파라미터에 관한 유한한 순서의 부분파생산을 포함하는 비선형 자율 PDE의 추가 시스템을 만족시키는 무한 시퀀스를 제공한다$$.ers $t{\displaystyle \mathbf{}}$=${\displaystyle }$( t ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{t\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\bf$ {$t}=(t_{1},t_{2},\reason$ $)\}$ .이것들은 집합적으로 KP 계층 구조로 알려져 있다.

공식 베이커-아키에저 함수와 KP 계층 구조

(공식) Baker-Akhiezer 함수 $\psi {\displaystyle \mathrm{}(z}$, ${\displaystyle t\mathbf{}}$) ${\displaystyle \Psi(z,\mathbf {t})$를 사토 공식으로$$ 정의하면

${\displaystyle \Psi(z,\mathbf {t}):=e^{\sum _{i=1}^{\inft_{i}z^{i}}}{\frac {\tau(\mathbf {t} -[z^{-1}]))}}{\tau(\mathbf {t} )}}}$

변수 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$의 파워로 정식 시리즈로 확장

${\displaystyle \Psi (z,\mathbf {t} )=e^{\sum _{i=1}^{i}}}(1+\\\sum _{j=1}{j=1}^{w_{j}(\mathbf {t}){-j},},}}}},}$

이것은 양립 가능한 진화 방정식의 무한 순서를 만족시킨다.

${\displaystyle {\frac {\partial \psi}{\partial t_{i}}={\mathcal {D}}\psi ,\quad i,j,=1,2,\dots ,}}$

(3)

where ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$ is a linear ordinary differential operator of degree ${\displaystyle i}$ in the variable ${\displaystyle x:=t_{1}}$, with coefficients that are functions of the flow variables ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots$$)\},$ 다음과 같이 정의됨

${\displaystyle {\mathcal{D}_{i}:={\big (}{\mathcal{L}}^{i}{\big )}_{+}}}$

여기서 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 정식 의사 차등 연산자임$$

${\displaystyle {\mathcal {L}=\partial +\sum _{j=1}^{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}={\mathcal {W}\circle \partial \circircircircircircircircircircircircircirc{\\\\\\\\\\\\\\\\mathclon{\mathcal {\cal{\cclon{\$

$\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle \frac{\partial \mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{x}{}}$x {\$displaystyle \partial$:={\$frac {}{\fract }{\flash$ x$}}$을$($를) 사용하여, 여기서

${\displaystyle {\mathcal {{W}:=1+\sum _{j=1}^{\nft_{j}(\mathbf {t} )\partial ^{-j}}$

is the wave operator and ${\displaystyle {\big (}{\mathcal {L}}^{i}{\big )}_{+}}$ denotes the projection to the part of ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{i}}$ containing purely non-negative powers of ${\displaystyle \partial }$; i.e. to the differential operator part of ${$$\displaystyle {\mathcal{L}^{i}}}.$

유사추상 연산자 $L{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 등경변형식의 무한계통을 만족한다$$.

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}{\partial t_{i}}=[{\mathcal {D}}{\mathcal {L}],\quad i,=1,2,\dots }}$

(4)

시스템(3)과 (4)의 호환성 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {D}}_{i}}{\partial t_{j}}}-{\frac {\partial {\mathcal {D}}_{j}}{\partial t_{i}}}+[{\mathcal {D}}_{i},{\mathcal {D}}_{j}]=0,\quad i,j,=1,2,\dots }$

This is a compatible infinite system of nonlinear partial differential equations, known as the KP (Kadomtsev-Petviashvili) hierarchy, for the functions ${\displaystyle \{u_{j}(\mathbf {t} )\}_{j\in \mathbf {N} }}$, with respect to the set ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{$$1,}t_{2},\$displaystyle $u_{j$의 독립$$ 변수 각각에는 $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$ u_{j}s의 한정된 수만 포함되며, 세 개의 독립 변수$($ ${\displaystyle t_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$) ${\displaystystyle (x,t_{i},t_{$j}}}}})에 대해서만 파생 변수가 포함되어 있다$.$이것들의 첫 번째 비비례는 카돔체프-페트비아쉬빌리 방정식(2)이다.

따라서 모든 KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ 함수는$$ 적어도 형식적인 의미에서는 비선형 부분 미분 방정식의 무한 시스템에 대한 해결책을 제공한다.

후치 이소모노드로믹 시스템:이소모노드로믹 $ic{\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau}$ - 기능$$

1차 행렬 부분 미분 방정식의 과결정된 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle {\partial \partial z}-\sum _{i=1}{n}{N_{i} \over z-\alpha _{i}\psi =0,\quad }$

(5)

${\displaystyle {\partial \Psi \over \partial \alpha _{i}+{N_{i} \over z-\alpha _{i}\Psi =0,}$

(6)

where ${\displaystyle \{N_{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ are a set of ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r\times r}$ traceless matrices, ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$ a set of ${\displaystyle n}$ complex parameters and ${\displays$$tyle z}$ a complex variable, and ${\displaystyle \Psi (z,\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}$ is an invertible ${\displaystyle r\times r}$ matrix valued function of ${\displaystyle z}$ and ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n}}$. These are the necessary and sufficient conditions for the based monodromy representation of the fundamental group ${\displaystyle \pi _{0}({\bf {P}}^{1}\backslash \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,n})}$ of the Riemann sphere punctured at the points ${\displaystyle \{\alpha _{i}$합리적인$$ $공변량$ 파생상품 $사업자$에 해당하는 $\}{i=1,\reason ,n}$

${\displaystyle {\partial \over \partial z}-\sum _{i=1}^{N_{i} \over z-\alpha _{i}}}$

${\displaystyle {\mathrm{매개}}_{}}$ 변수${\displaystyle }${${\displaystyle {\alpha }_{}}$ i ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 1_{}}$, $…,$ n {\$displaystyle \{\laim_{i}\}_${i$=1,\laim,n$ 즉, 이러한 매개 변수의 변화가 등변성 변형을 유발하는 경우.이 시스템의 호환성 조건은 Schlesinger 방정식이다^[5].

${\displaystyle {\partial N_{i}\partial \alpha _{j}={[N_{i}}},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}}}\quad {\text{{}{i\neq j,}$

$\displaystyle {\partial N_{i} \partial \alpha_{i}=-\sum _{1\leq j\leq n,j\neq i}{}{[]N_{i},N_{j}] \over \alpha _{i}-\alpha _{j}.}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystylen}$ 함수$$ 정의

${\displaystyle H_{i}={\frac {1}{1}:{2}}\sum _{1\leq j\n,j\neq i}{\rm {Tr}{{{i}N_{j}}}\overalpha _{i}-\j},\quad i=1,n,}}}}$

슐레신저 방정식은 미분형태를 암시한다.

${\displaystyle \omega :=\sum _{i=1}^{n}H_{i}d\알파 _{i}}$

매개변수가 닫힌 공간:

${\displaystyle d\omega =0}$

지역적으로 정확해따라서 적어도 국소적으로는 다음과 같이 곱셈 상수 내에 정의된 파라미터의$$ 함수 τ${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\alpha }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \tau(\alpha _{1},\dots,\alpha _{n})$가 존재한다.

$\displaystyle \omega =d\mathrm {ln} \tau }$

함수 $\tau {\displaystyle }$(${\displaystyle {\alpha \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {\alpha }_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \tau (\alpha _{1},\dots ,\$$displaystyle \tau$$$$}$ - 시스템 (5), (6)의$$ 기본 $display$ {\displaystyle$\Psi$}과 연관된 함수라고 한다$$.비 후치안 시스템의 경우, 고차 폴을 가진 일반화된 모노드로미 데이터의 경우 스톡스 파라미터와 연결 매트릭스가 포함되며, 국소 무증상학에 관련된 이소모노드로믹 변형 파라미터가 추가로 존재하지만, 이소모드로믹 ${\style \tau}$ -기능은 차등 o를 사용하여 유사한 방법으로 정의될 수 있다.확장 매개변수 공간.^[5]

페르미온 VEV(진공 기대값) 표현

페르미온 Fock 공간 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은$($는) 반무한 외부 제품 공간이다.

${\displaystyle {\mathcal{F}=\lambda ^{\inft /2}{\mathcal {H}=\oplus _{n\in \mathbf {Z}{\mathcal {F}_{n}}}}}$

defined on a (separable) Hilbert space ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ with basis elements ${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ and dual basis elements ${\displaystyle \{e^{i}\}_{i\in \mathbf {Z} }}$ for ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{*}}$.

The free fermionic creation and annihilation operators ${\displaystyle \{\psi _{j},\psi _{j}^{\dagger }\}_{j\in \mathbf {Z} }}$ act as endomorphisms on ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ via exterior and interior multiplication by the basis elements

$\displaystyle \property_{i=e_{i}\wedge ,\quad \psi _{i}^{\dager }:=i_{e^{i}},\quad i\in \mathbf {Z},}$

그리고 표준적인 반협정 관계를 만족시킨다.

${\displaystyle [\displaystyle _{i},\filename _{k}}}=[\filename _{i}^{\filename }}]=[\filename _{k}^{k}}}={ij}]=[\fline}].}$

이러한 것들은 스칼라 제품에 해당하는${\displaystyle }직접{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ H + H $∗$ {\$displaystyle {\mathcal${$H}+{\mathcal{$H$\}^\{*\}\}\}$에 클리포드 대수학의 표준 페르미온적 표현을 생성한다.

${\displaystyle Q(u+\mu ,w+\nu )=\nu(u)+\mu(v),\quad u,v\in {\mathcal {H},\mu,\nu \in {\mathcal}^{*}}}}}}$

Fock 공간 $F{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$ {$F}$을(를) 복구할 수 없는 모듈로$$ 지정.제로 페르미온 충전 섹터 ${\displaystyle F_{\mathrm{}}}$ $0{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\$에서 진공 상태를 나타낸다$.$

${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 2_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle$ 0$\rangele :=e_{-1}\regle e_{-2}\cdots$

모든 음의 정수 위치가 점유되고 음이 아닌 모든 위치가 비어 있는 실제 정수 격자를 따라 주의 디락 바다에 해당한다.

이는 다음 운영자에 의해 전멸된다.

${\displaystyle \j} 0\rangele =0,\regle \regle \ft_{j-1}^{\regler =0,\regler j=0,1,\regences }$

$⟨{\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ $displaystyle \langle$ 0 $\}$으로 표시된 이중 페르미오닉 포크 공간 진공 상태는 보조 연산자에 의해 소멸되며, 좌측으로 작용한다.

${\displaystyle \langle 0 \cHB \langle 0 \cHB \langle 0 \cHB \cHB \langle 0=0,\cHB j=0,1,\cHB }$

정상 순서${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\cdots }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$: ${\displaystyle$:$선형$ 연산자$제품($즉, $생성$ 및 소멸 $연산자$의 유한 또는 무한 선형 조합)의 L_$${1},\cdots L_${m}:}$을(를) 정의하여 VEV(진공 기대 값)가 사라지도록 한다.

${\displaystyle \langle 0 :L_{1},\cdots L_{m}: 0\angle =0.}$

특히 L $1{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}개의$$ 제품$({\displaystyle {L\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ L${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ ) {\$displaystyle(L_{1},L_{2})$의 경우$$ 선형 연산자

${\displaystyle :L_{1}L_{2}:=L_{1}L_{2}-\langle 0 L_{1}L_{2} 0\angle .}$

강전하 연산자 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$은(는) 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle C=\sum _{i\in \mathbf {Z}}}:\psi _{i}\psi _{i}^{\dager }}}}$

하위$$ 공간 $F{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle F\mathcal{}}$ ${\$은 고유값 n {\displaystyle n}을$($를) $가진$ 모든 고유 벡터로 구성된 C$$ ${\displaysty$ C$}$의 $영역$이다.

${\displaystyle C}$ ${\displaystyle v}$; ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ⟩}$= ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle v}$; ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle ⟩,\forall \mathrm{}}$ ${\displaystyle v}$; ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle F_{}}$ n ${\$ C $v;n\rangele =$n$v;n\rangele,\quad \fall$ v$;n\rangele \in {\mathcal{F}_{$n$\}\}\}\}\}\}\}.$

The standard orthonormal basis ${\displaystyle \{ \lambda \rangle \}}$ for the zero fermionic charge sector ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{0}}$ is labelled by integer partitions ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{\ell (\lambda )})}$, where ${\displaystyle {\lambda }_1}$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \cdots \geq \lambda _{\ell (\lambda )}}$ is a weakly decreasing sequence of ${\displaystyle \ell (\lambda )}$ positive integers, which can equivalently be represented by a Young diagram, as depicted here for the partition ${\displaystyle (5,4,1)}$.

파티션의 젊은 다이어그램(5, 4, 1)

An alternative notation for a partition ${\displaystyle \lambda }$ consists of the Frobenius indices ${\displaystyle (\alpha _{1},\dots \alpha _{r} \beta _{1},\dots \beta _{r})}$, where ${\displaystyle \alpha _{i}}$ denotes the arm length; i.e. the number ${\displaystyle {\lambda }_i-i}$${\displaystyle \lambda _{i}-i}$ of boxes in the Young diagram to the right of the ${\displaystyle i}$'th diagonal box, ${\displaystyle \beta _{i}}$ denotes the leg length, i.e. the number of boxes in the Young diagram below the ${\displaystyle i}$'th diagonal box, for ${\displaystyle i=1,\dots ,r}$$$여기서 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$은(는) 대각선 원소의 수인 프로베니우스 순위다.

기본 요소 ${\displaystyle \lambda }$ {\$displaystyle \lambda \rangele}$은(는) $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle r}$쌍의$$ 생성 및 소멸 연산자로 구성된 제품으로 진공에 작용하여 주어지며$$, 프로베니우스 지수에 의해 라벨이 표시된다.

${\displaystyle \langle = (-1)^{\sum _{j=1}^{r}\{j}\prod _{k=1}{k=1}^{\big(}\big){\big(}\big){\big({\big){\big({\big)}}$

The integers ${\displaystyle \{\alpha _{i}\}_{i=1,\dots ,r}}$ indicate, relative to the Dirac sea, the occupied non-negative sites on the integer lattice while ${\displaystyle \{-\beta _{i}-1\}_{i=1,\dots ,r}}$ indicate the unoccupied negative integer sites.디락 바다의 유한 섭동인 정수 격자 위에 무한히 많은 점령지와 비어 있는 현장으로 구성된 해당 도표를 마야 도표라고 한다.^[2]

null(빈 칸막이)${\displaystyle \mathrm{}}$partition${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0\mathrm{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ = 0$$⟩ {\$displaystyle \emptyet \angle$ = $0\rangele }$의 경우 진공 상태가 되며$$, 이중 기준 $⟨{\displaystyle \mu }$ μ${\displaystyle }$} ${\displaystyle \langle \mu \}}}}$은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle \langle \mu \langle =\langle =\langle _{\boda ,\mu }}}$

그러면 모든 KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ - 함수는$$ 합으로 표현할 수 있다.

${\displaystyle \tau _{w}(\mathbf {t} )=\sum _{\mathda }s(w)_{\mathbf {t}}}}}}$

where ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots ,\dots )}$ are the KP flow variables, ${\displaystyle s_{\lambda }(\mathbf {t} )}$ is the Schur function corresponding to the partition ${\displaystyle \lambda }$, viewed as a function of the normalized power sum variables

${\displaystyle t_{i}:=[\mathbf {x} ]_{i}:={\frac {1}{i}}\sum _{a=1}^{n}x_{a}^{a}\i}\i1\cHB }$

in terms of an auxiliary (finite or infinite) sequence of variables ${\displaystyle \mathbf {x} :=(x_{1},\dots ,x_{N})}$ and the constant coefficients ${\displaystyle \pi _{\lambda }(w)}$ may be viewed as the Plucker coordinates of an element ${\d$$isplaystyle w\in \mathrm {Gr} _{{\mathcal {H}}_{+}}({\mathcal {H}})}$ of the infinite dimensional Grassmannian consisting of the orbit, under the action of the general linear group ${\displaystyle \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$, of the subspace ${\displaystyle$$$힐버트 공간 $H$ ${\$$mathcal$ {$H}_{+}=\mathrm$ {$span} \{-i}\}_{i\in \mathbf {N}}\subset{\$$mathcal {H$

이는 보세-페르미 통신에 따라 분해 가능한 요소에 해당한다.

$\displaystyle \tau \w}\rangele =\sum _{\boda }\pi _{\boda \rangele }$

PL커커커 아래의$$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {{\mathcal{}}_{}}_{}}$ F$$0 ${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle${\$mathcal {F}_{0}}$까지 투영할 수 있는$$ 그래스만 요소의 이미지 $w{\displaystyle }$G ${\displaystyle {\mathrm{r}}_{}}$ H${\displaystyle {{}_{}}_{}}$+${\displaystyle {{}_{}}_{}}$( ${\displaystyle H\mathcal{}}$ ) ${\displaystyle w\in \mathrmatrm {Gr} _{\mathcal{H}}}}}}}}}}}}}}}{\\mathcalcalcaltcalcalcalcalcalcalcal {H}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Pl}:\mathrm {span}(w_{1},w_{2}\wedge w_{2}\wedge \cdots ]=[ \tau _{w}\rangele },},}}$

${\displaystyle 여기}$서 ( ${\displaystyle {w\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$) ${\displaystyle (w_{1},w_{2},\dots )}$은(는)$\$ H {\$displaystyle$ w\$subset$w\mathcal {$H}$ 및$$${\displaystyle [\cdots }$ ${\displaystyle ]}$ ${\$의 요소의 투영역을 나타내는$$ 기준이다$.$

The Plucker coordinates ${\displaystyle \{\pi _{\lambda }(w)\}}$ satisfy an infinite set of bilinear relations, the Plucker relations, defining the Plücker embedding into the projecivization ${\displaystyle \mathbf {P} ({\mathcal {F}})}$ of the fermionic Fock space, which are equivalent to the Hirota bi선형 잔여 관계(1)

If ${\displaystyle w=g({\mathcal {H}}_{+})}$ for a group element ${\displaystyle g\in \mathrm {Gl} ({\mathcal {H}})}$ with fermionic representation ${\displaystyle {\hat {g}}}$, then the ${\displaystyle \tau }$-function ${\displaystyle \tau _{w}(\mat$$hbf {t} )}$은(는) 페르미온 진공 상태 기대값(VEV)으로 표현될 수 있다$$.

${\displaystyle \tau_{w}(\mathbf {t} )=\langle 0 {\hat {\hat {\mathbf {t}{+}(\mathbf {t}){\hat {g} 0\angle ,}$

어디에

${\displaystyle \Gamma _{+}=\{\hat {\gamma }}}{+}(\mathbf {t})=e^{i=1}^{\infit }{{t_{i}}J_{i}\}\subset \mathrm {Gl}({\mathcal {H})}$

KP 흐름을 생성하는$$ $G{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{l}}$ (${\displaystyle H}$) ${\displaystyle \mathrm {Gl}({\mathcal {H})$의 아벨리안 서브그룹이며,

${\displaystyle J_{i}:=\sum _{j\in \mathbf {Z}\}\psi _{j}\psi _{j+i}^{\dager }}\quad i=1,2\dots }}}$

""전류 부품"이다.

멀티솔리톤 솔루션

If we choose ${\displaystyle 3N}$ complex constants ${\displaystyle \{\alpha _{k},\beta _{k},\gamma _{k}\}_{k=1,\dots ,N}}$ with ${\displaystyle \alpha _{k},\beta _{k}}$'s all distinct, ${\displaystyle \gamma _{k}\neq 0}$, and define the func티온스

${\displaystyle y_{k}({\bf {t}):=e^{\sum _{i=1}^{}t_{i}\alpha _{k}^{k}^{k}^{k}^{k}^{k}e^{k}^{i=1}^{k}}}}}\quad k=1,\dots,N,}}}$

우리는 Wronskian 결정인자 공식에 도착한다.

${\displaystyle \tau _{\vec {\alpha },{\vec {\beta },{\vec {\\gamma }^{\bf{t}}):={\begin{vmatrix}y_{1}({\bf {t}})&y_{2}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}({\bf {t}})\\y_{1}'({\bf {t}})&y_{2}'({\bf {t}})&\cdots &y_{N}'({\bf {t}})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y_{1}^{(N-1)}({\bf {t}})&y_{2}^{(N-1)}({\bf {t}})&\cdots &y_{N}^{(N-1)}({\bf {t}})\\\end{vmatrix}}.}$

$일반적$인 N ${\displaystyle N}$ -솔리톤$$ 솔루션을 제공한다.^[3][4]

대수 곡선과 관련된 세타 함수 솔루션

Let ${\displaystyle X}$ be a compact Riemann surface of genus ${\displaystyle g}$ and fix a canonical homology basis ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$ of ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbf {Z} )}$ with intersection numbers

${\displaystyle a_{i}\j}=b_{j}\b_{j}=0,\display a_{i}\properties a_{j}=\req i,j\leq g.}$

표준${\displaystyle {}_{}}$ $조건$을 ${\displaystyle {\mathrm{만족}}_{}}$하는${\displaystyle {}_{}}$홀모픽 차이의 $공간{\displaystyle {}^{}}$ H ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$($X$ ${\displaystyle )}$ ${\$$displaystyle$$dots,g}}}$을$({\displaystyle }$를) 기본으로$$ $한다$.

${\displaystyle \point _{a_{i}\omega_{j}=\delta _{ij}\quad \point _{b_{j}\omega_{j}=B_{ij}}}}}}$

여기서 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) 리만 행렬이다.매트릭스 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은(는) Sigel 상부 절반$$ 공간에 속함

${\displaystyle \mathbf {S} _{g}=\left\{B\in \mathrm {Mat} _{g\time g}(\mathbf {C} )\colon \B^{{{}T}=B,\\\텍스트{{\text}{\text}{\text{positive constitution}\right\}.}$

기간 행렬 $B{\displaystyle }$ ${\displaybf$ {$C$}$$^{g}에 해당하는$C$g ${\$$theta$} 함수는 다음과 $같이$ 정의된다$.$

$\displaystyle \theta(Z B):=\sum _{N\in \mathb {Z}^{g}e^{i\pi(N,BN)+2i\pi(N,Z)}.}$

Choose a point ${\displaystyle p_{\infty }\in X}$, a local parameter ${\displaystyle \zeta }$ in a neighbourhood of ${\displaystyle p_{\infty }}$ with ${\displaystyle \zeta (p_{\infty })=0}$ and a positive divisor of degree ${\displaystyle g}$

${\displaystyle {\mathcal {D}:=\sum _{i}^{g_{i},\quad p_{i}\in X.}$

임의의 양의 정수 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\$ ${\displaystyle {\Omega }_{}}$ k ${\$을(를) 다음과 같은 조건으로 특징지어지는 두 번째 종류의 고유한 용형 차이가 되게$$ 한다$$.

• $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$의 유일한 특이점은 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$= p = p =$$p = p = p =$p$ = p_${\inflt }$의 $순서{\displaystyle }$ k$+1의$극이다$$.
• $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ = p${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$= p =$$p = p = p = $p_{\displaystyle$p=p_{\$inflt}}$을 중심으로 $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k ${\$의 확장은

  ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$= ${\displaystyle d(}$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle k^{}}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{j}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{\mathrm{}}}}$ Q ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ j ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ζ { { {$$\$displaystyle \Oba _{k}=d(\zeta$_\$k})+\sum _{j=1}^{$j=1$}^{{qu_{j}d$$zeta}.$

• ${\displaystyle {\mathrm{\Omega }}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$은(는) 정규화되어$$ ${\displaystyle a}$ -cycle이$$ 사라진다.

  ${\displaystyle \point _{a_{i}}\오메가 _{j}=0.}$

${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ C ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$의 벡터$$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle b_{}}$$}$ - $\Omega {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ k ${\$ :

${\displaystyle (\mathbf {U}_{k}_{j}}:=\point _{b_{j}\오메가 _{k}).}$

아벨 지도 A${\displaystyle }$: ${\displaystyle S^{}}$ g${\displaystyle {}^{}}$( X${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$ g ${\$displaystyle {\$mathcal{A}}}},$ {$S}^{g}(X)\mathbf {C}$^{$g}}}$에 대한 $D{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$displaystyle$ ${\$$mathcal$ {D$}$의 이미지를 나타낸다.

${\displaystyle \mathbf {E} :={\mathcal {A}({\mathcal {D})\in \mathbf {C}^{g},\quad \mathbf {E} _{j}={\mathcal {A}_{D}):=\sum _{j=1}^{g}\int _{p_{0}^{p_{i}}\오메가 _{j}}}$

임의 기준점 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\$을$($를) 사용하여 .

그러면 다음은 KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ - 함수$$:

${\displaystyle \tau _{(X,{\mathcal {D}},p_{\infty },\zeta )}(\mathbf {t} ):=e^{-{1 \over 2}\sum _{ij}Q_{ij}t_{i}t_{j}}\theta \left(\mathbf {E} +\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}\mathbf {U} _{k}{\Big }B\right).}$

Matrix 모델 파티션 기능(KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ - 기능$$)

Let ${\displaystyle d\mu _{0}(M)}$ be the Lebesgue measure on the ${\displaystyle N^{2}}$ dimensional space ${\displaystyle {\mathbf {H} }^{N\times N}}$ of ${\displaystyle N\times N}$ complex Hermitian matrices.$\rho {\displaystyle }$(${\displaystyle M}$) ${\displaystyle \rho (M)}$을(를) 결합 불변 통합 밀도 함수로 설정$$

$\\displaystyle \rho (UMU^{\doger }}=\rho(M),\quad U\in U(N).}$

변형된 조치 제품군 정의

${\djustyle d\mu _{N,\rho }(\mathbf {t}):=e^{\text{Tr}}}}}\sum _{i=1}^{{i}t_{i}m^{i}}}}}}\rho(M) _{0}(M)}}}}$

$small{\displaystyle \mathbf{}}$t = (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 1, t ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${$ ) {\$displaystyle \mathbf${t} =($t_{1},t_{$2},\$cdots )$에 대해 다음을 수행하십시오.

${\displaystyle \tau _{N,\rho }}({\bf {t}):=\int _{\mathbf {H}^{N\time N}d\mu _{N,\rho }{\bf {t}.}$

이 랜덤 행렬 모델의 파티션 함수가 된다.^[7]그런 다음 ${\displaystyle n_{}}$N , ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle t\mathbf{}}$ )$${\$displaystyle \tau _{N,\rho }(\mathbf$ {$t}$ )은 이선형 히로타 잔류 방정식(1)을$$ 만족하므로 KP 계층 $구조$의 {$${\$displaysty \tau }$ - 함수인$$ 것이다.^[8]

${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau$} -초기하학$$ 유형.Hurwitz 번호 생성 기능

$\{{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{}_{}}$} ${\displaystyle {i\mathbf{}}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle Z_{}}$ ${\$을(를) 하나의 (두꺼운) 무한의 복잡한 숫자 순서가 되게 하라$$.모든 정수 파티션 ${\displaystyle =}$ = (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {\lambda }_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$( ${\displaystyle {)}_{}}$ )${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1}, dots ,\lambda _{\lambda$ (\$lambda )}$에 대해 컨텐츠 제품 계수를 정의하십시오$$.

${\displaystyle r_{\\prod _{(i,j)\in \lambda }r_{j-i}}$

여기서 제품은 해당 ℓ${\displaystyle }$${\displaystyle }$ (${\displaystyle \ell }$)${\displaystyle }$× ${\displaystyle {\lambda \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$$\lambda }$ 파티션의 영 다이어그램 상자에 해당하는 양의 정수의 모든$$ 쌍$i$, j$){\displaystyle$ $\ell (\lambda )\time \lambda _{$1} $행렬$의 매트릭스 위치로 간주된다$.$Then, for every pair of infinite sequences ${\displaystyle \mathbf {t} =(t_{1},t_{2},\dots )}$ and ${\displaystyle \mathbf {s} =(s_{1},s_{2},\dots )}$ of complex vaiables, viewed as (normalized) power sums ${\displaystyle \mathbf {t$$} =[\mathbf {x} ],\ \mathbf {s} =[\mathbf {y} ]}$ of the infinite sequence of auxiliary variables ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots )}$ and ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},xy2,\dots )}$, defined by

${\displaystyle t_{j}:={\tfrac {1}{j}\sum _{a=1}^{\inflt }x_{a}^{j},\cHB s_{j}:={\tfrac {1}{j}}\sum _{j=1}^{\nothy_{a}^{j}}}}$

기능

${\displaystyle \tau ^{r}(\mathbf {t},\mathbf {s}):=\sum _{\data }r_{\data }s_{\mathbf {s}(\mathbf {s})}$

$t{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\$$\tau$ {t}과$$(와$)$ s {\displaystyle \$mathbf$${t}$에 있는 이중 KP $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ \tau$}$ - 함수$$, 초지하계 유형의 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ ^[9]$\tau}$ 함수$$.

특히 선택

${\displaystyle r_{j}=r_{j}^{\cHB }:=e^{j\cHB }}}$

for some small parameter ${\displaystyle \beta }$, denoting the corresponding content product coefficient as ${\displaystyle r_{\lambda }^{\beta }}$ and setting ${\displaystyle \mathbf {s} =(1,0,\dots )=:\mathbf {t} _{0}}$, the resulting ${\displaystyle \tau }$-function can b로 동등하게 확장된.

${\displaystyle \tau ^{r^{\mathbf {t},\mathbf {t}_{0}=\sum _{\d=0}^{d=0}sum _{d=0}}}{\frac {\frauth ^{d}}}}{d!}}}H_{d}(\lambda )p_{\lambda }(\mathbf {t}),}$

(7)

여기서 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\lambda }$) ${\displaystyle H_{d}(\lambda )}$은(는) 1 ${\displaystyle \frac{n!}{}}$ ${\$$}}}$ times the number of ways in which an element ${\displaystyle k_{\lambda }\in {\mathcal {S}}_{n}}$ of the symmetric group ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ in ${\displaystyle n= \lambda }$ elements, with cycle lengths equal to the parts of the partition ${\displaysty$$le \lambda }$은$($는) $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ $2$${\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ -cycles의$$ 제품으로 간주할 수 있다.

${\displaystyle h_{\putda }=(a_{1}b_{1})\properties(a_{d}b_{d}),}$

그리고

${\displaystyle p_{\lambda }(\mathbf {t} )=\prod _{i=1}^{\ell (\lambda )}p_{\lambda _{i}}(\mathbf {t} ),{\text{ with }}p_{i}(\mathbf {t} ):=\sum _{a=1}^{\infty }x_{a}^{i}=it_{i}}$

검정력 합 대칭함수.따라서 방정식 (7)은 (공식) KP 초지하학 $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau$} - 내용물 제품 계수 r $\lambda {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 해당하는 함수가$$ 결합적 의미에서 생성함수임을 나타낸다$$.^{[10] [11]}

참조

• Dickey, L.A. (2003), "Soliton Equations and Hamiltonian Systems", vol. 26 of Advanced Series in Mathematical Physics. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2nd ed.
• Harnad, J.; Balogh, F. (2021), "Tau functions and Their Applications", Cambridge Monographs on Mathematical Physics, Cambridge University Press, Cambridge, U.K.
• Hirota, R. (2004), "The Direct Method in Soliton Theory", Cambridge University Press, Cambridge , U.K.
• Jimbo, M.; Miwa, T. (1999), "Solitons: Differential Equations, Symmetries and Infinite Dimensional Algebras", Cambridge University Press, Cambridge , U.K., Cambridge Tracts in Mathematics, 135
• Kodama, Y. (2017), KP Solitons and the Grassmannians: Combinatorics and Geometry of Two-Dimensional Wave Patterns, Springer Briefs in Mathematical Physics, vol. Springer Nature